题型9 二次函数综合题 类型10 二次函数与矩形有关的问题（专题训练）（教师版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 类型十 二次函数与矩形有关的问题（专题训练） 1．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线过点 ， ，矩形 的 边 在线段 上（点B 在点的左侧），点，D 在抛物线上，设 ，当 时， ． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当t 为何值时，矩形 的周长有最大值？最大值是多少？ (3)保持 时的矩形 不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个 交点G，，且直线 平分矩形 的面积时，求抛物线平移的距离． 【答】(1) ；(2)当 时，矩形 的周长有最大值，最大值为 ；(3)4 【分析】（1）设抛物线的函数表达式为 ，求出点的坐标，将点的坐标 代入即可求出该抛物线的函数表达式； （2）由抛物线的对称性得 ，则 ，再得出 ，根据矩 形的周长公式，列出矩形周长的表达式，并将其化为顶点式，即可求解； （3）连接 ， 相交于点P，连接 ，取 的中点Q，连接 ，根据矩形的性质和 平移的性质推出四边形 是平行四边形，则 ， ．求出 时，点 的坐标为 ，则 ，即可得出结论． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为 ． ∵当 时， ， ∴点的坐标为 ． 将点坐标代入表达式，得 ， 解得 ． ∴抛物线的函数表达式为 ． （2）解：由抛物线的对称性得： ， ∴ ． 当 时， ． ∴矩形 的周长为 ． ∵ ， ∴当 时，矩形 的周长有最大值，最大值为 ． （3）解：连接 ， 相交于点P，连接 ，取 的中点Q，连接 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵直线 平分矩形 的面积， ∴直线 过点P．． 由平移的性质可知，四边形 是平行四边形， ∴ ． ∵四边形 是矩形， ∴P 是 的中点． ∴ ． 当 时，点的坐标为 ， ∴ ． ∴抛物线平移的距离是4． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，矩形的性质，平 移的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解二次函数表达式的方法和步骤，二次函数 图象上点的坐标特征，矩形的性质，以及平移的性质． 2．（2023·山西·统考中考真题）如图，二次函数 的图象与 轴的正半轴交于点， 经过点的直线与该函数图象交于点 ，与 轴交于点． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (1)求直线 的函数表达式及点的坐标； (2)点 是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点 作直线 轴于点 ，与直线 交于点D，设点 的横坐标为 ． ①当 时，求 的值； ②当点 在直线 上方时，连接 ，过点 作 轴于点 ， 与 交于点 ， 连接 ．设四边形 的面积为，求关于 的函数表达式，并求出S 的最大值． 【答】(1) ，点 的坐标为 ；(2) 2 ①或3 或 ；② ，S 的最大值为 【分析】（1）利用待定系数法可求得直线 的函数表达式，再求得点的坐标即可； （2）①分当点 在直线 上方和点 在直线 下方时，两种情况讨论，根据 列 一元二次方程求解即可； ②证明 ，推出 ，再证明四边形 为矩形，利用矩形面积 公式得到二次函数的表达式，再利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由 得，当 时， ． 解得 ． ∵点在 轴正半轴上． ∴点的坐标为 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 设直线 的函数表达式为 ． 将 两点的坐标 分别代入 ， 得 ， 解得 ， ∴直线 的函数表达式为 ． 将 代入 ，得 ． ∴点的坐标为 ； （2）①解： 点 在第一象限内二次函数 的图象上，且 轴于点 ，与 直线 交于点 ，其横坐标为 ． ∴点 的坐标分别为 ． ∴ ． ∵点 的坐标为 ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 如图，当点 在直线 上方时， ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ ， ∴ ． 解得 ． 如图2，当点 在直线 下方时， ． ∵ ， ∴ ． 解得 ， ∵ ， ∴ ． 综上所述， 的值为2 或3 或 ； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ②解：如图3，由（1）得， ． ∵ 轴于点 ，交 于点 ，点B 的坐标为 ， ∴ ． ∵点 在直线 上方， ∴ ． ∵ 轴于点 ， ∴ ． ∴ ， ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∴四边形 为平行四边形． ∵ 轴， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴四边形 为矩形． ∴ ． 即 ． ∵ ， ∴当 时，S 的最大值为 ． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数、一次函数、等腰三角形、矩形、勾 股定理、相似三角形等知识点，第二问难度较大，需要分情况讨论，画出大致图形，用含 m 的代数式表示出 是解题的关键． 3．（2023·辽宁大连·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 上有两 点 ，其中点 的横坐标为 ，点 的横坐标为，抛物线 过点 ． 过 作 轴交抛物线 另一点为点 ．以 长为边向上构造矩形 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (1)求抛物线 的解析式； (2)将矩形 向左平移 个单位，向下平移 个单位得到矩形 ，点 的对应点 落在抛物线 上． ①求 关于 的函数关系式，并直接写出自变量 的取值范围； ②直线 交抛物线 于点 ，交抛物线 于点 ．当点 为线段 的中点时，求 的 值； ③抛物线 与边 分别相交于点 ，点 在抛物线 的对称轴同侧， 当 时，求点 的坐标． 【答】(1) ；(2)① ；② ；③ 或 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【分析】（1）根据题意得出点 ， ,待定系数法求解析式即可求解； （2）①根据平移的性质得出 ，根据点 的对应点 落在抛物线 上，可得 ，进而即可求解； ②根据题意得出 ，求得中点坐标，根据题意 即可求解； ③连接 ，过点 作 于点 ，勾股定理求得 ，设 点的坐标为 ，则 ，将 代入 ， 求得 ，求得 ，进而根据 落在抛物线 上，将 代入 ，即 可求解． 【详解】（1）解：依题意，点 的横坐标为 ，点 的横坐标为，代入抛物线 ∴当 时， ，则 ， 当 时， ，则 , 将点 ， ,代入抛物线 ， ∴ 解得： 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴抛物线 的解析式为 ； （2）①解：∵ 轴交抛物线 另一点为点 ， 当 时， ， ∴ ， ∵矩形 向左平移 个单位，向下平移 个单位得到矩形 ，点 的对应点 落在抛物线 上 ∴ ， 整理得 ∵ ∴ ∴ ； ②如图所示， ∵ , ∴ , 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ ∴ ， 由①可得 ， ∴ , 的横坐标为 ，分别代入 ， ∴ ， ∴ ∴ 的中点坐标为 ∵点 为线段 的中点， ∴ 解得： 或 （大于4，舍去） ③如图所示，连接 ，过点 作 于点 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 则 ，∵ ∴ ， 设 点的坐标为 ，则 ， 将 代入 ， ， 解得： ， 当 ， ∴ ， 将 代入 解得： ， ∴ 或 ． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，矩形的性质，平移的性质，熟练掌握二次函数的 性质是解题的关键． 4（2022·安徽）如图1，隧道截面由抛物线的一部分ED 和矩形BD 构成，矩形的一边B 为12 米，另一边B 为2 米．以B 所在的直线为x 轴，线段B 的垂直平分线为y 轴，建立 平面直角坐标系xy，规定一个单位长度代表1 米．E（0，8）是抛物线的顶点． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)在隧道截面内（含边界）修建“ ”型或“ ”型栅栏，如图2、图3 中粗线段 所示，点 ， 在x 轴上，M 与矩形 的一边平行且相等．栅栏总长l 为图中粗线段 ， ， ，M 长度之和．请解决以下问题： （ⅰ）修建一个“ ”型栅栏，如图2，点 ， 在抛物线ED 上．设点 的横坐标 为 ，求栅栏总长l 与m 之间的函数表达式和l 的最大值； （ⅱ）现修建一个总长为18 的栅栏，有如图3 所示的修建“ ”型或“ ”型栅型 两种设计方，请你从中选择一种，求出该方下矩形 面积的最大值，及取最大值时点 的横坐标的取值范围（ 在 右侧）． 【答】(1)y＝ x2＋8 (2)（ⅰ）l＝ m2＋2m＋24，l 的最大值为26；（ⅱ）方一： ＋9≤P1横坐标≤ ；方二： ＋ ≤P1横坐标≤ 【分析】（1）通过分析点坐标，利用待定系数法求函数解析式； （2）（ⅰ）结合矩形性质分析得出P2的坐标为（m，－ m2＋8），然后列出函数关系 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 式，利用二次函数的性质分析最值； （ⅱ）设P2P1＝，分别表示出方一和方二的矩形面积，利用二次函数的性质分析最值，从 而利用数形结合思想确定取值范围． (1)由题意可得：（－6，2），D（6，2）， 又∵E（0，8）是抛物线的顶点， 设抛物线对应的函数表达式为y＝x2＋8，将（－6，2）代入， （－6）2＋8＝2，解得：＝ ， ∴抛物线对应的函数表达式为y＝ x2＋8； (2)（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛 物线ED 上， P ∴ 2的坐标为（m， m2＋8）， P ∴ 1P2＝P3P4＝M＝ m2＋8，P2P3＝2m， l ∴＝3（ m2＋8）＋2m＝ m2＋2m＋24＝ （m－2）2＋26， ∵ ＜0，∴当m＝2 时，l 有最大值为26， 即栅栏总长l 与m 之间的函数表达式为l＝ m2＋2m＋24，l 的最大值为26； （ⅱ）方一：设P2P1＝，则P2P3＝18－3， ∴矩形P1P2P3P4面积为（18－3）＝－32＋18＝－3（－3）2＋27， ∵－3＜0， ∴当＝3 时，矩形面积有最大值为27， 此时P2P1＝3，P2P3＝9，令 x2＋8＝3，解得：x＝ ， ∴此时P1的横坐标的取值范围为 ＋9≤P1横坐标≤ ， 方二：设P2P1＝，则P2P3＝9－， ∴矩形P1P2P3P4面积为（9－）＝－2＋9＝－（－ ）2＋ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵－1＜0，∴当＝ 时，矩形面积有最大值为 ， 此时P2P1＝ ，P2P3＝ ，令 x2＋8＝ ，解得：x＝ ， ∴此时P1的横坐标的取值范围为 ＋ ≤P1横坐标≤ ． 【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键 点的坐标，利用数形结合思想解题是关键． 5（2021·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于点 和 ，交 轴于点 ，抛物线的对称轴交 轴于点 ，交抛物线于点 ． （1）求抛物线的解析式； （2）将线段 绕着点 沿顺时针方向旋转得到线段 ，旋转角为 ，连 接 ， ，求 的最小值． （3） 为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点 的横坐标；若不存在，请说明理由； 【答】（1） ；（2） ；（3）存在， 点的横坐标分别为：2， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 或 ． 【分析】 （1）待定系数法求二次函数解析式，设解析式为 将 ， 两点 代入求得 ，的值即可； （2）胡不归问题，要求 的值，将折线化为直线，构造相似三角形将 转化 为 ，再利用三角形两边之和大于第三边求得 最值； （3）分2 种情形讨论：①B 为矩形的一条边，利用等腰直角三角形三角形的性质可以求 得点的坐标; B ② 为矩形的对角线，设R 为B 的中点,R= B,利用两点距离公式求解方程可得点的坐 标． 【详解】 解：（1）∵ 过 ， ∴ ∴ ， ∴抛物线的解析式为： （2）在 上取一点 ，使得 ，连接 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ 对称轴 ． ∴ ， ， ∴ ， ∴ ∴ ∴ 当 ， ， 三点在同一点直线上时， 最小为 ． 在 中， ， ∴ 即 最小值为 ． （3）情形①如图，B 为矩形的一条边时， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 联立 得 是等腰 ， 分别过 两点作 的垂线，交 于点 ， 过 作 轴， 轴, , 也是等腰直角三角形 设 ，则 ，所以 代入 ，解得 , （不符题意，舍） 同理，设 ，则 ，所以 代入 ，解得 , （不符题意，舍） 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm B ② 为矩形的对角线，设R 为B 的中点,则 ， 设 ，则 整理得： 解得： （不符题意，舍）， （不符题意，舍）， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 综上所述： 点的横坐标分别为：2， ， 或 ． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，三角形相似，勾股定理，二次函数与 一次函数交点，矩形的性质，等腰直角三角形性质，平面直角坐标系中两点距离计算等知 识，能正确做出辅助线，找到相似三角形是解题的关键． 6（2021·甘肃中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与坐标轴交 于 两点，直线 交 轴于点 ．点 为直线 下方抛物线 上一动点，过点 作 轴的垂线，垂足为 分别交直线 于点 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （1）求抛物线 的表达式； （2）当 ，连接 ，求 的面积； （3）① 是 轴上一点，当四边形 是矩形时，求点 的坐标； ②在①的条件下，第一象限有一动点 ，满足 ，求 周长的最小值． 【答】（1） ；（2） ；（3）① ；② 【分析】 （1）直接利用待定系数法即可求出答． （2）由题意可求出 ， ．利用三角函数可知在 和 中， ，由此即可求出 ，从而可求出 ．即可求出D 点坐标， 继而求出 ．再根据 ，即可求出FD 的长，最后利用三角形面积公式即可求出 最后答． （3）①连接 ，交 于点 ．根据矩形的性质可知 ， ．由 可推出 ．由 ，可推出 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 再根据直线B 的解析式可求出点坐标，即可得出的长，由此可求出的长，即可求出的长， 最后即得出的长，即可得出点坐标． ②在 中，利用勾股定理可求出 的长，再根据 结合 可推出 ，即要使 最小，就要 最小，由题意可 知当点 在 上时， 为最小．即求出B 长即可．在 中，利用勾股 定理求出 的长，即得出 周长的最小值为 ． 【详解】 解：（1）∵抛物线 过 两点， ， 解得， ， ． （2） ． 同理， ． 又 轴， 轴， ∴在 和 中， ，即 ， ． 当 时， ， ，即 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， ． （3）①如图，连接 ，交 于点 ． ∵四边形 是矩形， ． 又 ， ∴ ， ． ∵四边形 是矩形， ． ， ∵当x=0 时， ， ∴ ， ， ， ， ． ②在 中， ， ． ∴要使 最小，就要 最小． ， ∴当点 在 上时， 为最小． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 在 中， ． 周长的最小值是 ． 【点睛】 本题为二次函数综合题．考查二次函数的图象和性质，解直角三角形，一次函数的图象和 性质，矩形的性质，平行线分线段成比例，三角形三边关系以及勾股定理等知识，综合性 强，较难．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 7（2021·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 交 轴 于 ， 两点，交 轴于点 ． （1）求该抛物线的表达式； （2）点 为第四象限内抛物线上一点，连接 ，过点 作 交 轴于点 ，连接 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ，求 面积的最大值及此时点 的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线 向右平移经过点 时，得到新抛物 线 ，点 在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请 说明理由． 参考：若点 、 ，则线段 的中点 的坐标为 ． 【答】（1）该抛物线的表达式为： ；（2） 面积最大值为8，此时P 点的坐标为：P（2，-6）；（3） 或 或 或 【分析】 （1）将两个点分别代入抛物线可得关于，b 的二元一次方程组，可解得，b； （2）设出P、Q 两点坐标，应用三角形相似，及三角形面积公式，代入化简可得一个二次 函数，求其最大值即可； （3）抛物线的平移可确定抛物线解析式及对称轴，设出点E、F，应用中点坐标公式及矩 形特点分成的三角形为直角三角形，可得出答． 【详解】 解：（1）将（-1,0），B（4,0）代入抛物线 可得： ， 解得： ， ∴该抛物线的表达式为： ； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （2）过点P 作P⊥x 轴于点，如图所示： 设 且 ， ， ∴ ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵点 在抛物线上， ∴ ， ∴ ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘