55 二次函数中的圆的综合问题

二次函数中的圆的综合问题 1、如图，抛物线y＝x2 2 ﹣x+m 的图象经过点P（4，5），与x 轴交于、B 两点（点在点B 的左边），与y 轴交于点，且S△PB＝10． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在点Q 使得△PQ 和△PBQ 的面积相等？若存在，求出Q 点的坐标，若不存在，请 说明理由； （3）过、P、三点的圆与抛物线交于另一点D，求出D 点坐标及四边形PD 的周长． 【答】（1）y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣；（2）点Q 的坐标为：（﹣2，5）或（﹣ ，﹣ ）；（3）6 +4 ． 【思路引导】 （1）因为抛物线y＝x2 2 ﹣x+m，函数的对称轴为：x＝1，S△PB＝10＝ ×B×yP＝ B×5，解得B=4，即可 求解；（2）分、B 在点Q（Q′）的同侧；点、B 在点Q 的两侧两种情况，分别求解即可；（3）过点P 作 P′ x ⊥轴于点′，则点′（4，0），则′＝P′＝5，而′＝5，故圆′是过、P、三点的圆，即可求解． 【详解】 解： （1）y＝x2 2 ﹣x+m，函数的对称轴为：x＝1， S△PB＝10＝ ×B×yP＝ B×5，解得：B＝4， 故点、B 的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）， 抛物线的表达式为：y＝（x+1）（x 3 ﹣）， 将点P 的坐标代入上式并解得：＝1， 故抛物线的表达式为：y＝x2 2 ﹣x 3… ﹣ ①； （2）①当、B 在点Q（Q′）的同侧时，如图1， △PQ′和△PBQ′的面积相等，则点P、Q′关于对称轴对称， 故点Q′（﹣2，5）； ②当、B 在点Q 的两侧时，如图1， 设PQ 交x 轴于点E，分别过点、B 作PQ 的垂线交于点M、， △PQ 和△PBQ 的面积相等，则M＝B， 而∠BE＝∠EM，∠ME＝∠BE＝90°， ∴△ME≌△BE（S）， ∴E＝BE， 即点E 是B 的中点，则点E（1，0）， 将点P、E 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线PQ 的表达式为：y＝ x﹣ …②， 联立①②并解得：x＝﹣ 或4（舍去4）， 故点Q（﹣ ，﹣ ）， 综上，点Q 的坐标为：（﹣2，5）或（﹣ ，﹣ ）； （3）过点P 作P′⊥x 轴于点′，则点′（4，0），则′＝P′＝5，而′＝5， 故圆′是过、P、三点的圆， 设点D（m，m2 2 ﹣m 3 ﹣），点′（4，0），则D′＝5， 即（m 4 ﹣）2+（m2 2 ﹣m 3 ﹣）2＝25， 化简得：m（m+1）（m 1 ﹣）（m 4 ﹣）＝0， 解得：m＝0 或﹣1 或1 或4（舍去0，﹣1，4）， 故：m＝1， 故点D（1，﹣4）； 四边形PD 的周长＝P++D+PD＝ ． 【方法总结】 本题考查了二次函数与三角形面积、三点共圆、四边形的周长、长度公式，综合性较强，灵活运用二次函 数的知识是解题的关键 2、已知抛物线y＝x2+mx 2 ﹣m 4 ﹣（m＞0）． （1）证明：该抛物线与x 轴总有两个不同的交点； （2）设该抛物线与x 轴的两个交点分别为，B（点在点B 的右侧），与y 轴交于点，，B，三点都在⊙P 上． ①试判断：不论m 取任何正数，⊙P 是否经过y 轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明 理由； ②若点关于直线x¿−m 2 的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE 的周长记为l，⊙P 的 半径记为r，求l r 的值． 【答】（1）证明见解析；（2）①定点F 的坐标为（0，1）；②10+6 ❑ √5 5 ． 【解析】 （1）令y＝0，则x2+mx 2m 4 ﹣ ﹣＝0， ∴△＝m2 4[ 2m 4] ﹣ ﹣ ﹣ ＝m2+8m+16， m ∵＞0， ∴△＞0， ∴该抛物线与x 轴总有两个不同的交点； （2）令y＝0，则x2+mx 2m 4 ﹣ ﹣＝0， ∴（x 2 ﹣）[x+（m+2）]＝0， x ∴＝2 或x＝﹣（m+2）， ∴（2，0），B（﹣（m+2），0）， ∴＝2，B＝m+2， 令x＝0，则y＝﹣2（m+2）， ∴（0，﹣2（m+2））， ∴＝2（m+2）， ①通过定点（0，1）理由：如图， ∵点，B，在⊙P 上， B ∴∠＝∠F， 在Rt B △ 中，t B ∠¿ OB OC = m+2 2（m+2）=1 2 ， 在Rt F △中，t F ∠¿ OF OA =OF 2 =1 2 ， F ∴＝1， ∴点F 的坐标为（0，1）； ②如图1， 由①知，点F（0，1）． D ∵（0，1）， ∴点D 在⊙P 上， ∵点E 是点关于抛物线的对称轴的对称点， DE ∴∠ ＝90°， DE ∴ 是⊙P 的直径， DBE ∴∠ ＝90°， BED ∵∠ ＝∠B， t BED ∴∠ ¿ 1 2 ， 设BD＝，在Rt BDE △ 中，t BED ∠ ¿ BD BE = n BE =1 2 ， BE ∴ ＝2，根据勾股定理得：DE¿ ❑ √B D 2+B E 2=❑ √5 ， l ∴＝BD+BE+DE＝（3+❑ √5），r¿ 1 2 DE¿ ❑ √5 2 ， ∴ l r =（3+❑ √5）n ❑ √5 2 n =10+6 ❑ √5 5 ． 3、如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A点坐标为(−8,0)，B点坐标为(2,0)，以AB为直径的圆P 与y轴的负半轴交于点C． （1）求图象经过A，B，C三点的抛物线的解析式； （2）设M点为所求抛物线的顶点，试判断直线MC与⊙P的关系，并说明理由． 【答】（1）1 4 x 2+ 3 2 x−4；（2）直线MC与⊙P相切，理由见解析 【解析】 解：（1）连接、B； B ∵ 是⊙P 的直径， B=90° ∴∠ ，即∠+ B=90° ∠ ， B+ B=90° ∵∠ ∠ ， B= ∴∠ ∠， = B=90° ∵∠∠ ， B ∴△∽△， ∴AO OC =OC OB ， 2=·B=16 ∴ ， =4 ∴ ， 故(0，﹣4)， 设抛物线的解析式为：y=(x+8)(x 2) ﹣ ， 代入点坐标得：(0+8)(0 2)= 4 ﹣ ﹣，=1 4 ， 故抛物线的解析式为：y=1 4 (x+8)(x 2)= ﹣ 1 4 x 2+3 2 x 4 ﹣； (2)由(1)知：y=1 4 x 2+3 2 x 4= ﹣ 1 4 ( x+3) 2﹣25 4 ； 则M( 3 ﹣，﹣25 4 )， 又∵(0， ﹣4)，P( 3 ﹣， 0)， MP= ∴ 25 4 ，P=5，M=15 4 ， MP ∴ 2=M2+P2，即△MP 是直角三角形，且∠PM=90°， 故直线M 与⊙P 相切． 4、已知抛物线y=x2+bx 过点（1，4）、B（﹣3，0），过点作直线∥x 轴，交抛物线于另一点，在x 轴上有 一点D（4，0），连接D． （1）求抛物线的表达式； （2）若在抛物线上存在点Q，使得D 平分∠Q，请求出点Q 的坐标； （3）在直线D 的下方的抛物线上取一点，过点作G y ∥轴交D 于点G，以G 为直径画圆在直线D 上截得弦 G，问弦G 的最大值是多少？ （4）一动点P 从点出发，以每秒1 个单位长度的速度沿﹣﹣D 运动，在线段D 上还有一动点M，问是否 存在某一时刻使PM+M=4？若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由． 【答】（1）直线E 的表达式为y=﹣4 3 x﹣4 3 ；（2）点Q 的坐标为（﹣1 3 ，﹣8 9 ）；（3）弦G 的最大值 81❑ √5 80 ；（4）存在，t 的值为3 或7 【解析】 解：（1）∵抛物线y=x 2+bx 过点（1，4）、B（﹣3，0）， ∴¿ ，解得：=1,b=3, ∴抛物线的表达式为y=x2+3x． （2）当y=4 时，有x2+3x=4 ， 解得：x1= 4 ﹣，x2=1， ∴点的坐标为（﹣4，4）， =1 ∴ ﹣（﹣4）=5． ∵（1，4），D（4，0）， D=5 ∴ ． 取点E（﹣1，0），连接E 交抛物线于点Q，如图1 所示． =5 ∵ ，DE=4﹣（﹣1）=5，∥DE， ∴四边形ED 为平行四边形， =D ∵ ， ∴四边形ED 为菱形， D ∴ 平分∠Q． 设直线E 的表达式为y=mx+（m≠0）， 将（﹣4，4）、E（﹣1，0）代入y=mx+，得： ¿ ，解得：¿， ∴直线E 的表达式为y=﹣4 3 x﹣4 3 ． 联立直线E 与抛物线表达式成方程组，得：¿ ， 解得：¿ ， ∴点Q 的坐标为（﹣1 3 ，﹣8 9 ）． （3）设直线D 的表达式为y=kx+（k≠0）， 将（﹣4，4）、D（4，0）代入y=kx+，得： ¿ ，解得：¿ ， ∴直线D 的表达式为y=﹣1 2 x+2． 设点的坐标为（x，x2+3x），则点G 的坐标为（x，﹣1 2 x+2）， G= ∴ ﹣1 2 x+2﹣（x2+3x）= x2 ﹣ ﹣7 2 x+2=﹣（x+7 4 ）2+81 16 ， 1 ∵﹣＜0， ∴当x=﹣7 4 时，G 取最大值，最大值为81 16 ． 以G 为直径画⊙′，取G 的中点F，连接′F，则′F B ⊥，如图2 所示． ∵直线D 的表达式为y=﹣1 2 x+2，G y ∥轴，′F B ⊥， t G′F= ∴∠ GF O' F =1 2 ， ∴GF O' G = 1 ❑ √1 2+2 2= ❑ √5 5 ， G=2GF= ∴ 2❑ √5 5 ′G= ❑ √5 5 G， ∴弦G 的最大值为 ❑ √5 5 ×81 16 =81❑ √5 80 ． （4）取点E（﹣1，0），连接E、E，过点E 作EP1⊥于点P1，交D 于点M1，过点E 作EP2 D ⊥ 于点 P2，交D 于点M2，如图3 所示． ∵四边形ED 为菱形， ∴点、E 关于D 对称， M=EM ∴ ． x ∵∥轴，点的坐标为（1，4）， EP1=4 ∴ ． 由菱形的对称性可知EP2=4． ∵点E 的坐标为（﹣1，0）， ∴点P1 的坐标为（﹣1，4）， P1=DP2= 1 ∴ ﹣﹣（﹣4）=3， 又∵=D=5， t ∴的值为3 或7． 5、如图1，二次函数y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣（＜0）的图象与x 轴交于、B 两点（点在点B 的右侧），与y 轴的正半 轴交于点，顶点为D． （1）求顶点D 的坐标（用含的代数式表示）； （2）若以D 为直径的圆经过点． ①求抛物线的函数关系式； ②如图2，点E 是y 轴负半轴上一点，连接BE，将△BE 绕平面内某一点旋转180°，得到△PM（点P、M、 分别和点、B、E 对应），并且点M、都在抛物线上，作MF⊥x 轴于点F，若线段MF：BF＝1：2，求点 M、的坐标； ③点Q 在抛物线的对称轴上，以Q 为圆心的圆过、B 两点，并且和直线D 相切，如图3，求点Q 的坐标． 【答】（1）（1，﹣4）；（2）①y= x ﹣ 2+2x+3；②M（ ， ）、（ ， ）；③点Q 的坐标为（1， ﹣4+2 ）或（1，﹣4 2 ﹣ ）． 【思路引导】 （1）将二次函数的解析式进行配方即可得到顶点D 的坐标． （2）①以D 为直径的圆经过点，即点在以D 为直径的圆的圆周上，依据圆周角定理不难得出△D 是个直角 三角形，且∠D＝90°，点坐标可得，而、D 的坐标可由表达出来，在得出、D、D 的长度表达式后，依据勾 股定理列等式即可求出的值． ②将△BE 绕平面内某一点旋转180°得到△PM，说明了PM 正好和x 轴平行，且PM＝B＝1，所以求M、的 坐标关键是求出点M 的坐标；首先根据①的函数解析式设出M 点的坐标，然后根据题干条件：BF＝2MF 作为等量关系进行解答即可． ③设⊙Q 与直线D 的切点为G，连接QG，由、D 两点的坐标不难判断出∠DQ＝45°，那么△QGD 为等腰直 角三角形，即QD ²＝2QG ²＝2QB ²，设出点Q 的坐标，然后用Q 点纵坐标表达出QD、QB 的长，根据上 面的等式列方程即可求出点Q 的坐标． 【解析】 （1）∵y=x2 2 ﹣x 3= ﹣ （x 1 ﹣）2 4 ﹣， ∴D（1，﹣4）． （2）①∵以D 为直径的圆经过点， ∴△D 为直角三角形，且∠D=90°； 由y=x2 2 ﹣x 3= ﹣ （x 3 ﹣）（x+1）知，（3，0）、B（﹣1，0）、（0，﹣3），则： 2=92+9、D2=2+1、D2=162+4 由勾股定理得：2+D2=D2，即：92+9+2+1=162+4， 化简，得：2=1，由＜0，得：= 1 ﹣， ②∵ = 1 ﹣， ∴抛物线的解析式：y=﹣x2+2x+3，D（1，4）． ∵将△BE 绕平面内某一点旋转180°得到△PM， ∴PM∥x 轴，且PM=B=1； 设M（x，﹣x2+2x+3），则F=x，MF=﹣x2+2x+3，BF=F+B=x+1； ∵BF=2MF， ∴x+1=2（﹣x2+2x+3），化简，得：2x2 3 ﹣x 5=0 ﹣ 解得：x1= 1 ﹣（舍去）、x2= ∴M（ ， ）、（ ， ）． ③设⊙Q 与直线D 的切点为G，连接QG，过作⊥QD 于，如下图： ∵（0，3）、D（1，4）， = ∴D=1，即△D 是等腰直角三角形， ∴△QGD 也是等腰直角三角形，即：QD2=2QG2； 设Q（1，b），则QD=4﹣b，QG2=QB2=b2+4； 得：（4﹣b）2=2（b2+4）， 化简，得：b2+8b 8=0 ﹣ ，解得：b= 4±2 ﹣ ； 即点Q 的坐标为（1， ）或（1， ）． 【方法总结】 此题主要考查了二次函数解析式的确定、旋转图形的性质、圆周角定理以及直线和圆的位置关系等重要知 识点；后两个小题较难，最后一题中，通过构建等腰直角三角形找出QD 和⊙Q 半径间的数量关系是解题 题目的关键． 6、已知二次函数y＝－x2＋bx＋＋1 (1)当b＝1 时，求这个二次函数的对称轴的方程； (2)若＝－b2－2b，问：b 为何值时，二次函数的图象与x 轴相切； (3)如图所示，若二次函数的图象与x 轴交于点(x1，0)，B(x2，0)，且x1＜x2，与y 轴的正半轴交于点M，以 B 为直径的半圆恰好经过点M，二次函数的对称轴l 与x 轴，直线BM，直线M 分别相交于点D，E，F， 且满足＝，求二次函数的表达式． 解： (1)二次函数的对称轴为x＝－， ∵＝－1，b＝1，∴x＝； (2)与x 轴相切就是与x 轴只有一个交点，即－x2＋bx－b2－2b＋1＝0 有相等的实数根，∴Δ＝b2－4×(－1) ×＝0 ∴－8b＋4＝0，解得b＝，即b＝时，函数图象与x 轴相切； (3)∵B 是半圆的直径，∴∠MB＝90°， ∴∠M＋∠BM＝90°， ∵∠M＝∠MB＝90°，∴∠M＋∠M＝90°， ∴∠M＝∠BM，∴△M∽△MB， ∴＝，∴M2＝·B， ∵二次函数的图象与x 轴交于点(x1，0)，B(x2，0)， ∴＝－x1，B＝x2，x1·x2＝－(＋1)， ∵M＝＋1，∴(＋1)2＝＋1， 解得＝0 或－1(舍去)，∴＝0，M＝1， ∴y＝－x2＋bx＋1， ∴x1·x2＝－1，x1＋x2＝b， 设(m，0)(m＜0)，则B(－，0)，b＝，对称轴为x＝＝， ∵yM经过点(m，0)，M(0，1)，∴yM＝－x＋1， ∵yBM经过点B(－，0)，M(0，1)，∴yBM＝mx＋1， ∵xE＝，∴yE＝，DE＝， ∵xF＝，∴yF＝， ∵＝，∴ ＝， ∴＝，∴m2＝(m＜0)，解得m＝－， ∴b＝＝， ∴y＝－x2＋x＋1 7、如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋与⊙M 相交于，B，，D 四点，其中，B 两点坐 标分别为(－1，0)，(0，－2)，点D 在x 轴上且D 为⊙M 的直径，E 是⊙M 与y 轴的另一个交点，过劣弧上 的点F 作F D ⊥ 于点，且F＝15 (1)求点D 的坐标及抛物线的表达式； (2)若P 是x 轴上的一个动点，试求出△PEF 的周长最小时点P 的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QM 是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q 的坐标；如果 不存在，请说明理由． 解：(1)如答图，连结MB，设⊙M 的半径为r ( ∵－1，0)，B(0，－2)， ∴在Rt△MB 中，B＝2，M＝r－1， 由勾股定理，得22＋(r－1)2＝r2 ∴r＝∴D＝5 ∴点D 的坐标是(4，0)． ∵抛物线y＝x2＋bx＋过点(－1，0)，B(0，－2)，D(4，0)， 解得 ∴抛物线的表达式为y＝x2－x－2； (2)如答图，连结BF，与x 轴相交于点P，则点P 即为 所求．连结MF ∵在△MF 中，MF＝25，F＝15， ∴M＝＝2 ∴＝35 由题意，得△PB∽△PF， ∴＝即＝ ∴P＝2 ∴△PEF 的周长最小时，点P 的坐标是(2，0)． (3)存在．Q1，Q2，Q3， Q4 第2 题答图 8、如图所示，对称轴为直线x＝2 的抛物线y＝x2＋bx＋与x 轴交于点和点B，与y 轴交于点，且点的坐标 为(－1，0)． (1)求抛物线的表达式； (2)直接写出B，两点的坐标； (3)求过，B，三点的圆的面积(结果用含π 的代数式表示)． 解：(1)由(－1，0)，对称轴为x＝2，可得 解得 ∴抛物线表达式为y＝x2－4x－5； (2)由点坐标为(－1，0)，且对称轴方程为x＝2，可知B＝6， ∴B＝5， ∴B 点坐标为(5，0)， ∵y＝x2－4x－5， ∴点坐标为(0，－5)； (3)如答图，连结B，则△B 是直角三角形， ∴过，B，三点的圆的直径是线段B 的长度， 在Rt△B 中，B＝＝5， ∴B＝5， ∴圆的半径为，∴S＝π＝π 9、如图所示，已知抛物线y＝x2＋bx＋(≠0)的图象的顶点坐标是(2，1)，并且经过点(4，2)．直线y＝x＋1 与抛物线交于B，D 两点，以BD 为直径作圆，圆心为点，⊙与直线m 交于对称轴右侧的点M(t，1)．直线 m 上每一点的纵坐标都等于1 (1)求抛物线的表达式； (2)证明：⊙与x 轴相切； (3)过点B 作BE m ⊥，垂足为E，再过点D 作DF m ⊥，垂足为F 求BE MF ∶ 的值． 第3 题答图 解： (1)设抛物线顶点式为y＝(x－)2＋k， ∵抛物线的顶点坐标是(2，1)，∴y＝(x－2)2＋1， 又∵抛物线经过点(4，2)， 2 ∴＝(4－2)2＋1，解得＝， ∴抛物线的表达式y＝(x－2)2＋1＝x2－x＋2 (2)证明：联立消去y，整理得x2－6x＋4＝0，解得x1＝3－，x2＝3＋，代入直线方程，解得y1＝－，y2 ＝＋， ∴B，D， ∵点是BD 的中点， ∴点的纵坐标为＝，利用勾股定理，可算出BD＝＝5，即半径R＝，即圆心到x 轴的距离等于半径R，∴ ⊙与x 轴相切． (3)法一：如答图①，连结BM 和DM，∵BD 为直径，∴∠BMD＝90°， ∴∠BME＋∠DMF＝90°，