题型9 二次函数综合题 类型9 二次函数与菱形有关的问题（专题训练）（教师版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 类型九 二次函数与菱形有关的问题（专题训练） 1．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，抛物线 过点 ． (1)求抛物线的解析式； (2)设点 是直线 上方抛物线上一点，求出 的最大面积及此时点 的坐标； (3)若点 是抛物线对称轴上一动点，点 为坐标平面内一点，是否存在以 为边，点 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说 明理由． 【答】(1) ；(2) 的最大面积为 ， ；(3)存在， 或 或 ， ，见解析 【分析】（1）利用待定系数法代入求解即可； （2）利用待定系数法先确定直线 的解析式为 ，设点 ，过点P 作 轴于点D，交 于点E，得出 ， 然后得出三角形面积的函数即可得出结果； （3）分两种情况进行分析：若 为菱形的边长，利用菱形的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点 代入解析式得： 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为 ； （2）设直线 的解析式为 ，将点B、代入得： ， 解得： ， ∴直线 的解析式为 ， ∵ ， ∴ ， 设点 ，过点P 作 轴于点D，交 于点E，如图所示： ∴ ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ， ∴当 时， 的最大面积为 ， ， ∴ （3）存在， 或 或 或 ， ，证明如下： ∵ ， ∵抛物线的解析式为 ， ∴对称轴为： ， 设点 ， 若 为菱形的边长，菱形 ， 则 ，即 ， 解得： ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ； 若 为菱形的边长，菱形 ， 则 ，即 ， 解得： ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ ， ∴ ， ∴ ， ； 综上可得： 或 或 ， ． 【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，三角形面 积问题及特殊四边形问题，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点 是解题关键． 2．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，二次函数 的图象交 轴于点 ， 交 轴于点 ，点 的坐标为 ，对称轴是直线 ，点 是 轴上一动点， 轴，交直线 于点 ，交抛物线于点 ． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点 在线段 上运动（点 与点 、点 不重合），求四边形 面积的最大值， 并求出此时点 的坐标． (3)若点 在 轴上运动，则在 轴上是否存在点 ，使以 、 为顶点的四边形 是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【答】(1) ；(2) 最大值为 ，此时 ；(3) 或 或 【分析】（1）先根据二次函数对称轴公式求出 ，再把 代入二次函数解析式中 进行求解即可； （2）先求出 ， ，则 ， ，求出直线 的解析式为 ，设 ，则 ， ，则 ；再由 得到 ，故当 时， 最 大，最大值为 ，此时点P 的坐标为 ； （3）分如图3-1，图3-2，图3-3，图3-4，图3-5，图3-6 所示， 为对角线和边，利用 菱形的性质进行列式求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数 的对称轴为直线 ， ∴ ， ∴ ， ∵二次函数经过点 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴二次函数解析式为 ； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （2）解：∵二次函数经过点 ，且对称轴为直线 ， ∴ ， ∴ ， ∵二次函数 与y 轴交于点， ∴ ，∴ ； 设直线 的解析式为 ， ∴ ， ∴ ， ∴直线 的解析式为 ， 设 ，则 ， ， ∴ ； ∵ ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ ， ∴当 时， 最大，最大值为 ， ∴此时点P 的坐标为 ； （3）解：设 ，则 ， ， ∵ 轴， ∴ 轴，即 ， ∴ 是以 、 为顶点的菱形的边； 如图3-1 所示，当 为对角线时， ∵ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 轴， ∴ 轴，即 轴， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴点与点关于抛物线对称轴对称， ∴点的坐标为 ， ∴ ， ∴ ； 如图3-2 所示，当 为边时，则 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 解得 或 （舍去）， ∴ ， ∴ ； 如图3-3 所示，当 为边时，则 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 同理可得 ， ∴ ， 解得 或 （舍去）， ∴ ， ∴ ； 如图3-4 所示，当 为边时，则 ， 同理可得 ， 解得 （舍去）或 （舍去）； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 如图3-5 所示，当 为对角线时， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 轴， ∴ 轴，这与题意相矛盾， ∴此种情形不存在 如图3-6 所示，当 为对角线时，设 交于S， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ 轴， ∴ ， ∵ ， ∴ ，这与三角形内角和为180 度矛盾， ∴此种情况不存在； 综上所述， 或 或 ． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理， 求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 3．（2023·江苏扬州·统考中考真题）在平面直角坐标系 中，已知点在y 轴正半轴上． (1)如果四个点 中恰有三个点在二次函数 （为常数，且 ）的图象上． ① ________； ②如图1，已知菱形 的顶点B、、D 在该二次函数的图象上，且 轴，求菱形 的边长； ③如图2，已知正方形 的顶点B、D 在该二次函数的图象上，点B、D 在y 轴的同侧， 且点B 在点D 的左侧，设点B、D 的横坐标分别为m、，试探究 是否为定值．如果是， 求出这个值；如果不是，请说明理由． (2)已知正方形 的顶点B、D 在二次函数 （为常数，且 ）的图象上，点B 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 在点D 的左侧，设点B、D 的横坐标分别为m、，直接写出m、满足的等量关系式． 【答】(1) 1 ①；② ；③是，值为1；(2) 或 【分析】（1）①当 ， ，可知 不在二次函数图象上，将 代入 ， 求解 值即可；②由①知，二次函数解析式为 ，设菱形的边长为 ，则 ， ，由菱形的性质得， ， ，则 轴， ，根据 ，即 ，计算求出满足要求的解即可；③如图2，连接 、 交点为 ，过 作 轴于 ，过 作 于 ，由正方形的性质可 知， 为 、 的中点， ， ，则 ，证明 ，则 ， ，由题意知， ， ， ，则 ， ，设 ，则 ， ， ， ， ， ，则 ， ， 即 ，计算求解即可1； （2）由题意知，分①当 在 轴右侧时，②当 在 轴左侧时，③当 在 轴左侧， 在 轴右侧时，三种情况求解；①当 在 轴右侧时， ，同理（1）③， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， ，由题意知， ， ， ，则 ， ，设 ，则 ， ， ， ， ， ，则 ， ，即 ，解得 ；②当 在 轴左侧时，求解过程同 （2）①；③当 在 轴左侧， 在 轴右侧时，且 不垂直于 轴时，同理可求 ，当 在 轴左侧， 在 轴右侧时，且 垂直于 轴时，由正方形、二次 函数的性质可得， ． 【详解】（1）①解：当 ， ， ∴ 不在二次函数图象上， 将 代入 ，解得 ， 故答为：1； ②解：由①知，二次函数解析式为 ， 设菱形的边长为 ，则 ， ， 由菱形的性质得， ， ， ∴ 轴， ∴ ， ∵ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ， 解得 （舍去）， （舍去）， ， ∴菱形的边长为 ； ③解：如图2，连接 、 交点为 ，过 作 轴于 ，过 作 于 ， 由正方形的性质可知， 为 、 的中点， ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ， 由题意知， ， ， ，则 ， ， 设 ，则 ， ， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ， ∵点B、D 在y 轴的同侧，且点B 在点D 的左侧， ∴ ， ∴ ， ∴ 是定值，值为1； （2）解：由题意知，分①当 在 轴右侧时，②当 在 轴左侧时，③当 在 轴左 侧， 在 轴右侧时，三种情况求解； ①当 在 轴右侧时， ∵ ， 同理（1）③， ， ， 由题意知， ， ， ，则 ， ， 设 ，则 ， ， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， 化简得 ， ∵ ∴ ； ②当 在 轴左侧时， 同理可求 ； ③当 在 轴左侧， 在 轴右侧时，且 不垂直于 轴时， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 同理可求 ， 当 在 轴左侧， 在 轴右侧时，且 垂直于 轴时， 由正方形、二次函数的性质可得， ； 综上所述， 或 ． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，正 方形、菱形的性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活 运用． 4．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 和点 ，且与直线 交于 两点（点 在点 的右侧），点 为直线上的一动点，设点 的横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)过点 作 轴的垂线，与拋物线交于点 ．若 ，求 面积的最大值． (3)抛物线与 轴交于点 ，点 为平面直角坐标系上一点，若以 为顶点的四 边形是菱形，请求出所有满足条件的点 的坐标． 【答】(1) ；(2) ；(3) 点为 或 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 或 或 或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意，联立抛物线与直线，求得点 的横坐标，表示出 的长，根据二次 函数的性质求得 的最大值，根据 即可求解； （3）根据题意，分别求得 ，①当 为对角线时， ，②当 为 边时，分 ， ，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 和点 ， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线解析式为： ； （2）解：∵抛物线 与直线 交于 两点，（点 在点 的右 侧） 联立 ， 解得： 或 ， ∴ ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵点 为直线上的一动点，设点 的横坐标为． 则 ， ， ∴ ，当 时， 取得最大值 为， ∵ ， ∴当 取得最大值时， 最大， ∴ ， ∴ 面积的最大值 ； （3）∵抛物线与 轴交于点 ， ∴ ，当 时， ，即 ， ∵ ， ∴ , ， ， ①当 为对角线时， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ， 解得： ， ∴ ， ∵ 的中点重合， ∴ ， 解得： ， ∴ ， ②当 为边时， 当四边形 为菱形， ∴ ， 解得： 或 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ 或 ， ∴ 或 ， 由 的中点重合， ∴ 或 ， 解得： 或 ， ∴ 或 ， 当 时； 如图所示，即四边形 是菱形， 点 的坐标即为四边形 为菱形时， 的坐标， ∴ 点为 或 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 综上所述， 点为 或 或 或 或 ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，面积问题，菱形的性质与判定，勾股定理，熟练掌 握二次函数的性质，细心的计算是解题的关键． 5（2022·湖南湘潭）已知抛物线 ． (1)如图①，若抛物线图象与 轴交于点 ，与 轴交点 ．连接 ． ①求该抛物线所表示的二次函数表达式； ②若点 是抛物线上一动点（与点 不重合），过点 作 轴于点 ，与线段 交 于点 ．是否存在点 使得点 是线段 的三等分点？若存在，请求出点 的坐标；若 不存在，请说明理由． (2)如图②，直线 与 轴交于点 ，同时与抛物线 交于点 ， 以线段 为边作菱形 ，使点 落在 轴的正半轴上，若该抛物线与线段 没有交 点，求 的取值范围． 【答】(1)① ，②存在，点P 坐标为(2，-3)或（ ，- ），理由见解析 (2)b< 或b> 【分析】（1）①直接用待定系数法求解；②先求出直线B 的解析式，设点M(m，m-3) 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 点P（m，m2-2m-3）若点 是线段 的三等分点，则 或 ，代入求解 即可； （2）先用待定系数法求出的值，再利用勾股定理求出D 的长为5，因为四边形DFE 是菱 形，由此得出点E 的坐标．再根据该抛物线与线段 没有交点，分两种情况（E 在抛物 线内和E 在抛物线右侧）进行讨论，求出b 的取值范围． (1) ①解：把 ， 代入 ，得 ， 解得： ， ∴ ②解：存在，理由如下， 设直线B 的解析式为y=kx+b，把 ， 代入，得 ， 解得 ， ∴直线B 的解析式为y=x-3， 设点M(m，m-3)、点P（m，m2-2m-3） 若点 是线段 的三等分点， 则 或 ， 即 或 ， 解得：m=2 或m= 或m=3， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 经检验，m=3 是原方程的增根，故舍去， m=2 ∴ 或m= ∴点P 坐标为(2，-3)或（ ，- ） (2)解：把点D（-3，0）代入直线 ，解得=4， ∴直线 ， 当x=0 时，y=4，即点（0，4） D= ∴ =5， ∵四边形DFE 是菱形， E=EF=DF=D=5 ∴ ， ∴点E（5，4） ∵点 在抛物线 上， ∴（-3）2-3b+=0， =3b-9 ∴ ， ∴ ， ∵该抛物线与线段 没有交点， 分情况讨论 当E 在抛物线内时 52+5b+3b-9<4 解得：b< 当E 在抛物线右侧时， 3b-9>4 解得：b> 综上所述，b< 或b> 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【点睛】此题考查了二次函数和一次函数以及图形的综合，解题的关键是数形结合和分情 况讨论． 6．（2021·湖南中考真题）如图，在直角坐标系中，二次函数 的图象与x 轴 相交于点 和点 ，与y 轴交于点． （1）求 的值； （2）点 为抛物线上的动点，过P 作x 轴的垂线交直线 于点Q． ①当 时，求当P 点到直线 的距离最大时m 的值； ②是否存在m，使得以点 为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由； 若存在，请求出m 的值． 【答】（1）b= ，= ；（2）① ；②不存在，理由见解析 【分析】 （1）将（-1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+，可求出答； （2）①设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），再利用二次函数的性质即可求解； ②分情况讨论，利用菱形的性质即可得出结论． 【详解】 解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+与x 轴交于点（-1，0），B（3，0）， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ， 解得： ， b= ∴ ，= ； （2）①由（1）得，抛物线的函数表达式为：y=x2 ， 设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m）， 0<m<3 ∵ ， PQ=m-( m ∴ 2-2m-3)=-m2+3m+3=- + ， -1<0 ∵ ， ∴当 时，PQ 有最大值，最大值为 ； ②∵抛物线的函数表达式为：y=x2-2x-3， ∴（0，-3）， B==3 ∴ ， 由题意，点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m）， PQ∥ ∵ ， 当为菱形的边，则PQ==3， 当点Q 在点P 上方时， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm PQ= ∴ ，即 ， ∴ ， 解得 或 ， 当 时，点P 与点重合，菱形不存在， 当 时，点P 与点B 重合，此时B= ，菱形也不存在； 当点Q 在点P 下方时， 若点Q 在第三象限，如图， ∠Q=45° ∵ ， 根据菱形的性质∠Q=∠PQ=45°，则点P 与点重合， 此时=1 =3，菱形不存在， 若点Q 在第一象限，如图， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 同理，菱形不存在， 综上，不存在以点、、P、Q 为顶点的四边形是菱形． 【点睛】 本题是二次函数综合题，考查的是二次函数的性质，菱形的判定和性质等知识，其中，熟 练掌握方程的思想方法和分类讨论的思想方法是解题的关键． 7（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形 为正方形，点 ， 在 轴上，抛物线 经过点 ， 两点， 且与直线 交于另一点 ． （1）求抛物线的解析式； （2） 为抛物线对称轴上一点， 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点 ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， 为顶点的四边形是以 为边的菱形．若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请 说明理由； （3） 为 轴上一点，过点 作抛物线对称轴的垂线，垂足为 ，连接 ， ．探 究 是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点 的坐标；若不存 在，请说明理由． 【答】（1） ；（2）存在以点 ， ， ， 为顶点的四边形是以 为边的菱形，点 的坐标为