题型9 二次函数综合题 类型12 二次函数与圆的问题（专题训练）（教师版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 类型十二 二次函数与圆的问题（专题训练） 1．（2023·浙江温州·统考中考真题）如图1， 为半圆 的直径， 为 延长线上一点， 切半圆于点 ， ，交 延长线于点 ，交半圆于点 ，已知 ， ．如图 ，连接 ， 为线段 上一点，过点 作 的平行线分别交 ， 于点 ， ，过点 作 于点 ．设 ， ． (1)求 的长和 关于 的函数表达式． (2)当 ，且长度分别等于 ， ， 的三条线段组成的三角形与 相似时， 求 的值． (3)延长 交半圆 于点 ，当 时，求 的长． 【答】(1) ， (2) 或 或 (3) 【分析】（1）如图1，连接 ，根据切线的性质得出 ，证明 ，得出 ，即可得出 ；证明四边形 是平行四边形，得出 ，代入 数据可得 ； （2）根据 三边之比为 ，可分为三种情况．当 时，当 时，当 时，分别列出比例式，进而即可求解． （3）连接 ， ，过点 作 于点 ，根据 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 得出 ，由 ，可得 ，代入（1）中解析式，即 可求解． 【详解】（1）解：如图1，连接 ． ∵ 切半圆 于点 ， ∴ ． ∵ ， ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∴ ． 如图2， ， ∴ ． ∵ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴四边形 是平行四边形， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． （2）∵ ， ， 三边之比为 （如图2）， ∴可分为三种情况． ）当 时， ， ， 解得 ， ∴ ． ）当 时， ， ， 解得 ， ∴ ． ）当 时， ， ， 解得 ， ∴ ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （3）如图3，连接 ， ，过点 作 于点 ， 则 ， ， ∴ ． ∵ ， ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ，即 的长为 ． 【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，函数解析式， 分类讨论，作出辅助线是解题的关键． 2．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线 与 轴交于 两点， 与 轴交于点 ．抛物线的对称轴 与经过点 的直线 交于点 ，与 轴交于点 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (1)求直线 及抛物线的表达式； (2)在抛物线上是否存在点 ，使得 是以 为直角边的直角三角形?若存在，求出 所有点 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)以点 为圆心，画半径为2 的圆，点 为 上一个动点，请求出 的最小值． 【答】(1)直线 的解析式为 ；抛物线解析式为 ；(2)存在，点M 的 坐标为 或 或 ；(3) 【分析】（1）根据对称轴 ， ，得到点及B 的坐标，再利用待定系数法求解析 式即可； （2）先求出点D 的坐标，再分两种情况：①当 时，求出直线 的解析式为 ，解方程组 ，即可得到点M 的坐标；②当 时，求出 直线 的解析式为 ，解方程组 ，即可得到点M 的坐标； （3）在 上取点 ，使 ，连接 ，证得 ，又 ，得到 ，推出 ，进而得到当点、P、F 三点共线时， 的值最小， 即为线段 的长，利用勾股定理求出 即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴 ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ， 将 代入直线 ，得 ， 解得 ， ∴直线 的解析式为 ； 将 代入 ，得 ，解得 ， ∴抛物线的解析式为 ； （2）存在点 ， ∵直线 的解析式为 ，抛物线对称轴 与 轴交于点 ． ∴当 时， ， ∴ ， ①当 时， 设直线 的解析式为 ，将点坐标代入， 得 ， 解得 ， ∴直线 的解析式为 ， 解方程组 ， 得 或 ， ∴点M 的坐标为 ； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ②当 时， 设直线 的解析式为 ，将 代入， 得 ， 解得 ， ∴直线 的解析式为 ， 解方程组 ， 解得 或 ， ∴点M 的坐标为 或 综上，点M 的坐标为 或 或 ； （3）如图，在 上取点 ，使 ，连接 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ，、 ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴当点、P、F 三点共线时， 的值最小，即为线段 的长， ∵ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ， ∴ 的最小值为 ． 【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角 三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各 知识点是解题的关键． 3．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，二次函数 的图像与 轴分别交于 点 （点在点 的左侧），直线是对称轴．点 在函数图像上，其横坐标大于4，连接 ，过点 作 ，垂足为 ，以点 为圆心，作半径为的圆， 与 相 切，切点为 ． (1)求点 的坐标； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (2)若以 的切线长 为边长的正方形的面积与 的面积相等，且 不经过点 ，求 长的取值范围． 【答】(1) ；(2) 或 或 【分析】（1）令 求得点 的横坐标即可解答； （2）由题意可得抛物线的对称轴为 ，设 ，则 ；如 图连接 ，则 ，进而可得切线长 为边长的正方形的面积为 ；过 点P 作 轴，垂足为，可得 ；由题意可得 ，解得 ；然后再分当点M 在点的上方和下方两种情况解答即 可． 【详解】（1）解：令 ，则有： ，解得： 或 ， ∴ ． （2）解：∵抛物线过 ∴抛物线的对称轴为 ， 设 ， ∵ ， ∴ , 如图：连接 ，则 ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴切线 为边长的正方形的面积为 ， 过点P 作 轴，垂足为，则： ， ∴ ∵ ， ∴ ， 假设 过点 ,则有以下两种情况： ①如图1：当点M 在点的上方，即 ∴ ，解得： 或 ， ∵ 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ； ②如图2：当点M 在点的上方，即 ∴ ，解得： ， ∵ ∴ ； 综上， 或 ． ∴当 不经过点 时， 或 或 ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、切线的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨 论思想是解答本题的关键． 4．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，抛物线 与x 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (1)求抛物线解析式及 ， 两点坐标； (2)以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，求点 坐标； (3)该抛物线对称轴上是否存在点 ，使得 ，若存在，求出点 的坐标；若不存 在，请说明理由． 【答】(1)抛物线解析式为 ， ， ；(2) 或 或 ；(3) 【分析】（1）将点 代入抛物线解析式，待定系数法求解析式，进而分别令 ， 即可求得 两点的坐标； （2）分三种情况讨论，当 ， 为对角线时，根据中点坐标即可求解； （3）根据题意，作出图形，作 交于点 ， 为 的中点，连接 ，则 在 上，根据等弧所对的圆周角相等，得出 在 上，进而勾股定理，根 据 建立方程，求得点 的坐标，进而得出 的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线 与x 轴交于 ， ∴ 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 解得： ， ∴抛物线解析式为 ， 当 时， ， ∴ ， 当 时， 解得： ， ∴ （2）∵ ， ， ， 设 ， ∵以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形 当 为对角线时， 解得： ， ∴ ； 当 为对角线时， 解得： ∴ 当 为对角线时， 解得： 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ 综上所述，以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形， 或 或 （3）解：如图所示，作 交于点 ， 为 的中点，连接 ， ∵ ∴ 是等腰直角三角形， ∴ 在 上， ∵ ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ 在 上， 设 ，则 解得： （舍去） ∴点 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 设直线 的解析式为 ∴ 解得： ∴直线 的解析式 ∵ ， ， ∴抛物线对称轴为直线 ， 当 时， ， ∴ ． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，圆 周角角定理，勾股定理，求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 5．（2023·四川乐山·统考中考真题）已知 是抛物 （b 为常 数）上的两点，当 时，总有 (1)求b 的值； (2)将抛物线 平移后得到抛物线 ． 探究下列问题： ①若抛物线 与抛物线 有一个交点，求m 的取值范围； ②设抛物线 与x 轴交于，B 两点，与y 轴交于点，抛物线 的顶点为点E， 外接 圆的圆心为点F，如果对抛物线 上的任意一点P，在抛物线 上总存在一点Q，使得点 P、Q 的纵坐标相等．求 长的取值范围． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【答】(1)0；(2)① ② 【分析】（1）根据 ，且 时，总有 ，变形后 即可得到结论； （2）按照临界情形，画出图象分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题可知： 时，总有 ， ． 则 ， ∴ ， ∴ 总成立，且 ， ； （2）①注意到抛物线 最大值和开口大小不变，m 只影响图象左右平移下面考虑满足题 意的两种临界情形： （）当抛物线 过点 时，如图所示， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 此时， ，解得 或 （舍）． （）当抛物线 过点 时，如图所示， 此时， ， 解得 或 （舍）， 综上， ， ②同①考虑满足题意的两种临界情形： （）当抛物线 过点 时，如图所示， 此时， ，解得 或 （舍）． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （）当抛物线 过点 时，如图所示， 此时， ，解得 或0（舍）． 综上 ， 如图，由圆的性质可知，点E、F 在线段 的垂直平分线上． 令 ，解得 ， ， ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 设 ， ， ， ， ， ，即 ， ． ，即 ， ， 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、垂径定理、解一元二次方程等知识，数形结 合和分类讨论是解题的关键． 6．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，抛物线 与x 轴交于点 、 ，且经过点 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (1)求抛物线的表达式； (2)在x 轴上方的抛物线上任取一点，射线 、 分别与抛物线的对称轴交于点P、Q， 点Q 关于x 轴的对称点为 ，求 的面积； (3)点M 是y 轴上一动点，当 最大时，求M 的坐标． 【答】(1) ；(2) ；(3) 【分析】（1）设抛物线的解析式为 ，代入点的坐标，确定值即可． （2）设 ，直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ，表示出P，Q， 的坐标，进而计算即可． （3）当M 是y 轴与经过，，M 三点的圆的切点是最大计算即可 【详解】（1）∵抛物线 与x 轴交于点 、 ， ∴设抛物线的解析式为 ， ∵经过点 ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ． （2）如图，当点在对称轴的右侧时， ∵ ， ∴对称轴为直线 ， 设 ，直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ， ∴ 解得 ， ∴直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， 当 时， ， ， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ ． 如图，当点在对称轴的左侧时， ∵ ， ∴对称轴为直线 ， 设 ， ， ， ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ． 综上所述， ． （3）当 的外接圆与 相切，切点为M 时， 最大， 设外接圆的圆心为E，Q 是异于点M 的一点，连接 ， ， 交圆于点T， 则 ，根据三角形外角性质，得 ，故 ， ∴ 最大， 设 与圆交于点，连接 ， ，根据切线性质， ∴ ， 作直径 ，连接 ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 设 ，则 ， ∴ ， ∴ ， 过点E 作 ，垂足为F，过点作 ，垂足为G，交 于点P， 根据垂径定理，得 ，四边形 是矩形， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 根据 ，得 ， ∴ ， ∴ ， 在直角三角形 中， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得 ， （舍去）， ∴ ， 故 ， ∴当 最大时， ． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，垂径定理， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 勾股定理，矩形的判定和性质，三角形的外接圆，相似三角形的判定和性质，用方程的思 想解决问题是解本题的关键． 7．（2023·湖北恩施·统考中考真题）在平面直角坐标系 中， 为坐标原点，已知抛物 线 与 轴交于点 ，抛物线的对称轴与 轴交于点 ． (1)如图，若 ，抛物线的对称轴为 ．求抛物线的解析式，并直接写出 时 的取值范围； (2)在（1）的条件下，若 为 轴上的点， 为 轴上方抛物线上的点，当 为等边三 角形时，求点 ， 的坐标； (3)若抛物线 经过点 ， ， ，且 ，求正整数 m，的值． 【答】(1) ； (2) ； 或 , ； (3) ， 或 ， 【分析】（1）根据 ，抛物线的对称轴为 ，待定系数法求解析式即可求解； 当 时，求得 的范围，进而结合函数图象即可求解； （2）①连接 ， ， 交对称轴于点D，由 四点共圆，得 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ，证明 ，求出点D 的坐标，确定直线 的解析式，进 而求得 点的坐标，设 ， ，勾股定理即可求解；②由①可得 ， 则当 与 重合时也存在等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解． （3）根据抛物线 经过点 ， ， ，可得抛物线对称 为直线 ， 则 ，则 ，进而令 ，求得 的 范围，进而根据函数图象可知 或 ，进而分别讨论求得 的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ，抛物线的对称轴为 ． ∴ 解得： ∴抛物线解析式为 ， 当 时，即 解得： ， ∴当 时， （2）解：①如图所示，连接 ， ， 交对称轴于点D， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ ， ∴ ， 则 ∴ ， ， ∵ 为等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ 四点共圆， ∴ ， ∵ ， ∴ ． ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ，则 ， 设直线 的解析式为 则 解得： 所以直线 的解析式为 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 联立 解得： 或 ∴ ， ∵ ，设 ， ∵ ∴ 解得： ∴ ； ②由①可得 ，当 与点 重合时， 为等边三角形 则 与 对称，此时 ， ， 综上所述； ； 或 ， ； （3）解：∵抛物线 经过点 ， ， ， ∴抛物线对称为直线 ， 则 ，则 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴抛物线解析式为 ∴顶点坐标为 当 时， 解得： 或 ∵ ，且 为正整数，过点 ，则当 时 ， ∴ 或 ， 当 时，将点 代入解析式 ， 解得： ∵ 则 ， 当 时，将点 代入解析式 解得： ∵ 则 ， 综上所述， ， 或 ， ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据特三角函数求角度，圆内接四边形对角互补， 二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 8 如图1，在平面直角坐标系 中，抛物线 与x 轴分别相交于、B 两点， 与y 轴相交于点，下表给出了这条抛物线上部分点 的坐标值： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （1）求出这条抛物线的解析式及顶点M 的坐标； （2） 是抛物线对称轴上长为1 的一条动线段（点P 在点Q 上方），求 的最小值； （3）如图2，点D 是第四象限内抛物线上一动点，过点D 作 轴，垂足为F， 的外接圆与 相交于点E．试问：线段 的长是否为定值？如果是，请求出这 个定值；如果不是，请说明理由． 【答】（1） ； ；（2） ；（3）是，1． 【分析】 （1）依据表格数据，设出抛物线的顶点式，利用待定系数法求解即可； （2）利用平移和找对称点的方式，将 的长转化为 ，再利用 两点之间线段最短确定 的最小值等于E 的长，加1 后即能确定 的最 小值； （3）设出圆心和D 点的坐标，接着表示出E 点的坐标，利用圆心到B 点的距离等于圆心 到D 点的距离，求出q 和e 的关系，得到E 点的纵坐标，进而确定EF 的长为定值． 【详解】 解：（