题型9 二次函数综合题 类型11 二次函数与正方形有关的问题（专题训练）（教师版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 类型十一 二次函数与正方形有关的问题（专题训练） 1．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，抛物线 的图象经过 ， ， 三点，且一次函数 的图象经过点 ． (1)求抛物线和一次函数的解析式． (2)点 ， 为平面内两点，若以 、 、 、 为顶点的四边形是正方形，且点 在点 的左侧．这样的 ， 两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点 的坐标： 如果不存在，请说明理由． (3)将抛物线 的图象向右平移个单位长度得到抛物线 ，此抛物线的图象 与 轴交于 ， 两点（ 点在 点左侧）．点 是抛物线 上的一个动点且在直线 下方．已知点 的横坐标为 ．过点 作 于点 ．求 为何值时， 有 最大值，最大值是多少？ 【答】(1) ， ；(2)满足条件的E、F 两点存在， ， ， ；(3)当 时， 的最大值为 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）①当 为正方形的边长时，分别过 点 点作 ， ，使 ， ，连接 、 ，证明 ，得出 ， ，则 同理可得， ；②以 为正方形的对 角线时，过 的中点 作 ，使 与 互相平分且相等，则四边形 为正方形，过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ，证明 ，得出 ，在 中， ，解得 或4，进而即可求解； （3）得出 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形，则 ， 点 在抛物线 上，且横坐标为 得出 ，进而可得 ，则 ， 根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：把 ， ， 代入 得 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 解得 ∴ 把 代入 得 ∴ （2）满足条件的 、 两点存在， ， ， 解：①当 为正方形的边长时，分别过 点 点作 ， ，使 ， ，连接 、 过点 作 轴于 ∵ ， 又 ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ， ∴ 同理可得， ②以 为正方形的对角线时，过 的中点 作 ，使 与 互相平分且相 等，则四边形 为正方形， 过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ∵ ， 又 ∴ ∴ ， ∵ ∴ 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ 在 中， ∴ 解得 或4 当 时， ，此时点 在点 右侧故舍去； 当 时， 综上所述： ， ， （3）∵ 向右平移8 个单位长度得到抛物线 当 ，即 解得： ∴ ， ∵ 过 ， ， 三点 ∴ 在直线 下方的抛物线 上任取一点 ，作 轴交 于点 ，过点 作 轴 于点 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ ， ∴ ∴ 是等腰直角三角形 ∵ ， ∴ 又 ∴ 是等腰直角三角形 ∴ ∵点 在抛物线 上，且横坐标为 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ∴ ∴当 时， 的最大值为 ． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，正方形的性质，二次函数的性质，分类讨论，熟 练掌握二次函数的性质是解题的关键． 2．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 的顶点为 ．直线过点 ，且平行于 轴，与抛物线 交 于 两点（ 在 的右侧）．将抛物线 沿直线翻折得到抛物线 ，抛物线 交 轴于 点 ，顶点为 ． (1)当 时，求点 的坐标； (2)连接 ，若 为直角三角形，求此时 所对应的函数表达式； (3)在（2）的条件下，若 的面积为 两点分别在边 上运动，且 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ，以 为一边作正方形 ，连接 ，写出 长度的最小值，并简要说明 理由． 【答】(1) ；(2) 或 ；(3) ，见解析 【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，进而得出顶点坐标 ，根据对称性，即 可求解． （2）由题意得， 的顶点 与 的顶点 关于直线 对称， ，则抛 物线 ．进而得出可得 ，①当 时，如图1，过 作 轴，垂足为 ．求得 ，代入解析式得 出 ，求得 ．②当 时，如图2，过 作 ，交 的延长线于点 ．同理可得 ，得出 ，代入解析式得出 代入 ，得 ；③当 时，此情况不存在． （3）由（2）知，当 时， ，此时 的面积为1，不合题意舍去．当 时， ，此时 的面积为3，符合题意．由题意可求得 ．取 的中点 ，在 中可求得 ．在 中可求得 ．易知当 三点共线时， 取最小值，最小值为 ． 【详解】（1）∵ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴抛物线 的顶点坐标 ． ∵ ，点 和点 关于直线 对称． ∴ ． （2）由题意得， 的顶点 与 的顶点 关于直线 对称， ∴ ，抛物线 ． ∴当 时，可得 ． ①当 时，如图1，过 作 轴，垂足为 ． ∵ ， ∴ ． ∵ ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵直线 轴， ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． 又∵点 在 图像上， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ． 解得 或 ． ∵当 时，可得 ，此时 重合，舍去．当 时，符合题意． 将 代入 ， 得 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ②当 时，如图2，过 作 ，交 的延长线于点 ． 同理可得 ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． 又∵点 在 图像上， ∴ ．解得 或 ． ∵ ， ∴ ．此时 符合题意． 将 代入 ，得 ． ③当 时，此情况不存在． 综上， 所对应的函数表达式为 或 ． （3）如图3，由（2）知，当 时， ， 此时 则 ， ，则 的面积为1，不合题意舍去． 当 时， ， 则 ， ∴ ，此时 的面积为3，符合题意 ∴ ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 依题意，四边形 是正方形， ∴ ． 取 的中点 ，在 中可求得 ． 在 中可求得 ． ∴当 三点共线时， 取最小值，最小值为 ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，特殊三角形问题，正方形的性质，勾股定理，面积 问题，分类讨论是解题的关键． 3．（2023·江苏扬州·统考中考真题）在平面直角坐标系 中，已知点在y 轴正半轴上． (1)如果四个点 中恰有三个点在二次函数 （为常数，且 ）的图象上． ① ________； ②如图1，已知菱形 的顶点B、、D 在该二次函数的图象上，且 轴，求菱形 的边长； ③如图2，已知正方形 的顶点B、D 在该二次函数的图象上，点B、D 在y 轴的同侧， 且点B 在点D 的左侧，设点B、D 的横坐标分别为m、，试探究 是否为定值．如果是， 求出这个值；如果不是，请说明理由． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (2)已知正方形 的顶点B、D 在二次函数 （为常数，且 ）的图象上，点B 在点D 的左侧，设点B、D 的横坐标分别为m、，直接写出m、满足的等量关系式． 【答】(1) 1 ①；② ；③是，值为1；(2) 或 【分析】（1）①当 ， ，可知 不在二次函数图象上，将 代入 ， 求解 值即可；②由①知，二次函数解析式为 ，设菱形的边长为 ，则 ， ，由菱形的性质得， ， ，则 轴， ，根据 ，即 ，计算求出满足要求的解即可；③如图2，连接 、 交点为 ，过 作 轴于 ，过 作 于 ，由正方形的性质可 知， 为 、 的中点， ， ，则 ，证明 ，则 ， ，由题意知， ， ， ，则 ， ，设 ，则 ， ， ， ， ， ，则 ， ， 即 ，计算求解即可1； （2）由题意知，分①当 在 轴右侧时，②当 在 轴左侧时，③当 在 轴左侧， 在 轴右侧时，三种情况求解；①当 在 轴右侧时， ，同理（1）③， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， ，由题意知， ， ， ，则 ， ，设 ，则 ， ， ， ， ， ，则 ， ，即 ，解得 ；②当 在 轴左侧时，求解过程同 （2）①；③当 在 轴左侧， 在 轴右侧时，且 不垂直于 轴时，同理可求 ，当 在 轴左侧， 在 轴右侧时，且 垂直于 轴时，由正方形、二次 函数的性质可得， ． 【详解】（1）①解：当 ， ， ∴ 不在二次函数图象上， 将 代入 ，解得 ， 故答为：1； ②解：由①知，二次函数解析式为 ， 设菱形的边长为 ，则 ， ， 由菱形的性质得， ， ， ∴ 轴， ∴ ， ∵ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ， 解得 （舍去）， （舍去）， ， ∴菱形的边长为 ； ③解：如图2，连接 、 交点为 ，过 作 轴于 ，过 作 于 ， 由正方形的性质可知， 为 、 的中点， ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ， 由题意知， ， ， ，则 ， ， 设 ，则 ， ， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ， ∵点B、D 在y 轴的同侧，且点B 在点D 的左侧， ∴ ， ∴ ， ∴ 是定值，值为1； （2）解：由题意知，分①当 在 轴右侧时，②当 在 轴左侧时，③当 在 轴左 侧， 在 轴右侧时，三种情况求解； ①当 在 轴右侧时， ∵ ， 同理（1）③， ， ， 由题意知， ， ， ，则 ， ， 设 ，则 ， ， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， 化简得 ， ∵ ∴ ； ②当 在 轴左侧时， 同理可求 ； ③当 在 轴左侧， 在 轴右侧时，且 不垂直于 轴时， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 同理可求 ， 当 在 轴左侧， 在 轴右侧时，且 垂直于 轴时， 由正方形、二次函数的性质可得， ； 综上所述， 或 ． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，正 方形、菱形的性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活 运用． 4．（2023·江西·统考中考真题）综合与实践 问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在 中， ，D 为 上一点， ，动点P 以每秒1 个单位的速度从点出发，在三角形边上沿 匀速运动， 到达点时停止，以 为边作正方形 设点P 的运动时间为 ，正方形 的而积为 S，探究S 与t 的关系 (1)初步感知：如图1，当点P 由点运动到点B 时， ①当 时， _______． ②S 关于t 的函数解析式为_______． (2)当点P 由点B 运动到点时，经探究发现S 是关于t 的二次函数，并绘制成如图2 所示的 图象请根据图象信息，求S 关于t 的函数解析式及线段 的长． (3)延伸探究：若存在3 个时刻 （ ）对应的正方形 的面积均相等． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ① _______； ②当 时，求正方形 的面积． 【答】(1) 3 ①；② ；(2) ， ；(3) 4 ①；② 【分析】（1）①先求出 ，再利用勾股定理求出 ，最后根据正方形面积公式 求解即可；②仿照（1）①先求出 ，进而求出 ，则 ； （2）先由函数图象可得当点P 运动到B 点时， ，由此求出当 时， ， 可设S 关于t 的函数解析式为 ，利用待定系数法求出 ，进而 求出当 时，求得t 的值即可得答； （3）①根据题意可得可知函数 可以看作是由函数 向右平移四个单 位得到的，设 是函数 上的两点，则 ， 是函数 上的两点，由此可得 ， 则 ，根据题意可以看作 ，则 ；②由 （3）①可得 ，再由 ，得到 ，继而得答． 【详解】（1）解：∵动点P 以每秒1 个单位的速度从点出发，在三角形边上沿 匀速运动， ∴当 时，点P 在 上，且 ， ∵ ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ， ∴ ， 故答为：3； ②∵动点P 以每秒1 个单位的速度从点出发，在 匀速运动， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ； （2）解：由图2 可知当点P 运动到B 点时， ， ∴ ， 解得 ， ∴当 时， ， 由图2 可知，对应的二次函数的顶点坐标为 ， ∴可设S 关于t 的函数解析式为 ， 把 代入 中得： ， 解得 ， ∴S 关于t 的函数解析式为 ， 在 中，当 时，解得 或 ， ∴ ； （3）解：①∵点P 在 上运动时， ，点P 在 上运动时 ， ∴可知函数 可以看作是由函数 向右平移四个单位得到的， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 设 是函数 上的两点，则 ， 是函数 上的两点， ∴ ， ∴ ， ∵存在3 个时刻 （ ）对应的正方形 的面积均相等． ∴可以看作 ， ∴ ， 故答为：4； ②由（3）①可得 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理 等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 5．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图1，抛物线 （ ， ，为常数） 经过点 ，顶点坐标为 ，点 为抛物线上的动点， 轴于，且 ． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，直线 交 于点 ，求 的最大值； (3)如图2，四边形 为正方形， 交 轴于点 ， 交 的延长线于 ，且 ，求点 的横坐标． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【答】(1) ；(2) ；(3) 【分析】（1）根据顶点式坐标公式和待定系数法分别求出 ， ，值，即可求出抛物线 解析式． （2）利用抛物线的解析式可知道 点坐标，从而求出直线 的解析式，从而设 ，根据直线 的解析式 可推出 ，从而可以用 表达 长度，在观察图形可知 ，将其 和 长度代入，即可将面积比转化成二 次函数的形式，根据 横坐标取值范围以及此二次函数的图像性质即可求出 的最大 值． （3）根据正方形的性质和 可求出 ，再利用 相似和 可推出 ，设 ，即可求出直线 的解析式，用 表达 点的横纵 坐标，最后代入抛物线解析式，求出 的值即可求出 点横坐标． 【详解】（1）解： 抛物线 （ ， ，为常数）经过点 ，顶点坐 标为 ， ， ， ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， 抛物线的解析式为： ． 故答为： ． （2）解：过点 作 轴于点 ，如图所示， 抛物线的解析式为： ，且与 轴交于 ， 两点， ， ， 设直线 的解析式为： ，则 ， ， 直线 的解析式为： ． 在直线 上， ， 在直线 上， 的解析式为： ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， ． ， ． ， ． ， ， 当 时， 有最大值，且最大值为： ． 故答为： ． （3）解:∵＋ ， ， ， ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， ， 设 ， ， ， 抛物线的解析式为： ，且与 轴交于 ， 两点， ． 设直线 的解析式为： ，则 ， ， 直线 的解析式为： ． ， 在直线 上， ， ， ， ， （十字相乘法）， 由 ，得： ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， ，即 ， 解得： ， ， ， ， 点横坐标为： ． 故答为： ． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用题，属于压轴题，解题的关键在于能否将面积 问题和二次函数有效结合． 6（2022·浙江湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xy 中，四边形B 是边长为3 的正方 形，其中顶点，分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上，抛物线 经过，两 点，与x 轴交于另一个点D． (1)①求点，B，的坐标； ②求b，的值． (2)若点P 是边B 上的一个动点，连结P，过点P 作PM⊥P，交y 轴于点M（如图2 所 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 示）．当点P 在B 上运动时，点M 也随之运动．设BP＝m，M＝，试用含m 的代数式 表示，并求出的最大值． 【答】(1) (3 ① ，0)，B(3，3)，(0，3)；② (2) ； 【分析】（1）①根据坐标与图形的性质即可求解；②利用待定系数法求解即可； （2）证明Rt△BP∽Rt△PM，根据相似三角形的性质得到关于m 的二次函数，利用二次 函数的性质即可求解． (1) 解：①∵正方形B 的边长为3， ∴点，B，的坐标分别为(3，0)，B(3，3)，(0，3)； ②把点(3，0)，(0，3)的坐标分别代入y=−x2+bx+， 得 ，解得 ； (2) 解：由题意，得∠PB=90°-∠MP=∠PM，∠B=∠PM=90°， Rt△BP∽Rt△PM ∴ ， ∴ ，即 ． 整理，得 ，即 ． ∴当 时，的值最大，最大值是 ． 【点睛】本题综合考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，待 定系数法求函数解析式，根据正方形的性质求出点，B，的坐标是解题的关键． 7．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，二次函数 的图像与 轴分别交于 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 点 （点在点 的