专题33 最值模型之胡不归模型解读与提分精练（全国通用）（原卷版）

专题33 最值模型之胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟 考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析， 方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 .................................................................................................................................................1 模型1 胡不归模型（最值模型）...................................................................................................................1 ...............................................................................................................................................13 模型1 胡不归模型（最值模型） 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”， 虽然从他此刻位置到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙 子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？” 看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的 一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题 V1 V2 V1 驿道 砂石地 A B C 一动点P 在直线M 外的运动速度为V1，在直线M 上运动的速度为V2，且V1<V2，、B 为定点，点在 直线M 上，确定点的位置使 的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 V2 V1 M N C B A CH=kAC sinα= CH AC =k H D α A B C N M M N C B A α D H 1） ，记 ，即求B+k 的最小值 2）构造射线D 使得s∠D=k， ，=k,将问题转化为求B+最小值 3）过B 点作B⊥D 交M 于点，交D 于点，此时B+取到最小值，即B+k 最小． 【解题关键】在求形如“P+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“P+kPB”型问 题转化为“P+P”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1 的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 例1（24-25 九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在 中， ， ，P 为 边上的一个 动点（不与、重合），连接 ，则 的最小值是（ ） ． B． ． D．8 例2．（23-24 九年级上·湖南娄底·阶段练习）如图，在矩形 中， ，E，P 分别是边 和对角 线 上的动点，连接 ，记 ，若 ，则 的最小值为（ ） ．3 B．4 ．5 D． 例3．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形 中，对角线 相交于点 ， ， ， 是对角线 上的动点，则 的最小值为 ． 例4．（2023·云南昆明·统考二模）如图，正方形 边长为4，点E 是 边上一点，且 ． P 是对角线 上一动点，则 的最小值为（ ） ．4 B． ． D． 例5．（23-24 九年级上·江苏南通·阶段练习）如图， 是 的直径， 切 于点 交 的延长线 于点 ．设点 是弦 上任意一点（不含端点），若 ， ，则 的最小值为（ ） ． B． ． D． 例7．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线 与x 轴，y 轴分别交于，B 两点，点D 是线 段B 上一动点，点是直线 上的一动点，动点 ，连接 ．当 取最小值时， 的最小值是 ． 例8．（2024·山东济南·一模）实践与探究 【问题情境】（1）①如图1， ， ， ， 分别为边 上的点， ，且 ，则 ______；②如图2，将①中的 绕点 顺时针旋转 ，则 所在直线较小夹角的度数为______． 【探究实践】（2）如图3，矩形 ， ， ， 为边 上的动点， 为边 上的动点， ，连接 ，作 于 点，连接 ．当 的长度最小时，求 的长． 【拓展应用】（3）如图4， ， ， ， ， 为 中点，连接 ， 分别为线段 上的动点，且 ，请直接写出 的最小值． 例9．（24-25 九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数 的图象交x 轴于、B 两 点，交y 轴于点，连接 ．(1)直接写出点B、的坐标，B________；________． (2)点P 是y 轴右侧抛物线上的一点，连接 、 ．若 的面积 ，求点P 的坐标． (3)设E 为线段 上任意一点（不含端点），连接 ，一动点M 从点出发，沿线段 以每秒1 个单位速 度运动到E 点，再沿线段 以每秒2 个单位的速度运动到后停止，求点M 运动时间的最小值． 1．（2024·山东淄博·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是 ，点的坐标是 ，点 是x 轴上的动点，点B 在x 轴上移动时，始终保持 是等边三角形（点P 不在第二象限），连 接 ，求得 的最小值为（ ） ． B．4 ． D．2 2．（2024·四川德阳·二模）如图，已知抛物线 与x 轴交于 两点，与y 轴交于 点 ．若P 为y 轴上一个动点，连接 ，则 的最小值为（ ） ． B．2 ．2 D．4 3（2024·山东校考一模）如图，AB AC  ，  0 15 A ， ，（1，0），D 为射线上一点，一动点P 从出发，运 动路径为A D C   ，在D 上的速度为4 个单位/秒，在D 上的速度为1 个单位/秒，则整个运动时间最少时， D 的坐标为 ． 4．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图， 是等边三角形 的外接圆，其半径为4．过点B 作 于点E，点P 为线段 上一动点（点P 不与B，E 重合），则 的最小值为 ． 5．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在 中， ， ， ，按下 列步骤作图：①在 和 上分别截取 、 ，使 ．②分别以点D 和点E 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点M．③作射线 交 于点F．若点P 是线段 上的一 个动点，连接 ，则 的最小值是 ． 6．（2022·湖北武汉·九年级期末）如图，▱ 中 ， ， ， 为边 上一点，则 的最小值为______． 7．（2023·江苏宿迁·统考二模）已知 中， ，则 的最大值为 ． 8．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在Rt B 中，∠B＝90°，∠B＝30°，B＝8，D、F 分别是边B、B 上 的动点，连接D，过点作E⊥D 交B 于点E，垂足为G，连接GF，则GF+ FB 的最小值为 ． 9．（2023 上·四川成都·九年级校考期中）如图，在矩形 中， ， ，点E，F 分别在边 上，且 ，沿直线 翻折，点的对应点 恰好落在对角线 上，点B 的对应点为 ，点 M 为线段 上一动点，则 的最小值为 ． 10．（2023·浙江宁波·九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 分别交x 轴、 y 轴于、B 两点，若为x 轴上的一动点，则2B+的最小值为__________． 11．（2023·四川成都·九年级校考期中）如图，在矩形 中， ，E 是 上一个动点，连接 ， 过点作 的垂线l，过点D 作 交l 于点F，过点D 作 于点G， ，点是 中点，连接 ，则 的最小值为 ． 12．（2023 春·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，菱形 的边长为5，对角线 的长为 ， 为 上一动点，则 的最小值等于______． 13．（2023·广东珠海·校考三模） 如图，在 中， ， ， ，点 是斜边 上的动点，则 的最小值为 14．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，在 中， ， ， ，点D 是 边上 的动点，连接 ，则 的最小值为 ． 15．（2024·天津红桥·二模）如图，在每个小正方形的边长为1 的格中，等腰直角三角形 的顶点在格 点上， ，以 为直径的半圆与边 的交点D 在格线上． （1） 的值等于 ；（2）若P 为边 上的动点，当． 取得最小值时，请用无刻度的 直尺，在如图所示的格中，画出点P，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明） ． 16．（23-24 八年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，直线 分别交 轴， 轴于点 ，点 ，点 在 轴正半轴上，且 ，点 在直线 上，点 是 轴上的一个动点，设点P 横坐标为t． (1)求直线 的函数解析式；(2)连接 ， ，若 面积等于 面积的 ，求t 的值； (3)求 的最小值． 17．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ． (1)求抛物线的解析式；(2)当 时，求 的函数值的取值范围；(3)将拋物线的顶点向下平 移 个单位长度得到点 ，点 为抛物线的对称轴上一动点，求 的最小值． 18．（2023·山东济南·统考二模）如图①，在矩形B 中，=4，=3，分别以、所在的直线为x 轴、y 轴，建立 如图所示的坐标系，连接B，反比例函数y= (x＞0)的图象经过线段B 的中点D，并与矩形的两边交于点E 和点F，直线l：y=kx+b 经过点E 和点F． （1）写出中点D 的坐标 ，并求出反比例函数的解析式；（2）连接E、F，求△EF 的面积； （3）如图②，将线段B 绕点顺时针旋转一定角度，使得点B 的对应点恰好落在x 轴的正半轴上，连接B， 作M⊥B，点为线段M 上的一个动点，求+ 的最小值． 19．（2023·吉林长春·统考一模）（1）【问题原型】如图①，在 ， ， ，求点 到 的距离． （2）【问题延伸】如图②，在 ， ， ．若点 在边 上，点 在线段 上， 连结 ，过点 作 于 ，则 的最小值为______． （3）【问题拓展】如图（3），在矩形 中， ．点 在边 上，点 在边 上，点 在 线段 上，连结 ．若 ，则 的最小值为______．