专题14.4 因式分解【九大题型】（解析版）

专题144 因式分解【九大题型】 【人版】 【题型1 因式分解的意义】.....................................................................................................................................1 【题型2 利用因式分解求系数的值】.....................................................................................................................3 【题型3 利用公式法进行因式分解求代数式的值】..............................................................................................4 【题型4 利用平方差公式进行因式分解确定整除问题】......................................................................................6 【题型5 因式分解】................................................................................................................................................. 7 【题型6 利用添项进行因式分解】.........................................................................................................................9 【题型7 利用拆项进行因式分解】.......................................................................................................................10 【题型8 利用因式分解确定三角形的形状】.......................................................................................................12 【题型9 因式分解在阅读理解中的运用】...........................................................................................................13 【知识点1 因式分解】 定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式 分解，也叫做把这个多项式分解因式。 以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法： ①提公因式法：p+pb+p=p(+b+)； ②公式法：2-b2=(+b)(-b)；2+2b+b2=(+b)2；2-2b+b2=(-b)2。 ③分组分解法：+d+b+d=(+d)+b(+d)=(+b)(+d) ④十字相乘法：2+(p+q)+pq=(+p)(+q) 因式分解的一般步骤： （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。 （2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2 项式可以 尝试运用公式法分解因式；3 项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4 项式及4 项式以上的可以尝试分组分解法分解因式 （3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。 【题型1 因式分解的意义】 【例1】（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） ．x2﹣x 1 ﹣＝x（x 1 ﹣）﹣1 B．x2 1 ﹣＝（x 1 ﹣）2 ．x2﹣x 6 ﹣＝（x 3 ﹣）（x+2） D．x（x 1 ﹣）＝x2﹣x 【分析】根据因式分解的定义判断即可． 1 【解答】解：选项不是因式分解，故不符合题意； B 选项计算错误，故不符合题意； 选项是因式分解，故符合题意； D 选项不是因式分解，故不符合题意； 故选：． 【变式1-1】（2022 秋•儋州校级期末）下列各式不能因式分解的是（ ） ．2﹣b2 B．2 2+1 ﹣ ．b﹣ D．2+b2 【分析】利用平方差公式，完全平方公式，以及提取公因式方法判断即可． 【解答】解：、原式＝（+b）（﹣b），不符合题意； B、原式＝（﹣1）2，不符合题意； 、原式＝（b 1 ﹣），不符合题意； D、原式不能分解，符合题意， 故选：D． 【变式1-2】（2022 春•青川县期末）下列各式因式分解正确的是（ ） ．1 2 2++1 2 =¿2+2+1＝（+1）2 B．2+b 6 ﹣b2＝（+b）﹣6b2 ．2﹣b2﹣﹣b＝（+b）（﹣b）﹣﹣b D．﹣22+3＝（1 2+ ﹣ 2）＝（1﹣）2 【分析】直接利用因式分解定理判断即可． 【解答】解：选项的系数不正确； B、选项不是因式乘积形式，不正确； D，﹣22+3＝（1 2+ ﹣ 2）＝（1﹣）2是正确的． 故选：D． 【变式1-3 】（2022 秋• 德惠市期末）给出六个多项式：①x2+y2 ；②﹣x2+y2 ； ③x2+2xy+y2；④x4 1 ﹣；⑤x（x+1）﹣2（x+1）；⑥m2﹣m+1 4 2．其中，能够分解因式 的是 ②③④⑤⑥ （填上序号）． 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答． 【解答】解：①x2+y2不能因式分解，故①错误； ②﹣x2+y2利用平方差公式，故②正确； ③x2+2xy+y2完全平方公式，故③正确； ④x4 1 ﹣平方差公式，故④正确； ⑤x（x+1）﹣2（x+1）提公因式，故⑤正确； 1 ⑥m2﹣m+1 4 2完全平方公式，故⑥正确； 故答为：②③④⑤⑥． 【题型2 利用因式分解求系数的值】 【例2】（2022•攀枝花模拟）若关于x 的多项式x2﹣px 6 ﹣含有因式x 2 ﹣，则实数p 的值为 （ ） ．﹣5 B．5 ．﹣1 D．1 【分析】设x2﹣px 6 ﹣＝（x 2 ﹣）（x﹣），右边利用多项式乘多项式法则计算，合并后 根据多项式相等的条件即可求出p 的值． 【解答】解：根据题意设x2﹣px 6 ﹣＝（x 2 ﹣）（x﹣）＝x2﹣（+2）x+2， ∴﹣p＝﹣﹣2，2＝﹣6， 解得：＝﹣3，p＝﹣1． 故选：． 【变式2-1】（2022 春•聊城期末）如果100x2+kxy+49y2 能分解为（10x 7 ﹣y）2，那么k＝ ﹣ 140 ． 【分析】根据完全平方公式展开，再根据对应项系数相等即可求解． 【解答】解：∵（10x 7 ﹣y）2， ＝100x2 140 ﹣ xy+49y2， ＝100x2+kxy+49y2， ∴k＝﹣140． 故应填﹣140． 【变式2-2】（2022 春•南山区校级期中如果x3+x2+bx+4 有两个因式（x+1）和（x+2），则 +b 的值为 13 ． 【分析】根据题意，可得x3+x2+bx+4＝（x+1）（x+2）（x+k）（k 为任意实数），再根 据多项式乘多项式的乘法法则，求出与b，进一步求得+b． 【解答】解：由题意知：x3+x2+bx+4＝（x+1）（x+2）（x+k）（k 为任意实数）． ∴x3+x2+bx+4＝（x2+3x+2）（x+k）． ∴x3+x2+bx+4＝x3+（3+k）x2+（3k+2）x+2k． 3+ ∴ k＝，3k+2＝b，2k＝4． ∴k＝2． ∴＝5，b＝8． + ∴b＝5+8＝13． 故答为：13． 【变式2-3】（2022 秋•青羊区校级期中）已知x2+x 6 ﹣是多项式2x4+x3﹣x2+bx++b 1 ﹣的因 1 式，则＝ 16 ；b＝ 3 ． 【分析】设另一个因式是：2x2+mx+，计算（x2+x 6 ﹣）（2x2+mx+），展开以后与多项 式2x4+x3﹣x2+bx++b 1 ﹣对应项的系数相同，即可列方程组求、b 的值． 【解答】解：设另一个因式是：2x2+mx+，则（x2+x 6 ﹣）（2x2+mx+） ＝2x4+（m+2）x3+（m+ 12 ﹣ ）x2+（﹣6m）x 6 ﹣ 则：{ m+2=1 m+n−12=−a n−6m=b a+b−1=−6n 解得：{ m=−1 n=−3 a=16 b=3 故答是：16，3． 【题型3 利用公式法进行因式分解求代数式的值】 【例3】（2022 春•渠县校级期中）若＝1999x+2000，b＝1999x+2001，＝1999x+2002，则 多项式2+b2+2﹣b﹣﹣b 的值为（ ） ．0 B．1 ．2 D．3 【分析】将多项式2+b2+2﹣b﹣b﹣转化为几个完全平方式的和，再将＝1999x+2000，b＝ 1999x+2001，＝1999x+2002 分别代入求值． 【解答】解：∵2（2+b2+2﹣b﹣b﹣） ＝22+2b2+22 2 ﹣b 2 ﹣b 2 ﹣ ＝（﹣b）2+（﹣）2+（b﹣）2 ＝（1999x+2000 1999 ﹣ x 2001 ﹣ ）2+ （1999x+2000 1999 ﹣ x 2002 ﹣ ）2+ （1999x+2001﹣ 1999x 2002 ﹣ ）2 ＝1+4+1 ＝6． ∴2+b2+2﹣b﹣b﹣＝6× 1 2=¿3． 故选：D． 【变式3-1】（2022 春•新吴区校级期中）（1）已知x+y＝4，xy＝2，求2x3y+4x2y2+2xy3的 值； （2）已知x¿1 1 2，化简并计算：（1 2 ﹣x）2（2x+1）2﹣（3+2x）2（3 2 ﹣x）2． 【分析】（1）原式提取公因式后，利用完全平方公式分解，将x+y 与xy 的值代入计算 1 即可求出值； （2）原式利用积的乘方变形，利用平方差公式分解得到结果，将x 的值代入计算即可 求出值． 【解答】解：（1）∵x+y＝4，xy＝2， ∴原式＝2xy（x+y）2＝64； （2）原式＝（1 4 ﹣x2）2﹣（9 4 ﹣x2）2 ＝﹣8（10 8 ﹣x2） ＝﹣80+64x2， 当x＝11 2时，原式＝﹣80+144＝64． 【变式3-2】（2022 春•洪泽区期中）一个长、宽分别为m、的长方形的周长为16，面积为 6，则m2+m2的值为 48 ． 【分析】根据长方形周长与面积公式求出m 与m+的值，原式提取公因式后，代入计算 即可求出值． 【解答】解：∵一个长、宽分别为m、的长方形的周长为16，面积为6， 2 ∴（m+）＝16，m＝6， 即m+＝8，m＝6， 则原式＝m（m+）＝48， 故答为：48 【变式3-3】（2022•安顺模拟）已知m2＝4+，2＝4m+，m≠，则m2+2m+2的值为（ ） ．16 B．12 ．10 D．无法确定 【分析】将m2＝4+与2＝4m+相减可得（m﹣）（m++4）＝0，根据m≠，可得m++4＝ 0，即m+＝﹣4，再将m2+2m+2变形为（m+）2，整体代入即可求解． 【解答】解：将m2＝4+与2＝4m+相减得m2﹣2＝4 4 ﹣m， （m+）（m﹣）＝﹣4（m﹣）， （m﹣）（m++4）＝0， ∵m≠， ∴m++4＝0，即m+＝﹣4， ∴m2+2m+2＝（m+）2＝（﹣4）2＝16． 故选：． 【题型4 利用平方差公式进行因式分解确定整除问题】 【例4】（2022 秋•新泰市月考）两个连续的奇数的平方差总可以被k 整除，则k 等于（ ） ．6 B．8 ．6 的倍数 D．8 的倍数 1 【分析】首先设两个奇数分别是2 1 ﹣和2+1，把两个数的平方差进行分解因式，即可求 得． 【解答】解：设两个奇数分别是2 1 ﹣和2+1． 则（2+1）2﹣（2 1 ﹣）2 ＝4×2＝8 则两个连续的奇数的平方差总可以被8 整除． 故选：B． 【变式4-1】（2022 秋•河北区期末）对于任意整数，多项式（+7）2﹣2都能被（ ） ．2 整除 B．整除 ．7 整除 D．+7 整除 【分析】逆用平方差公式进行运算后即可判断． 【解答】解：（+7）2﹣2， ＝（+7+）（+7﹣）， ＝7（2+7）． ∵为整数， 7 ∴（2+7）是7 的倍数，能被7 整除． 故选：． 【变式4-2】（2022 秋•荔城区校级期中）对于任意的正整数，能整除代数式（3+1）（3﹣ 1）﹣（3﹣）（3+）的整数是（ ） ．3 B．6 ．10 D．9 【分析】根据平方差公式，可化简整式，根据提取公因式，可得因数． 【解答】解：（3+1）（3 1 ﹣）﹣（3﹣）（3+）＝92 1 ﹣﹣（9﹣2） ＝102 10 ﹣ ＝10（2 1 ﹣）， 10 能整除（3+1）（3 1 ﹣）﹣（3﹣）（3+）， 故选：． 【变式4-3】（2022 春•招远市期末）已知424 1 ﹣可以被60 70 ﹣ 之间的某两个整数整除，则 这两个数是（ ） ．61，63 B．63，65 ．65，67 D．63，64 【分析】先利用平方差公式分解因式，再找出范围内的解即可． 【解答】解：424 1 ﹣＝248 1 ﹣＝（224+1）（224 1 ﹣）， ＝（224+1）（212+1）（212 1 ﹣）， ＝（224+1）（212+1）（26+1）（26 1 ﹣）； 2 ∵ 6＝64， 1 2 ∴ 6 1 ﹣＝63，26+1＝65， ∴这两个数是65、63． 故选：B． 【题型5 因式分解】 【例5】（2022 秋•梅里斯区期末）因式分解 （1）﹣3x3y2+6x2y3 3 ﹣xy4； （2）3x（﹣b）﹣6y（b﹣）． 【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式； （2）先利用相反数把（b﹣）转化为（﹣b），再提取公因式． 【解答】解：（1）原式＝﹣3xy2（x2 2 ﹣xy+y2） ＝﹣3xy2（x﹣y）2； （2）原式＝3x（﹣b）+6y（﹣b） ＝3（﹣b）（x+2y）． 【变式5-1】（2022 春•聊城期末）把下列各式分解因式： （1）9xy2 15 ﹣ x3y； （2）﹣9x2y+3xy2 6 ﹣xyz； （3）3m2 6 ﹣m+3m； （4）﹣242b 8 ﹣b2+28b3． 【分析】（1）提取公因式3xy 进行因式分解． （2）提取公因式﹣3xy 进行因式分解． （3）提取公因式3m 进行因式分解． （4）提取公因式﹣4b 进行因式分解． 【解答】解：（1）9xy2 15 ﹣ x3y＝3xy（3y 5 ﹣x2）． （2）﹣9x2y+3xy2 6 ﹣xyz＝﹣3xy（3x﹣y+2z）． （3）3m2 6 ﹣m+3m＝3m（m 2+1 ﹣ ）． （4）﹣242b 8 ﹣b2+28b3＝﹣4b（6+2b 7 ﹣b2）． 【变式5-2】（2022•碑林区校级开学）把下列各式分解因式： （1）4xyz 4 ﹣x2yx 12 ﹣ xy2z； （2）20m+1b2m+4 12 ﹣ 2m+1bm+2； （3）﹣20（﹣b）2 25 ﹣ （b﹣）3； （4）x（x 2 ﹣）﹣x+2． 【分析】（1）利用提公因式分解即可解答； （2）利用提公因式分解即可解答； 1 （3）利用提公因式分解即可解答； （4）利用提公因式分解即可解答． 【解答】解：（1）4xyz 4 ﹣x2yx 12 ﹣ xy2z＝4xyz（1﹣x 3 ﹣y）； （2）20m+1b2m+4 12 ﹣ 2m+1bm+2＝4m+1bm+2（5bm+2 3 ﹣ m）； （3）﹣20（﹣b）2 25 ﹣ （b﹣）3 ＝﹣20（b﹣）2 25 ﹣ （b﹣）3 ＝﹣5（b﹣）2[4+5（b﹣）] ＝﹣5（b﹣）2（4+5b 5 ﹣）； （4）x（x 2 ﹣）﹣x+2 ＝x（x 2 ﹣）﹣（x 2 ﹣） ＝（x 2 ﹣）（x 1 ﹣）． 【变式5-3】（2022•寻乌县模拟）把下列各式分解因式： （1）6（﹣b）2+3（﹣b）； （2）x（x 1 ﹣）﹣3x+4； （3）x2（y2 1 ﹣）+2x（y2 1 ﹣）+（y2 1 ﹣）； （4）a 5−1 2 a 3b 2+ 1 16 ab 4． 【分析】（1）利用提公因式法分解； （2）先利用乘法法则化简整式，再利用完全平方公式因式分解； （3）先提取公因式，再利用完全平方公式和平方差公式分解； （4）先提取公因式，再利用完全平方公式和平方差公式分解． 【解答】解：（1）6（﹣b）2+3（﹣b） ＝3（﹣b）[2（﹣b）+1] ＝3（﹣b）（2 2 ﹣b+1）； （2）x（x 1 ﹣）﹣3x+4 ＝x2﹣x 3 ﹣x+4 ＝x2 4 ﹣x+4 ＝（x 2 ﹣）2； （3）x2（y2 1 ﹣）+2x（y2 1 ﹣）+（y2 1 ﹣） ＝（y2 1 ﹣）（x2+2x+1） ＝（y+1）（y 1 ﹣）（x+1）2； （4）a 5−1 2 a 3b 2+ 1 16 ab 4． 1 ＝（4−1 2 2b2+1 16 b4） ＝（2−1 4 b2）2 ＝（+1 2 b）2（−1 2 b）2． 【题型6 利用添项进行因式分解】 【例6】（2022 春•市中区期末）因式分解：x4+4y4 【分析】运用添项法因式分解． 【解答】解：x4+4y4＝x4+4x2y2+4y2 4 ﹣x2y2， ＝（x2+2y2）2 4 ﹣x2y2， ＝（x2+2y2+2xy）（x2+2y2 2 ﹣xy） 【变式6-1】（2022 秋•鱼台县期末）因式分解：x2 2 ﹣x﹣b2 2 ﹣b． 【分析】运用添项法因式分解． 【解答】解：x2 2 ﹣x﹣b2 2 ﹣b， ＝x2 2 ﹣x+2﹣2﹣b2 2 ﹣b， ＝（x﹣）2﹣（+b）2， ＝（x ++ ﹣ b）（x﹣﹣﹣b）， ＝（x+b）（x 2 ﹣﹣b）． 【变式6-2】（2022 春•永定区期中）把多项式x4+324 因式分解． 【分析】原式变形后，利用平方差公式分解即可． 【解答】解：x4+324＝x4+36x2+324 36 ﹣ x2 ＝（x2+18）2 36 ﹣ x2 ＝（x2+18）2﹣（6x）2 ＝（x2+18+6x）（x2+18 6 ﹣x）． 【变式6-3】（2022•柳南区二模）分解多项式5 1 ﹣的结果是 ． 【分析】补上比第一项的指数小1 的项逐次分解因式即可． 【解答】解：原式＝5﹣4+4﹣3+3﹣2+2 + 1 ﹣﹣ ＝4（﹣1）+3（﹣1）+2（﹣1）+（﹣1）+（﹣1） ＝（﹣1）（4+3+2++1）． 故答为：（﹣1）（4+3+2++1）． 【题型7 利用拆项进行因式分解】 【例7】（2022 秋