第02讲 整式与因式分解（讲义）（解析版）

第02 讲 整式与因式分解 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 代数式的相关概念 题型01 列代数式 题型02 代数式的实际意义 考点二 整式的相关概念 题型01 判断单项式的系数、次数 题型02 与单项式有关的规律题 题型03 判断多项式的项、项数、次数 考点三 整式的运算 题型01 判断同类项 题型02 合并同类项 题型03 添（去）括号 题型04 整式的加减 题型05 整式加减的应用 题型06 幂的基本运算 题型07 幂的逆向运算 题型08 幂的混合运算 题型09 整式的乘法 题型10 整式的除法 题型11 利用乘法公式计算 题型12 通过对完全平方公式变形求值 题型13 乘法公式的几何验证 考点四 整式化简求值（高频考点） 题型01 整式化简-直接代入法 题型02 整式化简-间接代入法 题型03 整式化简-整体代入法 题型04 整式化简-赋值法 题型05 整式化简-隐含条件求值 题型06 整式化简-利用“无关”求值 题型07 整式化简-配方法 题型08 整式化简-平方法 题型09 整式化简-特殊值法 题型10 整式化简-设参法 题型11 整式化简-利用根与系数关系求值 题型12 整式化简-消元法求值 题型13 整式化简-倒数法求值 考点五 因式分解 题型01 判断因式分解 题型02 选用合适的方法因式分解 题型03 与因式分解有关的探究题 考点要求 新课标要求 命题预测 代数式的相关概念  借助现实情境了解代数式，进一步理解用字 母表示数的意义；  能分析具体问题中的简单数量关系，并用代 数式表示； 中考数学中，整式这个考点 一般会考学生对整式化简计算的 应用，偶尔考察整式的基本概 念，对整式的复习，重点是要理 解并掌握整式的加减法则、乘除 法则及幂的运算，难度一般不大 因式分解作为整式乘法的逆 运算，在数学中考中占比不大， 但是依然属于必考题，常以简单 选择、填空题的形式出现，而且 一般只考察因式分解的前两步， 拓展延伸部分基本不考，所以学 生在复习这部分内容时，除了要 扎实掌握好基础，更需要甄别好 主次，合理安排复习方向 整式的相关概念  理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号 的法则，能进行简单的整式加法和减法运 算；能进行简单的整式乘法运算(其中多项式 相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相 乘) 整式的运算  能推导乘法公式；了解公式的几何背景，并 能利用公式进行简单计算 整式化简求值  灵活运用多种方法化简代数式 因式分解  能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超 过二次)进行因式分解(指数是正整数) 考点一 代数式的相关概念 代数式的概念：用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式 代数式的值的概念：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做 代数式的值 题型01 列代数式 【例1】（2023 吉林长春中考真题）2023 长春马拉松于5 月21 日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了 75 公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x 公里的速度跑了10 分钟，此时他离健康跑终点的路程 为 公里．（用含x 的代数式表示） 【答】（75-10x） 【提示】根据题意列出代数式即可． 【详解】根据题意可得， 他离健康跑终点的路程为(7.5−10 x )． 故答为：(7.5−10 x )． 【点睛】此题考查了列代数式，解题的关键是读懂题意． 【变式1-1】（2023 江苏中考真题）若圆柱的底面半径和高均为，则它的体积是 （用含的代数式表示）． 【答】π a 3 1 代数式中不含有=、<、>、≠等 2 单独的一个数或一个字母也是代数式 3 列代数式时注意事项： ①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辨析词义．如“除”与“除以”， “平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言， 且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分用括号括起来． ④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写， 数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位 名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换． 【详解】根据圆柱的体积¿圆柱的底面积×圆柱的高，可得 V =π a 2a=π a 3． 故答为：π a 3． 【点睛】本题主要考查代数式和整式的乘法运算，牢记整式乘法的运算性质是解题的关键． 题型02 代数式的实际意义 【例2】（2023 河北中考真题）代数式-7x的意义可以是（ ） ． -7 与x 的和 B．-7 与x 的差 ．-7 与x 的积 D．-7 与x 的商 【答】 【提示】根据代数式赋予实际意义即可解答． 【详解】解：−7 x的意义可以是-7 与x 的积． 故选． 【点睛】本题主要考查了代数式的意义，掌握代数式和差乘除的意义是解答本题的关键． 【变式2-1】（2020·内蒙古通辽·中考真题）下列说法不正确的是( ) ．2是2 个数的和 B．2是2 和数的积 ．2是单项式 D．2是偶数 【答】D 【提示】根据2 的意义，分别判断各项即可 【详解】解：、2a=+，是2 个数的和，故选项正确； B、2a=2×，是2 和数的积，故选项正确； 、2a是单项式，故选项正确； D、当为无理数时，2a是无理数，不是偶数，故选项错误； 故选D 【点睛】本题考查了代数式的意义，注意不一定为整数是解题的关键 考点二 整式的相关概念 判断依据 次数 系数与项数 整式 单项 式 ①数字与字母或字母与字母相乘组成 的代数式 ②单独的一个数或字母 所有字母指数的和 系数：单项式中不为零 的数字因数 多项 式 几个单项式的和 次数最高项的次数 项数：多项式中所含单 项式的个数 题型01 判断单项式的系数、次数 【例1】（2023·江西·统考中考真题）单项式−5ab的系数为 ． 【答】−5 【提示】根据单项式系数的定义：单项式中的数字因数，得出结果即可． 【详解】解：单项式−5ab的系数是−5． 故答是：−5． 【点睛】本题考查单项式的系数，解题的关键是掌握单项式系数的定义． 【变式1-1】（2023·广东·模拟预测）单项式−π x y 3 2 的系数是 ． 【答】−π 2 【提示】根据单项式系数的定义进行解答即可． 【详解】解：单项式中的数字因数即系数， ∴单项式−πx y 3 2 的系数是−π 2 ． 故答为：−π 2 ． 【点睛】本题考查了单项式系数的定义，即单项式中的数字因数叫做单项式的系数． 【变式1-2】（2023·广东·统考模拟预测）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（ ） ．−2 x y 2 B．3 x 2 ．2 x y 3 D．2 x 3 1 由定义可知，单项式中只含有乘法运算 2 一个单项式中只含有字母因数时，它的系数是1 或者-1，不能认为是0 一个单项式是一个常数时， 它的系数就是它本身确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号例如：-（3x）的系数是-3 3 圆周率π是常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母 4 单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关如单项式－2 5 x 2 y 3 z 4的次数是2＋3＋4=9 而 不是14 5 由定义可知，多项式中可以含有:乘法、加法、减法运算 6 多项式有统一的次数，但是没有统一的系数，多项式中的每一项有自己的系数 7 多项式通常以它的次数和项数来命名，称几次（最高次项的次数）几项（多项式项数）式 【答】D 【详解】试题提示：此题规定了单项式的系数和次数，但没规定单项式中含几个字母． ．−2 x y 2系数是﹣2，错误； B．3 x 2系数是3，错误； ．2 x y 3次数是4，错误； D．2 x 3符合系数是2，次数是3，正确； 故选D． 题型02 与单项式有关的规律题 【例2】（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式： ，第n个单项 式是（ ） ．❑ √n B． ． D． 【答】 【提示】根据单项式的规律可得，系数为❑ √n，字母为a，指数为1 开始的自然数，据此即可求解． 【详解】解：按一定规律排列的单项式： ，第n个单项式是 ， 故选：． 【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键． 【变式2-1】（2022·云南·中考真题）按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5， ，第个单项 … … 式是（ ） ．(2-1)x n B．(2+1)x n ．(-1)x n D．(+1)x n 【答】 【提示】系数的绝对值均为奇数，可用(2-1)表示；字母和字母的指数可用x 表示． 【详解】解：依题意，得第项为（2-1）x， 故选：． 【点睛】本题考查的是单项式，根据题意找出规律是解答此题的关键． 【变式2-2】（2022·云南昆明·统考三模）按一定规律排列的代数式：2，−4 x 2 ，8 x 4 ，−16 x 6 ，32 x 8 ， ，第个单项式是（ … … ） ．(−1) n 2n x 2n−2 B．(−1) n−1 2 n x 2n−2 ．(−1) n−1 2 n x 2n D．(−1) n−1 2n x 2n−2 【答】B 【提示】不难看出奇数项为正，偶数项为负，分母为x2-2，分子的指数为由1 开始的自然数，据此即可求解． 【详解】解：∵2= 2 1 x 2−2， ∴按一定规律排列的代数式为：2 1 x 2−2，−2 2 x 2×2−2， 2 3 x 2×3−2，−2 4 x 2×4−2， 2 5 x 2×5−2， ， … ∴第个单项式是(-1)-1 2 n x 2n−2， 故选：B． 【点睛】本题考查单项式的规律，根据所给单项式的系数与次数的特点，确定单项式的规律是解题的关键． 【变式2-3】（2022·云南昆明·昆明市一模）按一定规律排列的单项式：3b 2，5a 2b 2，7a 4b 2， ， 11a 8b 2， ，第 … 8 个单项式是（ ） ．17a 14b 2 B．17 a 8b 4 ．15a 7b 14 D．15 2a 14b 2 【答】 【提示】观察每个单项式的系数和所含字母的指数，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：由题意可知：单项式的系数是从3 起的奇数， 单项式中的指数偶数，b 的指数不变， 所以第8 个单项式是：17 a 14b 2． 故选：． 【点睛】本题考查的是数字的变化规律、单项式的概念，正确找出单项式的系数和次数的变化规律是解题 的关键． 【变式2-4】（2022·云南文山·统考二模）一组按规律排列的单项式：−4 x，7 x 2， ，13 x 4， −16 x 5， ，根据其中的规律，第 … 12 个单项式是（ ） ．−31 x 12 B．34 x 12 ．37 x 12 D．−40 x 11 【答】 【提示】根据符号的规律：为奇数时，单项式为负号，为偶数时，符号为正号；系数的绝对值的规律：第 个对应的系数的绝对值是3+1．指数的规律：第个对应的指数是解答即可． 【详解】解：根据提示的规律，得 第12 个单项式是(3×12+1)x12=37x12．故选：． 【点睛】本题考查了单项式的知识，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因 式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关 键． 题型03 判断多项式的项、项数、次数 【例3】（2023·广东茂名·一模）多项式a 3+2ab+a−3的次数和常数项分别是( ) ．6，3 B．6，−3 ．3，−3 D．3，3 【答】 【提示】根据多项式的相关概念即可求解，几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其 通过观察与归纳，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键． 中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． 【详解】解：多项式a 3+2ab+a−3的次数和常数项分别是3，−3 故选：． 【点睛】本题考查了多项式的相关概念，熟练掌握多项式的定义是解题的关键． 【变式3-1】（2023·江西赣州市模拟预测）下列说法正确的是（ ） ．2π mn的系数是2π B．−8 2ab 2的次数是5 次 ．x y 3+3 x 2 y−4的常数项为4 D．11x 2−6 x+5是三次三项式 【答】 【提示】根据单项式的系数、次数的定义以及多项式次数、项数、常数项的定义可解决此题． 【详解】解：、2π mn的系数是2π，故选项正确； B、−8 2ab 2的次数是3 次，故选项错误； 、x y 3+3 x 2 y−4的常数项为-4，故选项错误； D、11x 2−6 x+5是二次三项式，故选项错误； 故选． 【点睛】本题主要考查单项式的系数、次数的定义以及多项式次数、项数、常数项的定义，熟练掌握单项 式的系数、次数的定义以及多项式次数、项数、常数项的定义是解决本题的关键． 【变式3-2】（2023·广东茂名·校考一模）多项式ab−1 3 π a 2b+3最高次项的系数是 ，次数是 ． 【答】 ﹣1 3π 3 【提示】先找到此多项式的最高次项，再根据单项式的系数与次数的定义求解． 【详解】解：多项式 最高次项是﹣ π2b， 所以最高次项的系数是﹣ π，次数是3． 故答为：﹣ π，3． 【点睛】本题考查了同学们对多项式的有关定义的理解．多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项 式中的最高次数，就是这个多项式的次数． 考点三 整式的运算 整式的 加减 同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项 合并同类项 把同类项中的系数相加减，字母与字母的指数不变 添（去）括号法则 括号外是“+”，添(去) 括号不变号， 括号外是“-”，添(去) 括号都变号 整式的加减法则 几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项 1 所有常数项都是同类项 2“同类项口诀”：①两同两无关，识别同类项: ②一相加二不变，合并同类项 “两同”：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，这两点也是判断同类项的标准，缺一不可 “两无关”：一是与系数大小无关；二是与所含字母的顺序无关 “一相加”：系数相加作为结果的系数“二不变”：字母连同字母指数不变 3 合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项，而且合并同类项结果可能是单项式，也可能是多项式 4 去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形． 5 去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误 整式的乘除 运算步骤说明 补充说明及注意事项 单项式乘单 项式 ①将单项式系数相乘作为积的系数; ②相同字母的因式，利用同底数幂的乘法， 作为积的一个因式; ③单独出现的字母，连同它的指数，作为积 的一个因式 1）实质:乘法的交换律和同底数幂的乘法 法则的综合应用 2）单项式乘单项式所得结果仍是单项式 单项式乘多 项式 ①先用单项式和多项式的每一项分别相乘； ②再把所得的积相加 1）单项式乘多项式实质上是转化为单项 式乘以单项式 2）单项式乘多项式的结果是多项式，积 的项数与原多项式的项数相同 多项式乘多 项式 ①先用一个多项式的每一项与另一个多项式 的每一项相乘， ②再把所得的积相加． 运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到 不重不漏； ②多项式与多项式相乘，多项式的每一 项都应该带上它前面的正负号且结果仍是 多项式，在合并同类项之前，积的项数应 等于原多项式的项数之积． 单项式除单 项式 ①将单项式系数相除作为商的系数； ②相同字母的因式，利用同底数幂的除法， 作为商的一个因式； ③只在被除式里含有的字母连同指数不变 多项式除单 项式 ①先把这个多项式的每一项除以这个单项 式； ②再把所得的商相加 整式的混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的 1．幂的乘方法则的条件是“幂”的乘方，结论是“底数不变，指数相乘”．这里的“底数不变”是指 “幂”的底数“”不变．例如：(3)2=6，其中，“幂”的底数是“”，而不是“ 2”，指数相乘是指 “3×2”． 2．同底数幂的乘法和幂的乘方在应用时，不要发生混淆． 3．式子(+b)2不可以写成2 +b2，因为括号内的与b 是“加”的关系，不是“乘”的关系． 4．应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式都分别乘方；要特别注意系数及系数符号，对于 系数是负数的要多加注意 完全平方公式的几何背景 1 意义：运用几何图形直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平 方公式做出几何解释． 2 常见验证完全平方公式的几何图形 结论：（+b）2＝2+2b+b2．（用大正方形的面积等于边长为和边长为b 的两个正方形与两个长宽分别是，b 的长方形的面积和作为相等关系） 平方差公式的几何背景 1 意义：运用几何图形直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公 式做出几何解释． 2 常见验证平方差公式的几何图形 结论：(＋b)(－b)＝2－b2 题型01 判断同类项 【例1】（2022·湖南湘潭·中考真题）下列整式与ab 2为同类项的是（ ） ．a 2b B．−2ab 2 ．ab D． 【答】B 【提示】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，结合选 项求解． 【详解】解：由同类项的定义可知，的指数是1，b 的指数是2． 、的指数是2，b 的指数是1，与ab 2不是同类项,故选项不符合题意； B、的指数是1，b 的指数是2，与ab 2是同类项,故选项符合题意； 、的指数是1，b 的指数是1，与ab 2不是同类项,故选项不符合题意； D、的指数是1，b 的指数是2，的指数是1，与ab 2不是同类项,故选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了同类项，判断同类项只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数 是否相同． 【变式1-1】（2023·浙江绍兴·一模）下列每组中的两个代数式，属于同类项的是（ ）