专题14.4 因式分解【九大题型】（原卷版）

专题144 因式分解【九大题型】 【人版】 【题型1 因式分解的意义】.....................................................................................................................................1 【题型2 利用因式分解求系数的值】.....................................................................................................................2 【题型3 利用公式法进行因式分解求代数式的值】..............................................................................................2 【题型4 利用平方差公式进行因式分解确定整除问题】......................................................................................3 【题型5 因式分解】................................................................................................................................................. 3 【题型6 利用添项进行因式分解】.........................................................................................................................4 【题型7 利用拆项进行因式分解】.........................................................................................................................4 【题型8 利用因式分解确定三角形的形状】.........................................................................................................4 【题型9 因式分解在阅读理解中的运用】.............................................................................................................4 【知识点1 因式分解】 定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式 分解，也叫做把这个多项式分解因式。 以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法： ①提公因式法：p+pb+p=p(+b+)； ②公式法：2-b2=(+b)(-b)；2+2b+b2=(+b)2；2-2b+b2=(-b)2。 ③分组分解法：+d+b+d=(+d)+b(+d)=(+b)(+d) ④十字相乘法：2+(p+q)+pq=(+p)(+q) 因式分解的一般步骤： （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。 （2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2 项式可以 尝试运用公式法分解因式；3 项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4 项式及4 项式以上的可以尝试分组分解法分解因式 （3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。 【题型1 因式分解的意义】 【例1】（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） ．x2﹣x 1 ﹣＝x（x 1 ﹣）﹣1 B．x2 1 ﹣＝（x 1 ﹣）2 ．x2﹣x 6 ﹣＝（x 3 ﹣）（x+2） D．x（x 1 ﹣）＝x2﹣x 【变式1-1】（2022 秋•儋州校级期末）下列各式不能因式分解的是（ ） 1 ．2﹣b2 B．2 2+1 ﹣ ．b﹣ D．2+b2 【变式1-2】（2022 春•青川县期末）下列各式因式分解正确的是（ ） ．1 2 2++1 2 =¿2+2+1＝（+1）2 B．2+b 6 ﹣b2＝（+b）﹣6b2 ．2﹣b2﹣﹣b＝（+b）（﹣b）﹣﹣b D．﹣22+3＝（1 2+ ﹣ 2）＝（1﹣）2 【变式1-3 】（2022 秋• 德惠市期末）给出六个多项式：①x2+y2 ；②﹣x2+y2 ； ③x2+2xy+y2；④x4 1 ﹣；⑤x（x+1）﹣2（x+1）；⑥m2﹣m+1 4 2．其中，能够分解因式 的是 ②③④⑤⑥ （填上序号）． 【题型2 利用因式分解求系数的值】 【例2】（2022•攀枝花模拟）若关于x 的多项式x2﹣px 6 ﹣含有因式x 2 ﹣，则实数p 的值为 （ ） ．﹣5 B．5 ．﹣1 D．1 【变式2-1】（2022 春•聊城期末）如果100x2+kxy+49y2能分解为（10x 7 ﹣y）2，那么k＝ ． 【变式2-2】（2022 春•南山区校级期中如果x3+x2+bx+4 有两个因式（x+1）和（x+2），则 +b 的值为 ． 【变式2-3】（2022 秋•青羊区校级期中）已知x2+x 6 ﹣是多项式2x4+x3﹣x2+bx++b 1 ﹣的因 式，则＝ ；b＝ ． 【题型3 利用公式法进行因式分解求代数式的值】 【例3】（2022 春•渠县校级期中）若＝1999x+2000，b＝1999x+2001，＝1999x+2002，则 多项式2+b2+2﹣b﹣﹣b 的值为（ ） ．0 B．1 ．2 D．3 【变式3-1】（2022 春•新吴区校级期中）（1）已知x+y＝4，xy＝2，求2x3y+4x2y2+2xy3的 值； （2）已知x¿1 1 2，化简并计算：（1 2 ﹣x）2（2x+1）2﹣（3+2x）2（3 2 ﹣x）2． 【变式3-2】（2022 春•洪泽区期中）一个长、宽分别为m、的长方形的周长为16，面积为 6，则m2+m2的值为 ． 【变式3-3】（2022•安顺模拟）已知m2＝4+，2＝4m+，m≠，则m2+2m+2 的值为（ ） ．16 B．12 ．10 D．无法确定 1 【题型4 利用平方差公式进行因式分解确定整除问题】 【例4】（2022 秋•新泰市月考）两个连续的奇数的平方差总可以被k 整除，则k 等于（ ） ．6 B．8 ．6 的倍数 D．8 的倍数 【变式4-1】（2022 秋•河北区期末）对于任意整数，多项式（+7）2﹣2都能被（ ） ．2 整除 B．整除 ．7 整除 D．+7 整除 【变式4-2】（2022 秋•荔城区校级期中）对于任意的正整数，能整除代数式（3+1）（3﹣ 1）﹣（3﹣）（3+）的整数是（ ） ．3 B．6 ．10 D．9 【变式4-3】（2022 春•招远市期末）已知424 1 ﹣可以被60 70 ﹣ 之间的某两个整数整除，则 这两个数是（ ） ．61，63 B．63，65 ．65，67 D．63，64 【题型5 因式分解】 【例5】（2022 秋•梅里斯区期末）因式分解 （1）﹣3x3y2+6x2y3 3 ﹣xy4； （2）3x（﹣b）﹣6y（b﹣）． 【变式5-1】（2022 春•聊城期末）把下列各式分解因式： （1）9xy2 15 ﹣ x3y； （2）﹣9x2y+3xy2 6 ﹣xyz； （3）3m2 6 ﹣m+3m； （4）﹣242b 8 ﹣b2+28b3． 【变式5-2】（2022•碑林区校级开学）把下列各式分解因式： （1）4xyz 4 ﹣x2yx 12 ﹣ xy2z； （2）20m+1b2m+4 12 ﹣ 2m+1bm+2； （3）﹣20（﹣b）2 25 ﹣ （b﹣）3； （4）x（x 2 ﹣）﹣x+2． 【变式5-3】（2022•寻乌县模拟）把下列各式分解因式： （1）6（﹣b）2+3（﹣b）； （2）x（x 1 ﹣）﹣3x+4； （3）x2（y2 1 ﹣）+2x（y2 1 ﹣）+（y2 1 ﹣）； （4）a 5−1 2 a 3b 2+ 1 16 ab 4． 【题型6 利用添项进行因式分解】 【例6】（2022 秋•河北区期末）因式分解：x4+4y4 1 【变式6-1】（2022•寻乌县模拟）因式分解：x2 2 ﹣x﹣b2 2 ﹣b． 【变式6-2】（2022 春•永定区期中）把多项式x4+324 因式分解． 【变式6-3】（2022•柳南区二模）分解多项式5 1 ﹣的结果是 ． 【题型7 利用拆项进行因式分解】 【例7】（2022 秋•江油市期末）分解因式：m2+6m+8． 【变式7-1】（2022 秋•微山县月考）分解因式：2 6+8 ﹣ ． 【变式7-2】（2022•寻乌县模拟）把x2 4 ﹣x+3 因式分解． 【变式7-3】（2022 秋•微山县月考）分解因式：4+102b2+9b4． 【题型8 利用因式分解确定三角形的形状】 【例8】（2022 秋•鱼台县期末）已知：，b，为△B 的三边长，且22+2b2+22＝2b+2+2b，试 判断△B 的形状，并证明你的结论． 【变式8-1】（2022 春•市中区期末）△B 三边，b，满足22+b2+2＝2（b+），判断△B 的形状， 并说明理由． 【变式8-2】（2022 春•乐平市期末）△B 三边，b，满足2﹣b + ﹣b＝0，判断△B 的形状． 【变式8-3】（2022 秋•临沂期末）已知，b，为△B 的三边，且b2+2b＝2+2，试判断△B 的形 状并说明理由． 【题型9 因式分解在阅读理解中的运用】 【例9】（2022 春•市中区期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2 ＝（1+x）[1+x+x（x+1）] ＝（1+x）2（1+x） ＝（1+x）3 （1）上述分解因式的方法是 ，共用了 次． （2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2021，则结果是 ． （3）依照上述方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）（为正整数）． 【变式9-1】（2022 秋•徐闻县期末）阅读下列材料： 材料1、将一个形如x2+px+q 的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝m 且p＝m+，则 可以把x2+px+q 因式分解成（x+m）（x+） （1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2 4 ﹣x 12 ﹣ ＝（x 6 ﹣）（x+2） 材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1 解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝，则原式＝2+2+1＝（+1）2 再将“”还原，得：原式＝（x+y+1）2 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下 1 列问题： （1）根据材料1，把x2 6 ﹣x+8 分解因式． （2）结合材料1 和材料2，完成下面小题： ①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3； ②分解因式：m（m+2）（m2+2m 2 ﹣）﹣3． 【变式9-2】（2022 春•盱眙县期末）（1）学习“完全平方公式”时，小明遇到课本上一 道题目“计算（+b+）2”，他联系所学过的知识和方法，想到两种解决思路； ①可以用“整体思想”把三项式转化为两部分：[（+b）+]2或[+（b+）]2，然后可以利 用完全平方公式解决，请你选择一种变形方法写出计算过程； ②可以用“数形结合”的方法，画出表示（+b+）2的图形，根据面积关系得到结果．请 你在下面方框中画出图形，并作适当标注． （2）利用（1）的结论分解因式：x2+y2+4 2 ﹣xy+4x 4 ﹣y＝ ； （3）小明根据“任意一个数的平方不小于0”，利用配方法求出了一些二次多项式的最 大值或最小值，方法如下： ①x2 6 ﹣x+7 ＝x2 6 ﹣x+9 2 ﹣ ＝（x 3 ﹣）2 2 ﹣ ∵（x 3 ﹣）2≥0 ∴（x 3 ﹣）2 2≥ 2 ﹣ ﹣． 故当x＝3 时代数式x2 6 ﹣x+7 的最小值为﹣ 2 ②﹣x2 2 ﹣x+3 ＝﹣（x2+2x+1）+4 ＝﹣（x+1）2+4 ∵﹣（x+1）2≤0 ∴﹣（x+1）2+4≤4 故当x＝﹣1 时代数式﹣x2 2 ﹣x+3 的最大值为 4 请你参考小明的方法，求当x，y 取何值时代数式2x2+y2 2 ﹣xy 2 ﹣x+20 有最小值，并确定 它的最小值． 【变式9-3】（2022 秋•丰台区校级期中）阅读下列材料 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元）， 不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，使于观察如何进 行因式分解我们把这种因式分解的方法称为“换元法” 下面是小涵同学用换元法对多项式（x2+4x+1）（x2+4x+7）+9 进行因式分解的过程．解： 设x2+4x＝y 1 原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步） ＝y2+8y+16（第二步） ＝（y+4）2（第三步） ＝（x2+4x+4）2（第四步） 请根据上述材料回答下列问题： （1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 ． ．提取公因式法B．平方差公式法．完全平方公式法 （2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： ． （3）请你用换元法对多项式（x2 2 ﹣x）（x2 2 ﹣x+2）+1 进行因式分解 （4）当x＝ 时，多项式（x2 2 ﹣x）（x2 2 ﹣x+2）﹣1 存在最 值（填“大” 或“小”）．请你求出这个最值 1