专题08 因式分解压轴题的四种考法（解析版）

专题08 因式分解压轴题的四种考法 类型一、整体法 例．如果 因式分解的结果为 ． 【答】 【分析】把 当成一个整体，再因式分解即可． 【详解】原式 故答为： ． 【点睛】题目主要考查利用整体法及公式法进行因式分解，理解题中的整体思想是解题关 键． 【变式训练1】因式分解： (1) (2) 【答】(1) (2) 【分析】（1）先将 和 分别看作一个整体，利用十字相乘法因式分解，再利 用提公因式法因式分解，最后利用公式法中的完全平方公式因式分解； （2）原式是关于x、y、z 的轮换式，若将原式视为关于x 的多项式，则当x=y 时，原式 =0，故原式含有因子 ，又因为原式是关于x，y，z 的轮换对称式，故原式还含因子 ， ，又因为原式为x，y，z 的五次式，因此可以设 ，利用待定系数法即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：当 时，原式等于0，故原式含有因子 ， 又因为原式是关于x，y，z 的轮换对称式，故原式还含因子 ， ， 又因为原式为x，y，z 的五次式，故可设 令 ， ， 得 ， 令 ， ， 得 ， 解得 ， ， 所以 ． 【点睛】本题主要考查了十字相乘法、提公因式法、公式法以及待定系数法，熟练掌握和 运用这些方法因式分解是解题的关键． 【变式训练2】．因式分解： (1) ； (2) ． (3) ． 【答】(1) (2) (3) 【分析】（1）先提公因式 ，再利用完全平方公式进行因式分解； （2）先用平方差公式进行因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解； （3）先把 看成一个整体，利用完全平方公式进行因式分解，再利用平方差公式进行 分解． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式，整体思想， 是解决本题的关键． 【变式训练3】．若 是完全平方式，则 的值为多少？ 【答】 【分析】首先把 分类整理为 ， 再进一步利用多项式乘法计算展开，把 看作整体，在配方成完全平方式，进一步 探讨即可得出答． 【详解】 ∴ ， 即 【点睛】此题考查完全平方式的运用，注意常数项是一次项系数一半的平方． 类型二、添、拆项 例．分解因式；．x3 3 ﹣x2 6 ﹣x+8=_______． 【答】（x 4 ﹣）（x 1 ﹣）（x+2） 【详解】解：x3 3 ﹣x2 6 ﹣x+8= = = = = =（x 4 ﹣）（x 1 ﹣）（x+2）， 故答为：（x 4 ﹣）（x 1 ﹣）（x+2）． 【变式训练1】把多项式分解因式：x3 2 ﹣x2+1＝_________________． 【答】(x 1)( ﹣ x2﹣x 1) ﹣ 【详解】解：原式＝x3﹣x2﹣x2+1＝x2(x 1) ( ﹣ ﹣x+1)(x 1) ﹣ ＝(x 1)( ﹣ x2﹣x 1) ﹣ 故答为：(x 1)( ﹣ x2﹣x 1) ﹣ 【变式训练2】因式分解： 【答】 【详解】原式 ． 故答为： 【变式训练3】添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式 可以用如下方 法分解因式： ① ； 又比如多项式 可以这样分解： ② ； 仿照以上方法，分解多项式 的结果是______． 【答】 【详解】解： ， 故答为： 类型三、化简求值 例．已知 ，且 ，则 - 的值为（ ） ．2022 B．-2022 ．4044 D．-4044 【答】 【分析】先将式子整理变形得 ，进而得出 ，即 ，再将 展开，最后整理代入即可得出答． 【详解】因为 ， 所以 ， 整理，得 ， 则 ， 即 ． 因为 ， 所以 ， 即 ． 由 ，得 ， 所以 ． 故选：． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键． 【变式训练1】．已知 ， ，那么 ， ． 【答】 -1 0 【分析】由条件可以变形为 ，因式分解从而可以求出其值； ，可以得出 ， ．所以 从而得出结论． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ∴ ， ∴ ， ∴ ∴ m≠2 ∵ ， ∴ ∴m＋2＝−1； ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∴ ． 故答是：−1；0． 【点睛】本题考查了因式分解在整式计算求值中运用和技巧，将原式进行适当的变形，灵 活运用因式分解是解题的关键． 【变式训练2】已知 ，且 互不相等，则 ． 【答】 【分析】通过已知条件，找到 的关系： ， ， ， 即可获得答． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 故答为： ． 【点睛】本题主要考查了代数式求值以及因式分解等知识，利用已知条件找到 是解题关键． 【变式训练3】．若 ， ，那么式子 的值为 ． 【答】 【分析】把两个等式相减化简后可得 ，再把 中的 拆成 ，再分别与前后两项重新组合，提公因式后把两个已知等式代入，即可解决． 【详解】∵ ， ∴ 即 ∵ ∴ 故答为：−2020 【点睛】本题考查了因式分解的应用，用到了一种变形：拆项，这也是本题的难点所在． 类型四、新定义问题 例．材料一：若一个两位数满足这个两位数等于它的各位数字之和的4 倍，则称这个两位 数为“宁静数”．例如：12 是“宁静数”， ， 12 是“宁静数”；34 不是 “宁静数”， ， 34 不是“宁静数”． 材料二：一个四位自然数 ，将其千位数字与十位数字组成的两位 数记作 ，将其百位数字与个位数字组成的两位数记作 ，若 和 都均为“宁静数”， 则称 为“致远数”，将 千位数字与十位数字交换位置，百位数字与个位数字交换位 置，得到一个新的四位数 ，记 ． (1)判断12 是否为“宁静数”，3469 是否是“致远数”？并说明理由； (2)若一个四位自然数 是“致远数”，且 与9 的和能被4 整除，请求出所有符合条 件的“致远数” ． 【答】(1)12 是“宁静数”，3469 不是“致远数”，理由见解析 (2)1122，3162，2346，4386 【分析】（1）根据“宁静数”和“致远数”的定义判断即可； （2）根据新定义，求出 ，由题意可得出 ， 的取值，即可求解． 【详解】（1）解：12 是“宁静数”，3469 不是“致远数”，理由如下： ， 12 是“宁静数”； 在3469 中， ， ， ， ， ， ， 3469 不是“致远数”； （2）解：设四位自然数 ，且 ， ，， 不为0，则 ， 是“致远数”， ， ， ， ， ， “宁静数”必为4 的倍数且是两位数， “宁静数”有12，24，36，48， 、 可以是1，2，3，4， 又 与9 的和能被4 整除，即 是偶数， 或3， ①当 时， 或3， 对应的致远数有：1122，3162， ②当 时， 或4， 对应的致远数为：2346，4386， 综上所述，符合条件的“致远数” 有：1122，3162，2346，4386． 【点睛】本题考查了新定义，因式分解的应用，解题的关键是正确理解新定义． 【变式训练1】．阅读：证明命题“一个三位数各位数字之和可以被3 整除，则这个数就 可以被3 整除”． 设 表示一个三位数， 则 因为 能被3 整除，如果 也能被3 整除，那么 就能被3 整除． (1)①一个四位数 ，如果 能被9 整除，证明 能被9 整除； ②若一个五位数 能被9 整除，则 ______； (2)若一个三位数 的各位数字是任意三个连续的正整数，则 的最小正因数一定是____ __（数字“1”除外）； (3)由数字1 至9 组成的一个九位数 ，这个数的第一位 能被1 整除，前两位组 成的两位数 能被2 整除，前三位组成的三位数 能被3 整除，以此类推，一直到整个 九位数能被9 整除，写出这个九位数是______． 【答】(1)①见解析；②1 (2)3 (3)381654729 【分析】（1）①首先把四位数 改写成 ，由 能被9 整除， 能被9 整除，即可得出结论；②首先把五位数 改写成 ，然后根据这个五位数能被9 整除得 能被9 整除， 即可求得答； （2）假设 ，则三位数 ，据此可得出答； （3）由 能被1 整除，可得 为质数，由四位数 能被4 整除，可得两位数 能被4 整除，则 ，由九位数 中已有7，9，可得 ，由五位数 能被5 整除，可得末尾数字 ，从而得到 ，由八位数 能被8 整除，可 得三位数 能被8 整除，从而得到 ，从而得到 对应 ，由 为质数可得 ，由 能被2 整除可得 ，从而得到 ，即可得到答． 【详解】（1）①证明：∵ 是一个四位数， 能被9 整除， 能被9 整除， 四位数 能被9 整除； ②解： 是一个五位数， ， 五位数 能被9 整除， 能被9 整除， ， 故答为：1； （2）解： 三位数 的各位数字是任意三个连续的正整数， 不妨假设 ， ， 三位数 的最小正因数一定是3， 故答为：3； （3）解： 均为0 至9 之间的整数 由 能被1 整除，可得 为质数， 由四位数 能被4 整除，可得两位数 能被4 整除，则 ， 由九位数 中已有7，9，可得 ， 由五位数 能被5 整除，可得末尾数字 ，从而得到 ， 由八位数 能被8 整除，可得三位数 能被8 整除，从而得到 ， 这时的九位数为： ， 对应 ， 为质数， ， 两位数 能被2 整除，且 ， ， ， 这个九位数时：381654729， 故答为：381654729． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，数的整除特征，熟练掌握因式分解的方法，理 解整除数的特征是解答此题的关键． 【变式训练3】．在平面直角坐标系 中，我们称横纵坐标都是整数的点为整点，若坐 标系内两个整点 、 满足关于 的多项式 能够因式分解为 ，则称点 是 的分解点．例如 、 满足 ，所以 是 的分解点． (1)在点 、 、 中，请找出不存在分解点的点：______． (2)点 、 在纵轴上 在 的上方，点 在横轴上，且点 、 、 都存在分解点，若 面积为，请直接写出满足条件的 的个数及每个三角形的顶点坐标． 【答】(1) (2) 的个数为， ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， 【分析】（1）根据题意分别求解 ， ， 的分解点即可； （2）首先表示出 ， 的纵坐标，和 的长度，由 面积为推出 ，根据 在 的上方，得到 ， ，同法可求其余的点． 【详解】（1）解：对于 ， ，故 是 的分解点； 对于 ， ，故 是 的分解点； 无法分解， 点 不存在分解点，故答为： ； （2） ， 在纵轴上， 、 的横坐标为， ， 都存在分解点， 两点坐标满足关于 的多项式 能够因式分解为 ， ， 的纵坐标只能负数，而且能分解（可用平方差公式分解）， 的面积为，且点 在横轴上， ， ， 的长度可能为 ，，， ， ，， 的长度可能为 ，，， ， ，， 当 的长度为 ，时， 的长度为或 ，此时不存在有分解点的 ， ， ， 的纵坐标只能是， ， ， ， 的长度可能为 ，，， ， 当 时， ， 在 的上方， ， ， 同法当 时，可得 ， ， 当 时，可得 ， ； 当 时，可得 ， ； 当 时，可得 ， ； 当 时，可得 ， ； 当 时，可得 ， ； 当 时，可得 ， ， 综上所述， 的个数为． 【点睛】本题考查了新定义，坐标与图形，因式分解，三角形面积的求解，理解题意，分 情况讨论是解答本题的关键． 课后训练 1．因式分解： ． 【答】 【分析】根据多项式特点，进行分组，两次运用公式法分解因式即可 【详解】解： 故答为： 【点睛】本题无法直接提公因式或运用乘法公式进行分解因式，结合式子特点，对多项式 分组，两次运用公式法进行分解，要注意符号问题，正确分组是解题关键 2．如果 为完全平方数，则正整数为 ． 【答】2 或14 或11 【分析】分情况讨论，分别设 为首项的平方，末项的平方，中间项，则可得出的值即可． 【详解】设 为首项的平方，则末项为 ，中间项为乘积两倍为 =2× ， ∴首项为2，首项平方为 ，∴=2； 设 为末项的平方，则首项为 ，乘积两倍为 =2× × ， ∴末项为 ，末项平方为 ， =14 ∴ ； 设 为中间项，则 =2× × = ， =11 ∴ ， 综上所述，正整数的值为2 或14 或11， 故答为：2 或14 或11． 【点睛】本题考查了完全平方式的形式，掌握完全平方式的形式是解题的关键． 3．分解因式： ． 【答】 【分析】先分组，然后再运用提取公因式法和公式法进行因式分解即可． 【详解】解： = = = = ． 故答为 ． 【点睛】本题考查了运用分组法、提取公因式法、公式法因式分解，对原式正确的分组是 正确解答本题的关键． 4．分解因式： (1) (2) (3) (4) 【答】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用提公因式法分解因式即可； （2）先利用 、 凑出完全平方公式，然后利用平方差公式对其进行因式分解即可； （3）首先去括号，再移项凑出完全平方公式，然后利用提公因式法分解因式即可； （4）首先通过移项凑出完全平方公式，然后提公因式，得出 ，再 把分解为 ，得出 ，然后把 看作整体，利用完全平 方公式变形，得出 ，然后再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查了因式分解，解本题的关键在熟练掌握因式分解的方法． 5．已知三次四项式 分解因式后有一个因式是 ，试求 的值及另一个 因式． 【答】 ， 【分析】根据题意，当 时，代数式的值为0，进而求得 的值，然后因式分解即可求 解． 【详解】解：依题意，三次四项式 分解因式后有一个因式是 ， ∴ 时，原式 ∴ ， ∵ ∴另一个因式为 【点睛】本题考查了因式分解的意义，解题时要根据分组分解法、提公因式法、公式法分 解因式，难点是采用两两分组还是三一分组，要考虑分组后还能进行下一步分解，注意分 解因式要彻底，直到不能再分解为止． 6．对任意一个三位数m，如果其个位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字，则 称m 为“开心数”．现将m 的个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个新 数 ，并规定 ． 例如：143 是一个“开心数”，将其个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到 一个新数 ，所以 ． (1) ， ； (2)若 是8 的倍数，则称这样的m 为“幸运开心数”，求出所有的“幸运开心数”． 【答】(1)21，18 (2)143 或286 或341 或484 或682 或880 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）设这个“幸运开心数”的个位数字为 ，百位数字为 ，则十位数字为 ， 为 非负整数，则 ，根据题意 是8 的倍数，根据 ， ，且 ，，从而确定 的值为： ，再分别列举出满 足条件的 的值即可． 【详解】（1）解： ， ， 故答为21，18； （2）解：设这个“幸运开心数”的个位数字为 ，百位数字为 ，则十位数字为 ， 为非负整数， ， ， ， 是8 的倍数，则 是8 的倍数， ， ， ， 的值为： ， 为非负整数，且 ， 或 或 或 或 或 ， 所有的“幸运开心数”143 或286 或341 或484 或682 或880． 【点睛】本题考查了整式的加减运算，理解新定义是解题的关键．