第02讲 整式与因式分解（练习）（解析版）

第02 讲 整式与因式分解 目 录 题型01 列代数式 题型02 判断单项式系数、次数 题型03 判断多项式项、项数、次数 题型04 判断同类项 题型05 合并同类项 题型06 添（去）括号 题型07 整式的加减 题型08 幂的基本运算 题型09 幂的混合运算 题型10 整式的乘法 题型11 整式的除法 题型12 利用乘法公式计算 题型13 整式的化简求值 题型14 判断因式分解 题型15 选用合适的方法因式分解 题型01 列代数式 1．（2023·浙江杭州·一模）苹果的单价为a元/千克，香蕉的单价为b元/千克，买2 千克苹果和3 千克香蕉 共需（ ） ．(a+b)元 B．(3a+2b)元 ．5 (a+b)元 D．(2a+3b)元 【答】D 【提示】用买2 千克苹果的钱数加上3 千克香蕉的钱数即可． 【详解】解：∵买2 千克苹果需要2 元，买3 千克香蕉需要3b 元， ∴买2 千克苹果和3 千克香蕉共需（2＋3b）元． 故选D． 【点睛】此题考查列代数式，理解题意，明确数量关系是解决问题的关键． 2．（2023·河北唐山·二模）某两位数，十位数字为a，个位数字为b，将其十位上的数与个位上的数交换位 置，得到一个新的两位数，新两位数用代数式表示为（ ） ．ba B．a+b ．10a+b D．10b+a 【答】D 【提示】列代数式的定义是把题目中与数量有关的词语，用含有数字字母和运算符号的式子表示出来，就 是列代数式，根据意思代入即可． 【详解】解：∵十位数字为a，个位数字为b，将其十位上的数与个位上的数交换位置，得到一个新的两位 数， ∴新的两位数的十位数字为b，个位数字为a，这个新的两位数用代数式表示为10b+a， 故选：D． 【点睛】本题考查列代数式的定义，实质是实现从基本数量关系的语言表述到代数式的一种转换． 3．（2023·安徽合肥·一模）随着国产芯片自主研发的突破，某种型号芯片的价格经过两次降价，由原来每 片元下降到每片b 元，已知第一次下降了10％，第二次下降了20％，则与b 满足的数量关系是（ ） ．b=a (1−10％−20％) B．b=a (1−10％) (1−20％) ．a=b (1+10％+20％) D．a=b (1+10％) (1+20％) 【答】B 【提示】根据题意用含a的代数式表示出第一次降价后的价格和第二次降价后的价格，令第二次降价后的 价格为b，进而可得答． 【详解】解：由题意知，第一次降价后的价格为a (1−10％)，第二次降价后的价格为 a (1−10％) (1−20％)， ∴b=a (1−10％) (1−20％)， 故答为：B． 【点睛】本题考查了列代数式．解题的关键在于表示降价后的价格． 题型02 判断单项式系数、次数 1．（2022·江苏南京·模拟预测）下列说法正确的是（ ） ． 3 πxy的系数是3 B．3 πxy的次数是3 ． −2 3 x y 2的系数是−2 3 D．−2 3 x y 2的次数是2 【答】 【提示】提示各选项中的单项式的系数或者次数，即可得出正确选项． 【详解】．π是数字，3 πxy的系数是3 π，不符题意； B． 3 πxy的次数是2，x，y 指数都为1，不符题意； ．−2 3 x y 2的系数是−2 3 ，符合题意； D． −2 3 x y 2的次数是3 ，x，y 指数分别为1 和2，不符题意． 故选． 【点睛】本题考查了单项式的系数：单项式的系数是单项式字母前的数字因数，单项式的次数是单项式所 有字母指数的和，正确理解和运用该知识是解题的关键． 2．（2023·河北承德·二模）下列各式中，运算结果为六次单项式的是（ ） ．m 2+m 4 B．(m 2) 4 ．m 3⋅m 3 D．(mn) 6 【答】 【提示】根据单项式的次数，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法进行计算即可求解． 【详解】解：．＋m 2+m 4为多项式，次数为4，故该选项不符合题意； B．(m 2) 4=m 8，次数为8，故该选项不符合题意； ．m 3⋅m 3=m 6，次数为6，且为单项式，故该选项符合题意； D．(mn) 6 ¿m 6n 6，次数为12，故该选项不符合题意． 故选． 【点睛】本题考查了单项式的次数，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方，积的乘 方，同底数幂的乘法运算法则是解题的关键． 题型03 判断多项式项、项数、次数 1．（2022·安徽·模拟预测）下列说法正确的是（ ） ．3 x−2的项是3 x，2 B．2 x 2 y+x y 2−x是二次三项式 ．3 x 2 y与−4 y x 2是同类项 D．单项式−3 π x 2 y的系数是−3 【答】 【提示】根据单项式与多项式的特点及性质即可求解． 【详解】3 x−2的项是3 x，-2，故错误； B2 x 2 y+x y 2−x是三次三项式，故B 错误； 3 x 2 y与−4 y x 2是同类项，故正确； D 单项式−3 π x 2 y的系数是−3 π，故D 错误． 故选：． 【点睛】此题主要考查单项式与多项式的定义，解题的关键是熟知单项式与多项式的特点及性质． 2．（2022·河北·一模）下列关于4 a+2的叙述，错误的是（ ） ．4 a+2的次数是1 B．4 a+2表示的4 倍与2 的和 ．4 a+2是多项式 D．4 a+2可因式分解为4(a+1) 【答】D 【提示】根据多项式的项、次数及多项式的因式分解的条件即可得出答． 【详解】解：4 a+2的次数是1，故答正确； B 4 a+2表示的4 倍与2 的和，故答正确； 4 a+2是多项式，故答正确； D 4 a+2进行因式分解为：2(2a+1)，故答错误； 故选D． 【点睛】本题考查了多项式项、次数及多项式的因式分解，熟知多项式的项和次数，多项式可因式分解的 条件是解题的关键． 3．（2023·广东茂名·一模）多项式2 x 3+3 x 2−1的二次项系数是 ． 【答】3 【提示】由多项式知道二次项为3 x 2，从而得到二次项系数． 【详解】解：多项式2 x 3+3 x 2−1的二次项为：3 x 2，系数为：3． 故答为：3． 【点睛】本题考查多项式的项，单项式的系数，牢记相关知识点并能灵活应用是解题关键． 题型04 判断同类项 1．（2023·江苏南京·一模）下列各组代数式中是同类项的是（ ） ．5 和3a B．2a 2b和−ab 2 ．3ab 3和−3b 3a D．abc和a 2b 2c 2 【答】 【提示】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同即可求解． 【详解】解：．5 和3a所含字母不同，不是同类项，选项不符合题意； B．2a 2b和−ab 2所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，选项不符合题意； ．3ab 3和−3b 3a所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项，选项符合题意； D．abc和a 2b 2c 2所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了同类项，掌握同类项的定义是解题的关键． 2．（2023·广西柳州·二模）下列单项式中，与3ab 2是同类项的是（ ） ．3a 2b B．4 ab 2 ．3a 2b 2 D．3ab 【答】B 【提示】同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，据此判断即 可． 【详解】解：．3a 2b与3ab 2所含的字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，故此选项不符合 题意； B．4 ab 2与3ab 2所含的字母相同，相同字母的指数也相同，是同类项，故此选项符合题意； ．3a 2b 2与3ab 2所含的字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意； D．3ab与3ab 2所含的字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键． 题型05 合并同类项 1．（2023·江西上饶·一模）下列计算正确的是( ) ．3ab+2ab=5ab B．5 y 2−2 y 2=3 ．7 a+a=7 a 2 D．m 2n−2mn 2=−mn 2 【答】 【提示】运用合并同类项的法则∶1．合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数之和，且字母 连同它的指数不变．字母不变，系数相加减．2．同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母 的指数不变．即可得出答． 【详解】解：、3ab+2ab=5ab，故选项正确，符合题意； B、5 y 2−2 y 2=3 y 2，故选项错误，不符合题意； 、7a+a=8a，故选项错误，不符合题意； D、m 2n 和2mn 2不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了合并同类项，解题的关键是知道如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字 母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，还要掌握合并同类项的运算法则． 2．（2023·内蒙古乌兰察布·校考二模）若等式2a 2⋅a+（ ）=3a 3成立，则括号中填写单项式可以是 （ ） ．a B．a 2 ．a 3 D．a 4 【答】 【提示】根据同底数幂的乘法法则以及合并同类项法则，即可求解． 【详解】解：∵3a 3-2a 2⋅a=3a 3-2a 3=a 3， ∴等式2a 2⋅a+（ a 3 ）=3a 3成立， 故选． 【点睛】本题主要考查整式的加减运算，掌握同底数幂的乘法法则以及合并同类项法则，是解题的关键． 题型06 添（去）括号 1．（2023·广东佛山·校考模拟预测）去括号：( y 2−x 2)−( x 2−y 2)=（ ） ．y 2−x 2−x 2−y 2 B．y 2+x 2+x 2−y 2 ．y 2−x 2+x 2−y 2 D．y 2−x 2−x 2+ y 2 【答】D 【提示】根据去括号法则（括号的前面是负号时，去括号后括号内各项负号改变）解决此题． 【详解】解：( y 2−x 2)−(x 2−y 2) ¿ y 2−x 2−x 2+ y 2 故选：D． 【点睛】本题主要考查去括号法则，熟练掌握去括号法则是解决本题的关键． 2．（2023· 浙江宁波·一模）−[a−(b+c)]去括号后应为（ ） ．−a−b+c B．−a+b−c ．−a−b−c D．−a+b+c 【答】D 【提示】根据去括号法则进行去括号即可求解． 【详解】解：−[a−(b+c)] ¿−(a−b−c ) ¿−a+b+c， 故选：D 【点睛】本题考查了去括号，掌握去括号法则是解题的关键．括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算 式不变，括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号，法则的依据实际是乘法分配律． 3．（2023· 河北张家口·三模）与−1−1 2结果相同的是（ ） ．+(−1+ 1 2) B．+(−1−1 2) ．−(−1+ 1 2) D．−(−1−1 2) 【答】B 【提示】分别将选项中的进行化简即可得到答． 【详解】解： +(−1+ 1 2)=−1+ 1 2，故不符合； B +(−1−1 2)=−1−1 2，故符合； −(−1+ 1 2)=1−1 2，故不符合； D −(−1−1 2)=1+ 1 2，故不符合； 故选：B． 【点睛】本题考查去括号的运算法则，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则． 4．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）在多项式a−b−c−x−y−z中任意加括号，加括号后仍只有减法运 算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”，例如 (a−b)−(c−x−y−z )=a−b−c+x+ y+z，a−b−(c−x−y )−z=a−b−c+x+ y−z，…．在所有可能 的“加算操作”中，不同的运算结果共有（ ） ．8 种 B．16 种 ．24 种 D．32 种 【答】B 【提示】根据“加算操作”的原则可知，不会改变前两项的符号，改变的是后四项的符号，根据题意，画 出示意图，即可求解． 【详解】解：依题意，根据“加算操作”的原则可知，不会改变前两项的符号，改变的是后四项的符号， 共有16 种不同结果， 故选：B． 【点睛】本题考查了去括号法则，列举法求所有可能结果，理解题意是解题的关键． 题型07 整式的加减 1．（2023·河北保定·校考模拟预测）化简2a−b−2 (a+b)的结果为（ ） ．−2b B．−3b ．b D．4 a+b 【答】B 【提示】根据去括号，合并同类项计算即可得到答． 【详解】解：2a−b−2 (a+b) ¿2a−b−2a−2b ¿−3b， 故选：B． 【点睛】本题考查整式运算，涉及去括号、合并同类项等，熟记整式运算法则是解决问题的关键． 2．（2023·江苏盐城·校考一模）墨迹覆盖了等式“ −( x 2+1)=3 x”中的多项式，则覆盖的多项式 为（ ） ．x+2 B．−x 2−1+3 x ．3 x−x 2+1 D．3 x+x 2+1 【答】D 【提示】根据整式的加减运算法则即可求解． 【详解】解：设被覆盖的多项式为A， 则A−( x 2+1)=3 x， ∴A=3 x+x 2+1， ∴覆盖的多项式为3 x+x 2+1， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了多项式减多项式，掌握相关的法则是解题的关键． 3．（2023·安徽合肥·二模）化简：3 (a 2+2ab)−2(ab−a 2) 【答】5a 2+4 ab 【提示】先去括号，然后合并同类项即可． 【详解】解：3 (a 2+2ab)−2(ab−a 2) ¿3a 2+6ab−2ab+2a 2 ¿5a 2+4 ab． 【点睛】本题主要考查了整式加减运算，解题的关键是熟练掌握去括号，合并同类项法则，准确计算． 题型08 幂的基本运算 1．（2023·湖南湘西·校考二模）下列运算正确的是（ ） ．a 2⋅a 3=a 5 B．(a 3) 2=a 5 ．(ab) 2=ab 2 D．a 6 a 2=a 3(a≠0) 【答】 【提示】根据同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，分式的化简，逐项判断即可求解． 【详解】解：、a 2⋅a 3=a 5，故本选项正确，符合题意； B、(a 3) 2=a 6，故本选项错误，不符合题意； 、(ab) 2=a 2b 2，故本选项错误，不符合题意； D、a 6 a 2=a 4(a≠0)，故本选项错误，不符合题意； 故选： 【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，分式的化简，熟练掌握相关运算法则是解 题的关键． 2．（2023·湖北襄阳·一模）电子文件的大小常用B , KB , MB ,GB等作为单位，其中 1GB=2 10 MB ,1 MB=2 10 KB ,1 KB=2 10 B，某视频文件的大小约为1GB ,1GB等于( ) ．2 30 B B．8 30 B ．8×10 10 B D．2×10 30 B 【答】 【提示】根据题意及幂的运算法则即可求解． 【详解】依题意得1GB=2 10 MB=2 10×2 10 KB=2 10×2 10×2 10 B=2 30 B 故选． 【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知同底数幂的运算法则． 3．（2023·福建厦门·厦门市湖里中学校考模拟预测）计算(2a 4) 3的结果是（ ） ．2a 12 B．8a 12 ．6a 7 D．8a 7 【答】B 【提示】直接运用幂的乘方、积的乘方计算即可． 【详解】解：(2a 4) 3=(2) 3(a 4) 3=8a 12 故答为B． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方的运算，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键． 4．（2023·吉林松原·校联考三模）6 6是6 3的（ ） ．2 倍 B．36 倍 ．3 倍 D．216 倍 【答】D 【提示】把问题转化为同底数幂的除法计算即可． 【详解】∵6 6÷6 3=6 3=216， 故选D． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5．（2023·吉林四平·校联考三模）计算：(a−b) 3⋅(b−a) 4=¿ ．（结果用幂的形式表示） 【答】(a−b) 7/−(b−a) 7 【提示】本题首先转化为同底数，然后根据同底数幂的乘法计算法则即可得出答． 【详解】(a−b) 3⋅(b−a) 4=(a−b) 3⋅(a−b) 4=(a−b) 7 故答为：(a−b) 7 【点睛】本题主要考查的就是同底数幂的乘法计算法则，属于基础题型．互为相反数的两个数的偶数次幂 相等是解决这个问题的关键． 题型09 幂的混合运算 1．（2023·江苏徐州·模拟预测）计算−a 2⋅(a 2) 3的结果是（ ） ．a 8 B．－a 8 ．a 7 D．－a 7 【答】B 【提示】先根据幂的乘方运算法则化简，再根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：-2•（2）3=-2•6=-8． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 2．（2022·广东广州·二模）已知3 m=4，3 2m−4 n=2．若9 n=x，则x的值为（ ） ．8 B．4 ．2❑ √2 D．❑ √2 【答】 【提示】逆用同底数幂的乘除法及幂的乘方法则．由3 2m−4n=(3 m÷ 9 n) 2即可解答． 【详解】∵3 2m−4n=32 (m−2n)=(3 m−2n) 2=(3 m÷ 9 n) 2， 依题意得：( 4 x) 2 =2，x>0． ∴4 x =❑ √2， ∴x =2❑ √2， 故选：． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方运算，关键是会逆用同底数幂的乘除法进行变 形． 题型10 整式的乘法 1．（2022·天津·模拟预测）计算：1 2 x y 2⋅(−4 x 2 y)=¿ ． 【答】−2 x 3 y 3 【提示】根据单项式乘以单项式法则计算，即可求解． 【详解】解：1 2 x y 2⋅(−4 x 2 y)=−2 x 3 y 3． 故答为：−2 x 3 y 3 【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，熟练掌握单项式乘以单项式法则是解题的关键． 2．（2022·江苏无锡·校考一模）已知ab 2=−3，则−ab (a 2b 5−ab 3−