专题6.4 实数章末题型过关卷（解析版）

第6 章 实数章末题型过关卷 【人版】 参考答与试题解析 一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分） 1．(3 分)（2022•柳南区校级模拟）如果3 √2.37≈1333，3 √23.7≈2872，那么3 √2370约等于（ ） ．2872 B．02872 ．1333 D．01333 【分析】根据立方根，即可解答． 【解答】解：∵3 √2.37≈1333， ∴3 √2370= 3 √2.37×1000≈1333×10＝1333． 故选：． 2．(3 分)（2022 春•米东区校级月考）下列实数31 7 ，314 π ﹣，314259，❑ √8，− 3 √27，12 中 无理数有（ ） ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．5 个 【分析】根据无限不循环小数叫做无理数，判断出实数31 7 ，314 π ﹣，314259，❑ √8， − 3 √27，12 中无理数有多少个即可． 【解答】解：实数31 7 ，314 π ﹣，314259，❑ √8，− 3 √27，12 中无理数有2 个：314 π ﹣， ❑ √8． 故选：． 3．(3 分)（2022 春•朝阳区校级期中）下列说法正确的是（ ） ．绝对值是❑ √5的数是❑ √5 B．−❑ √2的相反数是±❑ √2 ．1−❑ √2的绝对值是❑ √2−¿1 D．3 √−8的相反数是﹣2 【分析】利用绝对值的意义，立方根，相反数的意义对每个选项作出判断即可得出结论． 【解答】解：∵绝对值是❑ √5的数是❑ √5或−❑ √5， ∴选项的结论不正确； ∵−❑ √2的相反数是❑ √2， ∴B 选项的结论不正确； 1 ∵−❑ √2的绝对值是❑ √2−¿1， ∴选项的结论正确； ∵3 √−8=−¿2， ∴3 √−8的相反数为2． 1 ∴D 选项的结论不正确； 故选：． 4 ．(3 分) （2022 春• 武城县期末）实数、b 在数轴上的对应点如图所示，化简 ❑ √(a−b) 2− 3 √(b−1) 3的结果是（ ） ．﹣1 B．﹣2b+1 ．2b 1 ﹣﹣ D．1﹣ 【分析】首先根据图示，可得：＜b，然后根据算术平方根、立方根的含义和求法，化 简❑ √(a−b) 2− 3 √(b−1) 3即可． 【解答】解：根据图示，可得：＜b， ∴﹣b＜0， ∴❑ √(a−b) 2− 3 √(b−1) 3 ＝b﹣﹣（b 1 ﹣） ＝b﹣﹣b+1 ＝1﹣． 故选：D． 5．(3 分)（2022 春•遵义期中）已知，b，为△B 的三边，且❑ √a 2−2ab+b 2+¿|b | ﹣＝0，则 △B 的形状是（ ） ．等腰三角形 B．等边三角形 ．直角三角形 D．等腰直角三角形 【分析】根据绝对值的性质求出、b，b、的关系，即可得解． 【解答】解：根据题意得，2 2 ﹣b+b2＝0，b﹣＝0， 解得＝b，b＝， 所以，＝b＝， 所以，△B 的形状是等边三角形． 故选：B． 6．(3 分)（2022 春•聊城期末）如图所示，以为圆心的圆交数轴于B，两点，若，B 两点表 示的数分别为1，❑ √2，则点表示的数是（ ） ．❑ √2−¿1 B．2−❑ √2 ．2❑ √2−¿2 D．1−❑ √2 【分析】根据数轴两点间的距离求出⊙的半径B¿ ❑ √2−1，从而得到¿ ❑ √2−1，即可求解． 【解答】解：∵，B 两点表示的数分别为1，❑ √2， 1 ∴AB=❑ √2−1， ∵B＝， ∴AC=❑ √2−1， ∵点在点的左边， ∴点表示的数为1−(❑ √2−1)=2−❑ √2， （备注：由是B 的中点，用中点坐标公式也可求解）， 故选：B． 7．(3 分)（2022•定远县模拟）x，y 分别是8−❑ √11的整数部分和小数部分，则2xy﹣y2的值 为（ ） ．3 B．4 ．5 D．6 【分析】先估算出❑ √11的范围，再得到8−❑ √11的整数部分和小数部分，代入计算即可． 【解答】解：∵❑ √9＜❑ √11＜❑ √16， ∴3＜❑ √11＜4， ∴−4＜−❑ √11＜−3， ∴4＜8−❑ √11＜5， ∵x，y 分别是8−❑ √11的整数部分和小数部分， ∴x＝4，y¿8−❑ √11−4=4−❑ √11， 2 ∴xy﹣y2¿2×4×(4−❑ √11)−(4−❑ √11) 2=¿5， 故选：． 8．(3 分)（2022 春•天门月考）设S1＝1+1 1 2 + 1 2 2，S2＝1+1 2 2 + 1 3 2，S3＝1+1 3 2 + 1 4 2，…，S＝1 +1 n 2 + 1 (n+1) 2，则❑ √S1+❑ √S2+⋯+❑ √S24的值为（ ） ．624 25 B． ❑ √24 5 ．24 25 D．575 24 【分析】观察第一步的几个计算结果，得出一般规律． 【解答】解：❑ √S1=❑ √1+1+ 1 4 =3 2 ，❑ √S2=❑ √1+ 1 4 + 1 9=7 6 ，❑ √S3=❑ √1+ 1 9 + 1 16 =13 12 ， ❑ √S4=❑ √1+ 1 16 + 1 25=21 20 ，…， ❑ √Sn=1+ 1 n−1 n+1， ∴❑ √S1+❑ √S2+⋯+❑ √S24 ＝1+1−1 2 +1+ 1 2−1 3 +⋯+¿1+1 24 −1 25 1 ＝24+1−1 25 ¿ 624 25 ． 故选：． 9．(3 分)（2022 春•工业区校级期末）若规定，f（x）表示最接近x 的整数（x≠+05，整 数）例如：f（07）＝1，f（23）＝2，f（5）＝5，则f（1）+f（❑ √2）+f（❑ √3）+…+f（ ❑ √9）的值（ ） ．16 B．17 ．18 D．19 【分析】根据f（x）表示的意义，分别求出f（1），f（❑ √2），f（❑ √3），…f（❑ √9）的 值，再计算结果即可． 【解答】解：f（x）表示的意义可得，f（1）＝1，f（❑ √2）＝1，f（❑ √3）＝2，f（❑ √4） ＝2， f（❑ √5）＝2，f（❑ √6）＝2，f（❑ √7）＝3，f（❑ √8）＝3，f（❑ √9）＝3， ∴f（1）+f（❑ √2）+f（❑ √3）+…+f（❑ √9）＝1+1+2+2+2+2+3+3+3＝19， 故选：D． 10．(3 分)（2022 春•石楼县校级月考）将1，❑ √2，❑ √3三个数按图中方式排列，若规定（， b）表示第排第b 列的数，则（8，2）与（10，10）表示的两个数的积是（ ） ．❑ √6 B．❑ √3 ．❑ √2 D．1 【分析】观察已知数列可得，每三个数一循环，即：以1，❑ √2，❑ √3为一个循环体，联 系已知条件，分别算出（8，2）与（10，10）是第几轮的第几个数，进而即可求出 （8，2）与（10，10）所表示的数，然后进行计算即可． 【解答】解：由题意知每三个数一循环，即：以1，❑ √2，❑ √3为一个循环体， ∵（8，2）在数列中是第8 排第2 列的数， 而（1+7）×7÷2+2＝30 个，30÷3＝10， ∴（8，2）表示的数正好是第十轮的最后一个， 即（8，2）表示的数是❑ √3， 1 ∵（10，10）在数列中是第10 排第10 列的数， 而（1+10）×10÷2＝55 个，55÷3＝18 1 ⋯， ∴（10，10）表示的数正好是第19 轮的第一个， 即（10，10）表示的数是1， ∴❑ √3×1=❑ √3， 故选：B． 二．填空题（共6 小题，满分18 分，每小题3 分） 11．(3 分)（2022• 兴平市一模）如❑ √4−2a的最小值是 0 ，这时＝ 2 ． 【分析】根据❑ √4−2a是非负数可求得≤2，由此所以当＝2 时，❑ √4−2a有最小值． 【解答】解：∵❑ √4−2a≥0， 4 2 ∴﹣＝0 时有❑ √4−2a的最小值， ∴＝2， 即当＝2 时，❑ √4−2a有最小值，且为0． 12．(3 分)（2022 秋•温州期中）已知甲数是1 7 9的平方根，乙数是3 3 8的立方根，则甲、乙 两个数的积是 ±2 ． 【分析】分别根据平方根、立方根的定义可以求出甲数、乙数，进而即可求得题目结果． 【解答】解：∵甲数是1 7 9的平方根 ∴甲数等于± 4 3 ； ∵乙数是3 3 8的立方根， ∴乙数等于3 2． ∴甲、乙两个数的积是±2． 故答为：±2． 13．(3 分)（2022•连云港模拟）元宵联欢晚会上，魔术师刘谦表演了一个魔术，用几个小 正方形拼成一个大的正方形，现有四个小正方形的面积分别为、b、、d，且这四个小正 方形能拼成一个大的正方形，则这个大的正方形的边长为 ❑ √a+b+c+d ． 【分析】利用正方形的面积公式计算即可求解． 【解答】解：设大正方形的边长为x， 则它的面积为x2， 在本题中大正方形的面积为四个小正方形面积的和有x2＝+b++d， ∴x¿ ❑ √a+b+c+d 1 故答为：❑ √a+b+c+d． 14 ．(3 分) （2022• 兴平市一模）如已知 ❑ √a−1+(ab−2) 2=0，则 1 ab + 1 (a+1)(b+1)+⋯+ 1 (a+2008)(b+2008)的值为 2009 2010 ． 【分析】根据已知条件可求出和的值，分别代入所求式子中，观察式子特征，可将式子 互相抵消． 【解答】解：根据非负数性质可知﹣1＝0 且b 2 ﹣＝0 解得＝1 b＝2 则原式¿ 1 1×2 + 1 2×3 +⋯+ 1 2009×2010 裂项得1−1 2 + 1 2−1 3 + 1 3−1 4 +⋯+ 1 2009− 1 2010=1− 1 2010=2009 2010； 故答为2009 2010 15．(3 分)（2022•南京模拟）如图，面积为（＞1）的正方形BD 的边B 在数轴上，点B 表 示的数为1．将正方形BD 沿着数轴水平移动，移动后的正方形记为'B'D'，点、B、、D 的对应点分别为'、B'、、D'，移动后的正方形'B''D'与原正方形BD 重叠部分图形的面积 记为S．当S¿ ❑ √a时，数轴上点B'表示的数是 ❑ √a或 2 −❑ √a （用含的代数式表示）． 【分析】平移可分两种情况，左平移，右平移．根据面积求得边长，继而求得平移距离． 【解答】解：因为正方形面积为， 所以边长B¿ ❑ √a， 当向右平移时，如图1， 因为重叠部分的面积为S＝B'•D¿ ❑ √a， B'×❑ √a=❑ √a， 所以B'＝1， 所以平移距离BB'＝B﹣B'¿ ❑ √a−¿1， 所以B'＝B+BB'¿1+❑ √a−1=❑ √a， 则B'表示的数是❑ √a； 当向左平移时，如图2， 因为重叠部分的面积为S＝'B•'D'¿ ❑ √a， 'B×❑ √a=❑ √a， 1 所以'B＝1， 所以平移距离BB'＝'B' ' ﹣B¿ ❑ √a−¿1， 所以B'＝B﹣B'B＝1﹣（❑ √a−¿1）＝2−❑ √a， 则B'表示的数是2−❑ √a． 16．(3 分)（2022 秋•双流区校级期中）对于实数x，规定[x]表示不大于x 的最大整数，如 [4]＝4，[❑ √3]＝1，如[ 25] ﹣ ＝﹣3，现对82 进行如下操作：82 → 第一次[❑ √82]＝9 → 第二次[❑ √9] ＝3 → 第三次[❑ √3]＝1，这样对82 只需进行3 次操作后变为1，类似地，按照以上操作，只 需进行3 次操作后，变为2 的所有正整数中，最大的正整数是 6560 ． 【分析】逆向思考，先求出第3 次参与运算的最大数，再求出第2 次参与运算的最大数， 最后求出第1 次参与运算的最大数即可． 【解答】解：∵最后的结果为2， ∴第3 次参与运算的最大数为（2+1）2 1 ﹣＝8，即[❑ √8]＝2， ∴第2 次的结果为8， ∴第2 次参与运算的最大数为（8+1）2 1 ﹣＝80，即[❑ √80]＝8， ∴第1 次的结果为80， ∴第1 次参与运算的最大数为（80+1）2 1 ﹣＝6560，即[❑ √6560]＝80， 也就是， 故答为：6560． 三．解答题（共7 小题，满分52 分） 17．(6 分)（2022 春•自流井区校级月考）将下列各数填入相应的集合内 1 7 ﹣，314，−22 7 ，0，❑ √8，3 √9，3 √125，π，07 ⋅，01010010001… ①有理数集合{ ﹣ 7 ， 314 ， −22 7 ， 0 ， 3 √125， 0 7 ⋅ ， …} ②无理数集合{ ❑ √8，3 √9， π ， 01010010001… ， …} ③负实数集合{ ﹣ 7 ， −22 7 ， …}． 【分析】利用有理数，无理数，以及负实数的定义判断即可． 【解答】解：①有理数集合{ 7 ﹣，314，−22 7 ，0，3 √125，07 ⋅，…}； ②无理数集合{❑ √8，3 √9，π，01010010001…，…} ③负实数集合{ 7 ﹣，−22 7 ，…}． 故答为：①﹣7，314，−22 7 ，0，3 √125，07 ⋅，；②❑ √8，3 √9，π，01010010001…，③﹣ 7，−22 7 ， 18．(6 分)（2022 秋•鄄城县期中）求下列各式中x 的值． （1）16x2 81 ﹣ ＝0； （2）﹣（x 2 ﹣）3 64 ﹣ ＝0． 【分析】（1）方程整理后，利用平方根定义开方即可求出x 的值； （2）方程整理后，利用立方根定义开立方即可求出x 的值． 【解答】解：（1）方程整理得：x2¿ 81 16， 开方得：x＝±9 4 ， 解得：x1¿ 9 4 ，x2¿−9 4 ； （2）方程整理得：（x 2 ﹣）3＝﹣64， 开立方得：x 2 ﹣＝﹣4， 解得：x＝﹣2． 19．(8 分)（2022 春•柘城县期中）计算： （1）（﹣1）2020+（﹣2）3× 1 8− 3 √−27×(−❑ √ 1 9 )； （2） 3 √−8−❑ √1−16 25 +¿2−❑ √5∨+ ❑ √(−4) 2． 【分析】（1）利用有理数的乘方法则，立方根的意义和算术平方根的意义解答即可； 1 （2）利用立方根的意义和算术平方根的意义，绝对值的意义和二次根式的性质化简计 算即可． 【解答】解：（1）原式＝1+（﹣8）× 1 8−¿（﹣3）×（−1 3 ） ＝1 1 1 ﹣﹣ ＝﹣1； （2）原式＝﹣2−❑ √ 9 25 +❑ √5−¿2+4 ＝﹣2−3 5 +❑ √5−¿2+4 ¿−3 5 +❑ √5． 20．(8 分)（2022 春•饶平县校级期末）已知3 √x−2+¿2＝x，且3 √3 y−1与3 √1−2 x互为相反 数，求x，y 的值． 【分析】已知第一个等式变形得到立方根等于本身确定出x 的值，再利用相反数之和为 0 列出等式，将x 的值代入即可求出y 的值． 【解答】解：∵3 √x−2+¿2＝x，即3 √x−2=¿x 2 ﹣， ∴x 2 ﹣＝0 或1 或﹣1， 解得：x＝2 或3 或1， ∵3 √3 y−1与3 √1−2 x互为相反数，即3 √3 y−1+ 3 √1−2 x=¿0， 3 ∴y 1+1 2 ﹣ ﹣x＝0，即3y 2 ﹣x＝0， ∴x＝2 时，y¿ 4 3 ；当x＝3 时，y＝2；当x＝1 时，y¿ 2 3． 21．(8 分)（2022 秋•靖江市校级期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得， 如❑ √4，有些数则不能直接求得，如❑ √5，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通 过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察表： 16 016 00016 1600 160000 … ❑ √n 4 04 004 40 400 … （1）表中所给的信息中，你能发现什么规律？（请将规律用文字表达出来） 被开方 数的小数点向左或向右移动 2 位，算术平方根的小数点就向左或向右移动位 （2）运用你发现的规律，探究下列问题： 已知❑ √2.06≈1435，求下列各数的算术平方根：①00206； ②2060000． 【分析】（1）从被开方数和算术平方根的小数点的移动位数考虑解答； （2）根据（1）中的规律解答即可． 1 【解答】解：（1）被开方数扩大或缩小102倍，非负数的算术平方根就相应的扩大或缩 小10 倍； 或者说成被开方数的小数点向左或向右移动2 位，算术平方根的小数点就向左或向右移 动位， 故答为：被开方数的小数点向左或向右移动2 位，算术平方根的小数点就向左或向右移 动位； （2）❑ √0.0206=¿01435；❑ √2060000=¿1435． 22．(8 分)（2022 春•饶平县校级期末）对于实数，我们规定：用符号[❑ √a]表示不大于❑ √a 的最大整数，称[❑ √a]为的根整数，例如：[❑ √9]=3，[❑ √10]=3． （1）仿照以上方法计算：[❑ √4]=¿ 2 ；[❑ √26]=¿ 5 ． （2）若[❑ √x]=1，写出满足题意的x 的整数值 1 ， 2 ， 3 ． 如果我们对连续求根整数，直到结果为1 为止．例如：对10 连续求根整数2 次 [❑ √10]=3→[❑ √3]=1，这时候结果为1． （3）对100 连续求根整数， 3 次之后结果为1． （4）只需进行3 次连续求根整数运算后结果为1 的所有正整数中，最大的是 255 ． 【分析】（1）先估算❑ √4和❑ √26的大小，再由并新定义可得结果； （2）根据定义可知x＜4，可得满足题意的x 的整数值； （3）根据定义对100 进行连续求根整数，可得3 次之后结果为1； （4）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255 和256 进行几次操作，即可得出 答． 【解答】解：（1）∵22＝4，52＝25，62＝36， 5 ∴＜❑ √26＜6， ∴[❑ √4]=¿[2]＝2，[❑ √26]＝5， 故答为：2，5； （2）∵12＝1，22＝4，且[❑ √x]=1， ∴x＝1，2，3， 故答为：1，2，3； （3）第一次：[❑ √100]＝10， 第二次：[❑ √10]＝3， 第三次：[❑ √3]＝1， 1 故答为：3； （4）最大的正整数是255， 理由是：∵[❑ √255]＝15，[❑ √15]＝3，[❑ √3]＝1， ∴对255 只需进行3 次操作后变为1， [ ∵❑ √256]＝16，[❑ √16]＝4，[❑ √4]＝2，[❑ √2]＝1， ∴对256 只需进行4 次操作后变为1， ∴只需进行3 次操作后变为1 的所有正整数中，最大的是255； 故答为：2