专题28.5 锐角三角函数章末题型过关卷（解析版）

第28 章 锐角三角函数章末题型过关卷 【人版】 参考答与试题解析 一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分） 1．（3 分）（2022·安徽淮南·模拟预测）在△B 中，(2cos A−❑ √2) 2+|1−tan B|=0 ，则△ B 一定是（ ） ．直角三角形 B．等腰三角形 ．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答】D 【分析】结合题意，根据乘方和绝对值的性质，得(2cos A−❑ √2) 3=0，|1−tan B|=0，从 而得cos A= ❑ √2 2 ，tan B=1，根据特殊角度三角函数的性质，得∠A=45°，∠B=45°； 根据等腰三角形和三角形内角和性质计算，即可得到答． 【详解】解：∵(2cos A−❑ √2) 3+|1−tan B|=0 ∴(2cos A−❑ √2) 3=0，|1−tan B|=0 ∴2cos A−❑ √2=0，1−tan B=0 ∴cos A= ❑ √2 2 ，tan B=1 ∴∠A=45°，∠B=45° ∴∠C=180°−∠A−∠B=90°，BC=AC ∴△B 一定是等腰直角三角形 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值、三角函数、三角形内角和、等腰三角形的知识；解题的关键 是熟练掌握绝对值、三角函数的性质，从而完成求解． 2．（3 分）（2022·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校一模）已知Rt △ABC中，∠C=90° ,b 为∠B的对边，a为∠A的对边，若b与∠A已知，则下列各式正确的是（ ） ．a=bsin∠A B．a=bcos∠A ．a=btan∠A D．a=b÷ tan∠A 【答】 【分析】利用锐角三角函数的定义列出算式，然后变形计算即可． 【详解】解：如图所示：t=a b， 1 则=bt∠． 故选：． 【点睛】此题考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 3．（3 分）（2022·浙江温州·三模）如图，架在消防车上的云梯B 长为15m，BD∥CE， ∠ABD=α，云梯底部离地面的距离B 为2m．则云梯的顶端离地面的距离E 的长为（ ） ．(2+15sin α )m B．(2+15 tan α )m ．17 tan α m D．17sin α m 【答】 【分析】证明四边形BED 是矩形，得到DE=B=2，用∠B 的正弦求得D=Bs∠BD=15sα，得 到E= DE +D =2+15sα． 【详解】解：∵E⊥E，B⊥E， ∴∠E=∠BE=90°， ∵BD∥E， ∴BD⊥E，BD⊥B， ∴∠DB=∠BDE=∠DB=90°， ∴四边形BED 是矩形， ∴DE=B=2， ∵D=Bs∠BD=15sα， ∴E= DE +D =2+15sα． 故选：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解决问题的关键是熟练掌握矩形的判断和性质， 正弦的定义和计算． 4．（3 分）（2022·浙江宁波·一模）如图，在Rt△B 中，∠B=90°，DE 是△B 的中位线，连结 D．下列各组线段的比值一定与s 相等的是（ ） 1 ．DE AD B．DE AE ．CE BD D．CE BC 【答】 【分析】根据特殊角锐角三角函数的定义以及直角三角形斜边上的中线性质即可求出答． 【详解】∵ED是△ABC的中位线 ∴点D、E分别是AB、AC的中点 ∵∠ACB=90° ∴CD=BD=AD ∴∠A=∠DCE ∴cosA=cos∠DCE= CE CD = CE BD 故选： 【点睛】本题考查三角形综合问题，涉及直角三角形斜边上的中线性质，中位线的性质以 及特殊角锐角三角函数的定义，本题属于中等题型． 5．（3 分）（2022·江苏扬州·二模）如图，在矩形BD 中，AB=2，BC=2❑ √5，E 是B 的 中点，将△ABE沿直线E 翻折，点B 落在点F 处，连结F，则tan∠ECF的值为（ ） ． ❑ √5 2 B．2❑ √5 5 ．2 3 D． ❑ √5 3 【答】B 【分析】利用翻折的性质，以及外角定理证得∠EB=∠EF，进行角度转换即可求出结果． 【详解】解：如图，∵四边形BD 是矩形， ∴∠B＝90°， 1 ∵E 是B 的中点，BC=2❑ √5， ∴BE＝E=❑ √5， ∴E= ❑ √A B 2+B E 2= ❑ √2 2+(❑ √5) 2=3， 由翻折变换的性质得：∠EF=∠EB,EF=BE=❑ √5， ∴EF＝E， ∴∠EF＝∠EF， ∵∠BEF＝∠EF+∠EF， ∴∠EB=∠EF， ∴tan∠ECF=tan∠BEA= AB BE = 2 ❑ √5=2❑ √5 5 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，翻折变换的性质，等腰三角形的判定与性质， 三角形的外角性质，三角函数，熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质，证出∠EB=∠EF 是解决问题的关键． 6．（3 分）（2022·浙江·温州外国语学校二模）矩形纸片BD 按如图1 的方式分割成三个直 角三角形①、②、③，又把这三个三角形按如图2 的方式重叠放置在一起，阴影分别为①、 ②与③的重叠部分，且①的斜边一端点恰好落在②的斜边上，则AB BC 的值为（ ） ．3 2 B．❑ √2 ．4 3 D．2❑ √3 3 【答】 【分析】设DE=x，令B=b，B=，然后根据同角的余角相等得到∠B=∠DE，∠ED=∠B，再利 用等角的三角函数值相等，得到E 的长度，列出方程化简得到与b 之间的关系，最后得到 B 与B 的比值． 【详解】解：设DE=x，令B=b，B=，如图， 1 ∴B•B=•DE，即❑ √a 2+b 2⋅x=ab， ∴x= ab ❑ √a 2+b 2， ∵tan∠BAC= BC AB =a b， ∵∠B+∠DE=90°，∠DE+∠DE=90°， ∴∠DE=∠B， 同理可得，∠ED=∠B， ∴tan∠ADE= AE DE =a b， ∴AE=DE⋅tan∠ADE= ab ❑ √a 2+b 2 ⋅a b = a 2 ❑ √a 2+b 2， ∵∠ED=∠B， ' ∴∠D'=∠B， ' ∴E'=BC−1 2 C D '， ∵D'=ED，'E'=E， ∴AE=BC−1 2 ED=a−1 2 ab ❑ √a 2+b 2， ∴ a 2 ❑ √a 2+b 2=a−1 2 ab ❑ √a 2+b 2， 化简得，43b=32b2，即a b= 3 4 ， ∵＞0，b＞0， ∴AB BC = DE AE =b a= 4 3 ． 故选：． 【点睛】本题考查了勾股定理、矩形的性质、解直角三角形，等腰三角形的性质，解题的 关键是适当设未知数建立方程． 1 7．（3 分）（2022·陕西·西安市中铁中学三模）如图，在Δ ABC中，∠ACB=60°， ∠B=45°，AB=❑ √6，CE平分∠ACB交AB于点E，则线段CE的长为\( \) ．❑ √3 +1 B．2 ．❑ √2 D．❑ √6-❑ √2 【答】B 【分析】作AD⊥BC于D，作EF ⊥BC于F，分别解直角三角形ABD求得BD，AD和 CD，从而求得BC，设EF = x，在直角三角形EFC中表示出CF，进而根据CF +BF =BC 列出方程求得x，进而求得结果． 【详解】如图， 作AD⊥BC于D，作EF ⊥BC于F， 在Rt△ABD中，BD= AD= AB sin ⋅ B=❑ √6× ❑ √2 2 =❑ √3， 在Rt△ADC中，∠DAC =90° - ∠ACB=30°，CD= AD tan30 ⋅ °=❑ √3× ❑ √3 3 =1， ∴BC =❑ √3+1， 在Rt△BEF中，设BF = EF = x， 在Rt△EFC中，∠FEC =90° - ∠BCE=60°， CF = EF tan60 ⋅ °=❑ √3 x， 由CF +BF =BC得， ❑ √3 x + x =❑ √3+1， ∴x =1， ∴EC =2 EF =2， 故答为：B． 1 【点睛】本题考查了解直角三角形，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直 角三角形． 8．（3 分）（2022·江苏南通·一模）如图，在正方形格中，每个小正方形的边长均为1，线 段和BD 的端点都在格线的交点上．若与BD 相交于点E，则t∠EB 的值为( ) ． ❑ √3 3 B．1 2 ．❑ √3 D．2 【答】B 【分析】由于BF 是△的中位线， BF=1 2 CH=1.5, AF=FC=1 2 AC=2.5；利用 △BFE∽△DEC可得BF CD = FE CE ，设FE=x，求得E=l， FE=BF，可得∠BEF=∠FBE，在 Rt△BGD 中，可求t∠EB＝t∠GBD＝1 2． 【详解】设BG 与交于点F，如图， ∵B＝B＝2，BF∥， ∴BF 是△的中位线． ∴BF＝1 2＝15，F＝F＝1 2＝25． ∵BF∥， ∴△BFE∽△DEC ． ∴BF CD = FE CE ． 设FE＝x，则E＝25﹣x． 1 ∴1.5 1 = x 2.5−x ． 解得：x＝15． ∴BF＝FE＝15． ∴∠BEF＝∠FBE． t ∴∠EB＝t∠GBD． 在Rt△BGD 中，t∠GBD＝GD GB ＝2 4 =1 2． t ∴∠EB＝t∠GBD＝1 2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，三角形的中位线，三角形的相似的判定与性质． 熟练掌握相似三角形的判定及性子是解题的关键． 9．（3 分）（2022·浙江嘉兴·一模）如图，在▱ABCD中，AB=4 , AD=10,∠B=60°． 作AE⊥AB交BC边于点E，连接DE，则sin∠EDC的值为（ ） ． ❑ √21 14 B．1 2 ． ❑ √7 7 D． ❑ √21 7 【答】 【分析】过点E作EF ⊥AD于点F，过点C作CG⊥ED于点G，根据三角函数以及勾股 定理求出BE , AE , AF , EF , FD , ED , EC的长度，然后根据三角形面积公式得出CG的长 度，结果可得． 【详解】解：过点E作EF ⊥AD于点F，过点C作CG⊥ED于点G， ∵ AE⊥AB， ∴∠BAE=90°， ∵ AB=4 ,∠B=60°， ∴AE=AB·tan 60°=4 ❑ √3，BE= AB cos60° =8， ∴EC=BC−BE=10−8=2， 1 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD=120°， ∴∠EAF=∠BAD−∠BAE=120°−90°=30°， ∵ EF ⊥AD， ∴∠AFE=90°， ∴EF=1 2 AE=2❑ √3， ∴ AF=AE·cos30°=6， ∴FD=AD−AF=10−6=4， ∴ED= ❑ √E F 2+F D 2= ❑ √(2❑ √3) 2+4 2=2❑ √7， ∴S△ECD=1 2 EC·EF=1 2 ED·CG， 即1 2 ×2×2❑ √3=1 2 ×2❑ √7×CG， ∴CG=2❑ √21 7 ， ∴sin∠EDC=CG CD = 2❑ √21 7 4 = ❑ √21 14 ， 故选：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，勾股定理，含30°的直角三角形 的性质等知识点，熟练掌握解直角三角形以及勾股定理是解本题的关键． 10．（3 分）（2022·广东·景中实验中学二模）如图，在正方形BD 中，E，F 分别为B，D 的中点，点G 在D 边上，∠GAE=∠BAE，G 交BF 于点，连接EH , EG ,CH．下列结 论：①△AHE≌△BCF；②¿∥BF；③sin∠ABF=2❑ √5 5 ；④14 S△GCH=S△ABH，其中 正确的结论有（ ） 1 ．4 个 B．3 个 ．2 个 D．1 个． 【答】B 【分析】先证明△E≌△BF（S），即可判断①，由三角形的中位线定理可证GE∥BF，即可 判断②，由勾股定理可求BF 的长，即可求s∠BF＝s∠BF，即可判断③，由相似三角形的 性质可求F，，的长，即可求出16 S△GCH=S△ABH，即可判断④． 【详解】解：如图，设BF 与E 的交点为， 设B＝4， ∵四边形BD 是正方形， ∴B＝B＝D＝D＝4，∠B＝∠BD＝90°， ∵E，F 分别为B，D 的中点， ∴F＝DF＝2＝E＝BE， ∴△BE≌△BF（SS）， ∴∠BE＝∠BF，BF＝E，∠EB＝∠BF， ∵∠BF+∠BF＝90°＝∠BF+∠BE， ∴∠B＝90°＝∠， 又∵∠BE＝∠GE，＝， ∴△ △ ≌B（S）， ∴＝B，∠B＝∠＝90°， ∴E 垂直平分B， ∴BE＝E，∠BE＝∠E＝90°， ∴∠E＝∠BF＝90°，＝B＝B，∠GE＝∠BE＝∠BF， ∴△E≌△BF（S），故①正确； ∵＝B， ∴∠B＝∠B， ∵B∥D， 1 ∴∠BF＝∠FB， ∴∠FB＝∠B＝∠F， ∴FG＝G， ∵E＝BE＝E， ∴∠E＝∠E，∠EB＝∠EB， ∵∠E＋∠E＋∠EB＋∠EB＝2∠E＋2∠EB＝180°， ∴∠B＝∠E＋∠EB＝ 90°， ∴∠G＝∠G， ∴G＝G， ∴FG＝G＝G＝， 又∵E＝BE， ∴GE∥BF，故②正确； ∵BF= ❑ √BC 2+C F 2= ❑ √16a 2+4 a 2=2❑ √5a， s ∴∠BF＝s∠BF＝BC BF = 4 a 2❑ √5=2❑ √5 5 ， 故③正确； ∵∠F＝∠BF＝90°，∠F＝∠FB， ∴△F∽△BF， ∴CF BF =CH BC = FH CF ， ∴2a 2❑ √5a=CH 4 a = FH 2a ， ∴CH= 4 ❑ √5 5 a，FH=2❑ √5 5 a， ∴BH=8 ❑ √5 5 a， ∵s∠BF＝AO AB = 2❑ √5 5 ， ∴AO=8 ❑ √5 5 a， ∵FG＝G， ∴S△GCH=1 2 S△FCH=1 2 × 1 2 × 4 ❑ √5 5 a× 2❑ √5 5 =2 5 a 2， ∵S△ABH=1 2 × AO×BH=1 2 × 8 ❑ √5 5 a× 8 ❑ √5 5 a=32 5 a 2， 1 ∴16 S△GCH=S△ABH，故④错误， 故选：B． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三 角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些 性质解决问题是解题的关键． 二．填空题（共6 小题，满分18 分，每小题3 分） 11．（3 分）（2022·广东·东莞市粤华学校二模）在△B 中，sin B=1 2 ，＝2❑ √2，D 是B 边上 的高，∠D＝45°，则B 的长为 _____． 【答】2❑ √3+2或2❑ √3-2 【分析】分两种情况讨论：当D 在△B 的内部时，当D 在△B 的外部时，即可求解． 【详解】解：如图，当D 在△B 的内部时， ∵D 是B 边上的高， ∴∠DB=∠D=90°， 在Rt △ACD中，∠D＝45°， ∴△D 是等腰直角三角形， ∵＝2❑ √2， ∴DC = AD= AC sin45°=2❑ √2× ❑ √2 2 =2， 在Rt △ABD中，sin B=1 2 ， ∴sinB= AD AB =1 2 ， ∴B=4， ∴BD= ❑ √A B 2- A D 2= ❑ √4 2-2 2=2❑ √3， ∴BC =BD+ DC =2❑ √3+2； 如图，当D 在△B 的外部时， ∵D 是B 边上的高， 1 ∴∠DB=∠D=90°， 在Rt △ACD中，∠D＝45°， ∴△D 是等腰直角三角形， ∵＝2❑ √2， ∴DC = AD= AC sin45°=2❑ √2× ❑ √2 2 =2， 在Rt △ABD中，sin B=1 2 ， ∴sinB= AD AB =1 2 ， ∴B=4， ∴BD= ❑ √A B 2- A D 2= ❑ √4 2-2 2=2❑ √3， ∴BC =BD - DC =2❑ √3-2； 综上所述，B 的长为2❑ √3+2或2❑ √3-2． 故答为：2❑ √3+2或2❑ √3-2 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 12．（3 分）（2022·江苏连云港·一模）已知s= 5 13 (为锐角)，则t=_____________ 【答】5 12 【分析】根据同角三角函数，可得答． 【详解】解：∵sin α= 5 13， ∴cosα= ❑ √1 2−( 5 13 ) 2 =12 13 ， ∴tan α= sin α cosα = 5 12； 故答为：5 12． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，利用同角三角函数的关系是解题关键． 13．（3 分）（2022·贵州·铜仁市第十一中学一模）如图，在Rt△B 中，∠＝90°，点D 是B 的中点，ED⊥B 交于点E 且t∠BE＝3 4 ，则t＝_____ 1 【答】1 3 【分析】在Rt△EB 中，先用含k 的代数式表示出B、E、BE，再利用线段垂直平分线的性 质说明BE 与E 的关系，最后在Rt△B 中求出∠的正切 【详解】解：在Rt△EB 中， t ∵∠BE＝3 4 ＝BC CE ， 设B＝3k，E＝4k ∴BE＝❑ √BC 2+C E 2＝5k ∵D 是B 的中点，ED⊥B， ∴BE＝E＝5k ∴＝E+E＝5k+4k＝9k 在Rt△B 中， t＝BC AC =3k 9k =1 3， 故答为：1 3； 【点睛】本题考查了解直角三角形和线段垂直平分线的性质，掌握直角三角形的边角间关 系及“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”是解决本题的关键． 14．（3 分）（2022·山东济宁·一模）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝5，＝3，点D 是B 上一动点，连接D，将△D 沿D 折叠，点落在点F，连接DF 交B 于点E，连接F，BF．当 △BFD 是直角三角形时，DE 的长为 _______． 【答】3 2或3 4 【分析】分三种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理及锐角三角函数可求解． 【详解】解：如图1，当点E 与点F 重合时． 1 在Rt△B 中，BC= ❑ √A B 2−A C 2= ❑ √5 2−3 2=4． 由翻折的性质可知；E＝＝3，D＝DE，∠D＝∠FD＝90°，则EB＝2． 设D＝ED＝x，则BD＝4﹣x． 在Rt△DBE 中，DE2+BE2＝DB2，即x2+22＝（4﹣x）2． 解得：x=3 2， ∴DE＝3 2； 如图2 所示：∠EDB＝90°时． 由翻折的性质可知：＝F，∠＝∠FD＝90°． ∵∠＝∠FD＝∠DF＝90°， ∴四边形DF 为矩形． 又∵＝F， ∴四边形