专题05 最短路径的三种考法（解析版）

专题05 最短路径的三种考法 类型一、坐标系的最值问题（和最小，差最大问题） 例．在平面直角坐标系中，B(2，2 )，以B 为一边作等边△B（点在x 轴正半轴上）． （1）若点是y 轴上任意一点，连接，在直线上方以为一边作等边△D． ①如图1，当点D 落在第二象限时，连接BD，求证：B BD ⊥ ； ②若△BD 是等腰三角形，求点的坐标； （2）如图2，若FB 是边上的中线，点M 是FB 一动点，点是B 一动点，且M+M 的值最小， 请在图2 中画出点M、的位置，并求出M+M 的最小值． 【答】（1）①见解析；②点的坐标为(0，﹣4)或(0，4)；（2）2 【分析】（1）①证明△BD≌△（SS），得出∠BD＝∠＝90°即可； ②存在两种情况：当点D 落在第二象限时，作BM⊥于M，由等边三角形的性质得出＝2M ＝4，同①得△BD≌△（SS），得出BD＝，∠BD＝∠＝90°，若△BD 是等腰三角形，则BD＝ B，得出＝B＝＝4，则（0，﹣4）； 当点D 落在第一象限时，作BM⊥于M，由等边三角形的性质得出＝2M＝4，同①得 △BD≌△（SS），得出BD＝，∠BD＝∠＝90°，若△BD 是等腰三角形，则BD＝B，得出＝B＝ ＝4，则（0，4）； （2）作' B ⊥于'，作M B ⊥于，此时M+M 的值最小，由等边三角形的性质和勾股定理求出 ＝2 即可． 【详解】解：（1）①证明：∵△B 和△D 是等边三角形， B ∴＝＝B，＝D，∠B＝∠D＝60°， BD ∴∠ ＝∠， 在△BD 和△中， ， BD ∴△ ≌△（SS）， BD ∴∠ ＝∠＝90°， B BD ∴⊥ ； ②解：存在两种情况： 当点D 落在第二象限时，如图1 所示： 作BM⊥于M， B ∵（2，2 ）， M ∴ ＝2，BM＝2 ， B ∵△是等边三角形， ∴＝2M＝4， 同①得：△BD≌△（SS）， BD ∴ ＝，∠BD＝∠＝90°， 若△BD 是等腰三角形，则BD＝B， ∴＝B＝＝4， ∴（0，﹣4）； 当点D 落在第一象限时，如图1 1 ﹣所示： 作BM⊥于M， B ∵（2，2 ）， M ∴ ＝2，BM＝2 ， B ∵△是等边三角形， ∴＝2M＝4， 同①得：△BD≌△（SS）， BD ∴ ＝，∠BD＝∠＝90°， 若△BD 是等腰三角形，则BD＝B， ∴＝B＝＝4， ∴（0，4）； 综上所述，若△BD 是等腰三角形，点的坐标为（0，﹣4）或（0，4）； （2）解：作' B ⊥于'，作M B ⊥于，如图2 所示： B ∵△是等边三角形，' B ⊥，FB 是边上的中线， ' ∴＝ B＝2，BF⊥，BF 平分∠B， ' B ∵⊥，M B ⊥， M ∴ ＝M'， ' ∴和关于BF 对称，此时M+M 的值最小， M+M ∴ ＝M+M'＝， ∵＝ ＝ ＝2 ， M+M ∴ ＝2 ； 即M+M 的最小值为2 ． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、 等腰直角三角形的性质以及最小值问题；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质，证 明三角形全等是解题的关键． 【变式训练1】如图所示，点 ， ，且，b 满足 ．若P 为x 轴 上异于原点和点的一个动点，连接 ，以线段 为边构造等腰直角 （P 为顶点）， 连接 ． (1)如图1 所示，直接写出点的坐标为 ，点B 的坐标为 ； (2)如图2 所示，当点P 在点，之间运动时，则 、 之间的位置关系为 ；并加以证明； (3)如图3 所示，点P 在x 轴上运动过程中，若 所在直线与y 轴交于点F，请直接写出F 点的坐标为 ，当 的值最小时，请直接写出此时 与 之间的数量关系 ． 【答】(1) ， ；(2)垂直，见解析；(3) ， 【分析】（1）根据非负数的性质得到 ， ，得到 ， ，于是得到结果； （2）过点E 作 轴于，证明 ，由全等三角形的性质得出 ，由等腰直角三角形的性质得出 ，证出 ，则可得出结论； （3）由直角三角形的性质证出 ，则可得出 ；取点 ，连接 、 ，与G 关于直线 对称，连接 交 于E，连接 ，则 ，根据三角形的 面积关系可得出 ． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， 故答为： ， ； （2）证明：过点E 作 轴于， ∵ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 故答为垂直； （3）解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 取点G ，连接 ， ∵ ， ， ∴与G 关于直线 对称，连接 交 于E，连接 ，则 ， 此时 最小， ， ∵E 到 的距离相等， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答为： ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，等 腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键． 【变式训练2】在平面直角坐标系中，B(2，2 )，以B 为一边作等边△B（点在x 轴正半轴 上）． （1）若点是y 轴上任意一点，连接，在直线上方以为一边作等边△D． ①如图1，当点D 落在第二象限时，连接BD，求证：B BD ⊥ ； ②若△BD 是等腰三角形，求点的坐标； （2）如图2，若FB 是边上的中线，点M 是FB 一动点，点是B 一动点，且M+M 的值最小， 请在图2 中画出点M、的位置，并求出M+M 的最小值． 【答】（1）①见解析；②点的坐标为(0，﹣4)或(0，4)；（2）2 【详解】解：（1）①证明：∵△B 和△D 是等边三角形， B ∴＝＝B，＝D，∠B＝∠D＝60°， BD ∴∠ ＝∠，在△BD 和△中， ，∴△BD≌△（SS）， BD ∴∠ ＝∠＝90°，∴B BD ⊥ ； ②解：存在两种情况：当点D 落在第二象限时，如图1 所示：作BM⊥于M， B ∵（2，2 ），∴M＝2，BM＝2 ， B ∵△是等边三角形，∴＝2M＝4， 同①得：△BD≌△（SS），∴BD＝，∠BD＝∠＝90°， 若△BD 是等腰三角形，则BD＝B，∴＝B＝＝4，∴（0，﹣4）； 当点D 落在第一象限时，如图1 1 ﹣所示：作BM⊥于M， B ∵（2，2 ），∴M＝2，BM＝2 ，∵△B 是等边三角形，∴＝2M＝4， 同①得：△BD≌△（SS），∴BD＝，∠BD＝∠＝90°， 若△BD 是等腰三角形，则BD＝B，∴＝B＝＝4，∴（0，4）； 综上所述，若△BD 是等腰三角形，点的坐标为（0，﹣4）或（0，4）； （2）解：作' B ⊥于'，作M B ⊥于，如图2 所示： B ∵△是等边三角形，' B ⊥，FB 是边上的中线，∴'＝ B＝2，BF⊥，BF 平分∠B， ' B ∵⊥，M B ⊥，∴M＝M'， ' ∴和关于BF 对称，此时M+M 的值最小，∴M+M＝M+M'＝， ∵＝ ＝ ＝2 ，∴M+M＝2 ；即M+M 的最小值为2 ． 类型二、几何图形中的最短路径问题 例1．如图，已知 ， 平分 ， ， 在 上， 在 上， 在 上．当 取最小值时，此时 的度数为（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】作点 关于 的对称点 ，作点 关于 的对称点 ，连接 、 、 、 、 ，则由轴对称知识可知 ，所以依据垂线段最短知： 当 在一条直线上，且 时， 取最小值，根据直角三 角形的两锐角互余及三角形外角的性质可以求出 【详解】解：∵ ， 平分 ， ∴ ， 作点 关于 的对称点 ，作点 关于 的对称点 ，连接 、 、 、 、 ， 则 ， ， ， ， ， ∴ ， ， ， ， 当 在一条直线上，且 时， 取最小值， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选：D 【点睛】本题考查了最短路径问题，等腰三角形等边对等角，直角三角形的两锐角互余， 三角形外角的性质，垂线段最短，通过作对称点化折为直是解题的关键 例2．如图，在三角形 中， ， ， 于D，M，分别是线 段 ， 上的动点， ，当 最小时， ． 【答】 【分析】在 下方作 ，使 ，连接 ，则 最小值为 ，此 时、、 三点在同一直线上，推出 ，所以 ， 即可得到 ． 【详解】解：在 下方作 ，使 ，连接 ． 则 ， ． ∴ ， 即 最小值为 ，此时、、 三点在同一直线上． ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了最短路线问题以及等腰三角形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问 题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的 对称点． 【变式训练1】如图，在等腰 中， ， ， 是等边三角形， P 是 的平分线上一动点，连接 ， ，则 的最小值为 ． 【答】20 【分析】先确定点P 是等腰 对称轴上一点，再构造将军饮马模型得到 的最 小值为 的长，从而使问题得到解决． 【详解】连接 ， ∵ 是等腰三角形， ， 是 的角平分线， ∴ 所在直线为等腰 对称轴，点B 与点关于 对称，∴ ， ∴ ，即 的最小值为 的长． ∵ 是等边三角形，∴ ，∴ 的最小值为20．故答为：20． 【点睛】本题考查轴对称﹣最短路线问题，涉及等腰三角形，等边三角形的性质，确定问 题是将军饮马模型问题是解题的关键． 【变式训练2】如图，等腰三角形 的底边 的长为4，面积为24，腰 的垂直平分 线 分别交边 ， 于点 ， ，若 为 边的中点， 为线段 上一动点，则 的最小值为（ ） ．8 B．10 ．12 D．14 【答】 【分析】连接 ， ，根据 ，求得 ，根据 ， ，得到 ，当，M，D 三点共线时， 取得最小值，且 最小值为 ，计算即可． 【详解】解：连接 ， ， ∵等腰三角形 的底边 的长为4，面积为24， 为 边的中点， ∴ ， ∴ ，解得 ， ∵腰 的垂直平分线 分别交边 ， 于点 ， ，∴ ， ∵ ，∴ ， 当，M，D 三点共线时， 取得最小值，且最小值为 ， 故选：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，线段的垂直平分线性质，三角形不等式 求最值，熟练掌握三角形不等式求最值是解题的关键． 【变式训练3】如图，在等边△B 中，BF 是边上的中线，点D 在BF 上，连接D，在D 的右 侧作等边△DE，连接EF，当△EF 周长最小时，∠FE 的大小是( ) ．30° B．45° ．60° D．90° 【答】D 【分析】首先证明点E 在射线E 上运动（∠E=30°），因为F 为定值，所以当E+EF 最小时， △EF 的周长最小，作点关于直线E 的对称点M，连接FM 交E 于E′，此时E + ′ FE′的值最小， 根据等边三角形的判定和性质即可求出∠FE 的大小． 【详解】解：∵△B，△DE 都是等边三角形， ∴B=，D=E，∠B=∠DE=∠B=60°， ∴∠BD=∠E， ∴△BD≌△E， ∴∠BD=∠E， ∵F=F， ∴∠BD=∠BD=∠E=30°， ∴点E 在射线E 上运动（∠E=30°）， 作点关于直线E 的对称点M，连接FM 交E 于E′，此时E + ′ FE′的值最小， = ∵M，∠M=60°，∴△M 是等边三角形， ∵F=F，∴FM⊥， ∴∠FE =90° ′ ， 故选D． 【点睛】本题考查轴对称——最短距离问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判 定和性质等知识，解题的关键是证明点E 在射线E 上运动（∠E=30°），本题难度比较大， 属于中考选择题中的压轴题． 【变式训练4】如图，在Rt B △中，∠B=90°，∠B=60°，B=4，点D 是B 上一动点，以BD 为边 在B 的右侧作等边△BDE，F 是DE 的中点，连结F，F，则F+F 的最小值是 【答】2 ． 【分析】以B 为边作等边三角形BG，连接FG，G，作G⊥交的延长线于，根据等边三角形 的性质得到D=EG，根据全等三角形的性质得到F=FG，于是得到在点D 的运动过程中， F+F=F+FG，而F+FG≥G，当F 点移动到G 上时，即，F，G 三点共线时，F+F 的最小值=G，根 据勾股定理即可得到结论． 【详解】以B 为边作等边三角形BG，连接FG，G， 作G⊥交的延长线于， BDE ∵△ 和△BG 是等边三角形， D=EG ∴ ， FD= FEG=120° ∴∠ ∠ ， DF=EF ∵ ， DF EFG ∴△ ≌△ （SS）， F=FG ∴ ， ∴在点D 的运动过程中，F+F=F+FG，而F+FG≥G， ∴当F 点移动到G 上时，即，F，G 三点共线时，F+F 的最小值=G， B=G= ∵ B=2，=2 ， 在Rt△G 中，∠G=30°，G=2，∴G=1，= ， G= ∴ = =2 ， F+F ∴ 的最小值是2 ． 【点睛】此题考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的 作出辅助线是解题的关键． 类型三、最短路径问题的实际应用 例1 如图1，直线 表示一条河的两岸，且 现在要在这条河上建一座桥，桥的长度 等于河宽度且桥与河岸垂直．使村庄 经桥过河到村庄 现在由小明、小红两位同学在图 2 设计两种： 小明：作 ，交 于点 ，点 ．在 处建桥．路径是 ． 小红：作 ，交 于点 ，点 ；把 平移至BE，连E，交 于 ，作 于 ．在 处建桥．路径是 ． （1）在图2 中，问：小明、小红谁设计的路径长较短？再用平移等知识说明理由． （2）假设新桥就按小红的设计在 处实施建造了，上游还有一座旧桥，早上10 点某小船 从旧桥下到新桥下，到达后立即返回，在两桥之间不停地来回行驶，船的航行方向和水流 方向与桥保持垂直船在静水每小时14 千米，水流每小时2 千米，第二天早上6 点时小明发 现船在两桥之间（未到两桥）且离旧桥40 千米处行驶求这两桥之间的距离． 【答】（1）小红设计的路径更短一些，原因见解析；（2）两桥之间的距离为 千米或 千米或 千米； 【详解】解：（1）小红设计的路径更短一些；理由如下： 连接E，∵ ，且 ，∴ 为平行四边形，可得 ， 小红走的路线是： ， 小明走的路线是： ， ∵在三角形 中， ，, 所以小明的路线比小红的要长， 即：小红设计的路径更短一些； （2）设小船一共走了次完整的来回，两桥之间距离为千米， 由题可得顺流所需时间为 ，逆流所需要的时间是 ， 所以一个完整来回所需时间为 ，次完整的来回所需时间为： ； ∵小船早上 点出发，第二天早上点发现， ∴小船行驶了 小时； ①若小明发现小船时，船是从旧桥到新桥的， 则依题意可得： ， 化简可得： ， ∵为整数，且 ， ∴ ， 即：两桥之间的距离为 千米； ②若小明发现小船时，船是从新桥到旧桥的， 则依题意可得： ， 化简可得： ， ∵为整数，且 ， ∴ ，或 ； 即：两桥之间的距离为 千米或 千米； 综上可得：两桥之间的距离为 千米或 千米或 千米； 例2．如图，圆柱的底面半径为 ，圆柱高 为 ， 是底面直径，求一只蚂蚁从 点出发沿圆柱表面爬行到点的最短路线．小明设计了两条路线： 路线1：高线 ＋底面直径 ，如图所示，设长度为． 路线2：侧面展开图中的线段 ，如图b 所示，设长度为 ． (1)你认为小明设计的哪条路线较短？请说明理由； (2)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为 ，高 为 ”继续按前面的路线进行计算．（结果保留 ） ①此时，路线1 的长度 ，路线2 的长度 ； ②所以选择哪条路线较短？试说明理由． 【答】(1)选择路线1 较短，理由见解析 (2)①8， ；②选择路线2 较短，理由见解析 【分析】（1）利用勾股定理计算后，比较大小即可； （2）把条件改成：“圆柱底面半径为 ，高 为 ”继续按前面的路线进行计算即 可． 【详解】（1）解：剪开前， ， ，∴ ， 剪开后， ， ， ∴ ； ∵ ，∴ 即 所以选择路线1 较短； （2）解：① ， ． ② ， ∴ 即 所以选择路线2 较短． 【点睛】此题主要考查了平面展开最短路径问题，比较两个数的大小，有时比较两个数的 平方比较简便，比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减．注意运用类比的方法做 类型题． 【变式训练】阅读下列材料，解决提出的问题： 最短路径问题:如图（1），点，B 分别是直线l 异侧的两个点，如何在直线l 上找到一个点， 使得点到点，点B 的距离和最短？我们只需连接B，与直线l 相交于一点，可知这个交点即 为所求． 如图（2），如果点，B 分别是直线l 同侧的两个点，如何在l 上找到一个点，使得这个点 到点、点B 的距离和最短？我们可以利用轴对称的性质，作出点B 关于的对称点B，这时 对于直线l 上的任一点，都保持B＝B，从而把问题（2）变为问题（1）．因此，线段B 与 直线l 的交点的位置即为所求． 为了说明点的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点′，连接′，B′，B′′．因为B′≤′ + B ′ ′，∴+B＜'+′B，即+B 最小． 任务： 数学思考 （1）材料中划线部分的依据是 ． （2）材料中解决图（2）所示问题体现的数学思想是 ．（填字母代号即可） ．转化思想 B．分类讨论思想 ．整体思想 迁移应用 （3）如图，在Rt△B 中，∠＝90°，∠B＝15°，点P 为边上的动点，点D 为B 边上的动点， 若B＝8m，则BP+DP 的最小值为 m． 【答】（1）两点之间线段最短或三角形的两边之和大于第三边；（2）；（3）4 【详解】（1）材料中划线部分的依据是两点之间线段最短或三角形的两边之和大于第三边； 故答为两点之间线段最短或三角形的两边之和大于第三边； （2）材料中解决图（2）所示问题体现的数学思想是转化的思想，故答为． （3）如图（3）中，作点B 关于点的对称点B′，连接B′．作B B ⊥′于． 作点D 关于的对称点D′，则PD＝PD′， PB+PD ∴ ＝PB+PD′， 根据垂线段最短可知，当点D′与重合，B，P，D′共线时，PB+PD 的最小值＝线段B 的长， B ∵＝B′，⊥BB′， B ∴＝B′， B ∴∠＝∠B′＝15°， B ∴∠＝30°， 在Rt△B 中，∵B＝8m，∠B＝30°， B ∴＝ B＝4m， PB+PD ∴ 的最小值为4m． 故答为4． 课后训练 1．如图，D 为等边△B 的高，E、F 分别为线段D、上的动点，且E＝F，当BF＋E 取得最 小值时，∠FB＝ °． 【答】105° 【分析】如图，作辅助线，构建全等三角形，证明△E F ≌△，得E＝F，将E 转化为F，与BF 在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点F 的位置，即F 为与B 的交点时，BF ＋E 的值最小，求出此时∠FB＝105°． 【详解】解：如图，作