专题01 勾股定理与几何综合的三种考法（原卷版）

专题01 勾股定理与几何综合的三种考法 类型一、翻折问题 例1．（三角形折叠）如图，三角形纸片中， ， ， ，折叠这个 三角形，使点B 落在 的中点D 处，折痕为 ，那么 的长为___________． 例2．（四边形折叠）如图，在矩形BD 中，B＝5，B＝6，点M，分别在D，B 上，且3M ＝D，3B＝B，E 为直线B 上一动点，连接DE，将△DE 沿DE 所在直线翻折得到△ ， 当点 恰好落在直线M 上时，E 的长为_______． 【变式训练1】如图，在等腰 中， ， ，点 和 分别是 和 上两点，连接 ，将 沿 折叠，得到 ，点 恰好落在 的中点处， 与 交于点 ，则折痕 的长度为（ ） ． B． ． D． 【变式训练2】如图， 纸片中， ， ， ， ，点D 在边B 上，以D 为折痕 折叠得到 ， 与边B 交于点E，若 为直角 三角形，则BD 的长是______． 【变式训练3】如图，在正方形 中， ，点 是 的中点，连结 ，则 ______；点F 在边B 上，将△BF 沿F 折叠，点B 恰好落在E 上的点G 处，连结EF， 则 ______． 类型二、最值问题 例1．（垂线段最值）如图， 中， ， ， ，点 在 上，将 沿 折叠，点 落在点 处， 与 相交于点 ，则 的最大值 为________． 例2．（几何意义最值）求代数式 的最小值_____． 例3．（将军饮马最值）如图，点D 是线段B 上的一个动点，过点D 作 ，连接 B，，E 是线段D 上的一点，且 ，连接EB，E，已知 ， ，则 的最小值为________． 【变式训练1】如图，为线段BD 上一动点，分别过点B，D 作B⊥BD，ED⊥BD，连接， E．已知B＝2，DE＝1，BD＝4，设D＝x． (1)用含x 的代数式表示＋E 的值； (2)探究：当点满足什么条件时，＋E 的值最小？最小值是多少？ (3)根据（2）中的结论，请构造图形求代数式 的最小值． 【变式训练2】小明发现墙上有四边形涂鸦，如图， ， ， ，现在小明想用一个最 小的圆形纸板对其完全遮盖，则此圆形纸板的直径为（ ） ． B． ． D． 类型三、解三角形问题 例1．如图，在 中， ， ，点D 在上，且 ，点E 是B 上 的动点，连接DE，点F，G 分别是B，DE 的中点，连接G，FG，当 时，线段DE 的长为（ ）． ． B．2 ． D．4 例2．如图，在 中， ，点 、 分别为 、 边的三等分点（靠近 点 ），已知 ， ，则斜边 的长为_________． 【变式训练1】如图，四边形 中， ， ． ，若 ，则 的长为______． 【变式训练2】如图，在长方形BD 中，点E 是B 上一点，连结E，以E 为对称轴作△BE 的 轴对称图形△B′E，延长EB′恰好经过点D，过点E 作EF⊥B，垂足为E，交B′于点F，已知 B＝9，D＝15，则EF＝___． 【变式训练3】如图， 与 均为直角三角形，且 ， ， ，点E 是 的中点，则 的长为（ ） ． B． ．2 D．3 课后训练 1．如图，将矩形 沿直线 折叠，顶点D 恰好落在 边上点F 处，已知 ， ，则图中阴影部分的面积为（ ） ．20 B．24 ．28 D．30 2．如图，在 中， ， ， ，将 折叠，使点 恰好落在 边 上，与点 重合， 为折痕，则 的长等于__________． 3．如图所示，将一张矩形纸片 先沿着 折叠，使点刚好落在 边上点G 处，再 沿着 折叠（其中点F 为 上的一点），使点恰好落在 上点处，连接 ，若 ，且 ，则 ______． 4．如图，在等腰直角 中， ， ，将 沿某直线翻折，使得点 落在 的中点上，如果折痕与 的交点为 ，那么 的长为______． 5．如图，在 中， ，D 在 上，将 沿直线 翻折后，点落在点E 处，如果 ，那么 的面积是___________． 6．如图，在四边形 中， ，连接 ，若 ，则 ______． 7．如图，在矩形 中， ， ，点E 在边 上，点、D 关于直线 的对 称点分别是点M、．如果直线 恰好经过点，那么 的长是__________． 8．如图，在四边形 中， ， ，垂足为E， ， ，若 ， ，则D 的长为___________． 9．如图，如果四边形 中， ， ， ，且 ， ， ，则 ______． 10．如图，在矩形 中，已知 将矩形 折叠，使点 与点 重合，折痕 为 连接 的面积与 的面积比为 ，则 的值为______________． 11．如图的实线部分是由 经过两次折叠得到的首先将 沿高 折叠，使点 落在斜边上的点 处，再沿 折叠，使点 落在 的延长线上的点 处若图中 ， ， ，则 的长为______ 12．如图，矩形 中， ， ，点 为 上一个动点，把 沿 折叠， 当点 的对应点 落在 的角平分线上时， 的长为______．