专题01 勾股定理与几何综合的三种考法（解析版）

专题01 勾股定理与几何综合的三种考法 类型一、翻折问题 例1．（三角形折叠）如图，三角形纸片中， ， ， ，折叠这个 三角形，使点B 落在 的中点D 处，折痕为 ，那么 的长为___________． 【答】7 【分析】过点作⊥B 于点，过点D 作DG⊥B 于点G，由 ， ， ， 可得的长，由点D 是的中点，可得D 的长，再根据直角三角形的性质，可求得DG，G 的 长，进而可得BG 的长，设BF=x，则FG= -x，FD=BF=x，在△DFG 中，由勾股定理列方 程可求得答． 【详解】解：如图，过点作⊥B 于点，过点D 作DG⊥B 于点G， ∵ ， ， ∴ ， 在Rt△中，∠=30°， =2 ∴ ， ， ∴ ， 又∵点D 是的中点， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， 设BF=x，则FG= -x，FD=BF=x， 在Rt△DFG 中，由勾股定理可得， ，即 ， 解得x=7， 故答为7 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、折叠的性质、勾股定 理等，准确作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 例2．（四边形折叠）如图，在矩形BD 中，B＝5，B＝6，点M，分别在D，B 上，且3M ＝D，3B＝B，E 为直线B 上一动点，连接DE，将△DE 沿DE 所在直线翻折得到△ ， 当点 恰好落在直线M 上时，E 的长为_______． 【答】25 或10 【分析】分两种情况： 点在线段 上；点 在 的延长线上．分别由折叠性质勾股定 理，矩形的性质进行解答． 【详解】解：设 ，则 ， 当 点在线段 上时，如图1， 矩形 中， ，B=6， ， ， ， 点 ， 分别在 ， 上，且 ， ， ， 四边形 为平行四边形， ， 四边形 是矩形， ， 由折叠知， ， ， ， ， ， ， 解得， ，即 ； 当 点在 的延长线上时，如图2， 矩形 中， ，B=6， ， ， ， 点 ， 分别在 ， 上，且 ， ， ， 四边形 为平行四边形， ， 四边形 是矩形， ， 由折叠知， ， ， ， ， ， ， 解得， ，即 ；综上， 或10． 故答为：25 或10． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，一元一次方程的应用，折叠的性 质，关键是分情况讨论． 【变式训练1】如图，在等腰 中， ， ，点 和 分别是 和 上两点，连接 ，将 沿 折叠，得到 ，点 恰好落在 的中点处， 与 交于点 ，则折痕 的长度为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】在 Rt 中， 求出 ， 设 ， 则 ， 在 中， 由勾股定理得 ， 求得 ， 在 中， 求出 ， 过点 怍 于点 ， 则 ， 设 ， 则 ， 在 Rt 中， ， 可求 ， 在 Rt 中， ， 可求 ， 则 ． 【详解】解∶ 由折叠可知， ， 等腰Rt 中， ， ， 是 的中点， ， 在Rt 中， ， ， 设 ， 则 ， 在 中， ， ， ， 在 Rt 中， ， 过点 作 于点 ， ， ， 设 ， 则 ， 在 Rt 中， ， 在 Rt 中， ， ， ， ， 故选∶ ． 【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关 键． 【变式训练2】如图， 纸片中， ， ， ， ，点D 在边B 上，以D 为折痕 折叠得到 ， 与边B 交于点E，若 为直角 三角形，则BD 的长是______． 【答】 或 【分析】根据勾股定理求得 的长，然后由翻折的性质可知： ，然后 分 和 两种情况画出图形求解即可． 【详解】解：∵ 纸片中， ， ， ∴ ， ∵以 为折痕， 折叠得到 ， ∴ ， ， ． 当 时，如图1 所示， ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，∴ ； 当 时，如图2 所示， 与点E 重合， ∵ ，∴ ， 设 ，则 ， 在 中， ， ∴ ，解得： ，∴ ， 综上所述， 的长为 或 ， 故答为： 或 ． 【点睛】本题考查了翻折的性质、勾股定理、三角形外角的性质、以及等腰三角形的判定， 根据勾股定理列出关于x 的方程是解题的关键． 【变式训练3】如图，在正方形 中， ，点 是 的中点，连结 ，则 ______；点F 在边B 上，将△BF 沿F 折叠，点B 恰好落在E 上的点G 处，连结EF， 则 ______． 【答】 【分析】可根据勾股定理求解 ；再根据折叠性质和勾股定理求得 ，再根据三 角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵在正方形 中， ，点 是 的中点， ∴ ， ， ， 在 中， ； 由折叠性质得 ， ， ，∴ ， 由勾股定理得 ， ∴ ，解得 ，则 , ∴ ，故答为： ； ． 【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理、折叠性质，熟练掌握勾股定理，利用勾股定 理建立方程求解是解答的关键． 类型二、最值问题 例1．（垂线段最值）如图， 中， ， ， ，点 在 上，将 沿 折叠，点 落在点 处， 与 相交于点 ，则 的最大值 为________． 【答】 【分析】首先利用勾股定理求出 ，然后确定 取最大值时 最小，然后利用垂线段 最短解决问题． 【详解】解：在 中， ， ， ， ， ， ， 当 最小时， 最大， 当 时 最小， 又 ，解得 ， 的最小值为 ， 的最大值为 ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了翻折变换，涉及点到直线最短距离、勾股定理求线段长、等面积法求 线段长等知识，灵活运用勾股定理及翻折不变性是解题的关键． 例2．（几何意义最值）求代数式 的最小值_____． 【答】10 【分析】把式子化为两点间距离公式， ， 即所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点 与点 、点 的距离之和， 设 关于 轴的对称点为 ，则 ，要求 的最小值，只需求 的最小值，根据线段的性质可得， 的最小值为线段 的长度，据此即可用勾股 定理求解． 【详解】解：把式子化为两点间距离公式， ， 即所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点 与点 、点 的距离之和， 如图所示， 设 关于 轴的对称点为 ，则 ， 要求 的最小值，只需求 的最小值， 根据线段的性质可得， 的最小值为线段 的长度， ， ， ， 即代数式 的最小值是10． 【点睛】本题考查的是勾股定理、用轴对称求最短路线问题的题目，掌握勾股定理和转化 思想的应用是解决此题的关键． 例3．（将军饮马最值）如图，点D 是线段B 上的一个动点，过点D 作 ，连接 B，，E 是线段D 上的一点，且 ，连接EB，E，已知 ， ，则 的最小值为________． 【答】 【分析】延长 至点 ，使得 ，过点 作 ，并在该垂线上截取 ，可证 ，得到 ，因此 ，当 与 在同一直线时， 为最小，过点 作 ，交 的延长线 于点F，构造出 ，利用勾股定理求出 的长，从而得到 的最小值． 【详解】如图，延长 至点 ，使得 ，过点 作 ，并在该垂线 上截取 ∵ ，且 ∴ ， ∵ ， 又 ∴ ∵ ， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 如下图，当 与 在同一直线时， 为最小 过点 作 ，交 的延长线于点F ∵ ， ， ∴四边形 为矩形 ∴ ， ∴ ∴在 中， ∴ 的最小值为 ，即 的最小值为 ， 故答为： ． 【点睛】本题考查两点之间线段最短，三角形全等的判定与性质，勾股定理，正确作出辅 助线是解题的关键． 【变式训练1】如图，为线段BD 上一动点，分别过点B，D 作B⊥BD，ED⊥BD，连接， E．已知B＝2，DE＝1，BD＝4，设D＝x． (1)用含x 的代数式表示＋E 的值； (2)探究：当点满足什么条件时，＋E 的值最小？最小值是多少？ (3)根据（2）中的结论，请构造图形求代数式 的最小值． 【答】(1) (2)5 (3)13 【分析】（1）由于△B 和△DE 都是直角三角形，故，E 可由勾股定理求得； （2）若点不在E 的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，+E＞E，故当、、E 三点共线时，+E 的值最小； （3）由（1）（2）的结果可作BD=12，过点B 作B⊥BD，过点D 作ED⊥BD，使B=2， ED=3，连接E 交BD 于点，则E 的长即为代数式 的最小值，然 后构造矩形FDB，Rt△FE，利用矩形的直角三角形的性质可求得E 的值． （1） 解：∵B⊥BD，ED⊥BD 在 中， ∴＝ ＝ ， E＝ ＝ ， + ∴E＝ ； （2）当、、E 三点共线时，+E 的值最小， 过作F⊥DE 交ED 的延长线于F， ∴DF＝B＝2，∴E＝ ＝5，∴+E 的最小值是5； （3）如图2 所示，作BD＝12，过点B 作B⊥BD，过点D 作ED⊥BD，使B＝2，ED＝3， 连接E 交BD 于点， 设B＝x，则E 的长即为代数式 的最小值． 过点作F BD 交ED 的延长线于点F，得矩形BDF， 则B＝DF＝2，F＝BD＝12，EF＝ED+DF＝3+2＝5， 所以E＝ ＝ ＝13， 即 的的最小值为13． 【点睛】本题考查了最短路线问题，综合利用了勾股定理，及用数形结合的方法求代数式 的值的方法，利用两点之间线段最短是解决问题的关键． 【变式训练2】小明发现墙上有四边形涂鸦，如图， ， ， ，现在小明想用一个最 小的圆形纸板对其完全遮盖，则此圆形纸板的直径为（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】过点 作 ，过点 作 ，连接 交 于点 ，根据勾股定理 求出 ，再证明 得 ，从而进一步可得结论． 【详解】解：过点 作 ，过点 作 ，连接 交 于点 ，如图， 在 中， ， 在 中， ， ∴ ∵ ， ∴设 ，则 ， ∴ 解得， , ∴ , ∴ ； 在 中， ， 在 中， ， 设 ，则 同理可得， ， 解得， ， ∴ ∴ ∴ 又 ， ∴ ， ∴ ， 又 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ∵ ， ∴最小的圆形纸板的直径应当为 才能完全遮盖四边形， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线构造全等 三角形是解答本题的关键． 类型三、解三角形问题 例1．如图，在 中， ， ，点D 在上，且 ，点E 是B 上 的动点，连接DE，点F，G 分别是B，DE 的中点，连接G，FG，当 时，线段DE 的长为（ ）． ． B．2 ． D．4 【答】B 【分析】连接DF，F，EF，证明 ，根据全等三角形的性质得到 ， 进而求出E，根据勾股定理计算，得到答． 【详解】解：连接DF，F，EF， 在 中， ， ， ， 点G 是DE 的中点，点F 是B 的中点， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形，且 ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， 在 中， ， 故选：B． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、掌握直角三角形的性 质是解题的关键． 例2．如图，在 中， ，点 、 分别为 、 边的三等分点（靠近 点 ），已知 ， ，则斜边 的长为_________． 【答】 【分析】设 ， ，根据三等分点的定义可得 ， ，根据 ， ， ，根据勾股定理可得 ， ，继而得到 ，最后再利用勾股定理得到 ， 代入计算即可得出结论． 【详解】解：设 ， ， ∵点 、 分别为 、 边的三等分点（靠近点 ）， ∴ ， ， 在 中， ， ， ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴斜边 的长为 ． 故答为： ． 【点睛】本题考查勾股定理，三等分点，求代数式的值，运用了整体代入的思想．灵活运 用勾股定理是解题的关键． 【变式训练1】如图，四边形 中， ， ． ，若 ，则 的长为______． 【答】 【分析】过点 作 于点 ，证明 ，可得 ，根 据 ，得出 ，进而在 中，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点 作 于点 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， 在 中， ， ， ∴ ， 故答为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关 键． 【变式训练2】如图，在长方形BD 中，点E 是B 上一点，连结E，以E 为对称轴作△BE 的 轴对称图形△B′E，延长EB′恰好经过点D，过点E 作EF⊥B，垂足为E，交B′于点F，已知 B＝9，D＝15，则EF＝___． 【答】5 【分析】由轴对称的性质可知：B = ′ B=9，∠B′E=∠B=90°，B′E=BE，∠B′E=∠BE，然后根据 勾股定理可得DB，BE 的长，进而可得EF 的长． 【详解】解：由轴对称的性质可知：B = ′ B=9，∠B′E=∠B=90°，B′E=BE，∠B′E=∠BE， 在Rt△DB′中，根据勾股定理，得 DB = ′ =12， ∵B=D=15， ∴E=B-BE=15-BE， 在Rt△DE 中，DE=DB + ′ B′E=12+BE，D=B=9， 根据勾股定理，得 DE2=E2+D2， ∴（12+BE）2=（15-BE）2+92， 解得BE=3， ∵EF⊥B，B⊥B， ∴EF∥B， ∴∠FE=∠BE， ∵∠B′E=∠BE， ∴∠FE=∠B′E， ∴F=FE， ∴FB = ′ B - ′ F=9-FE， 在Rt△EFB′中，根据勾股定理，得 EF2=FB′2+EB′2， ∴EF2=（9-FE）2+32， 解得EF=5． 故答为：5． 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴 对称的性质． 【变式训练3】如图， 与 均为直角三角形，且 ， ， ，点E 是 的中点，则 的长为（ ） ． B． ．2 D．3 【答】B 【分析】根据勾股定理和已知条件可得 ， ，证明 ，得出 ，求出 ，利用勾股定理求出 ，即可得出答 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， 设 的延长线交于点F，如图， 则 ， ∵点E 是 的中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， 则在直角三角形 中， ， ∴ ； 故选：B 【点睛】本题考查了勾股定理和全等三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理、证明三角 形全等是解题的关键 课后训练 1．如图，将矩形 沿直线 折叠，顶点D 恰好落在 边上点F 处，已知 ， ，则图中阴影部分的面积为（ ） ．20 B．24 ．28 D．30 【答】D 【分析】根据矩形对边相等四角都是直角，折叠对应线段相等，得到 ，根据勾股定 理得到 ， ，推出 ，根据三角形面积公式即得答． 【详解】解：设 ， ∵矩形 中， ，且 ， ∴ ， ∵ ， ， 由折叠的性质知， ， ∴ ， ∴ ∵ ， ， ∴ ， 解得， ， ∴ ， ， ∴ ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形，折叠，勾股定理．解决问题的关键是熟练掌握矩形的边角 性质，折叠图形全等性质，勾股定理解直角三角形，三角形的面积公式． 2．如图，在 中， ， ， ，将 折叠，使点 恰好落在 边 上，与点 重合， 为折痕，则 的长等于__________． 【答】25 【分析】根据折叠得到 ， ，设 ，则 ，根据勾 股定理求得 的值，再由勾股定理可列方程求解即可． 【详解】解：根据折叠可得 ， ， 设 ，则 ， 在 中， ， ， 在 中，由勾股定理得， ，解得 ，故答为：25 【点睛】本题考查的是翻折变换的性质，解题的关键是掌握折叠前后图形的形状和大小不 变，对应边和对应角相等，能熟练运用勾股定理列方程解决问题． 3．如图所示，将一张矩形纸片 先沿着 折叠，使点刚好落在 边上点G 处，再 沿着 折叠（其中点F 为 上的一点），使点恰好落在 上点处，连接 ，若 ，且 ，则 ______． 【答】 【分析】由翻折性质可得 ， 全等，由面积比可得 ，在直角三角形 中可求 的长，由直角三角形 中可 求 ． 【详解】解：由折叠可得： ， ∵ ， ∴ ， 由翻折可得： ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∵由翻折性质可得： ， ∴ ， ∴ ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答为： ． 【点睛】本题主要考查了翻折图形性质，矩形的性质，勾股定理，解决本题的关键是要熟 练掌握矩形的性质，勾股定理． 4．如图，在等腰直角 中， ， ，将 沿某直线翻折，使得点 落在 的中点上，如果折痕与 的交点为 ，那么 的长为______． 【答】 【分析】作 ，由题意可得D=3,根据翻折变换的性质可得 ≌ ，由全等 三角形的性质可得DM=MB；然后根据等腰三角形的性质可得G=DG，再根据勾股定理可 得 ；设GM=x，则MB=DM= ，可根据B=G+GM+MB 求得GM，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图， 折到 的中点 处，折痕为 ，作 ， ∴D=D=3 是 翻折而成， ≌ ， ∴DM=MB ∵等腰直角 中 ， ∴G=DG ∵作 ∴ ,即 ,解得： 设GM=x，则MB=DM= ∵B=G+GM+MB ∴ ，解得：x=2 ， ． 故答为： ． 【点睛】本题主要考查的是图形翻折变换的性质、勾股定理、线段的和差等知识点，掌握 折叠和全等三角形的关系是解答本题的关键． 5．如图，在 中， ，D 在 上，将 沿直线 翻折后，点落在点E 处，如果 ，那么 的面积是___________． 【答】1 【分析】先根据勾股定理计算出B=2，根据含30 度的直角三角形三边的关系得到∠B=30°， 在根据折叠的性质得BE=B=2，∠BED=∠BD=30°，D=DE，由于D⊥ED 得 ，所以 ∠BF=∠BED=30°，在Rt BF 中可计算出 ， ，则 ， 在Rt DEF 中计算出 ， ，然后利用 计算即可． 【详解】解：∵∠=90°，= ，B=1， ∴ ， ∴∠B=30°， ∵ DB 沿直线BD 翻折后，点落在点E 处， ∴BE=B=2，∠BED=∠BD=30°，D=DE， ∵D⊥ED， ∴ ， ∴∠BF=∠BED=30°， 在Rt BF 中， ， ， ∴ ， 在Rt DEF 中， ， ， ∴ ． 故答为：1． 【点睛】本题考查了勾股定理，含30 度的直角三角形三边的关系，平行线的性质及折叠问 题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等． 6．如图，在四边形 中， ，连接 ，若 ，则 ______． 【答】 【分析】先过点D 作 于点E，求出 ， ，然后根据“ ”证 ，得出 ， ，最后再根据勾股定理计算 即 可． 【详解】解：过点D 作 于点E， ∵ ， ，