九下专题01 反比例函数K的三种考法（教师版）

专题01 反比例函数K 的三种考法 类型一、求K 值 例1．如图，菱形BD 的顶点分别在反比例函数y＝ 和y＝ 的图象上，若∠BD＝60°， 则 的值是( ) ．－ B．－ ．－ D．－ 【答】 【详解】解：连接 、 ， ∵四边形 是菱形， ∴ ． ∵菱形 的顶点分别在反比例函数 和 的图象上， ∴ 与 、 与 关于原点对称， ∴ 、 经过点 ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 作 轴于 ， 轴于 ， ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选：． 例2 如图，放置含30°的直角三角板，使点B 在y 轴上，点在双曲线y= 上，且B⊥y 轴，B 的延长线交x 轴于点D，若S△D=3．则k=( ) ．3 B．3 ．6 D．9 【答】 【详解】解：设 点坐标为 ． 轴， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ． 故选：． 【变式训练1】如图，函数 的图象过矩形BD 一边的中点，且图象过矩形PE 的 顶点P，若阴影部分面积为6，则k 的值为______． 【答】6 【详解】解：设函数图象过B 的中点，中点坐标为(m， )，则(m， )， ∴S 阴影=S 矩形BD-S 矩形PE=2k-k=6， ∴k=6； 若函数图象过D 的中点，中点坐标为(m， )，则(2m， )， ∴S 阴影=S 矩形BD-S 矩形PE=2k-k=6， ∴k=6． 综上，k 的值为6． 故答为：6． 【变式训练2】如图，点 ， 分别在函数 与 的图象上，线段 的中点 在 轴上．若 的面积为 ，则 的值是______． 【答】4 【详解】解：如图，作 轴于 ， 轴于 ， 设 ，则 ， ， 线段 的中点 在 轴上， 点 的横坐标为 ， 设 ，则 ， ， ， ， ， ， ， 故答为： ． 【变式训练3】如图，在 中， ，点在反比例函数 的图像上， 点B，在 轴上， ，延长 交 轴于点 ，连接 ，若 的面积等于 ， 则 的值为______． 【答】6 【详解】解：如图，连接，过点作E⊥x 轴于点E， = ∵B，E⊥B， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵∠E=∠D=90°，∠D=∠E， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，∴ ，∴ ， ∵ ， ∴ ．故答为：6． 【变式训练4】如图，在平面直角坐标系中，矩形B 的两边，分别在x 轴，y 轴的正半轴上， 双曲线 (x＞0)分别与边B，B 相交于点E，F，且点E，F 分别为B，B 的中点，连接 EF．若△BEF 的面积为5，则k 的值是_____． 【答】20 【详解】解：∵四边形B 是矩形， ∴B＝，＝B， 设B 点的坐标为(，b)， ∵点E、点F 分别为B、B 边的中点， ∴E( ，b)，F(， b)， ∵E、F 在反比例函数的图象上，∴ b＝k， ∵S△BEF＝5，∴ × × b＝5，即 b＝5， ∴b＝40，∴k＝ b＝20． 故答为：20． 【变式训练5】如图，在平面直角坐标系 中，点，B 是反比例函数 ( ，k 为常 数)的图像上两点(点在第一象限，点B 在第三象限)，线段 交x 轴于点，若 ， 的面积分别为： 和 ，则 ______________． 【答】12 【详解】解：过点作D⊥x 轴于点D，过点B 作BE⊥x 轴于点E，如图所示： ∵ ， ，∴ ， 设点的纵坐标为 ，则点B 的纵坐标为-2m， ∴点的横坐标为 ，点B 的横坐标为： ， 设点的坐标为： ， ，则 ， ， ∵ ， ，∴ ，∴ ，即 ， 整理得： ，则 ，∴ ，解得： ． 故答为：12． 【变式训练6】如图，直角坐标系中，矩形 的对角线 的中点与原点 重合，点 为 轴上一点，连接 ， 为 的中点，反比例函数 的图像经过 ， 两点，若 平分 ， 的面积为6，则 的值为_____________． 【答】4 【详解】如图，连接BD，F，过点作⊥E 于，过点F 作FM⊥E 于M． ∵∥FM， 为 的中点，， ∴M=ME， ∴FM= ， ∵，F 在反比例函数的图像上， ∴S△=S△FM= k， ∴ ••= •M•FM， = ∴ M， = ∴M=EM， ∴ME= E， ∴S△FME= S△FE， ∵D 平分∠E， ∴∠D=∠ED， ∵四边形BD 是矩形， = ∴D， ∴∠D=∠D=∠DE， ∴E∥BD， ∴S△DE=S△E， ∴S△E=6， ∵F=EF， ∴S△EF= S△E=3， ∴S△FME= S△EF=1， ∴S△FM=S△FE-S△FME=2= k， ∴k=4． 故答为：4． 类型二、求面积 例1．在平面直角坐标系xy 中，矩形BD 的顶点B 在x 轴正半轴上，顶点D 在y 轴正半轴上 如图，若反比例函数y= (x>0)的图象与D 交于点M，与B 交于点，M=2DM，连接M，， M，则 ( ) ． B． ． D．1 【答】 【详解】解：如图，过点M 作ME⊥x 轴于点E， ∵点M、是反比例函数y= 图象上的点， ∴ ， ∴ ， 设点M(t， )，则(3t， )，E(t，0)，B(3t，0)，(3t， )， ∴ = M•= •2t•( - )= ； = (ME+B)•BE= ( + )•2t= ， ∴ ． 故选：． 例2．如图，一次函数 与反比例函数 的图像相交于、B 两点，与x 轴， y 轴分别相交于、D 两点，连接、B．过点作 轴于点 ，交 于点 ．设点的横坐 标为 ．若 ，则 的值为( ) ．1 B． ．2 D．4 【答】B 【详解】 作BG 丄x 轴于G 点， 设(m， )，B(， )， 由y=-x+b 知，直线B 与x 轴夹角为45º，∴∠BG=45º，∴∠BG=45º，∴GB=B= ∵E 丄x 轴，∴E=m， ∵、B 两点都在 上， 由k 的几何意义可知，S△E=S△BG= ， ∵S△F+S 四边形EFB=4， 即S△E-S△EF+S△BG-S△EF+S△BG=4， 2-2S△EF+2+S△BG=4，∴S△BG=2S△EF， 由 轴，BG 丄x 轴，得E∥BG， ∴△EF∽△GB，∴ ，∴ ，∴ ， ∴ ， ∴ ，得 ， ， ∵m＞0，∴ ， 故选B． 例3．如图，四边形B 为平行四边形，在x 轴上，且∠＝60°，反比例函数 (k＞0)在第一 象限内过点，且与B 交于点E．若E 为B 的中点，且S△E＝8 ，则的长为( ) ．8 B．4 ． D． 【答】D 【详解】过点作D⊥x 轴于点D，过点E 作EF⊥x 轴于点F，如图， ∵四边形B 为平行四边形，∴=B， ，∴∠EF= =60° ∠ ， ∵在Rt△D 中，∠D=60°，∴∠D=30°， 设D=t，∴D= ，=B=2t， ∵在Rt△EF 中，∠EF=60°，E= B=t，∴F= t，EF= F= ， ∵点与点E 都在反比例函数 的图像上，∴D×D=F×EF， ∴ ，∴=F-EF=2t- t= t， ∵平行四边形B 的面积为 ，∴ ， ， 解得 ，(负值舍去)，∴=2t= ， 故选：D． 【变式训练1】如图，过原点的直线与反比例函数 的图象交于、B 两点，点在第一象 限，点在x 轴正半轴上，连接交反比例函数图象于点D，E 为∠B 的平分线，过点B 作E 的 垂线，垂足为E，连接DE，E，若 ，则△DE 的面积为( ) ． B． ．8 D． 【答】B 【详解】解：连接E，E，过点作F⊥x 轴，过点D 作D⊥x 轴，过点D 作DG⊥F， ∵过原点的直线与反比例函数 (k＞0)的图象交于、B 两点， ∴与B 关于原点对称， ∴是B 的中点， ∵BE⊥E， ∴E＝， ∠ ∴ E＝∠E， ∵E 为∠B 的平分线， ∠ ∴ DE＝∠E＝∠E， ∴D∥E， ∴S△E＝S△， 设点(m， )， ∵D＝2D，D∥F，∴3D＝F，∴D(3m， )， ∥ ∵GD，G∥D，∴△D∽△GD，∴S△D＝ S△DG， ∵S△＝S△F+S 梯形FD+S△D＝ ×4+ (D+F)×F+S△D＝ ×4+ × ×2m+ × ×2m＝8， ∵D＝2D，∴△DE 的面积为 ， 故选：B． 【变式训练2】如图平面直角坐标系中，菱形 的边 在 轴上，反比例函数 的图象经过菱形对角线的交点 ，且与边 交于点 ，点 的坐标为 ， 则 的面积为( ) ． B． ． D． 【答】 【详解】解：∵四边形BD 是菱形， ∴＝， (8 ∵ ，4)， (4 ∴ ，2)， 把点(4，2)代入，反比例函数y＝ (x＞0)得， ，解得k＝8， ∴反比例函数的解析式为y＝ ； 过点作M⊥x 轴于点M，过点作⊥x 轴于点， 设B＝x，则B＝x，B＝8﹣x， 在Rt△B 中，x2 (8 ﹣ ﹣x)2＝42， 解得：x＝5， ∴点B 的坐标为B(5，0)， 设直线B 的函数表达式为y＝x+b，直线B 过点B(5，0)，(8，4)， ∴ ，解得： ，∴直线B 的解析式为y＝ x﹣ ， 联立方程组得 ，解得： 或 ， ∴点F 的坐标为F(6， )， 作F⊥x 轴于，连接F， ∴S△BF＝ B•F＝ ×5× ＝ ， 故选：． 【变式训练3】如图，矩形 的顶点 、 分别在反比例函数 与 的图象上，点 、 在 轴上， ， 分别交 轴于点 、F，则阴影部 分的面积为( ) ．3 B．5 ．6 D．9 【答】B 【详解】解：设点的坐标为(， )，＞0．则D＝，E＝ ． ∴点B 的纵坐标为 ．∴点B 的横坐标为﹣ ．∴＝ ．∴BE＝ ． ∵B∥D，∴ ，∴ ＝ ． ∴EF＝ E＝ ，F＝ E＝ ． ∴ ＝1． ＝4． ∴S 阴影＝S△BEF+S△DF＝1+4＝5． 故选：B． 【变式训练4】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点， 的顶点在反比例函数 的图像上，顶点B 在反比例函数 的图像上，顶点在x 轴的正半轴上， 则 的面积是______________． 【答】 【详解】解：延长 交 轴于点 ，过点 作 轴于点 ， 轴于点 ， 的顶点 在反比例函数 的图像上，顶点 在反比例函数 的图像上， ， ， ， 在平行四边形 中， ， ，故答为：6． 【变式训练5】如图，点M 在函数 (x＞0)的图像上，过点M 分别作x 轴和y 轴的平行 线交函数 (x＞0)的图像于点B、，连接B、，则△B 的面积为_________． 【答】21 【详解】延长MB、M，分别交y 轴、x 轴于点E、D， ∵MB∥x 轴，M∥y 轴，∴MB⊥y 轴，M⊥x 轴，∴∠ME=∠MD=90°， ∵∠ED=90°，∴四边形EDM 是矩形， 设 ，则 ， ， ∴ =21． 故答为：21． 【变式训练6】如图，分别位于反比例函数 ， 在第一象限图象上的两点、B，与 原点在同一直线上，且 ．过点作x 轴的平行线交 的图象于点，连接B，则 的面积为________． 【答】8 【详解】作E，BF 分别垂直于x 轴，垂足为E，F， ∴E∥BF， ∴△E∽△BF， ∴ ＝ ＝ ＝ 由点在函数y＝ 的图象上， 设的坐标是 ， ∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ∴F＝3m，BF＝ ， 即B 的坐标是 又点B 在y＝ 的图象上， ∴ ＝ ，解得k＝9， 则反比例函数y＝ 的表达式是y＝ ∵ ，B ， 又已知过作x 轴的平行线交y＝ 的图象于点， ∴的纵坐标是 把y＝ 代入y＝ 得x＝9m，∴的坐标是 ，∴＝9m－m＝8m ∴S△B＝ ×8m× ＝8， 故答为：8 【变式训练7】如图，在反比例函数 的图象上，有点 ，它们的 横坐标依次为2，4，6，8，…分别过这些点作 轴与 轴的垂线，图中所构成的阴影部分 的面积从左到右依次记为 ，则 _______， ____ ___(用含 的代数式表示， 为正整数)． 【答】 75 【详解】解：∵在反比例函数 的图象上，有点P1，它的横坐标为2， ∴当x=2 时，y=5，∴点P1的坐标为(2，5)． 由题意，可知点P2、P3、P4坐标分别为：(4， )，(6， )，(8， )， ∵图中所构成的阴影部分的总面积正好是从点P1向x 轴、y 轴引垂线构成的长方形面积减 去最下方的长方形的面积，∴阴影部分的面积和S1+S2+S3=2×5-2× =75． S ∴1+S2+S3+…+S= 故答为 75， ． 类型三、求点的坐标 例1．如图，平行四边形 的项点 在 轴的正半轴上，点 在对角线 上，反 比例函数 的图象经过 、 两点．已知平行四边形 的面积是6， 则点 的坐标为( ) ． B． ． D． 【答】B 【详解】解：∵点D(2，1)在反比例函数 上， ∴k=2×1=2，∴反比例函数解析式为： ， 设直线B 的函数解析式为y=mx，∵点D(2，1)在对角线B 上， 2 ∴m=1，即 ，∴B 的解析式为： , ∵点在反比例函数图象上，∴设点坐标为(， )， ∵四边形B 为平行四边形，∴B ，∴点B 的纵坐标为 ， 将y= 代入 ，解得：x= ， ∴点B 坐标为( ， )，∴B= ， ∵平行四边形B 的面积是6， ( ∴ )× =6，解得：=1 或=-1(舍去)， ∴ ， ，∴点B 坐标为： ， 故选：B． 例2．如图，一次函数 与反比例函数 的图像相交于、B 两点，与x 轴， y 轴分别相交于、D 两点，连接、B．过点作 轴于点 ，交 于点 ．设点的横坐 标为 ．若 ，则 的值为( ) ．1 B． ．2 D．4 【答】B 【详解】 作BG 丄x 轴于G 点，设(m， )，B(， )， 由y=-x+b 知，直线B 与x 轴夹角为45º， ∴∠BG=45º，∴∠BG=45º，∴GB=B= ∵E 丄x 轴，∴E=m， ∵、B 两点都在 上， 由k 的几何意义可知S△E=S△BG= ， ∵S△F+S 四边形EFB=4， 即S△E-S△EF+S△BG-S△EF+S△BG=4， 2-2S△EF+2+S△BG=4，∴S△BG=2S△EF， 由 轴，BG 丄x 轴，得E∥BG， ∴△EF∽△GB， ∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ ，得 ， ， ∵m＞0，∴ ， 故选B． 例3．如图，点，D 分别在函数 和 的图象上，点B，在x 轴上，若四边形 为正方形，点D 在第一象限，则D 的坐标是__________． 【答】( ，4) 【详解】如图，设D 与y 轴交于点P， 根据反比例函数k 的几何意义可知: ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． 将 代入 ，得 ， 解得： ， ∴D( ，4)． 【变式训练1】如图，平面直角坐标系中，矩形B 的边，分别在x 轴和y 轴上，反比例函数 的图象与B，B 分别交于点E，点F，若矩形对角线的交点D 在反比例函数 图象上，且ED B，则点E 的坐标是_______． 【答】(2，4 ) 【详解】解：连接E， ∵反比例函数 的图象与B、B 分别交于点E、F， ∴ ， 设D(m，) ∵矩形对角线的交点D 在反比例函数的图象上，∴m= ，= ， ∵矩形B 的边，分别在x 轴和y 轴上， ∴B(2m，2)，∴=2，B=2m， ∴ ，∴E= ， ∴BE ，E( ， )，∴= ， ∵D=BD，ED B，∴E=BE= ， 在Rt E 中， ， ∴ 整理得 ∵m 0，∴m=4，∴E(2，4 )， 故答为：(2，4 )． 【变式训练2】如图，点在函数 的图像上，点B，在函数 的图像上， 若∥y 轴，B∥x 轴，且B＝ ，则B＝________． 【答】 【详解】解：延长、B 交坐标轴于F、E，作D⊥y 轴于D，BG⊥x 轴于G， 设(m，)， ∵点在函数 的图像上，点B、在函数 的图像上，∥y 轴，B∥x 轴， ∴S 四边形DF=S 四边形BEG=18，m=12， ∴S 四边形ED=S 四边形BGF，∴•m=B•， ∵B= ，∴m= ，∴ •=12，∴ ，∴ ，∴点的横坐标为，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ，∴ ， ∴ ，故答为： ． 【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，，分别为x 轴、y 轴正半轴上的点，以，为边， 在第一象限内作矩形B，且S 矩形B＝2 ，将矩形B 翻折，使点B 与原点重合，折痕为 M，点的对应点'落在第四象限，过M 点的反比例函数y＝ (k≠0)的图象恰好过M 的中点， 则k 的值为 _____，点'的坐标为 _____． 【答】 ## 【详解】解：如图所示，连接B 交M 于Q， 由折叠的性质可得M=MB，Q=B， ∵四边形B 是矩形， ∴ ， ∴∠MQ=∠Q，∠BMQ=∠Q， 又∵BQ=Q， ∴△BMQ≌△Q(S)， ∴QM=Q，即点Q 为B 的中点， 过点Q 作Q⊥x 轴于， ∴ ， ∴△Q∽△B， ∴ ， ∵四边形B 是矩形， ∴ ， ∵Q 在反比例函数图象上， ∴ ； 过点 作 轴于G， ∵点M 在反比例函数图象上， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 设M=，则BM=M=3， ∴ ， ∴ ， 解得 (负值已经舍去)， ∴B==2， ， ∵QM=QG，Q=BQ， ∴四边形MB 是平行四边形， ∴ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ，∴点的坐标为 故答为： ， ． 【变式训练4】如图，已知直线y＝kx＋b 与函数y＝ (x＞0)的图象交于第一象限内点，与 x 轴负半轴交于点B，过点作⊥x 轴于点，点D 为B 中点，线段D 交y 轴于点E，连接BE． 若△BE 的面积为 ，则m 的值为___． 【答】27 【详解】过点作F⊥y 轴于点F，连接E，如图 ∵⊥x 轴，F⊥ ∴四边形F 是矩形 ∵点D 是B 的中点 ∴D、ED 分别是△B、△BE 的边B 上的中线，∴ ， ∴ ，即 ∵ ， ，∴ ∴根据反比例函数解析式中k 的几何意义知， ∵反比例函数的图象在第一象限，∴m=27 故答为：27． 【变式训练5】如图，直线 与双曲线 相交于，B 两点．平行四边形DE 的 顶点在双曲线上，点E 在x 轴上且DE 过点，连接B ．若 的面积为5，则D 点坐标为 _______． 【答】( ， ) 【详解】解：令 ， 解得： ， 结合图像有(-4,3)，B(4,-3) 根据反比例函数的对称性，有 , ∴根据面积公式： ， ， 设D 为(m，)，则( ，)， 又∵ ，∴E( ，0)， 分别过、B 作垂直于坐标轴的垂线交于M 如图示， 解得 (舍) 又 ， 故答为：( ， )