专题19.6 一次函数的综合大题专项训练（50道）（解析版）

专题196 一次函数的综合大题专项训练（50 道） 【人版】 考卷信息： 本套训练卷共50 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了一次函数的综合大 题的所有类型！ 一．解答题（共50 小题） 1．（2022•江阴市校级模拟）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐 标轴围成矩形的周长与面积相等，则称这个点为强点．例如，图中过点P 分别作x 轴， y 轴的垂线与坐标轴围成矩形PB 的周长与面积相等，则点P 是强点． （1）点M（1，2），（4，4），Q（6，﹣3）中，是强点的有 ， Q ； （2）若强点P（，3）在直线y＝﹣x+b（b 为常数）上，求和b 的值． 【分析】（1）利用矩形的周长公式、面积公式结合强点的定义，即可找出点，Q 是强 点； （2）分＞0 及＜0 两种情况考虑：①当＞0 时，利用强点的定义可得出关于的一元一次 方程，解之可得出的值，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出b 值；②当＜0 时， 利用强点的定义可得出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再利用一次函数图象上 点的坐标特征可求出b 值．综上，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵（4+4）×2＝4×4，（6+3）×2＝6×3， ∴点，Q 是强点． 故答为：，Q． （2）分两种情况考虑： ①当＞0 时，（+3）×2＝3， ∴＝6． ∵点P（6，3）在直线y＝﹣x+b 上， 3 ∴＝﹣6+b， ∴b＝9； ②当＜0 时，（﹣+3）×2＝﹣3， 1 ∴＝﹣6． ∵点P（﹣6，3）在直线y＝﹣x+b 上， 3 ∴＝6+b， ∴b＝﹣3． 综上所述：＝6，b＝9 或＝﹣6，b＝﹣3． 2．（2022 秋•东营区校级期末）点P（x，y）在第一象限，且x+y＝8，点的坐标为（6， 0）．设三角形P 的面积为S． （1）用含x 的解析式表示S，写出x 的取值范围． （2）当点P 的横坐标为5 的时候，三角形P 的面积是多少？ 【分析】（1）根据题意画出图形，根据三角形的面积公式即可得出S 关于x 的函数关系 式，由函数关系式及点P 在第一象限即可得出自变量x 的取值范围； （2）把x＝5 代入（1）中函数关系即可得出S 的值； 【解答】解：（1）∵和P 点的坐标分别是（6，0）、（x，y）， ∴S¿ 1 2 ×6×y＝3y． ∵x+y＝8， ∴y＝8﹣x． ∴S＝3（8﹣x）＝24 3 ﹣x． ∴用含x 的式子表示S 为：S＝﹣3x+24． ∵S＝﹣3x+24＞0， ∴x＜8； 又∵点P 在第一象限， ∴x＞0， 综上可得，x 的范围为0＜x＜8； （2）当x＝5 时，S＝﹣3×5+24＝﹣15+24＝9； 1 3．（2022 秋•青羊区校级期末）如图，一次函数y¿−1 2x+5 的图象l1分别与x 轴，y 轴交于、 B 两点，正比例函数的图象l2与l1交于点（m，15 4 ）． （1）求m 的值及l2的解析式； （2）求得S△﹣S△B的值为 25 2 ； （3）一次函数y＝kx+1 的图象为l3且l1，l2，l3可以围成三角形，直接写出k 的取值范围． 【分析】（1）先求得点的坐标，再运用待定系数法即可得到l2的解析式； （2）过作D⊥于D，E⊥B 于E，则D¿ 15 4 ，E¿ 5 2，再根据（10，0），B（0，5），可 得＝10，B＝5，进而得出S△﹣S△B的值； （3）先讨论l1，l2，l3不能围成三角形时分三种情况：①l3经过点（5 2，15 4 ）时，k¿ 11 10 ；②l2，l3平行时，k¿ 3 2；③11，l3平行时，k¿−1 2．进而得出l1，l2，l3可以围成三角形 时k 的取值范围． 【解答】解：（1）把（m，15 4 ）代入一次函数y¿−1 2x+5， 可得，15 4 =−1 2 m+5，解得m¿ 5 2， ∴（5 2，15 4 ）． 设l2的解析式为y＝x， 将点（5 2，15 4 ） 代入， 得15 4 =5 2，解得¿ 3 2， ∴l2的解析式为y¿ 3 2x； 1 （2）如图，过作D⊥于D，E⊥B 于E，则D¿ 15 4 ，E¿ 5 2， y¿−1 2x+5，令x＝0，则y＝5；令y＝0，则x＝10， ∴（10，0），B（0，5）， ∴＝10，B＝5， ∴S△﹣S△B¿ 1 2 ×10× 15 4 −1 2 ×5× 5 2=25 2 ． 故答为25 2 ； （3）一次函数y＝kx+1 的图象为l3，如果l1，l2，l3不能围成三角形，那么可分三种情况： ①l3经过点（5 2，15 4 ）时，5 2k+1¿ 15 4 ，解得k¿ 11 10； ②l2，l3平行时，k¿ 3 2； ③l1，l3平行时，k¿−1 2； 又y＝kx+1 是一次函数，所以k≠0． 故l1，l2，l3可以围成三角形时，k 的取值范围是k≠11 10且 k≠3 2且 k≠−1 2且k≠0． 4．（2022•来安县一模）如图，直线l 对应的函数表达式为y＝x+1，在直线l 上，顺次取点 1（1，2），2（2，3），3（3，4），4（4，5），…，（，+1），构成的形如“7”的图形 的阴影部分面积分别为S1＝3×2 2×1 ﹣ ；S2＝4×3 3×2 ﹣ ；S3＝5×4 4×3 ﹣ ；… 猜想并填空： （1）S5＝ 7×6 6×5 ﹣ ； （2）S＝ （ +2 ）（ +1 ）﹣（ +1 ）； （用含的式子表示）； （3）S1+S2+S3+…+S＝ 2 +3 （用含的式子表示，要化简）． 1 【分析】（1）根据例子的求解过程求解即可； （2）根据题意求解即可； （3）根据题意，化简即可． 【解答】解：（1）根据题意，得S5＝7×6 6×5 ﹣ ； 故答为：7×6 6×5 ﹣ ； （2）根据题意，得S＝（+2）（+1）﹣（+1）， 故答为：（+2）（+1）﹣（+1）； （3）S1+S2+S3+…+S＝3×2 2×1+4×3 3×2++ ﹣ ﹣ （+2）（+1）﹣（+1） ＝（+2）（+1）﹣2×1 ＝2+3， 故答为：2+3． 5．（2022 春•南昌期末）如图为一次函数l：y＝kx+b 的图象． （1）用“＞”、“＝”，“＜”填空：k ＞ 0，b ＞ 0； （2）将直线l 向下平移2 个单位，再向左平移1 个单位，发现图象回到l 的位置，求k 的值； （3）当k＝3 时，将直线l 向上平移1 个单位得到直线l1，已知：直线l，直线l1，x 轴， y 轴围成的四边形面积等于1，求b 的值． 【分析】（1）根据图象和坐标轴的交点位置即可判断k 和b 的符号； （2）根据平移规律列出关于k 的方程，求出k 即可； （3）用含b 的式子表示出面积，列出关于b 的方程，求出b 即可． 【解答】解：（1）∵y 随着x 的增大而增大， ∴k＞0， 1 ∵图象与y 轴的交点在x 轴的上方， ∴b＞0， 故答为＞，＞； （2）将直线l 向下平移2 个单位，再向左平移1 个单位后得到的直线解析式为： y＝k（x+1）+b 2 ﹣＝kx+k+b 2 ﹣， ∴k+b 2 ﹣＝b，解得k＝2； （3）将直线l 向上平移1 个单位得到直线l1：y＝kx+b+1， 设直线y＝3x+b 与坐标轴交于、B 两点， 可得（0，b），B（−b 3 ，0）， 设直线y＝3x+b+1 与坐标轴交于、D 两点， 可得D（0，b+1），（−b+1 3 ，0）， ∴S 四边形BD＝S△D﹣S△B＝11 2 ⋅b+1 3 ⋅(b+1)−1 2 ⋅b 3 ⋅b=1， 解得：b=5 2． 6．（2022 春•保亭县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b 与y 轴、x 轴分别交 于（﹣1，0），B（0，﹣3）． （1）求直线y＝kx+b 的解析式； （2）直接写出直线B 向下平移2 个单位后得到的直线解析式； （3）求在（2）的平移中直线B 在第三象限内扫过的图形面积． 【分析】（1）用待定系数法即可求出解析式； （2）根据“上加下减“可得平移后解析式； （3）画出图形，数形结合解决问题． 【解答】解：（1）将（﹣1，0），B（0，﹣3）代入y＝kx+b 得： 1 { −k+b=0 b=−3 ， 解得{ k=−3 b=−3， ∴直线y＝kx+b 的解析式是y＝﹣3x 3 ﹣； （2）将直线y＝﹣3x 3 ﹣向下平移2 个单位得到的直线解析式是y＝﹣3x 3 2 ﹣﹣＝﹣3x﹣ 5， （3）设平移后的直线与x 轴交于，与y 轴交于D，如图： 在y＝﹣3x 5 ﹣中，令x＝0 得y＝﹣5，令y＝0 得x¿−5 3， ∴（−5 3 ，0），D（0，﹣5）， ∴¿ 5 3，D＝5， ∴S△D¿ 1 2D•¿ 25 6 ， ∵（﹣1，0），B（0，﹣3）， ∴S△B¿ 1 2•B¿ 3 2， ∴平移中直线B 在第三象限内扫过的图形面积是25 6 −3 2=8 3． 7．（2022•邢台三模）如图，直线y＝kx+3（k＜0）与x 轴和y 轴分别交于点B 和点，点坐 标为（4，2），将直线y＝kx+3 在x 轴下方的部分记作G，作G 关于x 轴的对称图形 G1． （1）求的坐标； 1 （2）若S△B＝5，求k 的值； （3）若G1经过点，求k 的值． 【分析】（1）当x＝0 时，求出y 的值； （2）当点在△B 外部时，如图1，过点作D⊥x 轴于D，根据面积关系可得m＝2，则0＝ 2k+3，可得出答；当点在△B 内部时，如图2，根据面积关系求出k； （3）关于x 轴的对称点为'（4，﹣2），可得出﹣2＝4k+3，解之得出答． 【解答】解：（1）直线y＝kx+3（k＜0）与y 轴相交于， 则有y＝0×k+3＝3， 所以（0，3）； （2）当点在△B 外部时，如图1，过点作D⊥x 轴于D， ∵（0，3），（4，2）， ∴＝3，D＝2，D＝4． 设B（m，0） ∴S△ABC=S四边形OACD−S△AOB−S△CBD=1 2 (3+2)×4−1 2 ×3×m−1 2 (4−m)×2=5． ∴m＝2， 0 ∴＝2k+3， ∴k=−3 2 ， 当点在△B 内部时，如图2， 1 ∵S△B﹣S△﹣S△B＝5， ∴1 2 ×3×(−3 k )−1 2 ×3×4−1 2 ×2×(−3 k )=¿5， 解得：k¿−3 22． 综合可得k¿−3 2或−3 22 ． （3）关于x 轴的对称点为'（4，﹣2）， 当'（4，﹣2）在直线y＝kx+3 上时，G1经过点， 此时有﹣2＝4k+3，解之得，k=−5 4 ． 8．（2022 秋•南岸区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y¿ 1 2x+3 与x 轴、y 轴交点分别为点和点B，直线l2过点B 且与x 轴交于点，将直线l1向下平移4 个单位长 度得到直线l3，已知直线l3刚好过点且与y 轴交于点D． （1）求直线l2的解析式； （2）求四边形BD 的面积． 【分析】（1）根据直线l1的解析式求出（﹣6，0），B（0，3）．根据上加下减的平移 规律求出直线l3的解析式为y¿ 1 2x 1 ﹣，求出（2，0），D（0，﹣1）．根据直线l2过点 B、，利用待定系数法求出直线l2的解析式； （2）根据S 四边形BD＝S△B+S△D，即可求出四边形BD 的面积． 1 【解答】解：（1）∵直线l1：y¿ 1 2x+3 与x 轴、y 轴交点分别为点和点B， ∴y＝0 时，1 2x+3＝0，解得x＝﹣6， x＝0 时，y＝3， ∴（﹣6，0），B（0，3）． ∵将直线l1：y¿ 1 2x+3 向下平移4 个单位长度得到直线l3， ∴直线l3的解析式为：y¿ 1 2x+3 4 ﹣，即y¿ 1 2x 1 ﹣， ∵y＝0 时，1 2x 1 ﹣＝0，解得x＝2， x＝0 时，y＝﹣1， ∴（2，0），D（0，﹣1）． 设直线l2的解析式为y＝kx+b， ∵直线l2过点B（0，3）、点（2，0）， ∴{ b=3 2k+b=0，解得{ k=−3 2 b=3 ， ∴直线l2的解析式为y¿−3 2x+3； （2）∵（﹣6，0），B（0，3），（2，0），D（0，﹣1）， ∴＝2﹣（﹣6）＝8，B＝3，D＝1， ∴S 四边形BD＝S△B+S△D ¿ 1 2•B+1 2 •D ¿ 1 2 ×8×3+1 2 ×8×1 ＝12+4 ＝16． 9．（2022 春•开封期末）如图，点、B 在单位长度为1 的正方形格的格点上，建立平面直 角坐标系，使点、B 的坐标分别为（﹣3，0）、（2，0）． （1）请在图中建立平面直角坐标系． （2）若、D 两点的坐标分别为（1，2）、（﹣2，2），请描出、D 两点．、D 两点的 坐标有什么异同？直线D 与x 轴有什么关系？ 1 （3）若点E（2m+4，m 1 ﹣）为直线D 上的一点，则m＝ 3 ，点E 的坐标为 （ 10 ， 2 ） ． 【分析】（1）利用、B 点的坐标建立直角坐标系； （2）利用（1）所画的直角坐标系判断点，D 所在的位置，即可得到结论； （3）根据题意得到m 1 ﹣＝2，即可求得m＝3，进一步求得点E 的坐标为（10，2）． 【解答】解：（1）如图， ； （2）、D 两点的横坐标不同，纵坐标相同，直线D 与x 轴平行； （3）∵点E（2m+4，m 1 ﹣）为直线D 上的一点， ∴m 1 ﹣＝2，解得m＝3， 2 ∴m+4＝10， ∴点E 的坐标为（10，2）， 故答为：3，（10，2）． 1 10．（2022 春•涪陵区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y¿−1 2x 2 ﹣与x 轴、y 轴分 别交于，B 两点．将直线y¿−1 2x 2 ﹣沿y 轴向上平移6 个单位长度得到直线l，直线l 与 x 轴、y 轴分别交于，D 两点． （1）求点的坐标，并在同一平面直角坐标系中直接画出直线l 的图象； （2）连接B，D，求四边形BD 的面积． 【分析】（1）根据平移的规律求得直线l 的解析式，进一步根据x 轴上点的坐标特征即 可求得点的坐标； （2）求得、B 的坐标，即可求得的长度，由于BD＝6，即可根据1 2•BD 求得结果． 【解答】解：（1）将直线y¿−1 2x 2 ﹣沿y 轴向上平移6 个单位长度得到直线l 为y¿−1 2 x 2+6 ﹣ ¿−1 2x+4， ∵直线l 与x 轴、y 轴分别交于，D 两点， ∴令y＝0，则−1 2 x+4＝0， 解得x＝8， ∴（8，0）． 在同一平面直角坐标系中直接画出直线l 的图象如图， 1 （2）∵直线y¿−1 2x 2 ﹣与x 轴、y 轴分别交于，B 两点， ∴（﹣4，0），B（0，﹣2）， ∵直线y¿−1 2 x+¿4 与x 轴、y 轴分别交于，D 两点， ∴（8，0），D（0，4）， ∴＝8﹣（﹣4）＝12， ∴S 四边形BD＝S△D+S△B¿ 1 2 AC ⋅BD=1 2 ×12×6=¿36． 11．（2022 春•朝阳区期末）在平面直角坐标系xy 中，直线y＝2x+1 与x 轴交于点，与y 轴 交于点B． （1）求点，B 的坐标； （2）点关于y 轴的对称点为，将直线y＝2x+1，直线B 都沿y 轴向上平移t（t＞0）个单 位，点（﹣1，m）在直线y＝2x+1 平移后的图形上，点（2，）在直线B 平移后的图形 上，试比较m，的大小，并说明理由． 【分析】（1）令x＝0 和y＝0 时，代入解析式得出坐标即可； （2）求得直线B 的解析式为y＝﹣2x+1，根据平移的规律得到y＝2x+1+t、y＝﹣ 2x+1+t，由图象上点的坐标特征得到m＝﹣2+1+t＝﹣1+t，＝﹣4+1+t＝﹣3+t，由m﹣＝ 2＞0，即可得出m＞． 【解答】解：（1）∵直线y＝2x+1 与x 轴交于点，与y 轴交于点B． 将x＝0 代入y＝2x+1，得到：y＝1， ∴B（0，1）， 将y＝0 代入y＝2x+1，得到2x+1＝0， 解得：x¿−1 2， 1 ∴（−1 2 ，0）； （2）∵点关于y 轴的对称点为， ∴（1 2，0）， ∴直线B 为y＝﹣2x+1， 将直线y＝2x+1，直线B 都沿y 轴向上平移t（t＞0）个单位，得到y＝2x+1+t、y＝﹣ 2x+1+t， ∵点（﹣1，m）在直线y＝2x+1+t 上， ∴m＝﹣2+1+t＝﹣1+t， ∵点（2，）在直线y＝﹣2x+1+t 上， ∴＝﹣4+1+t＝﹣3+t， ∵m﹣＝﹣1+t﹣（﹣3+t）＝2＞0， ∴m＞． 12．（2022 春•新蔡县期末）如图，直线y＝2x+3 与x 轴交于点，与y 轴交于点B，将直线 B 向下平移后经过点P（3，0）． （1）求平移后的直线所对应的函数表达式； （2）求△PB 的面积． 【分析】（1）设平移后的直线所对应的函数表达式为y＝2x+b，将点P（3，0）代入求 得b 即可； （2）求得、B 的坐标，即可求得P，然后根据三角形面积公式即可求得． 【解答】解：（1）设平移后的直线所对应的函数表达式为y＝2x+b， 将点P（3，0）代入，得0＝2×3+b，解得b＝﹣6， ∴平移后的直线所对应的函数表达式为：y＝2x 6 ﹣； （2）对于y＝2x+3，当x＝0 时，y＝3：当y＝0 时，x¿−3 2， ∴点（−3 2 ，0）、点B（0，3）， 1 ∴P＝|3﹣（−3 2 ）|¿ 9 2， ∴S△PB¿ 1 2P•B¿ 1 2 × 9 2 ×3¿ 27 4 ． 13．（2022 秋•泰兴市期末）点（m，p），B（m+3，q）为一次函数y＝kx+4（k＜0）图象 上两点． （1）若k＝﹣2． ①当y＜0 时，x 的范围为 x ＞ 2 ． ②若将此函数图象沿y 轴向上平移3 个单位，平移后的函数图象的表达式为 y ＝﹣ 2 x +7 ． （2）比较p、q 的大小，并说明理由． 【分析】（1）①根据题意得到﹣2x+4＜0，解不等式即可求得；②根据平移的规律即可 求得； （2）根据一次函数的性质即可判断． 【解答】解：（1）∵k＝﹣2， ∴一次函数为y＝﹣2x+4， ①∵y＜0， 2 ∴﹣x+4＜0， ∴x＞2； ②将此函数图象沿y 轴向上平移3 个单位，平移后的函数图象的表达式为y＝﹣2x+4+3 ＝﹣2x+7； 故答为：x＞2；y＝﹣2x+7； （2）∵一次函数y＝kx+4 中，k＜0， ∴y 随x 的增大而减小， ∵点（m，p），B（m+3，q）为一次函数y＝kx+4（k＜0）图象上两点，且m＜m+3， ∴p＞q． 14．（2022•兴隆县一模）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由y¿ 1 2x 的图象向下