专题15.6 分式方程的解法专项训练（50道）（解析版）

专题156 分式方程的解法专项训练（50 道） 【人版】 考卷信息： 本套训练卷共50 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了分式方程的解法的 所有类型！ 一．解答题（共50 小题） 1．（2022·甘肃·兰州市第五十四中学八年级期末）解下列分式方程： (1)1−x x−2 +2= 1 2−x ； (2) x x 2−4 − 1 x−2= 2 x+2． 【答】(1)无解 (2)x＝1 【分析】（1）方程两边都乘( x−2)得出1−x+2( x−2)＝−1，求出方程的解，再进行检 验即可； （2）方程两边都乘( x+2)( x−2)得出x−( x+2)＝2( x−2)，求出方程的解，再进行检验 即可． （1） 解：方程两边都乘( x−2)得， 1−x+2( x−2)＝−1， 解得x＝2， 检验：当x＝2 时，x−2＝0， ∴x＝2 是增根，原方程无解； （2） 解：方程两边都乘( x+2)( x−2)得， x−( x+2)＝2( x−2)， 解得x＝1， 检验：当x＝1时，( x+2)( x−2)≠0， ∴x＝1是原方程的解． 【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键，特别注 意解分式方程需要验根． 2．（2022·吉林·长春市第八十七中学八年级阶段练习）解分式方程 1 (1) 3 x−1= 4 x ； (2)3− 1 x−2= x−1 2−x ． 【答】(1)x=4 (2)无解 【分析】（1）首先把分式方程两边乘x (x−1)化为整式方程，解出整式方程的解，然后再 进行检验，把整式方程的解代入最简公分母x (x−1)，得出最简公分母x (x−1)不为0，即 可得出原分式方程的解； （2）首先把分式方程两边乘(x−2)化为整式方程，解出整式方程的解，然后再进行检验， 把整式方程的解代入最简公分母(x−2)，得出最简公分母(x−2)为0，即可得出原分式方程 无解． （1） 解：3 x−1= 4 x 方程两边乘x (x−1)，得：3 x=4 x−4， 解得：x=4， 检验，当x=4时，x (x−1)≠0， ∴原分式方程的解为x=4； （2） 解：3− 1 x−2= x−1 2−x 方程两边乘(x−2)，得：3 (x−2)−1=1−x， 解得：x=2， 检验，当x=2时，x−2=0，因此x=2不是原分式方程的解， ∴原分式方程无解． 【点睛】本题考查了解分式方程，解本题的关键在注意检验． 3．（2022·湖南·岳阳市第十九中学八年级阶段练习）解分式方程： (1)1 x -2 = x -1 x -2 -3 (2)2 x -3 =3 2 x -1 【答】(1)无解 (2)x =-7 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即 1 可得到分式方程的解； （2）将分式方程化成整式方程，求解后，需要检验根． （1） 解：去分母得：1= x -1-3 x +6， 移项合并得：2 x =4， 解得：x =2， 经检验x =2是增根，分式方程无解． （2） 解：2 x -3 =3 2 x -1 4 x -2=3 x -9 x =-7， 检验：当x =-7时，\( x -3\)\(2 x -1\)≠0， ∴x =-7是原方程的根； 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 4．（2022·山东·周村二中八年级阶段练习）解方程： (1) 1 x+1−1＝ 1 x 2−1 ； (2) 4 x x−2−1= 3 2−x ． 【答】(1)原分式方程无解； (2)x=−5 3 ． 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即 可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分 式方程的解． 【详解】（1）去分母得：x−1−x 2+1=1， 整理，得x 2−x+1=0， ∵b 2−4 ac=1−4=−3＜0， ∴此方程无解， 则原分式方程无解； （2）去分母得：4 x−x+2=−3， 解得：x=−5 3 ， 1 检验：把x=−5 3 代入得：x−2≠0， ∴分式方程的解为x=−5 3 ． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 5．（2022·贵州·测试·编辑研五八年级阶段练习）解分式方程： (1) 2 x x+3= 1 x+3 +1； (2) 1 x−1− 2 x 2−1 =0． 【答】(1)x=4 (2)无解 【分析】（1）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求 解； （2）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． （1） 解：2 x x+3= 1 x+3 +1 去分母得：2 x=1+x+3， 解得：x=4， 当x=4时，x+3≠0， 所以原方程的解为x=4； （2） 1 x−1− 2 x 2−1 =0， 去分母得：x+1−2=0， 解得：x=1， 当x=1时，x 2−1=0， 所以x=1是增根， 所以原方程无解． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，并注意检验是解 题的关键． 6．（2022·山东·济南锦苑学校八年级期中）解分式方程： (1) 1 2 x = 2 x+3； 1 (2) x−1 x−2－2= 1 2−x ． 【答】(1)x=1 (2)x=4 【分析】（1）先把分式方程化为整式方程求解，然后检验即可； （2）先把分式方程化为整式方程求解，然后检验即可． （1） 解：1 2 x = 2 x+3 方程两边同时乘以2 x (x+3)得：x+3=4 x， 解得：x=1， 经检验，x=1是原方程的根， ∴原方程的解为x=1； （2） 解：x−1 x−2－2= 1 2−x 方程两边同时乘以(x−2)得：x−1−2 (x−2)=−1， 去括号得：x−1−2 x+4=−1 解得x=4 经检验，x=4是原方程的根， ∴原方程的解为x=4． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键，注意分式方 程最后一定要检验． 7．（2022·河南·桐柏县思源实验学校八年级阶段练习）解下列分式方程 (1) 2 x x−3−1= 1 3−x (2)1 x + 3 x−2= 2 2 x−x 2 【答】(1)x=−4 (2)原方程无解 【分析】（1）先将分式方程变为整式方程，然后再解整式方程得出未知数的值，最后将方 程的解进行检验即可； （2）先去分母将分式方程变为整式方程，然后再解整式方程得出未知数的值，最后将方程 的解进行检验即可． （1） 1 解：2 x x−3−1= 1 3−x 方程两边同乘(x−3)得：2 x−(x−3)=−1， 去括号得：2 x−x+3=−1， 移项合并同类项得：x=−4， 检验：将x=−4代入x−3得：- 4 -3=-7≠0， ∴x=−4是原方程的解； （2） 解：1 x + 3 x−2= 2 2 x−x 2 方程两边同乘x (x−2)得：x−2+3 x=−2， 移项合并同类项得：4 x=0， 解得：x=0， 把x=0代入x (x−2)得：0 (0−2)=0， ∴x=0是原方程的增根， ∴原方程无解． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤，注 意解分式方程，要进行检验． 8．（2022·陕西·西大附中浐灞中学八年级阶段练习）解分式方程∶ (1)2−x x−3= 1 3−x −2 (2)1−x−3 2 x+2= 3 x x+1 【答】(1)原方程无解 (2)x=1 【分析】（1）先去分母，然后再进行求解方程即可； （2）先去分母，然后再求解方程即可． （1） 解：2−x x−3= 1 3−x −2 去分母得：2−x=−1−2 (x−3) 去括号得：2−x=−1−2 x+6 移项、合并同类项得：x=3； 经检验：当x=3时，x−3=0，是增根，舍去， ∴原方程无解； 1 （2） 解：1−x−3 2 x+2= 3 x x+1 去分母得：2 x+2−(x−3)=6 x 去括号得：2 x+2−x+3=6 x 移项、合并同类项得：−5 x=−5； 系数化为1 得：x=1 经检验：当x=1时，2 x+2≠0， ∴x=1． 【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 9．（2022·湖南·长沙市岳麓区博才培圣学校八年级阶段练习）解分式方程： (1) 2 x x+3= 1 x+3 +1； (2) x x−2−14 x 2−4 =1． 【答】(1)x＝4 (2)x＝5 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即 可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分 式方程的解． （1） 解：去分母得：2x＝1+x+3， 解得：x＝4， 检验：把x＝4 代入得：x+3≠0， ∴分式方程的解为x＝4； （2） 解：去分母得：x( x+2)−14＝x 2−4， 解得：x＝5， 检验：把x＝5 代入得：（x+2）（x 2 ﹣）≠0， ∴分式方程的解为x＝5． 【点睛】此题考查了解分式方程，关键是利用了转化的思想，把分式方程化为整式方程， 解分式方程注意要检验． 10．（2022·江苏·苏州市相城区阳澄湖中学九年级阶段练习）解分式方程： 1 (1) 1 x−3= 3 2−x (2) 1 x−2=1−x 2−x −3 【答】(1)x=11 4 (2)原方程无解 【分析】（1）先把分式方程化为整式方程求解，然后检验即可； （2）先把分式方程化为整式方程求解，然后检验即可． （1） 解： 1 x−3= 3 2−x 去分母得：2−x=3 (x−3)， 去括号得：2−x=3 x−9， 移项得：−x−3 x=−9−2， 合并得：−4 x=−11， 系数化为1 得：x=11 4 ， 经检验x=11 4 是原方程的解， ∴原方程的解为x=11 4 ； （2） 解：解：1 x−2=1−x 2−x −3 去分母得：1=−(1−x )−3 (x−2)， 去括号得：1=−1+x−3 x+6， 移项得：−x+3 x=−1+6−1， 合并得：2 x=4， 系数化为1 得：x=2， 经检验x=2时，x−2=0， ∴原方程的无解． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键，注意分式方 程最后要检验． 11．（2022·江苏·南京市六合区励志学校八年级阶段练习）解下列分式方程 1 (1) 1 x−2 = 1 2−x ； (2) x−2 x+2 −¿ 12 x ²−4 = 1 【答】(1)无实数解 (2)x=-1 【分析】（1）移项，合并，再根据分式方程有意义的条件即可判断； （2）将方程的左边通分，再将两边同时乘以(x 2−4)，去括号合并，系数化为1，再对方程 的根进行检验即可． （1） 1 x−2− 1 2−x =0 2 x−2=0， ∵ 2 x−2 ≠0， ∴原分式方程无实数解， 即分式方程无实数解； （2） (x−2) 2 x 2−4 −12 x 2−4 =1 x 2−4 x+4−12=x 2−4 x=−1， 经检验，x=−1是原方程的解， 即原分式方程的解为：x=−1． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，还考查了根据分式方程有意义的条件判断其解的情 况．解分式方程注意最后需要对所得的解进行检验． 12．（2022·河北·南皮县桂和中学八年级阶段练习）解下列分式方程： (1) 1 2 x = 1 x−1−1 x ； (2) x x+3=1+ 6 x 2−9 ． 【答】(1)x=3 (2)x=1 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即 可得到分式方程的解； 1 （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分 式方程的解． （1） 解：去分母得：x−1=2 x−2 (x−1)， 去括号得：x−1=2 x−2 x+2， 解得：x=3， 检验：把x=3代入得：2 x (x−1)≠0， ∴分式方程的解为x=3； （2） 去分母得：x (x−3)=x 2−9+6， 解得：x=1， 检验：把x=1代入得：(x+3) (x−3)≠0， ∴分式方程的解为x=1． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 13．（2022·四川·米易县民族中学校八年级阶段练习）解下列分式方程： (1) x−1 x−2= 1 x−2 (2) 3 x−1 +1= x 2 x 2−1 ． 【答】(1)分式方程无解 (2)x=−2 3 【分析】（1）两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验 即可得到分式方程的解； （2）两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到 分式方程的解． （1） 解：x−1 x−2= 1 x−2 去分母得：x−1=1， 解得：x=2， 经检验x=2是增根，分式方程无解； （2） 1 解：3 x−1 +1= x 2 x 2−1 去分母得：3 (x+1)+x 2−1=x 2， 去括号得：3 x+3+x 2−1=x 2， 移项合并得：3 x=−2， 解得：x=−2 3 ， 经检验x=−2 3 是分式方程的解． 【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转 化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 14．（2022·山西·右玉县第三中学校八年级期末）解分式方程： (1) 2 x+9 3 x−9= 4 x−7 x−3 +2； (2) x−2 x+2 + 40 4−x 2= x+2 x−2 【答】(1)原分式方程无解 (2)x=−5 【分析】（1）先将分式方程化为整式方程，再进行求解，最后进行验算即可； （2）根据平方差公式将分式方程化为整式方程，再用完全平方公式进行计算求值，最后检 验即可． （1） 解：2 x+9 3 x−9= 4 x−7 x−3 +2， 2 x+9 3 x−9=12 x−21 3 x−9 +2， 2 x+9=12 x−21+6 x−18， −16 x=−48， x=3． 又∵2 x+9 3 x−9= 4 x−7 x−3 +2中x−3≠0， ∴x≠3， 经检验原方程无解． （2） 解：x−2 x+2 + 40 4−x 2= x+2 x−2， 1 (x−2) (2−x ) (2−x ) (x+2) + 40 4−x 2=−(x+2) (2+x ) (2−x ) (2+x ) ， −(x−2) 2 4−x 2 + 40 4−x 2=−(x+2) 2 4−x 2 ， −(x−2) 2+40=−(x+2) 2， x−4 x+4−x−4 x−4=40， −8 x=40， x=-5， 检验：当x=−5 时，x 2−4≠0． ∴原分式方程的解为x=−5． 【点睛】本题考查了分式方程的求解，解决本题的关键是熟练的应用完全平方公式和平方 差公式进行化简即可． 15．（2022·新疆·乌鲁木齐市第136 中学八年级期末）解分式方程： (1) x x−1−1= 3 x+1 (2)1−x x−2 +2= 1 2−x ． 【答】(1)x=2 (2)无解 【分析】（1）先去分母，然后可进行求解方程； （2）先去分母，然后再进行求解方程即可． （1） 解：去分母得：x (x+1)−(x+1) (x−1)=3 (x−1)， 去括号得：x 2+x−x 2+1=3 x−3， 移项、合并同类项得：−2 x=−4， 解得：x=2， 经检验：当x=2时，(x+1) (x−1)≠0， ∴原方程的解为x=2； （2） 解：去分母得：1−x+2 (x−2)=−1， 去括号得：1−x+2 x−4=−1， 移项、合并同类项得：x=2， 经检验：当x=2时，x−2=0， ∴原方程无解． 1 【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 16．（2022·甘肃·民勤县第六中学八年级期末）解分式方程： (1)1−x x−2= 1 2−x −2 (2) x x−2−1= 3 x 2−4 【答】(1)无解 (2)x=−1 2 【分析】（1）先把分式方程化为整式方程求解，然后检验即可； （2）先把分式方程化为整式方程求解，然后检验即可． （1） 解：1−x x−2= 1 2−x −2 方程两边同时乘以(x−2)得：1−x=−1−2 (x−2)， 去括号得：1−x=−1−2 x+4， 移项得：−x+2 x=−1+4−1， 合并得：x=2， 经检验x=2时分母为0， ∴原方程无解 （2） 解： x x−2−1= 3 x 2−4 方程两边同时乘以(x−2) (x+2)得：x (x+2)−(x 2−4)=3， 去括号得：x 2+2 x−x 2+4=3， 移项得：2 x=3−4， 合并得：2 x=−1， 系数化为1 得：x=−1 2 ， 经检验x=−1 2 是原方程的解， ∴原方程的解为x=−1 2 ． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键，注意分式方 程要检验． 17．（2022·江苏·扬州市江都区第三中学八年级阶段练习）解分式方程： 1 (1) 2 x−2= 1 x +1； (2) 3 4−x +2= 1−x x−4 ． 【答】(1)x=-4； (2)无解． 【分析】（1）方程两边都乘（x+1）（x-2）得出整式方程，求出整式方程的解，再进行检 验即可； （2）方程两边都乘（x-4）得出整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可． （1） 解：方程两边都乘（x+1）（x-2）， 得出2（x+1）= x-2， 解得：x=-4， 检验：当x=-4 时，（x+1）（x-2）≠0， 所以x=-4 是原方程的解， 即原方程的解是x=-4； （2） 解：方程两边都乘（x-4）， 得出-3+2（x-4）=1-x， 解得：x=4， 检验：当x=4 时，x-4=0， 所以x=4 是原方程的增根， 即原方程无解． 【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． 18．（2022·山东烟台·八年级期中）解分式方程: (1)2 x−2 2