专题13.6 等腰三角形的证明及计算大题专项训练（50道）（解析版）

专题136 等腰三角形的证明及计算大题专项训练（50 道） 【人版】 考卷信息： 本套训练卷共50 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可深化学生对等腰三角形工具 的应用及构造等腰三角形！ 一．解答题（共50 小题） 1．（2022 秋•勃利县期末）如图：△B 的边B 的延长线上有一个点D，过点D 作DF⊥于 F，交B 于E，且BD＝BE，求证：△B 为等腰三角形． 【分析】要证△B 为等腰三角形，须证∠＝∠，而由题中已知条件，DF⊥，BD＝BE，因 此，可以通过角的加减求得∠与∠相等，从而判断△B 为等腰三角形． 【详解】证明：∵DF⊥， ∴∠DF＝∠EF＝90°． ∴∠＝∠DF﹣∠D，∠＝∠EF﹣∠EF， ∵BD＝BE， ∴∠BED＝∠D． ∵∠BED＝∠EF， ∴∠D＝∠EF． ∴∠＝∠． ∴△B 为等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定方法；角的等量代换是正确解答本题的关键． 2．（2022 秋•淮安区期末）如图，在△B 中，B＝，∠＝50°，B 的垂直平分线M 交于点D， 交B 于点E，求∠DB 的度数． 1 【分析】分别求出∠B，∠BD，可得结论． 【详解】解：∵△B 中，B＝，∠＝50°， ∴∠B＝∠¿ 1 2（180°﹣∠）＝65°， ∵B 的垂直平分线M 交于D， ∴D＝BD， ∴∠BD＝∠＝50°， ∴∠DB＝∠B﹣∠BD＝65° 50° ﹣ ＝15°． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是 掌握等腰三角形的性质，灵活运用所学知识解决问题． 3．（2022 秋•林州市期末）已知△B 的两边长和b 满足❑ √a−9+¿（b 4 ﹣）2＝0． （1）若第三边长为，求的取值范围． （2）若△B 是等腰三角形，求△B 的周长． 【分析】（1）利用非负数的性质可求得、b 的值，根据三角形三边关系可求得的范围； （2）分腰长为9 或4 两种情况进行计算； 【详解】解：（1）∵❑ √a−9+¿（b 4 ﹣）2＝0， 9 ∴﹣＝0，b 4 ﹣＝0， 解得＝9，b＝4， 9 4 ∵﹣＜＜9+4， 即5＜＜13； （2）当腰长为9 时， 此时三角形的三边为9、9、4，满足三角形三边关系，周长为22； 当腰长为4 时， 此时三角形的三边长为4、4、9，4+4＜9，不满足三角形三边关系． 综上可知，△B 的周长为22． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等、两底角相等是 解题的关键． 4．（2022 秋•河东区校级期中）如图1，点、D 在y 轴正半轴上，点B、分别在x 轴上，D 1 平分∠B 与y 轴交于D 点，∠＝90°﹣∠BD． （1）求证：＝B； （2）如图2，点的坐标为（4，0），点E 为上一点，且∠DE＝∠DB，求B+E 的长． 【分析】（1）由题意∠＝90°﹣∠BD，可知∠＝∠BD，D 平分∠B 与y 轴交于D 点，所以 可由S 定理证明△D≌△BD，由全等三角形的性质可得＝B； （2）过D 作D⊥于点，可证明Rt△BD Rt ≌ △ED、△D≌△D，因此，B＝E、＝，所以， B+E＝B++﹣E＝2，即可得B+E 的长． 【详解】（1）证明：∵∠＝90°﹣∠BD， ∴∠＝∠BD． 在△D 和△BD 中{ ∠ACD=∠BCD ∠CAO=∠CBD CD=CD ， ∴△D≌△BD（S）． ∴＝B； （2）由（1）知∠D＝∠DE＝∠DB， ∴BD＝D＝DE，过D 作D⊥于点，如右图所示： ∵∠D＝∠BD， ∴D＝D， 在Rt△BD 和Rt△ED 中{ BD=DE DO=DN ， Rt ∴ △BD Rt ≌ △ED（L）， ∴B＝E． 在△D 和△D 中，{ ∠DOC=∠DNC=90° ∠OCD=∠NCD DC=DC ∴△D≌△D（S）， 可知：＝； 1 ∴B+E＝B++﹣E＝2＝8． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质，做题时添加了辅助线，正确作出 辅助线是解决问题的关键． 5．（2022 秋•武冈市期中）已知如图，△B 中，EF∥B，交B、于E、F，∠B 的平分线交EF 于点． （1）求证：E＝BE； （2）若EF＝BE+F，求证：平分∠B． 【分析】（1）利用平行线以及角平分线的定义证明∠EB＝∠EB 即可． （2）想办法证明∠F＝∠B 即可． 【详解】证明：（1）∵EF∥B，交B、于E、F． ∴∠BE＝∠B，∠F＝∠B， ∵∠B 的平分线交EF 于点， ∴∠EB＝∠B， ∴∠EB＝∠BE， ∴E＝BE． （2）∵EF＝BE+F，且EF＝E+F， ∴E+F＝BE+F， ∵E＝BE， ∴F＝F， ∴∠F＝∠F， ∵∠F＝∠B， ∴∠B＝∠F， ∴平分∠B． 1 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线、角平分线的性质等知识． 进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． 6．（2022 秋•盘龙区期末）如图，在△B 中，B＝，点D、E、F 分别在B、B、边上，且BE ＝F，BD＝E． （1）求证：△DEF 是等腰三角形； （2）当∠＝50°时，求∠DEF 的度数． 【分析】（1）根据等边对等角可得∠B＝∠，利用“边角边”证明△BDE 和△EF 全等， 根据全等三角形对应边相等可得DE＝EF，再根据等腰三角形的定义证明即可； （2 ）根据全等三角形对应角相等可得∠BDE ＝∠EF ，然后求出∠BED+∠EF ＝ ∠BED+∠BDE，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠B＝∠DEF． 【详解】（1）证明：∵B＝， ∴∠B＝∠， 在△BDE 和△EF 中， { BD=CE ∠B=∠C BE=CF ， ∴△BDE≌△EF（SS）， ∴DE＝EF， ∴△DEF 是等腰三角形； （2）解：∵△BDE≌△EF， ∴∠BDE＝∠EF， ∴∠BED+∠EF＝∠BED+∠BDE， ∵∠B+（∠BED+∠BDE）＝180°， ∠DEF+（∠BED+∠BDE）＝180°， ∴∠B＝∠DEF， ∵∠＝50°，B＝， 1 ∴∠B¿ 1 2（180° 50° ﹣ ）＝65°， ∴∠DEF＝65°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判 定与性质，熟记各性质并确定出全等三角形是解题的关键． 7．（2022 秋•大石桥市期末）如图，△B 是等边三角形，延长B 到点E，使E¿ 1 2B，若D 是 的中点，连接ED 并延长交B 于点F． （1）若F＝3，求D 的长； （2）证明：DE＝2DF． 【分析】（1）根据已知条件，易证D＝E，从而求出∠E＝∠DE＝30°，然后再根据∠B＝ 60°，求出∠FD＝90°，最后放在直角三角形FD 中，即可解答； （2）根据等腰三角形的三线合一性质，想到连接BD，易证BD＝DE，然后放在直角三 角形BFD 中，即可解答． 【详解】（1）解：∵△B 为等边三角形， ∴＝B，∠＝∠B＝60°， ∵D 为中点， ∴D＝D¿ 1 2， ∵E¿ 1 2B， ∴D＝E， ∴∠E＝∠DE， ∵∠B＝∠E+∠DE， ∴∠E＝∠DE＝30°， ∴∠DF＝∠DE＝30°， ∵∠＝60° ∴∠FD＝180°﹣∠﹣∠DF＝90°， ∵F＝3 ∴D＝2F＝6； 1 （2）证明：连接BD， ∵△B 为等边三角形，D 为中点， ∴BD 平分∠B，∠B＝60°， ∴∠DB＝∠BD¿ 1 2∠B＝30°， ∵∠BFD＝90° ∴BD＝2DF ∵∠DB＝∠E＝30° ∴BD＝DE ∴DE＝2DF． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，根据等腰三角形的三线合一添加辅助线是解题 的关键． 8．（2022 春•大埔县期末）如图，△B 是等边三角形，△E 是等腰三角形，∠E＝120°，E＝ E，F 为B 中点，连接F． （1）直接写出∠BE 的度数为 90° ； （2）判断F 与E 的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）分别求出∠B，∠E 即可解决问题． （2）证明F⊥BE⊥B 即可判断． 【详解】解：（1）∵△B 是等边三角形， ∴∠B＝∠B＝60°， ∵E＝E，∠E＝120°， ∴∠E＝∠E＝30°， ∴∠BE＝∠B+∠E＝90°． 故答为90°． 1 （2）结论：F∥E． 理由：∵B＝，BF＝F， ∴F⊥B， ∵∠B＝60°，∠E＝30°， ∴∠BE＝90°， ∴E⊥B， ∴F∥E． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定等知识，解题 的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 9．（2022 秋•宁明县期末）如图，在△B 中，＝B，∠B＝120°，E⊥B 于点D，且DE＝D． 求证：△EB 为等边三角形． 【分析】根据E⊥B 于点D，且DE＝D 得出B＝BE，根据角的关系得出∠EB＝60°，即 可证得△EB 为等边三角形． 【详解】证明：∵E⊥B 于点D，且DE＝D， ∴B＝BE， ∵＝B，∠B＝120°，E⊥B 于点D， ∴∠EB＝60°， ∴△EB 为等边三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题 的关键． 10．（2022 春•二七区校级期中）在△B 中，B＝，D 是直线B 上一点，以D 为一边在D 的 右侧作△DE，使E＝D，∠DE＝∠B，连接E．设∠B＝α，∠BE＝β． （1）如图（1），点D 在线段B 上移动时，①角α 与β 之间的数量关系是 α+β ＝ 180° ； ②若线段B＝2，点到直线B 的距离是3，则四边形DE 周长的最小值是 8 ； （2）如图（2），点D 在线段B 的延长线上移动时， ①请问（1）中α 与β 之间的数量关系还成立吗？如果成立，请说明理由； ②线段B、D、E 之间的数量是 E ＝ B + D ． 1 【分析】（1）①先证∠E＝∠BD，再证明△BD≌△E，得出对应角相等∠BD＝∠E，即可得 出结论； ②根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论； （2）①如图2，根据等式的性质就可以得出∠E＝∠BD，就可以得出△BD≌△E 就可以得 出∠BD＝∠E，就可以得出结论； ②根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）①α+β＝180°；理由如下： ∵∠DE＝∠B， ∴∠DE﹣∠D＝∠B﹣∠D ∴∠E＝∠BD， 在△BD 和△E 中， { AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE ， ∴△BD≌△E（SS）， ∴∠BD＝∠E， ∵∠B+∠BD+∠B＝180°， ∴∠B+∠E+∠B＝180°， ∴∠B+∠BE＝180°，即α+β＝180°， 故答为：α+β＝180°； ②由①知，△BD≌△E， ∴BD＝E，D＝E， ∴D+E＝BD+D＝B＝2， 当D⊥B 时，D 最短， 即四边形DE 周长的值最小， ∵点到直线B 的距离是3， ∴D＝E＝3， ∴四边形DE 周长的最小值是2+3+3＝8， 1 故答为：8； （2）①成立，理由如下： ∵∠DE＝∠B， ∴∠DE+∠D＝∠B+∠D， ∴∠BD＝∠E， 在△BD 和△E 中， { AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE ， ∴△BD≌△E（SS）， ∴∠BD＝∠E， ∵∠D＝∠BD+∠B＝∠E+∠DE， ∴∠B＝∠DE， ∴∠B+∠BE＝∠DE+∠BE＝180°， 即α+β＝180°； ②∴△BD≌△E（SS）， ∴∠BD＝∠E，BD＝E， ∵BD＝B+D， ∴E＝B+D， 故答为：E＝B+D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质；证明三角形全等得 出对应角相等、对应边相等是解决问题的关键． 11．（2022 秋•台江区期末）如图，已知∠B＝∠D＝90°，B＝D，＝E． （1）求证：∠B＝∠D； （2）过点E 作ME∥B，交的延长线于点M，过点M 作MP⊥D，交D 的延长线于点P． ①连接PE，交M 于点，证明M 垂直平分PE； ②点是直线E 上的动点，当M+P 的值最小时，证明点与点E 重合． 1 【分析】（1）证明Rt△B Rt ≌ △D（L）即可； （2）①证明△E≌△P（SS）即可； ②延长PD、ME 交于Q 点，结合①推导出∠EPD＝∠DQE＝30°，则PE＝EQ，则 ME+PE＝QE+ME≥MQ，此时ME+PE 的值最小，再由点是直线E 上的动点，可得当 M+P 的值最小时，E 点与点重合． 【详解】证明：（1）∵∠B＝∠D＝90°，B＝D，＝， Rt ∴ △B Rt ≌ △D（L）， ∴∠B＝∠D； （2）①∵Rt△B Rt ≌ △D， ∴∠B＝∠D， ∵＝E， ∴∠E＝∠E， ∵∠EB＝90°， ∴∠BE＝∠B＝∠E＝30°， ∵PD⊥E，MP⊥PD， ∴E∥MP， ∴∠PM＝∠ME＝30°， ∵ME∥B， ∴∠MEB＝∠BE＝90°， ∴∠ME＝90°+30°＝120°， ∵∠ME＝30°， ∴∠EM＝30°， ∵P⊥MP，E⊥ME，∠MP＝∠ME＝60°， ∴△E≌△P（SS）， ∴E＝P， ∴是EP 的中点，⊥PE， ∴M 垂直平分PE； ②延长PD、ME 交于Q 点， 1 由①知，∠BE＝30°，∠MEB＝90°， ∴∠ME＝120°， ∴∠DEQ＝60°， ∵PD⊥E， ∴∠EDQ＝90°， ∴∠EQD＝30°， ∵∠P＝30°， ∴∠EPD＝∠DQE， ∴PE＝EQ， ∴ME+PE＝QE+ME≥MQ，此时ME+PE 的值最小， ∵点是直线E 上的动点， ∴当M+P 的值最小时，E 点与点重合． 【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的性 质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质，轴对称求最短距离是解题的关 键． 12．（2022 春•市南区期末）如图，Rt△B 中，∠B＝90°，D 是B 上一点，BD＝B，过点D 作B 的垂线交于点E，求证：BE 垂直平分D． 【分析】证明Rt△BDE Rt ≌ △BE，根据全等三角形的性质得到ED＝E，根据线段垂直平 分线的判定定理证明． 【详解】证明：∵∠B＝90°，DE⊥B， ∴∠B＝∠BDE＝90°， 1 在Rt△BDE 和Rt△BE 中， { BD=BC BE=BE ， Rt ∴ △BDE Rt ≌ △BE， ∴ED＝E， ∵ED＝E，BD＝B， ∴BE 垂直平分D． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的判定，掌握到线段的两个端点的距离相等的点 在线段的垂直平分线上是解题的关键． 13．（2022 秋•平房区期末）如图，点D、E 在△B 的边B 上，D＝E，BD＝E． （1）求证：B＝； （2）若∠B＝108°，∠DE＝36°，直接写出图中除△B 与△DE 外所有的等腰三角形． 【分析】（1）首先过点作F⊥B 于点F，由D＝E，根据三线合一的性质，可得DF＝ EF，又由BD＝E，可得BF＝F，然后由线段垂直平分线的性质，可证得B＝． （2）根据等腰三角形的判定解答即可． 【详解】证明：（1）过点作F⊥B 于点F， ∵D＝E， ∴DF＝EF， ∵BD＝E， ∴BF＝F， ∴B＝． （2）∵∠B＝∠BD，∠＝∠E，∠BE＝∠BE，∠D＝∠D， ∴除△B 与△DE 外所有的等腰三角形为：△BD、△E、△BE、△D， 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法， 注意掌握数形结合思想的应用． 1 14．（2022 秋•河西区期末）如图，在△B 中，B＝，点D 在上，且BD＝B＝D，求△B 各角 的度数． 【分析】设∠＝x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数． 【详解】解：设∠＝x． ∵D＝BD， ∴∠BD＝∠＝x； ∵BD＝B， ∴∠BD＝∠BD＝∠BD+∠＝2x； ∵B＝， ∴∠B＝∠BD＝2x， ∴∠DB＝x； ∵x+2x+2x＝180°， ∴x＝36°， ∴∠＝36°，∠B＝∠B＝72°． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质；利用了三角形的内角和定理得到相等关系，通过 列方程求解是正确解答本题的关键． 15．（2022 秋•巩义市期末）如图，在Rt△B 中，∠＝90°，∠＝60°，B＝12m，若点P 从点 B 出发以2m/s 的速度向点运动，点Q 从点出发以1m/s 的速度向点运动，设P、Q 分别从 点B、同时出发，运动的时间为ts． （1）用含t 的式子表示线段P、Q 的长； （2）当t 为何值时，△PQ 是以PQ 为底边的等腰三角形？ （3）当t 为何值时，PQ∥B？ 【分析】（1）由题意，可知∠B＝30°，＝6m．BP＝2t，P＝B﹣BP，Q＝t． 1 （2）若△PQ 是以PQ 为底的等腰三角形，则有P＝Q，即12 2 ﹣t＝t，求出t 即可． （3）先根据直角三角形的性质求出∠B 的度数，再由平行线的性质得出∠QP 的度数，根 据直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：（1）∵Rt△B 中，∠＝90°，∠＝60°， ∴∠B＝30°． 又∵B＝12m， ∴＝6m，BP＝2t，P＝B﹣BP＝12 2 ﹣t，Q＝t； （2）∵△PQ 是以PQ 为底的等腰三角形， ∴P＝Q，即12 2 ﹣t＝t， ∴当t＝4 时，△PQ 是以PQ 为底边的等腰三角形； （3）当PQ⊥时，PQ∥B． ∵∠＝90°，∠＝60°， ∴∠B＝30° ∵PQ∥B， ∴∠QP＝30° ∴Q¿ 1 2P， ∴t¿ 1 2（12 2 ﹣t），解得t＝3， ∴当t＝3 时，PQ∥B． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定及平行线的判定与性质，熟知等腰三角形的两 腰相等是解答此题的关键． 16．（2022 秋•清江浦区校级月考）如图，在△B 中，∠B＝90°，B＝16m，B＝12m，＝ 20m，P、Q 是△B 边上的两个动点，其中点P 从点开始沿→B 方向运动，且速度为每秒 1m，点Q 从点B 开始沿B→→方向运动，且速度为每秒2m，它们同时出发，设出发的 时间为t 秒． （1）BP＝ （ 16﹣ t ） m （用t 的代数式表示） （2）当点Q 在边B 上运动时，出发几秒后，△PQB 是等腰三角形？ （3）当点Q 在边上运动时，出发 11 秒或 12 秒后，△BQ 是以B 或BQ 为底边的等腰 三角形？ 1 【分析】（1）根据题意即可用t 可分别表示出BP； （2）结合（1），根据题意再表示出BQ，然后根据等腰三角形的性质可得到BP＝ BQ，可得到关于t 的方程，可求得t； （3）用t 分别表示出BQ 和Q，利用等腰三角形的性质可分Q＝B 和BQ＝Q 三种情况， 分别得到关于t 的方程，可求得t 的值． 【详解】解：（1）由题意可知P＝t