专题11.6 角度计算的综合大题专项训练（30道）（解析版）

专题116 角度计算的综合大题专项训练（30 道） 【人版】 考卷信息： 本套训练卷共30 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了角度计算的所有类 型！ 一．解答题（共30 小题） 1．（2022•金水区校级期末）“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天人们 已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．有人曾利用如图所示的图形进行探索，其 中BD 是长方形，F 是D 延长线上一点，G 是F 上一点，且∠G＝∠G，∠GF＝∠F．请写 出∠EB 和∠B 的数量关系，并说明理由． 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠G＝2∠F，从而 得到∠G＝2∠F，根据两直线平行，内错角相等可得∠EB＝∠F，再求出∠B＝3∠F，从而 得解． 【解答】解：∠B＝3∠EB． 理由如下：在△GF 中，∠G＝∠F+∠GF＝2∠F． ∵∠G＝∠G， ∴∠G＝2∠F． ∵D∥B， ∴∠EB＝∠F． ∴∠B＝∠G+∠BE＝3∠F． 故∠B＝3∠EB． 2．（2022 春•渠县期末）∠M＝90°，点，B 分别在射线M、上运动（不与点重合）． （1）如图①，E、BE 分别是∠B 和∠B 的平分线，随着点、点B 的运动，∠EB＝ 135 °； （2）如图②，若B 是∠B 的平分线，B 的反向延长线与∠B 的平分线交于点D． ①若∠B＝60°，则∠D＝ 45 °； ②随着点，B 的运动，∠D 的大小是否会变化？如果不变，求∠D 的度数；如果变化， 请说明理由． 1 【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论； （2）①根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论； ②由①的思路可得结论． 【解答】解：（1）∵直线M 与直线PQ 垂直相交于， ∴∠B＝90°， ∴∠B+∠B＝90°， ∵E、BE 分别是∠B 和∠B 角的平分线， ∴∠BE¿ 1 2∠B，∠BE¿ 1 2∠B， ∴∠BE+∠BE¿ 1 2（∠B+∠B）＝45°， ∴∠EB＝135°； 故答为：135； （2）①∵∠B＝90°，∠B＝60°， ∴∠B＝30°， ∴∠B＝150°， ∵B 是∠B 的平分线， ∴∠BD＝∠B¿ 1 2 ×150°＝75°， ∵D 平分∠B， ∴∠DB＝30°， ∴∠D＝180°﹣∠BD﹣∠BD﹣∠B＝180° 75° 30° 30° ﹣ ﹣ ﹣ ＝45°， 故答为：45； ②∠D 的度数不随、B 的移动而发生变化， 设∠BD＝α， ∵D 平分∠B， 1 ∴∠B＝2α， ∵∠B＝90°， ∴∠B＝180°﹣∠B＝∠B+∠B＝90+2α， ∵B 平分∠B， ∴∠B＝45°+α， ∵∠B＝180°﹣∠BD＝∠D+∠BD， ∴∠D＝∠B﹣∠BD＝45°+α α ﹣＝45°． 3．（2022•永春县期末）在直角三角板B 中，∠＝90°，∠B＝∠B＝45°，将三角板的顶点放 置在直线DE 上． （1）如图，在B 边上任取一点P（不同于点，B），过点P 作直线l∥DE，当∠1＝8 2 ∠ 时，求∠2 的度数； （2）将三角板绕顶点转动，并保持点B 在直线DE 的上方．过点B 作F∥DE（F 在的左 侧），求∠D 与∠FB 之间的数量关系． 【分析】（1）根据平行线的性质可得∠2＝∠BE，然后根据平角是180°列出关于∠1 与 ∠2 的关系式进行计算即可； （2）分三种情况，点在直线F 的上方，点在直线F 与直线DE 之间，点在直线DE 的下 方． 【解答】解：（1）∵l∥DE， 2 ∴∠＝∠BE， 1+ ∵∠ ∠B+∠BE＝180°，∠1＝8 2 ∠，∠B＝45°， 8 2+45°+ 2 ∴∠ ∠＝180°， 2 ∴∠＝15°， 2 ∴∠的度数为15°； （2）分三种情况： 当点在直线F 的上方，如图： 1 设与F 交于点G， ∵F∥DE， ∴∠D＝∠FG， ∵∠FG＝∠+∠FB，∠＝90°， ∴∠D＝90°+∠FB， 当点在直线F 与直线DE 之间，如图： 延长交F 于点M， ∵F∥DE， ∴∠D＝∠M， ∵∠B＝∠M+∠FB，∠B＝90°， ∴∠D+∠FB＝90°， 当点在直线DE 的下方，如图： 设B 与DE 交于点， ∵F∥DE， ∴∠FB＝∠D， ∵∠D＝∠+∠D，∠＝90°， ∴∠FB＝90°+∠D， 综上所述：当点在直线F 的上方，∠D＝90°+∠FB， 当点在直线F 与直线DE 之间，∠D+∠FB＝90°， 当点在直线DE 的下方，∠FB＝90°+∠D． 1 4．（2022 春•亭湖区校级期中）平移是一种常见的图形变换，如图1，△B 经过平移后得到 △1B11，连接B1，1，若B1平分∠B，1平分∠11B1，则称这样的平移为“平分平移”． （1）如图1，△B 经过“平分平移”后得到△1B11，请问和11有怎样的位置关系： 平行 ． （2）如图2，在△B 中，∠B＝90°，∠B＝60°，△B 经过“平分平移”后得到△1B11，求∠B 的度数． （3）如图3，在（2）的条件下，BD 平分∠B1，1D 平分∠11，求∠BD1的度数． （4）如图4，△B 经过“平分平移”后得到△1B11，BD 平分∠B1，1D 平分∠11，若∠B＝α， 则∠BD1＝ 45° +3 4 α ．（用含α 的式子表示） 【分析】（1）直接根据平移的性质：平移图形中对应线段平行或在同直线上，便可直 接得出结论； （2）根据角平分线定义求得∠B 和∠11，再根据平行线的性质求得∠，根据三角形的内角 和性质依次求得∠B，∠B； （3）连接D，与延长D 至E，根据三角形的外角性质便可得到∠B、∠DB、∠D、∠BD 四角的关系，进而求得结果； （4）按照前面的方法依次用α 表示∠B，∠DB+∠D，进而运用（3）中方法便可求得 ∠BD1． 【解答】解：（1）根据平移的性质知，∥11， 1 故答为：平行； （2）∵∠B＝90°，1B 平分∠B， ∴∠B＝45°， 由平移知，∠B＝∠11B1＝60°， ∵1平分∠11B1， ∴∠11＝30°， 由平移知∥11， ∴∠1＝∠11＝30°， ∵∠B＝180°﹣∠B﹣∠B＝30°， ∴∠B＝180°﹣∠B﹣∠B＝75°； （3）连接连接D，与延长D 至E，如图， ∵BD 平分∠B1，1D 平分∠11， ∴∠BD+∠1D¿ 1 2（∠B+∠11）＝375°， ∵∠BE＝∠BD+∠DB，∠1E＝∠1D+∠D1， ∴∠BE+∠1E＝∠BD+∠DB+∠1D+∠D1， 即∠B1＝∠BD+∠1D+∠BD1， ∵∠B1＝180°﹣∠B＝105°， 105° ∴ ＝375°+∠BD1， ∴∠BD1＝675°； （4）∵∠B＝α， ∴∠B+∠B＝180° α ﹣， ∵∠B＝∠1B1，∠1＝∠1B1， ∴∠B+∠11＝∠B+∠1¿ 1 2 (180°−α )=90°−1 2 α， ∴∠B1＝∠B+∠B＝90°−1 2 α+α＝90°+1 2 α， ∵BD 平分∠B1，1D 平分∠11， 1 ∴∠BD+∠1D¿ 1 2 ×（90°−1 2 α）＝45°−1 4 α ∴∠BD1＝∠B1﹣（∠BD+∠1D）＝90°+1 2 α﹣（45°−1 4 α）＝45°+3 4 α． 故答为：45°+3 4 α． 5．（2022 春•如皋市期末）如图，△B 中，∠B＝90°，BD 平分∠B 交△B 的边于点D，E 为直 线上一点，过点E 向直线的右边作射线EF，使EF∥B，作∠EF 的平分线EG 交射线BD 于点G． （1）如图1，∠B＝40°，点E 与点重合，求∠G 的度数； （2）若∠B＝α， ①如图2，点E 在D 的延长线上，求∠G 的度数（用含有α 的式子表示）； ②点E 在直线上滑动，当存在∠G 时，其度数是否发生变化？若不变，请说明理由；若 变化，请直接用含α 的式子表示∠G 的度数． 【分析】（1）利用平行线的性质和直角三角形的性质求解； （2）①利用（1）的结论求解； ②结合以上两问得出结论． 【解答】解：（1） 过点G 作G⊥于点， 则G∥EF∥B， ∴∠GB＝∠GB， ∵∠EF 的平分线EG，BD 平分∠B， ∴∠DB¿ 1 2∠B＝20°，∠EG¿ 1 2∠F＝45°， 1 所以∠G＝∠GB+∠EG＝20°+45°＝65°． （2） 过点G 作G⊥于点， ①由（1）知：∠GB＝∠GB¿ 1 2α，∠GE＝∠GEF＝45°， ∴∠G＝∠GE﹣∠GB＝45°−1 2 α． ②有变化． 当点E 在点D 下方时，由①得：∠G＝45°−1 2 α． 当点E 在点D 上方时，由（1）得：∠G＝45°+1 2 α． 6．（2022 春•信阳期末）已知：如图1，在△B 中，D 是B 边上的高，∠＝∠DB． （1）试说明∠B＝90°； （2）如图2，如果E 是角平分线，E、D 相交于点F．那么∠FE 与∠EF 的大小相等吗？ 请说明理由． 【分析】（1）根据高定义求出∠D＝90°，根据三角形内角和定理求出∠+∠D＝90°，再 求出答即可； （2）根据角平分线的定义得出∠E＝∠BE，根据三角形内角和定理求出∠EF＝∠DF，根 据对顶角相等求出即可． 【解答】（1）解：∵D 是B 边上的高， ∴∠D＝90°， + ∴∠∠D＝90°， ∵∠＝∠DB， 1 ∴∠B＝∠D+∠BD＝∠D+∠＝90°； （2）解：∠FE＝∠EF， 理由是：∵E 平分∠B， ∴∠E＝∠BE， ∵∠D＝∠B＝90°，∠DF＝180°﹣（∠D+∠BE），∠E＝180°﹣（∠B+∠E）， ∴∠EF＝∠DF， ∵∠DF＝∠FE， ∴∠FE＝∠EF． 7．（2022 春•鼓楼区期末）【概念认识】 如图①，在∠B 中，若∠BD＝∠DBE＝∠EB，则BD，BE 叫做∠B 的“三分线”．其中， BD 是“邻B 三分线”，BE 是“邻B 三分线”． 【问题解决】 （1）如图②，在△B 中，∠＝70°，∠B＝45°，若∠B 的三分线BD 交于点D，则∠BD＝ 85° 或 100 °； （2）如图③，在△B 中，BP、P 分别是∠B 邻B 三分线和∠B 邻三分线，且BP⊥P，求∠ 的度数； 【延伸推广】 （3）如图④，直线、BD 交于点，∠DB 的三分线所在的直线与∠B 的三分线所在的直线 交于点P．若∠＝66°，∠B＝45°，∠DB＝m°，直接写出∠DP 的度数． 【分析】（1）分为两种情况：当BD 是“邻B 三分线”时，当BD′是“邻B 三分线”时， 根据三角形的外角性质求出即可； （2）求出∠PB+∠PB＝90°，根据BP、P 分别是∠B 邻B 三分线和∠B 邻三分线求出∠PB ¿ 2 3∠B，∠PB¿ 2 3∠B，求出∠B+∠B＝135°，再求出∠即可； （3）画出符合的所有情况，①当DP 和P 分别是“邻D 三分线”、“邻B 三分线”时 ②当DP 和P 分别是“邻D 三分线”、“邻三分线”时，③当DP 和P 分别是“邻D 三 1 分线”、“邻B 三分线”时，④当DP 和P 分别是“邻D 三分线”、“邻三分线”时， 再根据三角形的内角和定理求出答即可． 【解答】解：（1）∵∠B＝45°，BD，BD'是∠B 的“三分线”， ∴∠BD＝∠DBD'＝∠D'B¿ 1 3∠B¿ 1 3 ×45°＝15°， ∵∠＝70°， ∴∠BD＝∠+∠BD＝70°+15°＝85°或∠BD＝∠+∠BD＝70°+30°＝100°， 故答为：85°或100； （2）如图③，∵BP⊥P， ∴∠BP＝90°， ∴∠PB+∠PB＝90°， ∵BP、P 分别是∠B 邻B 三分线和∠B 邻三分线， ∴∠PB¿ 2 3∠B，∠PB¿ 2 3∠B， ∴2 3∠B+2 3 ∠B＝90°， ∴∠B+∠B＝135°， ∴∠＝180°﹣（∠B+∠B）＝180° 135° ﹣ ＝45°； （3）四种情况： ①如图1，当DP 和P 分别是“邻D 三分线”、“邻B 三分线”时， ∴∠DE¿ 1 3∠DB¿ 1 3m°，∠P¿ 2 3∠B， ∵∠D＝∠B， + ∴∠∠DB＝∠B+∠B， 1 ∵∠＝66°，∠B＝45°，∠DB＝m°， 66°+ ∴ m°＝45°+∠B， ∴∠B＝21°+m°， ∴∠P¿ 2 3∠B＝14°+2 3 m°， ∵∠ED＝∠EP， + ∴∠∠DE＝∠DP+∠P， 66° ∴ +1 3 m°＝∠DP+14°+2 3 m°， ∴∠DP＝（52−1 3 m）°； ②如图2，当DP 和P 分别是“邻D 三分线”、“邻三分线”时， ∴∠DE¿ 1 3∠DB¿ 1 3m°，∠P¿ 1 3∠B， 由①知：∠B＝21°+m°， 同理得：66°+1 3 m°＝∠DP+7°+1 3 m°， ∴∠DP＝59°； ③如图3，当DP 和P 分别是“邻D 三分线”、“邻B 三分线”时， ∴∠DE¿ 2 3∠DB¿ 2 3m°，∠P¿ 2 3∠B， 由①知：∠B＝21°+m°， 同理得：66°+2 3 m°＝∠DP+14°+2 3 m°， ∴∠DP＝52°； 1 ④如图4，当DP 和P 分别是“邻D 三分线”、“邻三分线”时， ∴∠DE¿ 2 3∠DB¿ 2 3m°，∠P¿ 1 3∠B， 由①知：∠B＝21°+m°， 同理得：66°+2 3 m°＝∠DP+7°+1 3 m°， ∴∠DP＝（59+1 3 m）°； 综上，∠DP 的度数为59°或52°或（52−1 3 m）°或（59+1 3 m）°． 8．（2022•涡阳县期末）如图（）所示，将两块直角三角尺的直角顶点叠放在一起． （1）若∠DE＝25°，则∠B＝ 155 °；若∠B＝130°，则∠DE＝ 50 °． （2）如图（b）所示，若两个同样的三角板，将60°锐角的顶点叠放在一起，则∠DB 与 ∠E 有何数量关系，请说明理由． （3）如图（）所示，已知∠B＝α，∠D＝β（α，β 都是锐角）．若把它们的顶点叠放在 一起，则∠D 与∠B 有何数量关系，直接写出结论． 【分析】（1）先求出∠BD，再代入∠B＝∠D+∠BD 求出即可；先求出∠BD，再代入 ∠DE＝∠BE﹣∠BD 求出即可； （2）根据∠DB＝∠DE+∠E+∠B 求出即可； （3）根据∠D＝∠+∠B+∠BD 求出即可． 【解答】解：（1）∵∠BE＝90°，∠DE＝25°， ∴∠BD＝∠BE﹣∠DE＝65°， ∵∠D＝90°， 1 ∴∠B＝∠D+∠BD＝90°+65°＝155°； ∵∠B＝130°，∠D＝90°， ∴∠BD＝∠B﹣∠D＝130° 90° ﹣ ＝40°， ∵∠BE＝90°， ∴∠DE＝∠BE﹣∠BD＝90° 40° ﹣ ＝50°， 故答为：155，50； （2）∠DB+∠E＝120°， 理由如下： ∵∠DB＝∠DE+∠E+∠B， ∴∠DB+∠E ＝∠DE+∠E+∠B+∠E ＝∠D+∠BE ＝120°； （3）∠D+∠B＝α+β，理由如下： ∵∠D＝∠+∠B+∠BD， ∴∠D+∠B ＝∠+∠B+∠BD+∠B ＝∠B+∠D ＝α+β． 9．（2022 春•丰泽区期末）已知在△B 中，∠，∠B，∠B 的度数之比为2：1：6，D 平分 ∠B，在直角三角形DEF 中，∠E＝90°，∠F＝60°．如图1，△DEF 的边DF 在直线B 上， 将△DEF 绕点D 逆时针方向旋转，记旋转角为α（0°＜α＜180°），完成下列问题． （1）在△B 中，∠B＝ 120 °，∠BD＝ 100 °； （2）在旋转过程中，如图2，当α＝ 10 °时，DE∥；当α＝ 100 °时，DE⊥； （3）如图3，当点在△DEF 内部时，边DE，DF 分别交B，的延长线于，M 两点． ①此时，α 的取值范围是 70° ＜ α ＜ 100° ； ②∠MD 与∠D 之间有一种始终保持不变的数量关系，请写出该数量关系，并说明理由． 1 【分析】（1）根据三角形内角和是180°，再按比例分配进行计算即可； （2）根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算即可；由垂直的定义以及三角形的 内角和进行计算即可； （3）①根据“端值”检测计算，即当DE 与D 重合时最小值，当DF 与D 重合时最大值； ②连接M，根据三角形内角和定理进行计算即可． 【解答】解：（1）在△B 中，∠，∠B，∠B 的度数之比为2：1：6， ∴∠B＝180°× 2 2+1+6=¿40°，∠B＝180°× 1 2+1+6=¿20°，∠B＝180°× 6 2+1+6=¿ 120°， ∵D 平分∠B， ∴∠D¿ 1 2∠B＝60°， ∴∠BD＝∠D+∠＝60°+40°＝100°， 故答为：120°，100°； （2）当DE∥时，∠BDE＝∠＝40°， ∵∠E＝90°，∠F＝60°． ∴∠EDF＝180° 90° 60° ﹣ ﹣ ＝30°， α ∴＝40° 30° ﹣ ＝10°， 即当α＝10°时，DE∥； 当DE⊥时，即DE 与成90°的角， ∠EDB＝90°+∠＝130°， α ∴＝130° 30° ﹣ ＝100°， 即当α＝100°时，DE⊥； 故答为：10，100； （3）①当DE 与D 重合时，α 为最小值， ∵∠BDE＝∠+∠D＝100°， 1 α ∴＝100° 30° ﹣ ＝70°； 当DF 与D 重合时，α 为最大值，此时α＝100°， 70° ∴ ＜α＜100°， 故答为：70°＜α＜100°； ②∠MD+∠D＝90°，理由如下： 如图，连接M， ∵∠M＝∠B＝120°， ∴∠M+∠M＝180°﹣∠M＝60°， 在△DM 中， ∠DM+∠DM＝180°﹣∠MD＝150°， ∴∠MD+∠D＝150° 60° ﹣ ＝90°． 10．（2022 春•大丰区期中）如图，在四边形BD 中，∠＝140°，∠D＝80°． （1）如图1，若∠B＝∠，则∠＝ 70 度； （2）如图2，若∠B 的角平分线BE 交D 于点E，且BE∥D，试求出∠的度数； （3）①如图3，若∠B 和∠DB 的角平分线交于点E，试求出∠BE 的度数； ②在①的条件下，若延长B、D 交于点F（如图4）．将原来条件“∠＝140°，∠D＝ 80°”改为“∠F＝40°”．其他条件不变．则∠BE 的度数为 110° ． 【分析】（1）根据四边形内角和等于360°求出∠B+∠的度数，再除以2 即可求解； （2）先根据平行线的性质得到∠B 的度数，再根据角平分线定义和四边形内角和即可求 解； （3）①根据四边形内角和求出∠B+∠BD 的度数，再根据角平分线定义得到∠EB+∠EB 1 的度数，最后根据三