专题11.6 角度计算的综合大题专项训练（30道）（原卷版）

专题116 角度计算的综合大题专项训练（30 道） 【人版】 考卷信息： 本套训练卷共30 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了角度计算的所有类 型！ 一．解答题（共30 小题） 1．（2022•金水区校级期末）“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天人们 已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．有人曾利用如图所示的图形进行探索，其 中BD 是长方形，F 是D 延长线上一点，G 是F 上一点，且∠G＝∠G，∠GF＝∠F．请写 出∠EB 和∠B 的数量关系，并说明理由． 2．（2022 春•渠县期末）∠M＝90°，点，B 分别在射线M、上运动（不与点重合）． （1）如图①，E、BE 分别是∠B 和∠B 的平分线，随着点、点B 的运动，∠EB＝ °； （2）如图②，若B 是∠B 的平分线，B 的反向延长线与∠B 的平分线交于点D． ①若∠B＝60°，则∠D＝ °； 1 ②随着点，B 的运动，∠D 的大小是否会变化？如果不变，求∠D 的度数；如果变化， 请说明理由． 3．（2022•永春县期末）在直角三角板B 中，∠＝90°，∠B＝∠B＝45°，将三角板的顶点放 置在直线DE 上． （1）如图，在B 边上任取一点P（不同于点，B），过点P 作直线l∥DE，当∠1＝8 2 ∠ 时，求∠2 的度数； （2）将三角板绕顶点转动，并保持点B 在直线DE 的上方．过点B 作F∥DE（F 在的左 侧），求∠D 与∠FB 之间的数量关系． 1 4．（2022 春•亭湖区校级期中）平移是一种常见的图形变换，如图1，△B 经过平移后得到 △1B11，连接B1，1，若B1平分∠B，1平分∠11B1，则称这样的平移为“平分平移”． （1）如图1，△B 经过“平分平移”后得到△1B11，请问和11有怎样的位置关系： ． （2）如图2，在△B 中，∠B＝90°，∠B＝60°，△B 经过“平分平移”后得到△1B11，求∠B 的度数． （3）如图3，在（2）的条件下，BD 平分∠B1，1D 平分∠11，求∠BD1的度数． （4）如图4，△B 经过“平分平移”后得到△1B11，BD 平分∠B1，1D 平分∠11，若∠B＝α， 则∠BD1＝ ．（用含α 的式子表示） 1 5．（2022 春•如皋市期末）如图，△B 中，∠B＝90°，BD 平分∠B 交△B 的边于点D，E 为直 线上一点，过点E 向直线的右边作射线EF，使EF∥B，作∠EF 的平分线EG 交射线BD 于点G． （1）如图1，∠B＝40°，点E 与点重合，求∠G 的度数； （2）若∠B＝α， ①如图2，点E 在D 的延长线上，求∠G 的度数（用含有α 的式子表示）； ②点E 在直线上滑动，当存在∠G 时，其度数是否发生变化？若不变，请说明理由；若 变化，请直接用含α 的式子表示∠G 的度数． 1 6．（2022 春•信阳期末）已知：如图1，在△B 中，D 是B 边上的高，∠＝∠DB． （1）试说明∠B＝90°； （2）如图2，如果E 是角平分线，E、D 相交于点F．那么∠FE 与∠EF 的大小相等吗？ 请说明理由． 1 7．（2022 春•鼓楼区期末）【概念认识】 如图①，在∠B 中，若∠BD＝∠DBE＝∠EB，则BD，BE 叫做∠B 的“三分线”．其中， BD 是“邻B 三分线”，BE 是“邻B 三分线”． 【问题解决】 （1）如图②，在△B 中，∠＝70°，∠B＝45°，若∠B 的三分线BD 交于点D，则∠BD＝ °； （2）如图③，在△B 中，BP、P 分别是∠B 邻B 三分线和∠B 邻三分线，且BP⊥P，求∠ 的度数； 【延伸推广】 （3）如图④，直线、BD 交于点，∠DB 的三分线所在的直线与∠B 的三分线所在的直线 交于点P．若∠＝66°，∠B＝45°，∠DB＝m°，直接写出∠DP 的度数． 1 8．（2022•涡阳县期末）如图（）所示，将两块直角三角尺的直角顶点叠放在一起． （1）若∠DE＝25°，则∠B＝ °；若∠B＝130°，则∠DE＝ °． （2）如图（b）所示，若两个同样的三角板，将60°锐角的顶点叠放在一起，则∠DB 与 ∠E 有何数量关系，请说明理由． （3）如图（）所示，已知∠B＝α，∠D＝β（α，β 都是锐角）．若把它们的顶点叠放在 一起，则∠D 与∠B 有何数量关系，直接写出结论． 1 9．（2022 春•丰泽区期末）已知在△B 中，∠，∠B，∠B 的度数之比为2：1：6，D 平分 ∠B，在直角三角形DEF 中，∠E＝90°，∠F＝60°．如图1，△DEF 的边DF 在直线B 上， 将△DEF 绕点D 逆时针方向旋转，记旋转角为α（0°＜α＜180°），完成下列问题． （1）在△B 中，∠B＝ °，∠BD＝ °； （2）在旋转过程中，如图2，当α＝ °时，DE∥；当α＝ °时，DE⊥； （3）如图3，当点在△DEF 内部时，边DE，DF 分别交B，的延长线于，M 两点． ①此时，α 的取值范围是 ； ②∠MD 与∠D 之间有一种始终保持不变的数量关系，请写出该数量关系，并说明理由． 10．（2022 春•大丰区期中）如图，在四边形BD 中，∠＝140°，∠D＝80°． （1）如图1，若∠B＝∠，则∠＝ 度； （2）如图2，若∠B 的角平分线BE 交D 于点E，且BE∥D，试求出∠的度数； （3）①如图3，若∠B 和∠DB 的角平分线交于点E，试求出∠BE 的度数； ②在①的条件下，若延长B、D 交于点F（如图4）．将原来条件“∠＝140°，∠D＝ 1 80°”改为“∠F＝40°”．其他条件不变．则∠BE 的度数为 ． 11．（2022 春•丰泽区期末）如图，清晨小明沿着一个五边形广场周围的小路，按逆时针 方向跑步． （1）小明每从一条街道转下一条街道时，身体转过的角是哪个角，在图上标出； （2）他每跑一圈，身体转过的角度之和是多少？ （3）你是怎么得到的？ （4）如果广场是六边形、八边形的形状，那么还有类似的结论吗？ 1 12．（2022 春•井研县期末）已知在四边形BD 中，∠＝x，∠＝y，（0°＜x＜180°，0°＜y＜ 180°）． （1）∠B+∠D＝ （用含x、y 的代数式表示）； （2）如图1，若x＝y＝90°，DE 平分∠D，BF 平分与∠B 相邻的外角，请写出DE 与BF 的位置关系，并说明理由． （3）如图2，∠DFB 为四边形BD 的∠B、∠D 相邻的外角平分线所在直线构成的锐角， ①当x＜y 时，若x+y＝140°，∠DFB＝30°，试求x、y． ②小明在作图时，发现∠DFB 不一定存在，请直接指出x、y 满足什么条件时，∠DFB 不 存在． 1 13．（2022 春•长春期末）如图1，直线M⊥，垂足为，三角板的直角顶点落在∠M 的内部， 三角板的另两条直角边分别与、M 交于点D 和点B． 【片断一】（1）小孙说：由四边形内角和知识很容易得到∠B+∠D 的值． 如果你是小孙，得到的正确答应是：∠B+∠D＝ °． 【片断二】（2）小悟说：连结BD（如图2），若BD 平分∠B，那么BD 也平分∠D．请 你说明当BD 平分∠B 时，BD 也平分∠D 的理由． 【片断三】（3）小空说：若DE 平分∠D、BF 平分∠MB，我发现DE 与BF 具有特殊的 位置关系．请你先在备用图中补全图形，再判断DE 与BF 有怎样的位置关系并说明理 由． 1 14．（2022 春•无锡期中）阅读并解决下列问题： （1）如图①，△B 中，∠＝60°，∠B、∠B 的平分线交于点D，则∠BD＝ ． （2）如图②，五边形BDE 中，E∥B，EF 平分∠ED，F 平分∠BD，若∠ED＝72°，求∠EF 的度数． 1 15．（2022 春•冠县期末）某同学在学习过程中，对材的一个有趣的问题做如下探究： 【习题回顾】 已知：如图1，在△B 中，角平分线B、交于点．求∠B 的度数． （1）若∠＝40°，请直接写出∠B＝ ； 【变式思考】 （2）若∠＝α，请猜想∠B 与α 的关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）已知：如图2，在△B 中，角平分线B、交于点，D⊥B，交边B 于点D，点E 在B 的延长线上，作∠BE 的平分线交的延长线于点F．若∠F＝β，猜想∠B 与β 的关系，并说 明理由． 16．（2022 春•淅川县期末）[规律探索]探索三角形的内（外）角平分线形成的角的规律： 在三角形中，由三角形的内角平分线外角平分线所形成的角存在一定的规律． 规律1：三角形的两个内角的平分线形成的钝角等于90°加上第三个内角度数的一半； 规律2：三角形的两个外角的平分线形成的锐角等于90°减去与这两个外角不相邻的内 1 角度数的一半． [问题呈现]如图①，点P 是△B 的内角平分线BP 与P 的交点，点M 是△B 的外角平分线 BM 与M 的交点，则∠P＝90°+1 2 ∠，∠M＝90°−1 2 ∠． 说明∠P＝90°+1 2 ∠如下： ∵BP、P 是△B 的角平分线， 1 ∠¿ 1 2∠B，∠2¿ 1 2∠B． +2 ∴∠ （∠1+ 2 ∠）＝180°．…………① 1+ 2 ∴∠ ∠＝90°−1 2 ∠． ∴∠P＝180°﹣（∠1+ 2 ∠）＝90°+1 2 ∠． 请你仔细阅读理解上面的说理过程，完成下列问题： （1）上述说理过程中步骤①的依据是 ． （2）结合图①，写出说明∠M＝90°−1 2 ∠的说理过程． [拓展延伸]如图②，点Q 是△B 的内角平分线BQ 与△B 的外角（∠D）平分线Q 的交点． 若∠＝50°，则∠Q 的大小为 度． 17．（2022•驿城区校级期末）在图1 中，已知△B 中，∠B＞∠，D⊥B 于D，E 平分∠B，∠B ＝70°，∠＝40°，求∠DE 的度数． （2）在图2 中，∠B＝x，∠＝y，其他条件不变，若把“D⊥B 于D”改为“F 是E 上一点， FD⊥B 于D”，试用x、y 表示∠DFE＝ ； （3）在图3 中，当点F 是E 延长线上一点，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？ 1 若成立，请说明为什么；若不成立，请写出成立的结论，并说明为什么． （4）在图3 中，分别作出∠BE 和∠EDF 的角平分线，交于点P，如图4．试用x、y 表示 ∠P＝ ． 18．（2022 春•镇江期末）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2 倍，我们 称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在△B 中，∠＝ 70°，∠B＝35°，则∠与∠B 互为“开心角”，△B 为“开心三角形”． 【理解】 （1）若△B 为开心三角形，∠＝144°，则这个三角形中最小的内角为 °； （2）若△B 为开心三角形，∠＝70°，则这个三角形中最小的内角为 °； （3）已知∠是开心△B 中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定∠的取值范围， 并说明理由； 1 【应用】 如图，D 平分△B 的内角∠B，交B 于点E，D 平分△B 的外角∠BF，延长B 和D 交于点 P，已知∠P＝30°，若∠BE 是开心△BE 中的一个开心角，设∠BE＝∠α，求∠α 的度数． 19．（2022 春•兴化市期中）如图，∠B＝°，、D 两点分别是边、B 上的定点，∠E¿ 1 3∠D， ∠FD¿ 1 3∠D，射线E 的反向延长线与射线DF 相交于点F． （1）若＝60，∠D＝75°，求∠F 的度数； （2）若＝75，则∠F＝ ． （3）随着的变化，∠B 与∠F 数量关系会发生变化吗？如不变，请求出∠B 与∠F 的数量 关系，并说明理由． 1 20．（2022•内江期末）已知，如图1，直线B∥D，E、F 分别交B、D 于E、F 两点， ∠EF，∠FE 的平分线相交于点M． （1）求∠M 的度数； （2）如图2，∠EM，∠FM 的平分线相交于点M1，请写出∠M1与∠M 之间的等量关系， 并说明理由； （3）在图2 中作∠EM1，∠FM1的平分线相交于点M2，作∠EM2，∠FM2的平分线交于点 M3，作∠EM2020，∠FM2020的平分线交于点M2021，请直接写出∠M2021的度数． 1 21．（2022 春•青龙县期末）已知：△B 中，图①中∠B、的平分线相交于M，图②中∠B、∠ 的外角平分线相交于． （1）若∠＝80°，∠BM＝ °，∠B＝ °． （2）若∠＝β，试用β 表示∠BM 和∠B． 1 22．（2022 春•承德县期末）如图，已知B∥D，现将一直角三角形PM 放入图中，其中∠P ＝90°，PM 交B 于点E，P 交D 于点F． （1）当△PM 所放位置如图①所示时，直接写出∠PFD 与∠EM 的数量关系； （2）当△PM 所放位置如图②所示时，猜想∠PFD 与∠EM 的数量关系并证明； （3）如图②，在（2）的条件下，若M 与D 交于点，且∠D＝15°，∠PEB＝30°，直接写 出∠的度数． 23．（2022 春•农安县期末）探究：如图①，在△B 中，∠B＝90°，D⊥B 于点D．若∠B＝ 1 30°，则∠D 的度数是 ． 拓展：如图②，∠M＝90°，射线P 在人M 的内部，点、B 分别在M、上，分别过点、B 作D⊥P、BE⊥P 于点D、E．若∠BE＝70°，求∠D 的度数． 应用：如图③，点、B 分别在∠M 的边M、上，射线P 在∠M 的内部，点D、E 在射线P 上，连结D、BE．若∠M＝∠DP＝∠BEP＝60°，则∠D+∠BE+∠B＝ ． 24．（2022 春•平潭县期末）已知直线∥b，直角三角形B 的边与直线分别相交于、G 两点， 与直线b 分别交于E，F 点，且∠B＝90°． （1）将直角三角形B 如图1 位置摆放，如果∠G＝56°，则∠EF＝ ； （2）将直角三角形B 如图2 位置摆放，为上一点，∠EF+∠EF＝180°，请写出∠EF 与 ∠G 之间的等量关系，并说明理由； （3）将直角三角形B 如图3 位置摆放，若∠G＝135°，延长交直线b 于点Q，点P 是射 线GF 上一动点，请用平行的相关知识，探究∠PQ，∠PQ 与∠PQF 的数量关系，请直接 1 写出结论． 25．（2022 春•盐都区期中）如图，在四边形BD 中，D∥B，B∥D． 【问题情境】 （1）如图1，若∠＝30°，则∠的度数为 ． （2）如图2，点E 是B 边上的一点，DE 交B 的延长线于点F，D 平分∠FD，交F 于点， 若∠＝50°，∠D＝45°，求∠DF 的度数． 【操作思考】 （3）如图3，若点E 是B 边上的一点，DE 交B 的延长线于点F，分别作∠FD、∠B 的角 平分线，两条角平分线所在的直线交于点G，直线GB 交D 于点M．试猜想∠DF 与 ∠DGB 的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （4）如图4，若点E 是B 延长线上的一点，（3）中的其余条件不变，请直接写出∠DF 1 与∠DGB 之间的等量关系式： ． 26．（2022 春•兴宁区校级期末）小颖在学习过程中，对材中的一个有趣问题做如下探究： 【习题回顾】已知：如图1，在△B 中，∠B＝90°，E 平分∠B，D 是高，E、D 相交于点 F．求证：∠FE＝∠EF； 【变式思考】在△B 中，若点D 在B 上移动到图2 位置，使得∠D＝∠B，∠B 的角平分线 E 交D 于点F．则∠FE 与∠EF 还相等吗？说明理由； 【探究延伸】如图3，在【变式思考】的条件下，△B 的外角∠BG 的平分线所在直线M 与B 的延长线交于点M．试判断∠M 与∠FE 的数量关系，并说明理由． 1 27．（2022 春•邗江区校级期中）已知：直线B∥D，三角板EF 中∠EF＝90°，∠EF＝60°． （1）如图1，三角板EF 的顶点落在直线D 上，并使E 与直线B 相交于点G，若∠2＝ 3 1 ∠，则∠1 的度数＝ ； （2）如图2，当三角板EF 的顶点F 落在直线B 上，且顶点仍在直线D 上时，EF 与直 线D 相交于点M，试确定∠E、∠FE、∠ME 的数量关系； （3）如图3，当三角板EF 的顶点F 落在直线B 上，顶点在B、D 之间，而顶点E 恰好 落在直线D 上时得△EF，在线段E 上取点P，连接FP 并延长交直线D 于点T，在线段 EF 上取点K，连接PK 并延长交∠E 的角平分线于点Q，若∠Q﹣∠FT＝15°，且∠EFT＝ ∠ETF． ①探求：∠FT 与∠FE 的数量关系，并说明理由； ②求证：PQ∥F． 1 28．（2022 春•阜宁县校级月考）【问题背景】（1）如图1 的图形我们把它称为“8 字 形”， 请说明∠+∠B＝∠+∠D； 【简单应用】 （2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2，P、P 分别平分∠BD．∠BD，若∠B ＝36°，∠D＝16°，求∠P 的度数； 解：∵P、P 分别平分∠BD．∠BD 1 ∴∠＝∠2，∠3＝∠4 由（1）的结论得：{ ∠P+∠3=∠1+∠B① ∠P+∠2=∠4+∠D ② + ①②，得2∠P+ 2+ 3 ∠ ∠＝∠1+ 4+ ∠ ∠B+∠D ∴∠P¿ 1 2（∠B+∠D）＝26°． 【问题探究】 如图3，直线P 平分∠BD 的外角∠FD，P 平分∠BD 的外角∠BE，若∠B＝36°，∠D＝ 16°，请猜想∠P 的度数，并说明理由． 【拓展延伸】 在图4 中，若设∠＝α，∠B＝β，∠P¿ 1 3∠B，∠DP¿ 1 3∠DB，试问∠P 与∠、∠B 之间的数 量关系为： （用α、β 表示∠P），并说明理由． 1 29．（2022 春•东台市期中）（1）数学课上老师提出如下问题： 如图，直线M⊥，垂足为，三角板的直角顶点落在∠M 的内部，三角板的另两条直角边 分别与、M 交于点D 和点B． ①填空：∠B+∠D＝ ； ②若DE 平分∠D，BF 平分∠BM（如图1），试说明DE⊥BF． 请你完成上述问题． （2）课后小佳和小芳对问题进行了进一步研究，若把DE 平分∠D 改为DG 分别平分∠D 的外角，其他条件不变（如图2），小佳和小芳发现BF 与DG 的位置关系发生了变化， 请你判断BF 与DG 的位置关系，并说明理由． 30．（2022 春•万州区期末）Rt△B 中，∠＝90°，点D、E 分别是△B 边、B 上的点，点P 是 1 一动点．令∠PD＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α． （1）若点P 在线段B 上，如图（1）所示，且∠α＝50°，则∠1+ 2 ∠＝ °； （2）若点P 在边B 上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2 之间有何关系？ （3）若点P 在Rt△B 斜边B 的延长线上运动（E＜D），则∠α、∠1、∠2 之间有何关系？ 猜想并说明理由． 1