专题1.3 有理数的加减【七大题型】（解析版）

专题13 有理数的加减【七大题型】 【人版】 【题型1 有理数加减法则概念辨析】.....................................................................................................................1 【题型2 有理数加减法在数轴上的应用】.............................................................................................................3 【题型3 有理数加减法的混合运算】.....................................................................................................................5 【题型4 有理数加减法与绝对值的综合】.............................................................................................................9 【题型5 有理数加减法中的规律计算】............................................................................................................... 11 【题型6 有理数加减法的实际应用】................................................................................................................... 14 【题型7 有理数加减法中的新定义问题】...........................................................................................................17 【知识点1 有理数加法的法则】 ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较 小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； ③一个数同0 相加，仍得这个数． 【知识点2 有理数减法的法则】 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 【题型1 有理数加减法则概念辨析】 【例1】（2022 春•肇源县期末）下列关于有理数的加法说法错误的是（ ） ．同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加 B．异号两数相加，绝对值相等时和为0 ．互为相反数的两数相加得0 D．绝对值不等时，取绝对值较小的数的符号作为和的符号 【分析】根据有理数的加法法则判断即可． 【解答】解：选项，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，故该选项不符合 题意； B 选项，异号两数相加，绝对值相等时和为0，故该选项不符合题意； 选项，互为相反数的两数相加得0，故该选项不符合题意； D 选项，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号作为和的符号，故该选项符合题意； 故选：D． 1 【变式1-1】（2021 秋•东平县期中）下面说法中正确的有（ ） （1）一个数与它的绝对值的和一定不是负数． （2）一个数减去它的相反数，它们的差是原数的2 倍． （3）零减去一个数一定是负数． （4）正数减负数一定是负数． （5）数轴上原点两侧的数互为相反数． ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．5 个 【分析】利用有理数的加法及减法法则及数轴的性质判断即可． 【解答】解：（1）一个数与它的绝对值的和一定不是负数．正确， （2）一个数减去它的相反数，它们的差是原数的2 倍，正确， （3）零减去一个数不一定是负数，如0﹣（﹣3）＝3，故不正确， （4）正数减负数一定是正数．如3﹣（﹣4）＝7，故不正确， （5）数轴上原点两侧的数不一定互为相反数，如5 和﹣4，不是互为相反数．不正确． 故选：． 【变式1-2】（2021 秋•嵊州市期中）下列说法中错误的是（ ） ．如果＞0，b＜0 且+b＞0，那么||＞|b| B．如果＜0，b＞0，那么﹣b＜0 ．如果+b＜0，且，b 同号，那么＞0，b＞0 D．如果＜0，b＜0 且||＞|b|，那么﹣b＜0 【分析】，根据绝对值不等的异号相加，取绝对值较大的加数符号判断； B，一个负数减去一个正数结果是负； ，两个负数相加结果才是负数； D，﹣b＝+（﹣b），根据绝对值不等的异号相加，取绝对值较大的加数符号判断． 【解答】解：：如果＞0，b＜0 且+b＞0，则||＞|b|，正确，∴不符合题意； B：一个负数减去一个正数等于一个负数加一个负数结果是负，正确，∴不符合题意； ：如果+b＜0，且，b 同号，那么＜0，b＜0，错误，∴符合题意； D：∵﹣b＝+（﹣b），＜0，b＜0 ∴﹣b＞0， || ∵＞|b|， ∴﹣b＜0 正确，∴不符合题意； 故选：． 【变式1-3】（2021 秋•信都区月考）下面两个结论： 1 甲：两数之和为负，至少有一个加数为负； 乙：两数之和至少大于其中一个加数． 其中说法正确的是（ ） ．甲、乙均正确 B．甲正确，乙错误 ．甲错误，乙正确 D．甲、乙均错误 【分析】可以通过举例说明题干是否正确． 【解答】解：两数之和为负，至少有一个加数为负，所以甲正确； 两数之和至少大于其中一个加数， 如，﹣2+（﹣3）＝﹣5， 5 ﹣＜﹣2，﹣5＜﹣3， 所以乙不正确． 故选：B． 【题型2 有理数加减法在数轴上的应用】 【例2】（2021 秋•瑶海区期中）有理数、b 在数轴上对应的点的位置如图所示，则下面结 论：①＜0；②||＞|b|；③+b＞0；④b﹣＞0；其中正确的个数有（ ）个． ．1 B．2 ．3 D．4 【分析】根据＜||判断①；根据||＞0，b＞0 判断②；根据有理数的加法法则判断③； 根据有理数的减法法则判断④． 【解答】解：∵＜||， ∴＜0，故①符合题意； 由题意可知：||＞0，b＞0， || ∴＜|b|，故②不符合题意； ∵＜0，b＞0，||＜|b|， + ∴b＞0，故③符合题意； ∵＜0，b＞0， ∴b﹣＞0，故④符合题意； 综上所述，符合题意的有3 个， 故选：． 【变式2-1】（2021 秋•东昌府区期中）有理数，b 在数轴上的表示如图所示，则下列结论 中：①+b＜0；②﹣b＜0；③＜|b|；④﹣＞﹣b，⑤|﹣b|＝﹣b，正确的有（ ） ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．5 个 1 【分析】先根据，b 在数轴上的位置得到，b 的符号，以及绝对值的大小，再根据有理 数的运算法则及不等式的性质进行判断． 【解答】解：根据数轴可得：b＜0＜，且|b|＞||， + ∴b＜0，故①正确； ﹣b＞0，故②错误； ＜|b|，故③正确； ﹣＜﹣b，故④错误； |﹣b|＝﹣b，故⑤正确； 故正确的有3 个． 故选：B． 【变式2-2】（2022 秋•玉州区期末）已知点，B，在数轴上示的数分别为，b，，点为B 的 中点，b＜0＜且+b＞0 则下列结论中，其中正确的个数有（ ） ①﹣b＞0 ②||＞|b|＞|| ③b﹣＜0 ④+b＝2 ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【分析】根据数轴上点的与原点的距离以及线段中点的定义即可求解． 【解答】解：∵b＜0＜且+b＞0 ∴①﹣b＞0，正确； ②||＞|b|，但是|b|不一定大于||； ③b﹣＜0，正确； ④+b＝2，故原说法正确． ∴正确的有①③④共3 个． 故选：． 【变式2-3】（2021 秋•镇平县月考）有理数m，在数轴上的位置如图所示，则下列关系式 中正确的有（ ） ①m+＜0；②﹣m＞0；③1 m ＞1 n；④﹣﹣m＞0． ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【分析】根据数轴得出＜0＜m，||＞|m|，再根据有理数的加减、乘除法则进行判断即可． 【解答】解：由数轴知，＜0＜m，||＞|m|， 1 ∴m+＜0，﹣m＜0，1 m ＞1 n，﹣﹣m＞0， ∴正确的有：①③④共3 个． 故选：． 【题型3 有理数加减法的混合运算】 【例3】（2021 春•肥乡区月考）计算： （1）2 5−(+2 1 4 )−¿−2 5∨−(−2.75)； （2）0.25+(−3 1 8 )+(−1 4 )+(−5 3 4 )； （3）(−1 4 )+(+ 5 6 )+(−1 2 )+(−1 3 )； （4）3 3 8 +(−1.75)+2 5 8 +(+1.75)． 【分析】（1）先去括号和求绝对值，再根据有理数的加法进行计算即可得到答． （2）根据加法交换律对0.25+(−3 1 8 )+(−1 4 )+(−5 3 4 )进行变形，再根据有理数的加 法运算法则进行求解，即可得到答； （3）根据加法交换律对(−1 4 )+(+ 5 6 )+(−1 2 )+(−1 3 )进行变形，再根据有理数的加法运 算法则进行求解，即可得到答； （4）根据加法交换律对3 3 8 +(−1.75)+2 5 8 +(+1.75)进行变形，再根据有理数的加法 运算法则进行求解，即可得到答． 【解答】解：（1）原式¿ 2 5−9 4 −2 5 + 11 4 =1 2． （2）原式¿[0.25+(−1 4 )]+[(−3 1 8 )+(−5 6 8 )]=0+(−8 7 8 )=−8 7 8． （3）原式¿[(−1 4 )+(−1 2 )]+[(+ 5 6 )+(−1 3 )]=(−3 4 )+(+ 1 2 )=−1 4 ． （4）原式¿(3 3 8 +2 5 8 )+[(−1.75)+(+1.75)]=6+0=6． 【变式3-1】（2021 秋•镇平县月考）计算． （1）（﹣4）﹣（+13）+（﹣5）﹣（﹣9）+7； （2）0−2 3 +¿（+5 7 ）+（−1 3 ）+24 7 ； 1 （3）2 5−¿| 1 ﹣1 2|﹣（+21 4 ）﹣（﹣275）； （4）（﹣3125）+（+475）+（﹣97 8）+（+51 4 ）+（﹣42 3）． 【分析】（1）把加减混合运算是式子统一成加法，利用加法的运算律计算即可； （2）把加减混合运算是式子统一成加法，利用加法的运算律计算即可； （3）把加减混合运算是式子统一成加法，利用加法的运算律计算即可； （4）利用加法的运算律计算即可． 【解答】解：（1）原式＝（﹣4）+（﹣13）+（﹣5）+9+7 ＝[（﹣4）+（﹣13）+（﹣5）]+（9+7） ＝（﹣22）+16 ＝﹣6； （2）原式＝0+（−2 3 ）+5 7 +¿（−1 3 ）+24 7 ＝[（−2 3 ）+（−1 3 ）]+5 7 +¿24 7 ＝（﹣1）+32 7 ＝22 7 ； （3）原式¿ 2 5−¿11 2 +¿（﹣21 4 ）+23 4 ¿ 2 5−¿11 2 +¿（﹣21 4 +¿23 4 ） ¿ 2 5 +¿（﹣11 2 + 1 2） ¿ 2 5 +¿（﹣1） ¿−3 5； （4）原式＝（﹣31 8）+43 4 +¿（﹣97 8）+51 4 −¿42 3 ＝[（﹣31 8）+（﹣97 8）]+（43 4 +¿51 4 ）﹣42 3 ＝（﹣13）+10 4 ﹣2 3 ＝﹣3 4 ﹣2 3 1 ＝﹣72 3． 【变式3-2】（2022 秋•沙县校级月考）计算： （1）（﹣1835）+（+615）+（﹣365）+（﹣1815）； （2）（+9）﹣（+10）+（﹣2）﹣（﹣8）+3； （3）(−3 5 7 )+(+15.5)+(−6 2 7 )+(−5 1 2 )； （4）33 4 −(−1 6 )−¿（+21 2）+（﹣15 6）． 【分析】（1）利用加法的交换律和结合律，将（﹣1835）与（﹣365），（﹣1815）与 （+615）结合先进行计算即可； （2）将正数、负数分别结合在一起先计算即可； （3）将分母相同的分数结合在一起先计算即可； （4）将分母相同的分数结合在一起先计算，使运算简单． 【解答】解：（1）原式＝[（﹣1835）+（﹣365）]+[（﹣1815）+（+615）] ＝（﹣22）+（﹣12） ＝﹣34； （2）原式＝9 10 2+8+3 ﹣ ﹣ ＝9+8+3﹣（10+2） ＝20 12 ﹣ ＝8； （3）原式＝[（﹣35 7 ）+（﹣62 7 ）]+[（+155）+（﹣51 2）] ＝﹣10+10 ＝0； （4）原式＝33 4 −¿21 2 +¿（1 6−¿15 6） ＝11 4 −¿12 3 ¿−5 12． 【变式3-3】（2022 秋•桐柏县月考）计算： （1）（﹣7）+（﹣4）+（+9）+（﹣5）； （2）1 4 +(−2 3 )+ 5 6 +(−1 4 )+(−1 3 )． 1 （3）(−9 5 12 )+¿153 4 +¿（﹣31 4 ）+（﹣225）+（﹣15 7 12）． （4）﹣84+10 42+57 ﹣ ． （5）42 3 +¿[86﹣（+32 3）+（−7 5 ）+（﹣23 5）]． 【分析】（1）先将加减统一为加法，再利用加法结合律计算即可； （2）先将加减统一为加法，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可； （3）先将加减统一为加法，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可； （4）先将加减统一为加法，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可； （5）先将加减统一为加法，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可； 【解答】解：（1）原式＝﹣7 4+9 5 ﹣ ﹣ ＝﹣（7+4+5）+9 ＝﹣7， （2）原式¿ 1 4 −2 3 + 5 6−1 4 −1 3 ＝（1 4 −1 4 ）+（−2 3 −1 3）+5 6 ＝0+（﹣1）+5 6 ¿−1 6 ， （3）原式＝﹣9 5 12 +¿153 4 −¿31 4 −¿221 2−¿15 7 12 ＝（﹣9 5 12−¿15 7 12）+（153 4 −¿31 4 ）﹣221 2 ＝﹣25+121 2−¿221 2 ＝﹣35， （4）原式＝（﹣84 42 ﹣ ）+（10+57） ＝﹣126+157 ＝31， （5）42 3 +¿[86﹣（+32 3）+（−7 5 ）+（﹣23 5）] ＝42 3 +¿（86 3 ﹣2 3−7 5−¿23 5） ＝42 3 +¿86+32 3−7 5−¿23 5 1 ＝（42 3−¿32 3）+（83 5−¿12 5−¿23 5） ＝1+43 5 ＝53 5． 【题型4 有理数加减法与绝对值的综合】 【例4】（2021 秋•望城区期末）已知|x|＝3，|y|＝2． （1）若x＞0，y＜0，求x+y 的值； （2）若x＜y，求x﹣y 的值． 【分析】（1）确定x、y 的值，代入计算即可； （2）根据|x|＝3，|y|＝2．x＜y，确定x、y 的值，代入计算即可． 【解答】解：（1）由|x|＝3，|y|＝2．x＞0，y＜0，得，x＝3，y＝﹣2， ∴x+y＝3+（﹣2）＝1； 所以x+y 的值为1； （2）由|x|＝3，|y|＝2．x＜y，可得x＝﹣3，y＝2 或x＝﹣3，y＝﹣2， 当x＝﹣3，y＝2 时，x﹣y＝﹣3 2 ﹣＝﹣5， 或x＝﹣3，y＝﹣2 时，x﹣y＝﹣3﹣（﹣2）＝﹣1， 所以x﹣y 的值为﹣5 或﹣1． 【变式4-1】（2021 秋•峡江县期末）若|x 2| ﹣＝5，|y|＝4，且x＞y，求x﹣y 的值． 【分析】根据绝对值的意义先求出x，y 的值，然后代入即可． 【解答】解：∵|x 2| ﹣＝5，|y|＝4， ∴x＝7 或﹣3，y＝±4． 又x＞y， ∴x＝7，y＝±4 或x＝﹣3，y＝﹣4． 当x＝7，y＝4 时，x﹣y＝3； 当x＝7，y＝﹣4 时，x﹣y＝11； 当x＝﹣3，y＝﹣4 时，x﹣y＝1． 综上x﹣y 的值为：3 或11 或1． 【变式4-2】（2021 秋•长汀县校级月考）已知||＝63，|b|＝35，且|﹣b|＝b﹣，求+b 的值． 【分析】根据绝对值的定义求出，b 的值，根据|﹣b|＝b﹣，得到≤b，然后分两种情况 分别计算即可． 【解答】解：∵||＝63，|b|＝35， ∴＝±63，b＝±35， 1 | ∵﹣b|＝b﹣， ∴﹣b≤0， ≤ ∴b， ∴当＝﹣63，b＝35 时，+b＝﹣63+35＝﹣28； 当＝﹣63，b＝﹣35 时，+b＝﹣63+（﹣35）＝﹣98； + ∴b 的值为﹣28 或﹣98． 【变式4-3】（2022 春•崇明区校级期中）若||＝2，|b|＝3，||＝6，|+b|＝﹣（+b），|b+|＝ b+．计算+b﹣的值． 【分析】根据题意可以求得、b、的值，从而可以求得所求式子的值． 【解答】解：∵||＝2，|b|＝3，||＝6， ∴＝±2，b＝±3，＝±6， |+ ∵b|＝﹣（+b），|b+|＝b+， + ∴b≤0，b+≥0， ∴＝±2，b＝﹣3，＝6， ∴当＝2，b＝﹣3，＝6 时， +b﹣＝2+（﹣3）﹣6＝﹣7， ＝﹣2，b＝﹣3，＝6 时， +b﹣＝﹣2+（﹣3）﹣6＝﹣11． 【题型5 有理数加减法中的规律计算】 【例5 】（2021 秋• 旌阳区校级月考）（1 ）请观察下列算式： 1 1×2=¿1−1 2 ， 1 2×3=1 2−1 3， 1 3×4 =1 3−1 4 ， 1 4×5= 1 4 −1 5，…， 则第10 个算式为 ＝ ， 第个算式为 ＝ ； （2）运用以上规律计算：1 2 + 1 6 + 1 12 +⋯+ 1 90 + 1 110 + 1 132． 【分析】（1）直接将分数拆项变形即可； （2）原式拆项变形后，抵消合并即可得到结果． 【解答】解：（1）第10 个算式为 1 10×11= 1 10−1 11， 第个算式为 1 n(n+1)=1 n−1 n+1； （2）1 2 + 1 6 + 1 12 +⋯+ 1 90 + 1 110 + 1 132 1 ＝1−1 2 + 1 2−1 3 + 1 3−1 4 +⋯+ 1 11−1 12 ＝1−1 12 ¿ 11 12． 故答为： 1 10×11，1 10−1 11； 1 n(n+1)，1 n−1 n+1． 【变式5-1】（2021 秋•河南月考）观察下面一组等式：