专题1.3 有理数的加减【七大题型】（原卷版）

专题13 有理数的加减【七大题型】 【人版】 【题型1 有理数加减法则概念辨析】.....................................................................................................................1 【题型2 有理数加减法在数轴上的应用】.............................................................................................................2 【题型3 有理数加减法的混合运算】.....................................................................................................................3 【题型4 有理数加减法与绝对值的综合】.............................................................................................................4 【题型5 有理数加减法中的规律计算】................................................................................................................. 4 【题型6 有理数加减法的实际应用】.....................................................................................................................5 【题型7 有理数加减法中的新定义问题】.............................................................................................................7 【知识点1 有理数加法的法则】 ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较 小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； ③一个数同0 相加，仍得这个数． 【知识点2 有理数减法的法则】 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 【题型1 有理数加减法则概念辨析】 【例1】（2022 春•肇源县期末）下列关于有理数的加法说法错误的是（ ） ．同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加 B．异号两数相加，绝对值相等时和为0 ．互为相反数的两数相加得0 D．绝对值不等时，取绝对值较小的数的符号作为和的符号 【变式1-1】（2021 秋•东平县期中）下面说法中正确的有（ ） （1）一个数与它的绝对值的和一定不是负数． （2）一个数减去它的相反数，它们的差是原数的2 倍． （3）零减去一个数一定是负数． （4）正数减负数一定是负数． （5）数轴上原点两侧的数互为相反数． ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．5 个 1 【变式1-2】（2021 秋•嵊州市期中）下列说法中错误的是（ ） ．如果＞0，b＜0 且+b＞0，那么||＞|b| B．如果＜0，b＞0，那么﹣b＜0 ．如果+b＜0，且，b 同号，那么＞0，b＞0 D．如果＜0，b＜0 且||＞|b|，那么﹣b＜0 【变式1-3】（2021 秋•信都区月考）下面两个结论： 甲：两数之和为负，至少有一个加数为负； 乙：两数之和至少大于其中一个加数． 其中说法正确的是（ ） ．甲、乙均正确 B．甲正确，乙错误 ．甲错误，乙正确 D．甲、乙均错误 【题型2 有理数加减法在数轴上的应用】 【例2】（2021 秋•瑶海区期中）有理数、b 在数轴上对应的点的位置如图所示，则下面结 论：①＜0；②||＞|b|；③+b＞0；④b﹣＞0；其中正确的个数有（ ）个． ．1 B．2 ．3 D．4 【变式2-1】（2021 秋•东昌府区期中）有理数，b 在数轴上的表示如图所示，则下列结论 中：①+b＜0；②﹣b＜0；③＜|b|；④﹣＞﹣b，⑤|﹣b|＝﹣b，正确的有（ ） ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．5 个 【变式2-2】（2022 秋•玉州区期末）已知点，B，在数轴上示的数分别为，b，，点为B 的 中点，b＜0＜且+b＞0 则下列结论中，其中正确的个数有（ ） ①﹣b＞0 ②||＞|b|＞|| ③b﹣＜0 ④+b＝2 ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【变式2-3】（2021 秋•镇平县月考）有理数m，在数轴上的位置如图所示，则下列关系式 中正确的有（ ） ①m+＜0；②﹣m＞0；③1 m ＞1 n；④﹣﹣m＞0． ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 1 【题型3 有理数加减法的混合运算】 【例3】（2021 春•肥乡区月考）计算： （1）2 5−(+2 1 4 )−¿−2 5∨−(−2.75)； （2）0.25+(−3 1 8 )+(−1 4 )+(−5 3 4 )； （3）(−1 4 )+(+ 5 6 )+(−1 2 )+(−1 3 )； （4）3 3 8 +(−1.75)+2 5 8 +(+1.75)． 【变式3-1】（2021 秋•镇平县月考）计算． （1）（﹣4）﹣（+13）+（﹣5）﹣（﹣9）+7； （2）0−2 3 +¿（+5 7 ）+（−1 3 ）+24 7 ； （3）2 5−¿| 1 ﹣1 2|﹣（+21 4 ）﹣（﹣275）； （4）（﹣3125）+（+475）+（﹣97 8）+（+51 4 ）+（﹣42 3）． 【变式3-2】（2022 秋•沙县校级月考）计算： （1）（﹣1835）+（+615）+（﹣365）+（﹣1815）； （2）（+9）﹣（+10）+（﹣2）﹣（﹣8）+3； （3）(−3 5 7 )+(+15.5)+(−6 2 7 )+(−5 1 2 )； （4）33 4 −(−1 6 )−¿（+21 2）+（﹣15 6）． 【变式3-3】（2022 秋•桐柏县月考）计算： （1）（﹣7）+（﹣4）+（+9）+（﹣5）； （2）1 4 +(−2 3 )+ 5 6 +(−1 4 )+(−1 3 )． （3）(−9 5 12 )+¿153 4 +¿（﹣31 4 ）+（﹣225）+（﹣15 7 12）． （4）﹣84+10 42+57 ﹣ ． （5）42 3 +¿[86﹣（+32 3）+（−7 5 ）+（﹣23 5）]． 【题型4 有理数加减法与绝对值的综合】 【例4】（2021 秋•望城区期末）已知|x|＝3，|y|＝2． （1）若x＞0，y＜0，求x+y 的值； 1 （2）若x＜y，求x﹣y 的值． 【变式4-1】（2021 秋•峡江县期末）若|x 2| ﹣＝5，|y|＝4，且x＞y，求x﹣y 的值． 【变式4-2】（2021 秋•长汀县校级月考）已知||＝63，|b|＝35，且|﹣b|＝b﹣，求+b 的值． 【变式4-3】（2022 春•崇明区校级期中）若||＝2，|b|＝3，||＝6，|+b|＝﹣（+b），|b+|＝ b+．计算+b﹣的值． 【题型5 有理数加减法中的规律计算】 【例5 】（2021 秋• 旌阳区校级月考）（1 ）请观察下列算式： 1 1×2=¿1−1 2 ， 1 2×3=1 2−1 3， 1 3×4 =1 3−1 4 ， 1 4×5= 1 4 −1 5，…， 则第10 个算式为 ＝ ， 第个算式为 ＝ ； （2）运用以上规律计算：1 2 + 1 6 + 1 12 +⋯+ 1 90 + 1 110 + 1 132． 【变式5-1】（2021 秋•河南月考）观察下面一组等式： |2 1| ﹣＝2 1 ﹣＝1，|1 2| ﹣＝2 1 ﹣＝1； |（﹣2）﹣（﹣5）|＝（﹣2）﹣（﹣5）＝3，|（﹣5）﹣（﹣2）|＝（﹣2）﹣（﹣5） ＝3； |64﹣（﹣35）|＝64﹣（﹣35）＝99，|（﹣35）﹣64|＝64﹣（﹣35）＝99； … 解决下列问题： （1）化简|（﹣2）﹣1|； （2）化简|314﹣π|的结果是 ； （3）求¿ 1 3−1 2∨+¿ 1 4 −1 3∨+¿ 1 5−1 4 ∨+⋯+¿ 1 2022− 1 2021∨¿的值． 【变式5-2】（2021 秋•嘉祥县期中）阅读下面文字： 对于(−5 5 6 )+(−9 2 3 )+17 3 4 +(−3 1 2 )可以如下计算： 原式＝[（﹣5）+（−5 6 ）]+[（﹣9）+（−2 3 ）]+（17+3 4 ）+[（﹣3）+（−1 2 ）] ＝[（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）]+[（−5 6 ）+（−2 3 ）+3 4 +¿（−1 2 ）] ¿0+(−1 1 4 ) ¿−1 1 4 1 上面这种方法叫拆项法，类比上面的方法计算： （1）(−2020 2 3 )+2019 3 4 +(−2018 5 6 )+2017 1 2； （2）(−1 1 2 )+(−2000 5 6 )+4000 3 4 +(−1999 2 3 )． 【变式5-3】（2022 秋•青羊区校级期中）计算与化简： （ 1 ） 1+2 3 4+5+6 7 8+……+2013+2014 2015 2016+2017+2018 2019 ﹣﹣ ﹣﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ 2020+2021； （2）（﹣20171 6 ）+（﹣202011 20）﹣（﹣20181 6 ）+2019 9 20． 【题型6 有理数加减法的实际应用】 【例6】（2021 秋•濮阳期末）如表为本周内某农产品每天的批发价格比前一天的涨跌情况 （上周末该农产品的批发价格为27 元/斤）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与前一天的价格 涨跌情况（元） +02 03 ﹣ +05 +02 03 ﹣ +04 01 ﹣ 注：正号表示价格比前一天上涨，负号表示价格比前一天下跌． （1）本周哪天该农产品的批发价格最高，批发价格是多少元/斤？本周哪天该农产品的 批发价格最低，批发价格是多少元/斤？ （2）与上周末相比，本周末该农产品的批发价格是上升了还是下降了？变化了多少？ 【变式6-1】（2021 秋•莱西市期末）一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过6 个停靠站， 最后到达终点站．下表记录了这辆公共汽车全程载客变化情况，其中正数表示上车人数． 停靠 站 起点站 中间 第1 站 中间 第2 站 中间 第3 站 中间 第4 站 中间 第5 站 中间 第6 站 终点 站 上下车 人数 +21 3 ﹣ +8 4 ﹣ +2 0 +4 7 ﹣ +1 9 ﹣ +6 7 ﹣ 0 12 ﹣ （1）中间第4 站上车人数是 人，下车人数是 人； （2）中间的6 个站中，第 站没有人上车，第 站没有人下车； （3）中间第2 站开车时车上人数是 人，第5 站停车时车上人数是 人； （4）从表中你还能知道什么信息？ 【变式6-2】（2021 秋•芗城区校级期中）某领导慰问高速公路养护小组．乘车从服务区出 发，沿东西向公路巡视，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位： 千米）： 1 +17，﹣9，+7，﹣15，﹣3，+11． （1）求该领导乘车最后到达的地方在服务区何方？距离多远？ （2）行驶1 千米耗油05 升，则这次巡视共耗油多少升？ （3）若领导在这6 个巡视点发放苹果慰问品．以50kg 为标准，超过的记为正数，不足 的记为负数，这6 个巡视点的苹果重量记为11，﹣22，﹣37，3，﹣18，29（单位： kg），求发放苹果的总重量． 【变式6-3】（2021 秋•青岛期中）2021 年7 月，我国河南省由于受台风灯因素的影响，出 现了千年难遇的特大洪涝灾害．国家防总部署强降雨防范，各级水利部门加强了检测预 报预警，及时发布洪水预警信息，为调度决策、防范应对和抢险救灾提供了有力支撑． 下表是我国河南省某水库一周内的水位变化情况单位：（米） 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位记录 +25 +12 +21 03 ﹣ 05 ﹣ +02 08 ﹣ （注：该水库的警戒水位是355 米，表格中“+”表示比警戒水位高，“﹣”表示比警戒 水位低） （1）该水库本周水位最高的一天是星期 ，这一天的实际水位是 米． （2）若规定水位比前一天上升用“+”，比前一天下降用“﹣”，不升不降用“0”，请 补全下面的本周水位变化表：单位（米） 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 +23 02 ﹣ 1 ﹣ （3）与上周末相比，本周末该水库水位是上升了，还是下降了？变化了多少？ 【题型7 有理数加减法中的新定义问题】 【例7】（2022 春•龙岩期中）规定：把四个有理数1，2，3，﹣5 分成两组，每组两个， 假设1，3 分为一组，2，﹣5 分为另一组，则＝|1+3|+|2 5| ﹣．在数轴上原点右侧从左到 右取两个有理数m、，再取这两个数的相反数，对于这样的四个数，其所有的和为（ ） ．4m B．4m+4 ．4 D．4m 4 ﹣ 【变式7-1】（2021 秋•邓州市期末）对于有理数，b，，d，给出如下定义：如果| |+| ﹣ b | ﹣ ＝d．那么称和b 关于的相对距离为d，如果m 和4 关于1 的相对距离为5，那么m 的值为 ． 【变式7-2 】（2021 秋• 永春县期中）设[] 表示不超过的最大整数，例如： [3.1]=3，[−3 5 6 ]=−4，[4]=4． 1 （1）填空：[2 1 5 ]=¿ ；[36]＝ ． （2）令（）＝﹣[]，求（34 5 ）﹣[ 24]+ ﹣ （﹣74 5 ）（说明：此式第一，三项表示所定义 的运算）． 【变式7-3】（2022 春•房山区期中）现将偶数个互不相等的有理数分成个数相同的两排， 需满足第一排中的数越来越大，第二排中的数越来越小．例如，轩轩将“1，2，3，4” 进行如下分组： 第一列 第二列 第一排 1 2 第二排 4 3 然后把每列两个数的差的绝对值进行相加，定义为该分组方式的“M 值”． 例如，以上分组方式的“M 值”为M＝|1 4|+|2 3| ﹣ ﹣＝4． （1）另写出“1，2，3，4”的一种分组方式，并计算相应的“M 值”； （2）将4 个自然数“，6，7，8”按照题目要求分为两排，使其“M 值”为6，则的值为 ． 1