专题1.4 有理数的乘除【九大题型】（原卷版）

专题14 有理数的乘除【九大题型】 【人版】 【题型1 有理数乘除法则概念辨析】.....................................................................................................................1 【题型2 倒数的概念及运用】.................................................................................................................................2 【题型3 有理数乘除法的简单混合运算】............................................................................................................. 3 【题型4 有理数乘除法运算律的运用】................................................................................................................. 4 【题型5 有理数乘除法的运算步骤问题】............................................................................................................. 5 【题型6 有理数乘除法与绝对值的综合】............................................................................................................. 7 【题型7 有理数乘除法中的规律计算】................................................................................................................. 9 【题型8 有理数乘除法的实际应用】...................................................................................................................10 【题型9 有理数乘除法中的新定义问题】........................................................................................................... 13 【知识点1 有理数乘法的法则】 ①有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． ②任何数同零相乘，都得0． ③多个有理数相乘的法则：①几个不等于0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当 负因数有奇数个 时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 【知识点2 有理数除法的法则】 ①有理数除法法则：除以一个不等于0 的数，等于乘这个数的倒数 ②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0 除以任何一个不等于0 的数，都 得0． 【题型1 有理数乘除法则概念辨析】 【例1】（2022•金堂县月考）下列说法正确的是（ ） ．5 个有理数相乘，当负因数为3 个时，积为负 B．﹣1 乘以任何有理数等于这个数的相反数 ．3 个有理数的积为负数，则这3 个有理数都为负数 D．绝对值大于1 的两个数相乘，积比这两个数都大 【变式1-1】（2022 春•埇桥区校级期中）在下列各题中，结论正确的是（ ） ．若＞0，b＜0，则b a ＞0 B．若＞b，则﹣b＞0 1 ．若 ＜0，b＜0，则b＜0 D．若＞b，＜0，则b a ＜0 【变式1-2】（2022•广东一模）已知+b＞0 且（b 1 ﹣）＜0，则下列说法一定错误的是（ ） ．＞0，b＞1 B．＜﹣1，b＞1 ．﹣1≤＜0，b＞1 D．＜0，b＞0 【变式1-3】（2022•武昌区校级期中）下列说法：①若、b 互为相反数，则a b=−¿1；② 若b＜0＜，且||＜|b|，则|+b|＝﹣||+|b|；③几个有理数相乘，如果负因数的个数为奇数个， 则积为负；④当x＝1 时，|x 4|+| ﹣ x+2|有最小值为5；⑤若a b = c d ，则c a=d b ；其中错误 的有（ ） ．5 个 B．4 个 ．3 个 D．2 个 【知识点3 倒数的概念】 乘积是1 的两个数互为倒数． “ ①互为倒数”的两个数是互相依存的； 0 ② 和任何数相乘都不等于1，因此0 没有倒数； ③倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数； ④互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)． 【题型2 倒数的概念及运用】 【例2】（2022 秋•温江区月考）若3 12 ﹣ 没有倒数，则＝ ；已知m 11 ﹣ 的倒数为−1 7 ， 则m+1 的相反数是 ． 【变式2-1】（2022•杨浦区校级期中）如果+3 的相反数是﹣51 3，那么的倒数是 ． 【变式2-2】（2022 秋•贵港期末）若、b 互为相反数，、d 互为倒数，m 的绝对值为2． （1）直接写出+b，d，m 的值； （2）求m+d+a+b m 的值． 【变式2-3】（2022•大邑县期末）已知与2 互为相反数，x 与3 互为倒数，则代数式+2+|﹣ 6x|的值为（ ） 1 ．0 B．﹣2 ．2 D．无法确定 【题型3 有理数乘除法的简单混合运算】 【例3】（2022•鄂托克旗期末）下列计算正确的是（ ） ．﹣30× 3 7 −¿20×（−3 7 ）¿ 150 7 B．（−2 3 + 4 5 ）÷（−1 15 ）＝﹣2 ．（1 2−1 3）÷（1 3−1 4 ）×（1 4 −1 5）¿ 3 10 D．−4 5 ÷（+4 5 ）×（−8 27 ）＝0 【变式3-1】（2022•东昌府区校级月考）（1）（−3 5 ）×（﹣31 2）÷（﹣11 4 ）÷3 （2）[（+1 7 ）﹣（−1 3 ）﹣（+1 5 ）]÷（−1 105） 【变式3-2】（2022•安图县期末）计算： （1）6 19 ÷（﹣11 2）× 19 24 ． （2）﹣125×042÷（﹣7） 【变式3-3】（2022•沙市区校级期中）计算： （1）（−3 5 ）×（﹣31 2）÷（﹣11 4 ）÷3； （2）（﹣8）÷ 2 3 ×（﹣11 2）÷（﹣9）． 1 【题型4 有理数乘除法运算律的运用】 【例4】（2022•诸城市期中）写出下列运算中每一步所依据的运算律或法则： （﹣04）×（﹣08）×（﹣125）×25 ＝﹣（04×08×125×25）（第一步） ＝﹣（04×25×08×125）（第二步） ＝﹣[（04×25）×（08×125）]（第三步） ＝﹣（1×1）＝﹣1． 第一步： ；第二步： ；第三步： ． 【变式4-1】（2022•平谷区期末）计算：（1 2−3 4 + 1 8）×（﹣24）． 【变式4-2】（2022•红谷滩区校级期中）用简便方法计算 （1）9917 18 ×（﹣9） （2）（﹣5）×（﹣36 7 ）+（﹣7）×（﹣36 7 ）+12×（﹣36 7 ） 【变式4-3】（2022•红河州校级期中）用简便方法计算： （1）﹣13× 2 3−¿034× 2 7 + 1 3 ×（﹣13）−5 7 ×034 （2）（−1 3 −1 4 + 1 5−7 15）×（﹣60） 1 【题型5 有理数乘除法的运算步骤问题】 【例5】（2022•利辛县月考）下面是小明同学的运算过程． 计算：﹣5÷2× 1 2． 解：﹣5÷2× 1 2=−¿5÷（2× 1 2）…第1 步 ＝﹣5÷1…第2 步 ＝﹣5…第3 步 请问：（1）小明从第 步开始出现错误； （2）请写出正确的解答过程． 【变式5-1】（2022•海陵区期中）计算：（−10 9 ）×（−3 5 ）． 解：（−10 9 ）×（−3 5 ） ¿−10 9 × 3 5① ¿−2 3．② （1）找错：第 步出现错误； （2）纠错： 1 【变式5-2】（2022•德州校级月考）阅读下面解题过程： 计算：5÷（1 3−¿21 2−¿2）÷6 解：5÷（1 3−¿21 2−¿2）×6 ＝5÷（−25 6 ）×6…① ＝5÷（﹣25）…② ¿−1 5 ⋯③ 回答： （1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第 步，错因是 ，第二 处是 ，错因是 ． （2）正确结果应是 ． 【变式5-3】（2022 秋•无为县月考）阅读下列材料： 计算：1 24 ÷（1 3−1 4 + 1 12）． 解法一：原式¿ 1 24 ÷ 1 3−1 24 ÷ 1 4 + 1 24 ÷ 1 12= 1 24 ×3−1 24 ×4+1 24 ×12¿ 11 24 ． 解法二：原式¿ 1 24 ÷（4 12−3 12 + 1 12）¿ 1 24 ÷ 2 12= 1 24 ×6¿ 1 4 ． 解法三：原式的倒数＝（1 3−1 4 + 1 12）÷ 1 24 =¿（1 3−1 4 + 1 12）×24¿ 1 3 ×24−1 4 ×24 +1 12 ×24＝4． 所以，原式¿ 1 4 ． （1）上述得到的结果不同，你认为解法 是错误的； （2）请你选择合适的解法计算：（−1 42 ）÷（1 6−3 14 + 2 3−2 7 ）． 1 【题型6 有理数乘除法与绝对值的综合】 【例6 】（2022• 余姚市校级期中）（1 ）三个有理数，b ，满足b ＞0 ，求 ¿a∨¿ a +¿b∨¿ b +¿c∨¿ c ¿¿¿的值． （2）三个有理数，b，满足b＜0，求¿a∨¿ a +¿b∨¿ b +¿c∨¿ c ¿¿¿的值； （3）若，b，为三个不为0 的有理数，且¿a∨¿ a +¿b∨¿ b +¿c∨¿ c =−¿¿¿¿1，求 abc ¿abc∨¿¿的值． 【变式6-1】（2022•雁峰区校级期末）已知非零有理数，b，满足b＞0，b＞0． （1）求¿ab∨¿ ab + ac ¿ac∨¿+¿bc∨¿ bc ¿¿ ¿的值； （2）若+b+＜0，求¿a∨¿ a + b ¿b∨¿+¿c∨¿ c +¿abc∨¿ abc ¿¿¿ ¿的值． 1 【变式6-2】（2022•河西区期中）已知|x|＝3，|y|＝7 （1）若x＜y，求x﹣y 的值； （2）若xy＞0，求x+y 的值； （3）求x2y﹣xy2+21 的值． 【变式6-3】（2022•雨花区月考）若+b+＜0，b＞0，则 ab ¿ab∨¿+¿¿2•¿−bc∨¿ bc −¿¿3• ac ¿ac∨¿+¿¿4•¿abc∨¿ abc ¿的最大值为（ ） ．6 B．8 ．10 D．7 【题型7 有理数乘除法中的规律计算】 【例7】（2022•上蔡县期中）考察下列每一道算式，回答问题： 算式：63×67＝4221 72×78＝5616 561×569＝3192009 1814×1816＝3294224 （1）两个因数个位上的数字之和是多少？其余各位上的数字有何特征？ （2）根据四个式子的计算，请你猜想符合上述特征的两个数相乘的运算规律． （3）再举两道符合上述特征的计算题，并用你猜想的规律进行计算． 1 【变式7-1】已知C3 2=3×2 1×2=¿3，C5 3=5×4×3 1×2×3 =¿10，C6 4=6×5×4×3 1×2×3×4 =¿15，…观察 以上规律计算C8 5=¿ ，C10 a =¿45，则＝ ． 【变式7-2】（2022•夏邑县期中）有一列数1，2，3，…，若1¿ 1 2，从第二个数开始，每一 个数都等于1 与它前面那个数的差的倒数． （1）试计算2，3，4； （2）根据以上计算结果，试猜测2016、2017的值． 【变式7-3】（2022•厦门期末）已知一些两位数相乘的算式： 62×11，78×69，34×11，63×67，18×22，15×55，12×34，54×11 利用这些算式探究两位数乘法中可以简化运算的特殊情形： （1）观察已知算式，选出具有共同特征的3 个算式，并用文字描述它们的共同特征； （2）分别计算你选出的算式．观察计算的结果，你能发现不经过乘法运算就可以快速、 直接地写出积的规律吗？请用文字描述这个规律； （3）证明你发现的规律； （4）在已知算式中，找出所有可以应用（或经过转化可以应用）上述规律的算式，并 将它们写在横线上： ． 【题型8 有理数乘除法的实际应用】 【例8】（2022•江宁区校级月考）天龙顶国家山地公，位于岑溪市南渡镇吉太附近，距岑 溪市35 公里，天龙顶是桂东最高峰，史上早已成名，被誉为“土主龙楼”天龙顶形成 1 于远古冰川，由整块红色砂岩劈凿而成，拔地而起，是极限攀岩、野外露营及登山爱好 者的天堂．某年寒假，小昌与小勇一起去游天龙顶，他们想知道山的高度．小昌说可以 利用温度计测量山峰的高度，小昌在山顶测得温度约是﹣1℃，小勇此时在山脚测得温 度约是86℃，已知该地区每年增加100 米，气温大约下降08℃，小昌很快算出了答， 你知道天龙顶的高度约是多少米吗？ 【变式8-1】（2021 秋•北京期中） 妈妈身高多少厘米？ 【变式8-2】（2022•常州期中）某原料仓库一天的原料进出记录如下表（运进用正数表示， 运出用负数表示）： 进出数量（单 位：吨） 3 ﹣ 4 1 ﹣ 2 5 ﹣ 进出次数 2 1 3 3 2 （1）这天仓库的原料比原来增加或减少了多少吨？ （2）根据实际情况，现有两种方： 方一：运进每吨原料费用5 元，运出每吨原料费用8 元； 方二：不管运进还是运出费用都是每吨原料6 元； 1 从节约运费的角度考虑，选用哪一种方较合适？请说明理由． 【变式8-3】（2022•台湾）碳足迹标签是一种碳排放量的标示方式，让大众了解某一产品 或服务所产生的碳排放量多寡，如图所示． 碳足迹标签的数据标示有其规定，以碳排放量大于20 公克且不超过40 公克为例，此范 围内的碳足迹数据标示只有20、22、24、…、38、40 公克等11 个偶数；碳足迹数据标 示决定于碳排放量与这11 个偶数之中的哪一个差距最小，两者对应标示的范例如下表 所示． 碳排放量 碳足迹数据标示 202 公克 20 公克 208 公克 20 公克 210 公克 20 公克或22 公克皆可 231 公克 24 公克 请根据上述资讯，回答下列问题，并详细解释或完整写出你的解题过程． （1）若有一个产品的碳足迹数据标示为38 公克，则它可能的碳排放量之最小值与最大 值分别为多少公克？ （2）承（1），当此产品的碳排放量减少为原本的90%时，请求出此产品碳足迹数据标 示的所有可能情形． 1 【题型9 有理数乘除法中的新定义问题】 【例9】（2022•大安市期末）若定义一种新的运算“*”，规定有理数*b＝4b，如2*3＝ 4×2×3＝24． （1）求3*（﹣4）的值； （2）求（﹣2）*（6*3）的值． 【变式9-1】（2022•九龙坡区校级模拟）定义：对于一个两位自然数，如果它的个位和十 位上的数字均不为零，且它正好等于其个位和十位上的数字的和的倍（为正整数），我 们就说这个自然数是一个“喜数”．例如：24 就是一个“4 喜数”，因为24＝4× （2+4）；25 就不是一个“喜数”，因为25≠（2+5）． （1）判断44 和72 是否是“喜数”？请说明理由； （2）请求出所有的“7 喜数”之和． 【变式9-2】（2022•丰台区期末）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在 15 世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中被称 为“铺地锦”． 例如：如图1，计算46×71，将乘数46 写在方格上边，乘数71 写在方格右边，然后用 1 乘数46 的每位数字乘以乘数71 的每位数字，将结果计入相应的方格中，最后沿斜线方 向相加得3266． （1）如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，则x＝ ，y＝ ； （2）如图3，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，得2176，则m＝ ，＝ ； （3）如图4，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，则k＝ ． 【变式9-3】（2022•靖江市期中）小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理 数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的 除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如 5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小聪把5÷5÷5 记作 f（3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作f（4，﹣2）． （1）直接写出计算结果，f（4，1 2）＝ ，f（5，3）＝ ； （2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号） ①f（6，3）＝f（3，6）； ②f（2，）＝1（≠0）； ③对于任何正整数，都有f（，﹣1）＝1； ④对于任何正整数，都有f（2，）＜0（＜0）． （3）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的 形式，请推导出“除方”的运算公式f（，）（为正整数，≠0，≥2），要求写出推导过 程将结果写成幂的形式；（结果用含，的式子表示） （4）请利用（3）问的推导公式计算：f（5，3）×f（4，1 3）×f（5，﹣2）×f（6，1 2 ）． 1