专题21 全等与相似模型之半角模型解读与提分精练（全国通用）（原卷版）

专题21 全等与相似模型之半角模型 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。全等三角形、相似三角形与其它知 识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法， 熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方 便掌握。 .................................................................................................................................................1 模型1 半角模型（全等模型）.......................................................................................................................1 模型2 半角模型（相似模型）.....................................................................................................................13 ...............................................................................................................................................15 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样 才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法 的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中 提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因 为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几 何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每 一个题型，做到活学活用！ 模型1 半角模型（全等模型） 半角模型概念：半角模型是指是指有公共顶点，较小角等于较大角的一半，较大的角的两边相等，通过旋 转，可将角进行等量转化，构造全等三角形的几何模型。 1）正方形半角模型 条件：四边形BD 是正方形，∠EF=45°；结论：①△BE △ ≌DG；②△EF △ ≌GF；③EF＝BE＋DF；④ EF 的 周长=2B；⑤E、F 分别平分∠BEF 和∠EFD。 证明：将△BE 绕点逆时针旋转90°至△DG，即△BE △ ≌DG， ∴∠EB=∠GD，∠B=∠DG=90°，BE＝DG，E＝G； ∵BD 是正方形，∴∠B=∠DF=∠BD=90°，B＝D；∴∠DG+∠DF=180°，故F、D、G 共线。 ∵∠EF=45°，∴∠BE+∠DF=45°，∴∠GD+∠DF=∠GF=45°，∴∠EF=∠GF=45°， ∵F＝F，∴△EF △ ≌GF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF， ∴ EF 的周长=EF+E＋F=BE＋DF+E＋F=B＋D=2B，过点作⊥EF，则∠E=90°， ∵△EF △ ≌GF，∴D=（全等三角形对应边上的高相等），再利用L 证得：△BE △ ≌E， ∴∠E=∠BE，同理可证：∠F=∠DF，即E、F 分别平分∠BEF 和∠EFD。 2）等腰直角三角形半角模型 条件： B 是等腰直角三角形（∠B=90°，B＝），∠DE=45°； 结论：①△BD △ ≌G；②△DE △ ≌GE；③∠EG==90°；④DE2＝BD2＋E2； 证明：将△BD 绕点逆时针旋转90°至△G，即△BD △ ≌G， ∴∠BD=∠G，∠B=∠G=45°，D＝G，BD＝G； ∵∠DE=45°，∴∠BD+∠E=45°，∴∠G+∠E=∠GE=45°，∴∠DE=∠GE=45°， ∵E＝E，∴△DE △ ≌GE，∴ED＝EG，∵ B 是等腰直角三角形，∴∠B=45°，∴∠EG=90°，∴GE2＝G2＋ E2,∴DE2＝BD2＋E2； 3）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件： B 是等边三角形， BD 是等腰三角形，且BD=D，∠BD=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE △ ≌DG；②△EDF △ ≌GDF；③EF＝BE＋F；④ EF 的周长=2B； ⑤DE、DF 分别平分∠BEF 和∠EF。 证明：将△DBE 绕点D 顺时针旋转120°至△DG，即△BDE △ ≌DG， ∴∠EDB=∠GD，∠DBE=∠DG，BE＝G，DE＝DG； ∵∠BD=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠DF=60°，∴∠GD+∠DF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF， ∵DF＝DF，∴△EDF △ ≌GDF，∴EF＝GF，∵GF＝G＋F，∴GF＝BE＋F，∴EF＝BE＋F， ∴ EF 的周长=EF+E＋F=BE＋F+E＋F=B＋=2B， 过点D 作D⊥EF，DM⊥GF，则∠DF=∠DMF=90°， ∵△EDF △ ≌GDF，∴DM=D（全等三角形对应边上的高相等），再利用L 证得：△DF △ ≌DMF， ∴∠FD=∠MFD，同理可证：∠BFD=∠FED，即DE、DF 分别平分∠BEF 和∠EF。 4）等边三角形半角模型（60°-30°型） 条件： B 是等边三角形，∠ED=30°； 结论：①△BD △ ≌F；②△DE △ ≌FE；③∠EF=120°；④DE2＝( BD＋E)2+ ； 证明：将△BD 绕点逆时针旋转60°至△F，即△BD △ ≌F， ∴∠BD=∠F，∠B=∠F=60°，D＝F，BD＝F； ∵∠DE=30°，∴∠BD+∠E=30°，∴∠F+∠E=∠FE=30°，∴∠DE=∠FE=30°， ∵E＝E，∴△DE △ ≌FE，∴ED＝EF，∵ B 是等边三角形，∴∠B=60°，∴∠EF=120°， 过点F 作F⊥B，∴∠F=60°，∠F=30°，∴= F= BD，F= F= BD， ∵在直角三角形中：FE2＝F2＋E2,∴DE2＝( BD＋E)2+( BD)2； 5）任意角度的半角模型（ - 型） 条件：∠B= ，B=，∠DE= ； 结论：①△BD △ ≌F；②△ED △ ≌EF；③∠EF=180°- 。 证明：将△BD 绕点逆时针 °至△F，即△BD △ ≌F， ∴∠BD=∠F，∠B=∠B=∠F=90°- ，D＝F，BD＝F；∴∠EF=∠B+∠F=180°- 。 ∵∠B= ，∠DE= ，∴∠BD+∠E= ，∴∠F+∠E=∠FE= ，∴∠DE=∠FE= ， ∵E＝E，∴△DE △ ≌FE。 例1．（2023·广东广州·二模）在正方形 中，点E、F 分别在边 上，且 ，连接 ． (1)如图1，若 ， ，求 的长度；(2)如图2，连接 ， 与 、 分别相交于点M、， 若正方形 的边长为6， ，求 的长；(3)判断线段 三者之间的数量关系并证 明你的结论﹒ 例2．（23-24 八年级下·四川达州·阶段练习）倡导研究性学习方式，着力材研究，习题研究，是学生跳出 题海，提高学习能力和创新能力的有效途径． (1)【问题背景】已知：如图1，点E、F 分别在正方形 的边 上， ，连接 ，则 之间存在怎样的数量关系呢？ （分析：我们把 绕点顺时针旋转 至 ，点G、B、在一条直线上．） 于是易证得： 和 ，所以 ． 直接应用：正方形 的边长为6， ，则 的值为 ． (2)【变式练习】已知：如图2，在 中， ，D、E 是斜边 上两点，且 ，请 写出 之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】在（2）的条件下，当 绕着点逆时针一定角度后，点D 落在线段B 上，点E 落在线 段B 的延长线上，如图3，此时（2）的结论是否仍然成立，并证明你的结论． 例3．（23-24 九年级上·浙江台州·期中）如图，在 中，B＝，∠B＝120°，点D、E 都在边B 上， ∠BD＝15°，∠DE＝60°．若DE=3，则B 的长为 ． 例4．（23-24 九年级上·江西南昌·期中）（1）如图①，在直角 中， ， ，点D 为 边上一动点（与点B 不重合），连接 ，将 绕点逆时针旋转 ，得到 ，那么 之间的位置关系为__________，数量关系为__________；（2）如图②，在 中， ， ，D，E（点D，E 不与点B，重合）为 上两动点，且 ．求证： ． （3）如图③，在 中， ， ， ， ，D，E（点D，E 不与 点B，重合）为 上两动点，若以 为边长的三角形是以 为斜边的直角三角形时，求 的 长． 例5．（2024·江西·九年级期中）（1）【特例探究】如图1，在四边形 中， ， ， ， ，猜想并写出线段 ， ， 之间的数量关系，证明 你的猜想； （2）【迁移推广】如图2，在四边形 中， ， ， ．请 写出线段 ， ， 之间的数量关系，并证明； （3）【拓展应用】如图3，在海上军事演习时，舰艇在指挥中心（ 处）北偏东20°的 处．舰艇乙在指 挥中心南偏西50°的 处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80 海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90 海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测 到甲、乙两舰艇分别到达 ， 处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰 艇之间的距离． 例6．（2022·湖北十堰·中考真题）【阅读材料】如图①，四边形 中， ， ， 点 ， 分别在 ， 上，若 ，则 ． 【解决问题】如图②，在某公的同一水平面上，四条道路围成四边形 ．已知 ， ， ， ，道路 ， 上分别有景点 ， ，且 ， ，若在 ， 之间修一条直路，则路线 的长比路线 的长少_______ __ （结果取整数，参考数据： ）． 模型2 半角模型（相似模型） 半角模型特征：①共端点的等线段； ②共顶点的倍半角； 半角模型辅助线的作法：由旋转（或翻折）构造两对全等，从而将边转化，找到边与边的关系（将分散的 条件集中，隐蔽的关系显现）。 常见的考法包括：90°与45°（正方形、直角三角形）；120°与60°（等边三角形）等。 1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型） 条件：已知，如图，在正方形BD 中，∠EF 的两边分别交B、D 边于M、两点，且∠EF＝45° 结论：如图1，△MD∽△M∽△B； 图1 图2 证明：∵BD 是正方形，∴∠DM=45°，∵∠EF＝45°，∴∠DM=∠EF， ∠ ∵ MD=∠M，∴△MD∽△M，同理：△M∽△B，∴△MD∽△M∽△B； 结论：如图2，△BME∽△M∽△DF 证明：∵BD 是正方形，∴∠DF=45°，∵∠EF＝45°，∴∠DF=∠EF， ∠ ∵ DF=∠M，∴△M∽△DF，同理：△BME∽△M，∴△BME∽△M∽△DF； 结论：如图3，连接，则△MB∽△F，△D∽△E．且 ； M N F E D C B A 45° 45° A B C D E F N M 图3 图4 证明：∵BD 是正方形，∴∠B=∠B=∠F=45°， ，∴∠BM+∠M=45°， ∵∠EF＝45°，∴∠F+∠M=45°，∴∠BM=∠F，∴△MB∽△F，∴ 。 同理：△D∽△E， ；即 。 结论：如图4，△M∽△FE 且 ． 证明：∵BD 是正方形，∴B∥D，∴∠DF=∠B；∵∠FE=∠FD，∠B=∠MD，∴∠FE=∠M； 又∠M=∠FE，∴△M∽△FE，由图3 证明知： ，∴ 。 2）半角模型（含120-60°半角模型） 图5 条件：如图5，已知∠B＝120°， ； 结论：①△BD∽△E∽△B；② ；③ （ ）。 证明：∵ ，∴∠DE=60°，∴∠DB=120°，∵∠B＝120°，∴∠DB=∠B， ∠ ∵ BD=∠B，∴△BD∽△B；∴ ，即： ， 同理：△E∽△B，∴ ，即： ，即：△BD∽△E∽△B； ， ∴ ，∵D=E=DE，∴ 例1．（23-24 九年级上·广东深圳·期中）如图，在正方形BD 中，E、F 分别是B、D 上的点，且 ∠EF=45°，E、F 分别交BD 于M、，连按E、EF，有以下结论：①△BM∽△EM；②△E 是等腰直角三角形； ③当E=F 时， ；④BE+DF=EF；⑤若点F 是D 的中点，则E B． 其中正确的个数是( ) ．2 B．3 ．4 D．5 例2．（23-24 九年级上·河北唐山·阶段练习）在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起， 如图1 所示，点为公共顶点，点D 在 的延长线上， ， ．若将 固定不动，把 绕点逆时针旋转（ ），此时线段 ，射线 分别与射线 交于 点M，．(1)当 旋转到如图2 所示的位置时，①求证： ； ②在图2 中除 外还有哪些相似三角形，直接写出；③如图2，若 ，求 的长； (2)在旋转过程中，若 ，请直接写出 的长_________（用含d 的式子表示）． 例3．（2024·辽宁·模拟预测）（1）如图，等腰 中， ， ， 、 在线段 上，且 ， ， ，求 的长． （2）如图，在 中， ，如果 ， 在直线 上， 在 上， 在 的右侧， ，若 ， ，求 的长．（3）如图，在 中，若 ， 、 是线段 上的两点， ，若 ， ，探究 与 的数量关系． 例4．（2023·辽宁沈阳·统考二模）在菱形 中， ．点 ， 分别在边 ， 上，且 ．连接 ， ．（1）如图1，连接 ，求证： 是等边三角形；（2） 平分 交 于点 ． ①如图2， 交 于点 ，点 是 的中点，当 时，求 的长． ②如图3， 是 的中点，点 是线段 上一动点（点 与点 ，点 不重合）．当 ， 时，是否存在直线 将 分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为 1∶3．若存在，请直接写出 的值；若不存在，请说明理由． 例5．（2024·山东烟台·一模）如图①，在正方形 中，点、M 分别在边 、 上，连结 、 、 ． ，将 绕点顺时针旋转90°，点D 与点B 重合，得到 ．易证： ，从而得 ． 【实践探究】（1）在图①条件下，若 ， ，则正方形 的边长是_________． （2）如图②，点M、分别在边 、 上，且 ．点E、F 分别在 、 上， ，连 接 ，猜想三条线段 、 、 之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】（3）如图③，在矩形 中， ， ，点M、分别在边 、 上，连结 ， ，已知 ， ，求 的长． 1．（2024·福建南平·二模）已知正方形 的边长为6，E，F 分别是 ， 边上的点，且 ，将 绕点D 逆时针旋转 ，得到 ．若 ，则 的长为（ ） ．4 B．5 ．6 D．65 2．（2024·重庆·一模）如图，正方形 中， 是 上一点， 是 延长线上一点， ，连 接 为 中点，连接 ．若 ，则 （ ） ． B． ． D． 3．（2023·江苏宿迁·三模）如图，平面直角坐标系中，长方形 ，点，分别在y 轴，x 轴的正半轴上， ， ， ， 、 分别交 ， 于点D、E，且 ，则 的长为（ ） ．1 B． ．2 D． 4．（23-24 九年级下·湖北襄阳·期中）如图所示，边长为4 的正方形 中，对角线 ， 交于点， E 在线段 上，连接 ，作 交 于点F，连接 交 于点，则下列结论：① ；② ；③ ；④若 ，则 ，正确的是（ ） ．①②④ B．①③④ ．①②③ D．①②③④ 5．（2024·山东淄博·二模）如图， 正方形 的边长为4， 点 M 在 CB 延长线上， 作 交 延长线于点 ，则 的长为 ． 6．（2024·吉林·二模）已知： 正方形 中， ，它的两边分别交CB， 于点 ， ， 于点 ， 连结 ， 则下列结论 ① ； ② ； ③ ； ④ 当 时， ，其中结论一定正确的序号是 ． 7．（2023·山西晋城·校联考模拟预测）如图，在矩形 中， ， ， ， 分别为， 边 上的点．若 ， ，则 的长为 ． 8．（2023·上海宝山·校考一模）如图，在△B 中，B= ，点D、E 在边B 上，∠DE=∠B=30°，且 ，那 么 的值是 ． 9．（23-24 九年级上·黑龙江绥化·期中）已知四边形 中， ， ， ， ， ， 绕B 点旋转，它的两边分别交 ， （或它们的延长线）于E， F．当 绕B 点旋转到 时，如图1，易证 ．（不用证明）(1)当 绕B 点旋 转到 时，如图2，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明； (2)当 绕B 点旋转到 时，如图3，（1）中结论是否成立？若不成立，线段 ， ， 又有怎样的数量关系？请给 予证明． 10．（2024·广西·模拟预测） 实践与探究：小明在课后研究正方形与等腰直角三角形叠放后各个线段间的 数量关系．已知正方形 的边长为6，等腰 的锐角顶点与正方形 的顶点重合，将此三 角形绕点旋转， ， 两边分别交直线 ， 于M，，旋转过程中，等腰 的边 与正方形 没有交点．(1)如图1，当M，分别在边 ， 上时，小明通过测量发现 ，他给出了如下 的证明：过作 交 延长线于G，连接 ，如图2，易证 ，则有 ．请 你帮助小明后续证明； (2)如图3，当M，分别在 ， 的延长线上时，请直接写出 ， ， 之 间的数量关系； (3) 在旋转过程中，等腰直角三角形的一边正好经过正方形 边上的中点P，求出此时 的长． 11．（2024·重庆市育才中学二模）回答问题 （1）【初步探索】如图1：在四边形BD 中，B=D，∠B=∠D=90°，E、F 分别是B、D 上的点，且 EF=BE+FD，探究图中∠BE、∠FD、∠EF 之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G，使DG=BE．连接G，先证明△BE △ ≌DG，再证明 △EF △ ≌GF，可得出结论，他的结论应是_______________； （2）【灵活运用】如图2，若在四边形BD 中，B=D，∠B+∠D=180°．E、F 分别是B、D 上的点，且 EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）【拓展延伸】知在四边形BD 中，∠B+∠D=180°，B=D，若点E 在B 的延长线上，点F 在D 的延长线 上，如图3 所示，