专题17 全等三角形模型之奔驰模型解读与提分精练（全国通用）（原卷版）

专题17 全等三角形模型之奔驰模型 对于奔驰模型我们主要是可以通过一些几何变化，把其中的线段进行转移，以达到聚合条件，推出我 们想要的结论的目的。对于几何变化，目前学过的主要有：轴对称，平移，旋转，位似等。对于“奔驰模 型”我们主要采用旋转的方法进行变换。对于旋转处理，我们主要分为：旋转全等，旋转相似。 今天的这 主要讲“奔驰模型”之旋转全等类型。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样 才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法 的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中 提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因 为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几 何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每 一个题型，做到活学活用！ .................................................................................................................................................2 模型1 奔驰模型1（点在等边三角形内）..................................................................................................2 模型2 奔驰模型2（点在等腰直角三角形内）..........................................................................................4 模型3 奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型）........................................................................................6 .................................................................................................................................................9 模型1 奔驰模型1（点在等边三角形内） 此模型通常会和旋转一起来考查，还会综合勾股定理的知识来解题。为什么和旋转-起考查，因为旋转的特 征是:共顶点等线段。等边三角形，三边相等，每一个顶点出发都有两个相等线段，都符合共顶点等线段。 等边三角形三个顶点都可以作为旋转中心(如上图的旋转)。 条件：如图，已知正三角形内有一点P，满足 （常考数据：BP=3，P=4，P=5）， 结论：∠PB=150°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明） 常用结论 等边三角形的面积公式： （选填题非常适用） 证明：以P 为边向左侧作等边三角形PP’，连接P’。 ∵三角形B 和三角形PP’都为等边三角形；∴B=，P=P’=PP’，∠B=∠PP’=∠PP’=60°； ∠ ∴ B-∠P=∠PP’-∠P，∴∠BP=∠P’，∴ （SS），∴BP=P’，∠PB=∠P’； ∵ ，∴ ，∴∠PP’=90°， ∠ ∴ P’=∠PP’+∠PP’=150°；∴∠PB=150°。 注意：多线段共端点常考旋转。 例1．（23-24 八年级下·广东深圳·期中）如图，点P 是等边三角形 内的一点，且 ， ， ，则 的度数为 ． 例2．（2022·湖南·中考真题）如图，点 是等边三角形 内一点， ， ， ，则 与 的面积之和为（ ） ． B． ． D． 例3（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图， ， 都是等边三角形，将 绕点旋转，使得点， D，E 在同一直线上，连接 ．若 ， ，则 的长是 ． 例4．（2024·安徽·一模）如图，P 是等边三角形 内的一点，且 ， ， ，以 为边 在 外作 ，连接 ，则以下结论中不正确的是（ ） ． B． ． D． 例5．（24-25 九年级上·广东广州·开学考试）如图， 是正 内一点， ， ， ，将 线段B 以点 为旋转中心逆时针旋转 得到线段 ，下列结论，① 可以由 绕点 逆时针 旋转 得到；②点 与 的距离为5；③ ；④四边形 面积 ；⑤ ，其中正确的结论是（ ） ．①④⑤ B．①③④ ．①③④⑤ D．①③⑤ 模型2 奔驰模型2（点在等腰直角三角形内） 条件：如图，已知等腰直角三角形B 内有一点P，满足 ， 结论：∠PB=135°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明） 证明：以P 为边向左侧作等腰直角三角形PP’，连接P’。 ∵三角形B 和三角形PP’都为等腰直角三角形； ∴B=，P=P’，∠B=∠PP’=90°， ，∠P’P=45°； ∠ ∴ B-∠P=∠PP’-∠P，∴∠PB=∠P’，∴ （SS），∴BP=P’，∠PB=∠P’； ∵ ，∴ ，∴∠PP’=90°， ∠ ∴ P’=∠PP’+∠PP’=135°；∴∠PB=135°。 例1．（23-24 九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，等腰直角 ， 点P 在 内， ， ， 则PB 的长为（ ） ． B． ．5 D．5 例2．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在正方形 外取一点E，连接 ， ， ，过点 作 的垂线交 于点P，若 ， 则下列结论：① ；② ； ③点到直线 的距离为 ；④ 其中结论正确的个数有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 例3．（2023 年湖北省武汉市中考一模）如图， 中， ， ， ．点P 为 内一点，且满足 ．当 的长度最小时，则 的面积是 ． 例4．（2024·河北·校考一模）如图1，在正方形 内有一点P， ， ， ，求 的度数． 【分析问题】根据已知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是 将 绕点B 逆时针旋转 ，得到了 （如图2），然后连结P P '． 【解决问题】请你通过计算求出图2 中 的度数； 【比类问题】如图3，若在正六边形 内有一点P，且 ， ， ． （1） 的度数为 ；（2）直接写出正六边形 的边长为 ． 模型3 奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型） 模型1）条件：如图1，点P 在等边三角形B 外，若 ，结论：∠P=30°。 模型2）条件：如图2，点P 在等腰直角三角形B 外，若 ，结论：∠P=45°。 （注意：上述两个模型结论和条件互换也成立） 图1 图2 鸡爪就是模型本质就是通过旋转构造“手拉手”，构造出全等三角形，实现边的转化，结合勾股定理，非 常有意思。连完辅助线往往会产生新的直角三角形、等边三角形等。 模型1）证明：以P 为边向右侧作等边三角形DP，连接D。 ∵三角形B 和三角形DP 都为等边三角形；∴B=，P=D=DP，∠B=∠PD=∠PD=60°； ∠ ∴ B+∠P=∠PD+∠P，∴∠BP=∠D，∴ （SS），∴BP=D； ∵ ，∴ ，∴∠DP=90°，∴∠P=∠DP-∠PD=30°。 模型2）证明：以P 为边向上方作等腰直角三角形PP’，且∠PD=90°，连接P’。 ∵三角形B 和三角形PD 都为等腰直角三角形； ∴B=，P=D，∠B=∠PD=90°， ，∠PD=45°； ∠ ∴ B+∠P=∠PD+∠P，∴∠PB=∠D，∴ （SS），∴BP=D； ∵ ，∴ ，∴∠DP=90°，∴∠P=∠DP-∠PD=45°。 例1．（2024 九年级上·重庆·专题练习）如图， 是等边三角形 外一点， ， ， ，求 的度数． 例2．（2023·广西贺州·二模）如图，点P 为等边三角形 外一点，连接 ， ，若 ， ， ，则 的长是 ． 例3．（23-24 八年级上·江苏无锡·期中）如图，在四边形BD 中，D=5，D=3，∠B=∠B=∠D=45°，则BD 的长为（ ） ． B． ． D． 例4．（23-24 九年级上·湖北武汉·阶段练习）【问题情境】在数学课上，老师出了这样一个问题：“如图 1，在四边形 中， ， ， ， ， ，求CD的长．”经过小 组合作交流，找到了解决方法：构造旋转全等．将 绕点B 逆时针旋转60°到 ，连接DE．则 是等边三角形，所以 ，导角可得 ，所以 ． （1）请补全图形； 【探究应用】（2）如图2，在 中， ， ．D 为 外一点，且 ， ，求 的度数； 【拓展延伸】（3）如图3，在 中， ， ， 于D，M 为AD上一点，连 接BM，为BM上一点，若 ， ， ，连接 ，请直接写出线段 的 长______． 1．（2024 九年级·重庆·期中）如图，在等边 内有一点 ，使得 ，那 么以 ， ， 的长度为边长的三角形的三个内角的大小之比为 ． 2．（23-24 九年级下·吉林·阶段练习）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条 件相对集中，以达到解决问题的目的． 【发现问题】如图①，在等边三角形 内部有一点 ， ， ， ，求 的度数． 解：如图①，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ， ． ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ，即 ．请你补充完整解答过程． 【应用问题】如图②，在正方形 内有一点 ，若 ， ， ，则 ． 【拓展问题】如图③，在正方形 中，对角线 ， 相交于点 ，在直线 上方（包括直线 ）有一点 ， ， ，连接 ，则线段 的最大值为 ． 3．（23-24 九年级上·山西吕梁·期末）阅读下面材料：张明同学遇到这样一个问题：如图1，在正三角形B 内有一点P，且 ， ， ，求 的度数． 张明同学是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造 ，连接 ，得到两个特殊的三角形， 从而将问题解决． (1)请你计算图1 中 的度数；(2)参考张明同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，在正方形 内有一点 ，且 ， ， ，求 的度数． 4．（23-24 九年级上·重庆沙坪坝·期末）（1）已知如图1，在 中， ， ，点 在 内部，点 在 外部，满足 ，且 ．求证： ． （2）已知如图2，在等边 内有一点 ，满足 ， ， ，求 的度数． 5．（2023·四川绵阳·一模）如图，四边形 是正方形，点 为平面内一点， (1)若点 在正方形内，如图1， ，求 的度数； (2)若点 在正方形外，如果 ，如图2，且 ，求 的长．（用 表示） 6．（23-24 九年级上·浙江绍兴·阶段练习）阅读材料题：浙版九上作业本①第18 页有这样一个题目：已知， 如图一，P 是正方形BD 内一点，连接P、PB、P，若P=2，P=4，∠P=135°，求PB 的长 小明看到题目后，思考了许久，仍没有思路，就去问数学老师，老师给出的提示是：将△P 绕点顺时针旋转 90°得到△P'B，再利用勾股定理即可求解本题 请根据数学老师的提示帮小明求出图一中线段PB 的长为 【方法迁移】：已知：如图二，△B 为正三角形，P 为△B 内部一点，若P=1，P=2，PB= ,求∠PB 的大小 【能力拓展】：已知：如图三，等腰三角形B 中∠B=120°，D、E 是底边B 上两点且∠DE=60°，若D=2， BE=3，求DE 的长 7．（2024·河南·校考一模）（1）阅读理解:利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图，点 是 等边三角形 内一点， ，求 的度数．为利用已知条件，不妨把 绕点 顺时针旋转60°得 ，连接 ，则 的长为_______；在 中，易证 ，且 的度数为_____，综上可得 的度数为__ ；（2）类比迁移:如图，点 是等腰 内的一点， ．求 的度数；（3）拓展应用:如图，在四边形 中， ，请直接写出BD的长． 6．（23-24 九年级上·山东德州·期中）当图形具有邻边相等的特征时，我们可以把图形的一部分绕着公共 端点旋转，这样将分散的条件集中起来，从而达到解决问题的目的． （1）如图1，等腰直角三角形B 内有一点P，连接P，BP，P，∠PB＝135°，为探究P，BP，P 三条线段间 的数量关系，我们可以将△BP，绕点逆时针旋转90°得到△P'，连接PP'，则PP'＝ P，△PP'是 三 角形，P，BP，P 三条线段的数量关系是 ． （2）如图2，等边三角形B 内有一点P，连接P、BP、P，∠PB＝150°，请借助第一问的方法探究P、 BP、P 三条线段间的数量关系． （3）如图3，在四边形BD 中，D∥B，点P 在四边形的内部，且PD＝P，∠PD＝90°，∠PB＝135°，D＝4， B＝5，请直接写出B 的长． 7．（2023·山东济南·模拟预测）（问题提出）如图1，在等边 内部有一点P， ， ， ，求 的度数． （数学思考）当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题． 【尝试解决】将 绕点逆时针旋转 ，得到 ，连接 ，则 为等边三角形． ，又 ， ， ， 为 三角形， 的度数为 ． 【类比探究】如图2，在 中， ， ，其内部有一点P，若 ， ， ，求 的度数． 【联想拓展】如图3，在 中， ， ，其内部有一点P，若 ， ， ，求 的度数． 8．（23-24 九年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，在等边 内有一点 ，且 ， ， ， 若把 绕着点 逆时针旋转 得到 ，连接 ， ． (1)求 的度数；(2)求 的长．(3)求点 划过的路径长； (4)当 时，如果 是由 旋转所得，求 扫过的区域的面积． 9．（23-24 九年级上·湖北武汉·期中）如图，在等腰 中， ，点 是 内一点，连 接 ，且 ，设 （1）如图1，若 ，将 绕点 顺时针旋转 至 ，连结 ，易证 为等边三 角形，则 ， ；（2）如图2，若 ，则 ， ； （3）如图3，试猜想 和 之间的数量关系，并给予证明 10．（23-24 九年级上·广东深圳·期中）【问题背景】：如图1，在等边 中，点D 是等边 内一 点，连结 ， ，将 绕点逆时针旋转 得到 ，连结 ，观察发现： 与 的数量 关系为 ， 度； 【尝试应用】：如图2，在等腰 中， ， ，点D 是 内一点，连结 ， ， ， ， ， ，求 面积． 【拓展创新】：如图3，在等腰 中， ， ，点D 为平面内一点，且 ， ，则 的值为 ． 11．（23-24 九年级·辽宁鞍山·期中）问题情境，利用圆规旋转探索：每位同学在纸上画好 ， ， ，要求同学们利用圆规旋转某一条线段，探究图形中的结论． 问题发现，某小组将线段 绕着点 逆时针旋转得到线段 ，旋转角设为 ，连接 、 ，如图1 所示．如图2，小李同学发现，当点 落在边 上时， ； 如图3，小王同学发现，当 每改变一个度数时， 的长也随之改变．…… 问题提出与解决，该小组根据小李同学和小王同学的发现，讨论后提出问题1，请你解答． 如图1，在 中， ， ，将线段 绕着点 逆时针旋转得到线段 ，设转角 设为 ，连接 、 ．（1）如图2，当点 落在边 上时，求证： ；（2）如图 3，当 时，若 ，求 的长．（3）拓展延伸，小张同学受到探究过程的启发，将等腰 三角形的顶角改为 ，尝试画图，并提出问题请你解答．如图4， 中， ， ， 将线段 绕着点 逆时针旋转得到线段 ，旋转角 ，连接 、 ，求 的度数． 12．（2024·吉林长春·一模）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集 中，以达到解决问题的目的． （1）【探究发现】如图①，在等边三角形 内部有一点P， ， ， ，求 的 度数．爱动脑筋的小明发现：将线段 绕点B 逆时针旋转 得到线段 ，连接 、 ，则 ，然后利用 和 形状的特殊性求出 的度数，就可以解决这道问题． 下面是小明的部分解答过程： 解：将线段 绕点B 逆时针旋转 得到线段． ，连接 、 ， ∵ ， ，∴ 是等边三角形，∴ ， ． ∵ 是等边三角形，∴ ， ， ∴ ，即 ． 请你补全余下的解答过程．（2）【类比迁移】如图②，在正方形 内有一点P，且 ， ， ，则 ______度．（3）【拓展延伸】如图③，在正方形 中，对角线 、 交于点，在直线 上方有一点P， ， ，连接 ，则线段 的最大值为______． 13．（23-24 九年级上·吉林长春·阶段练习）【几何感知】如图（1），在 中，点D 为B 边上一点， 连接D，点P 为线段D 上一点，连接PB、P 得到有公共边的两个 和 ，求证： ． 【类比迁移】如图（2），在 中，点D、E、F 分别为线段B、、B 上的点，线段D、BE、F 交于 点P，若 ， ，则 ． 【拓展迁移】如图（3），在 中，∠B＝90°，B＝3，B＝4，点P 为 内部一点，且 ，则线段P＝ ． 14．（23-24 九年级上·山东德州·期中）【阅读材料】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问 题：如图1，在等边△B 中，点P 在内部，且P＝3，P＝4，∠P＝150°，求PB 的长．经过同学们的观察、分 析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将△P 绕点按顺时针方向旋转60°，得到△BD，连接PD， 寻找P、PB、P 三边之间的数量关系．即能求PB＝ 请参考他们的想法，完成下面问题： 【学以致用】如图2，在等腰直角△B 中，∠B＝90°，P 为△B 内一点，P＝5，P＝2 ，∠BP＝135°，求PB 的长； 【能力拓展】如图3，等腰三角形B 中，∠B＝120°，D、E 是底边B 上的两点且∠DE＝60°，若D＝2，BE ＝3，求DE 的长． 15．（2024·陕西西安·模拟预测）问题探究：（1）如图①，已知在△B 中，B＝4，∠B＝45°，则B 的最大值 是 ．（2）如图②，已知在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝B，D 为△B 内一点，且D＝2 ，BD＝2．，D＝ 6，请求出∠DB 的度数． 问题解决：（3）如图③，某户外拓展基地计划在一处空地上修建一个新的拓展游戏区△B，且B＝．∠B＝ 120°，点、B、分别是三个任务点，点P 是△B 内一个打卡点．按照设计要求，P＝30 米，打卡点P 对任务 点、B 的张角为120°，即∠PB＝120°．为保证游戏效果，需要、P 的距离与B、P 的距离和尽可能大，试求 出P+BP 的最大值． 16．（2024 山东校考二模）【操作发现】如图①，在边长为1 个单位长度的小正方形组成的格中，△B