专题24.3 垂径定理【十大题型】（解析版）

专题243 垂径定理【十大题型】 【人版】 【题型1 利用垂径定理求线段长度】.....................................................................................................................1 【题型2 利用垂径定理求角度】.............................................................................................................................5 【题型3 利用垂径定理求最值】.............................................................................................................................9 【题型4 利用垂径定理求取值范围】................................................................................................................... 13 【题型5 利用垂径定理求整点】...........................................................................................................................18 【题型6 利用垂径定理求面积】...........................................................................................................................22 【题型7 垂径定理在格点中的运用】................................................................................................................... 26 【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】....................................................................................................33 【题型10 垂径定理的应用】..................................................................................................................................37 【知识点1 垂径定理及其推论】 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 【题型1 利用垂径定理求线段长度】 【例1】（2022•雨花区校级开学）如图，⊙的半径D⊥弦B 交B 于点，连接并延长交⊙于 点E，连接E．若B＝8，E＝2❑ √13，则D 的长为（ ） ．1 B．3 ．2 D．4 【分析】由垂径定理得出＝B＝4，连接BE，由∠BE＝90°及E 长度求出BE＝6，在 Rt△BE 中求出E＝10，从而得出半径＝D＝5，再在Rt△中求出，从而得出答． 【解答】解：∵D⊥B，B＝8， ∴＝B＝4， 1 如图，连接BE， ∵E 是⊙的直径， ∴∠BE＝90°， ∵E＝2❑ √13， ∴BE¿ ❑ √C E 2−BC 2= ❑ √(2❑ √13) 2−4 2=¿6， 则E¿ ❑ √A B 2+B E 2= ❑ √8 2+6 2=¿10， ∴＝D＝5， 在Rt△中，¿ ❑ √A O 2−A C 2= ❑ √5 2−4 2=¿3， 则D＝D﹣＝2， 故选：． 【变式1-1】（2022•宁津县二模）如图，已知圆的半径为10，B⊥D，垂足为P，且B＝D ＝16，则P 的长为（ ） ．6 B．6 ❑ √2 ．8 D．8 ❑ √2 【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据垂径定理、勾股定理即可求得P 的长， 本题得以解决． 【解答】解：作E⊥B 交B 与点E，作F⊥D 交D 于点F，如右图所示， 则E＝BE，F＝DF，∠FP＝∠EP＝90°， 又∵圆的半径为10，B⊥D，垂足为P，且B＝D＝16， ∴∠FPE＝90°，B＝10，BE＝8， ∴四边形EPF 是矩形，E＝6， 同理可得，F＝6， ∴EP＝6， ∴P¿ ❑ √6 2+6 2=6 ❑ √2， 故选：B． 1 【变式1-2】（2022•建华区二模）如图，⊙的直径B 与弦D 相交于点E，若E＝5，EB＝ 1，∠E＝30°，则D 的长为（ ） ．5 B．2❑ √3 ．4❑ √2 D．2❑ √2+❑ √3+1 【分析】因为∠ED＝30°，可过点作F⊥D 于F，构成直角三角形，先求得⊙的半径为 3，进而求得E＝3 1 ﹣＝2，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，得出F¿ 1 2E＝1， 再根据勾股定理求得DF 的长，然后由垂径定理求出D 的长． 【解答】解：过点作F⊥D 于F，连接D， ∵E＝5，BE＝1， ∴B＝6， ∴⊙的半径为3， ∴E＝3 1 ﹣＝2． ∵∠E＝30°， ∴F＝1， ∴F＝2❑ √2， ∴D＝2F＝4❑ √2， 故选：． 【变式1-3】（2022 春•徐汇区校级期中）如图，B 是⊙的弦，D 为半径的中点，过D 作 D⊥交弦B 于点E，且E＝B，若BE＝2E，D＝5，那么⊙的半径为 2 ❑ √3 ． 1 【分析】先证明△F 和△BE 是等边三角形，设DE＝x，根据D＝5 列方程，求出x 得到D ¿ ❑ √3，从而得解． 【解答】解：如图，记D 与⊙交于点F，连接F、F、B，过点作T⊥B 于点T，连接E， T． ∵D 为半径的中点，D⊥， ∴FD 垂直平分， ∴F＝F， 又∵＝F， ∴△F 是等边三角形， ∴∠F＝∠F＝∠F＝60°， ∵E＝B，T⊥EB， ∴ET＝TB， ∵BE＝2E， ∴E＝ET＝BT， ∵D＝D， ∴DE∥T， ∴∠T＝∠DE＝90°， ∴E＝E＝ET， ∵＝B， ∴∠E＝∠BT， ∵＝B，E＝BT， ∴△E≌△BT（SS）， ∴E＝T， ∴E＝T＝ET， ∴∠ET＝60°， ∴∠B＝∠B＝30°，∠ED＝∠EB＝60°， ∴△EB 是等边三角形， ∴E＝B＝BE， 1 设DE＝x， ∴E＝2x，BE＝E＝4x， ∴D＝5x＝5， ∴x＝1， ∴D¿ ❑ √3， ∴＝2❑ √3． 故答为：2❑ √3． 【题型2 利用垂径定理求角度】 【例2】（2022•泰安模拟）如图，⊙的半径，B，且⊥B，连接B．现在⊙上找一点，使 2+B2＝B2，则∠的度数为（ ） ．15°或75° B．20°或70° ．20° D．30° 【分析】设圆的半径是r，作直径BD，作B 关于直径BD 的对称线段BE，连接E， BE，ED，，再由直角三角形的性质即可解答． 【解答】解：如图，设圆的半径是r，则＝r，B＝r，作直径BD，作B⊙的弦B，使∠DB ＝30°，作B 关于直径BD 的对称线段BE， 连接E，BE，ED，， 直角△BED 中，可以得∠EBD＝30°， ∵线段BE 与线段B 关于直线BD 对称， ∴B＝BE， ∴BD 垂直平分线段E， ∴^ DE=^ CD， 1 ∴∠BD＝30°而∠B¿ 1 2∠B＝45°． 在△B 中，∠＝180°﹣∠B﹣∠BD﹣∠B﹣∠B＝15°． 同理，当E 为时，∠＝75°． 故∠的度数为15°或75°． 故选：． 【变式2-1】（2022 秋•天心区期中）如图，已知⊙半径＝4，点B 为圆上的一点，点为劣 弧^ AB上的一动点，D⊥，E⊥B，连接DE，要使DE 取得最大值，则∠B 等于（ ） ．60° B．90° ．120° D．135° 【分析】如图，延长D 交⊙ 于P，延长E 交⊙于T，连接PT．根据垂径定理以及三角 形的中位线定理，可得DE¿ 1 2PT，当PT 是直径时，DE 的长最大，再证明∠B＝90°，即 可解决问题． 【解答】解：如图，延长D 交⊙ 于P，延长E 交⊙于T，连接PT． ∵⊥P，B⊥T， 1 ∴D＝DP，E＝TE， ∴DE¿ 1 2PT， ∴当PT 是直径时，DE 的长最大， 连接， ∵P＝＝T，D⊥P，E⊥T， ∴∠D＝∠P，∠B＝∠BT， ∴∠B＝∠+∠B¿ 1 2∠PT＝90°， 故选：B． 【变式2-2】（2022 秋•青田县期末）如图，在⊙中，半径过弦B 的中点E，＝2，E¿ ❑ √2． （1）求弦B 的长； （2）求∠B 的度数． 【分析】（1）连接B，先由垂径定理得⊥B，E＝BE，B＝＝2，再由勾股定理求出BE ¿ ❑ √2，即可求解； （2）先证△BE 是等腰直角三角形，得∠B＝45°，再由圆周角定理即可求解． 【解答】解：（1）连接B，如图所示： ∵半径过弦B 的中点E， ∴⊥B，E＝BE，B＝＝2， ∴BE¿ ❑ √O B 2−O E 2= ❑ √2 2−(❑ √2) 2=❑ √2， ∴B＝2BE＝2❑ √2； （2）由（1）得：BE＝E，⊥B， ∴△BE 是等腰直角三角形， ∴∠B＝45°， ∴∠B¿ 1 2∠B＝225°． 1 【变式2-3】（2022 秋•开州区期末）如图，在⊙中，弦B 与半径垂直于点D，连接B、． 点E 为的中点，连接DE． （1）若B＝6，求DE 的长； （2）若∠B＝100°，求∠DE 的度数． 【分析】（1）根据垂径定理得到^ AB=^ AC，则＝B＝6，然后根据直角三角形斜边上的 中线性质得到DE 的长； （2）利用等腰三角形的性质和三角形的内角和计算出∠＝40°，然后利用ED＝E 得到 ∠DE＝∠＝40°． 【解答】解：（1）∵B⊥， ∴^ AB=^ AC，∠D＝90°， ∴＝B＝6， ∵点E 为的中点， ∴DE¿ 1 2＝3； （2）∵B＝， ∴∠B＝∠， ∵∠B＝100°， ∴∠¿ 1 2（180° 100° ﹣ ）＝40°， ∵点E 为的中点， ∴ED＝E， ∴∠DE＝∠＝40°． 【题型3 利用垂径定理求最值】 【例3】（2022•威海模拟）⊙中，点为弦B 上一点，B＝1，D⊥交⊙于点D，则线段D 的 1 最大值是（ ） ．1 2 B．1 ．3 2 D．2 【分析】因为D⊥交⊙于点D，连接D，△D 是直角三角形，则D¿ ❑ √O D 2−OC 2，因为 半径D 是定值，当取得最小值时线段D 取得最大值． 【解答】解：连接D， ∵D⊥交⊙于点D， ∴△D 是直角三角形， 根据勾股定理得D¿ ❑ √O D 2−OC 2， ∵半径D 是定值， ∴当⊥B 时，线段最小，此时D 与B 重合，D¿ ❑ √OB 2−OC 2， ∵⊥B， ∴＝B¿ 1 2B¿ 1 2， ∴D¿ ❑ √O B 2−OC 2=¿B¿ 1 2． 故选：． 【变式3-1】（2022•河北模拟）如图所示，在⊙中，B 为弦，⊥B 交B 于点D．且D＝D． P 为⊙上任意一点，连接P，PB，若⊙的半径为1，则 S△PB的最大值为（ ） ．1 B．2❑ √3 3 ．3 ❑ √3 4 D．3 ❑ √3 2 1 【分析】连接，如图，利用垂径定理得到D＝BD，^ AC=^ BC，再根据D＝D 可得到D ¿ 1 2¿ 1 2 ，所以D¿ ❑ √3 2 ，由勾股定理，则B¿ ❑ √3．△PB 底B 不变，当高越大时面积越大， 即P 点到B 距离最大时，△PB 的面积最大．则当点P 为B 所在优弧的中点时，此时PD ＝P+D＝1+1 2 =3 2，△PB 的面积最大，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：连接，如图， ∵⊥B， ∴D＝BD， ∵D＝D， ∴D¿ 1 2¿ 1 2， ∴D¿ ❑ √O A 2−O D 2= ❑ √3 2 ，B＝2D¿ ❑ √3． 当点P 为B 所对的优弧的中点时，△PB 的面积最大，此时PD＝P+D＝1+1 2 =3 2． ∴△PB 的面积的最大值为¿ 1 2 AB⋅PD=1 2 ×❑ √3× 3 2=3 ❑ √3 4 ． 故选：． 【变式3-2】（2022 秋•龙凤区校级期末）如图，矩形BD 中，B＝20，D＝15，P，Q 分别 是B，D 边上的动点，PQ＝16，以PQ 为直径的⊙与BD 交于点M，，则M 的最大值为 8❑ √3 ． 【分析】过点作⊥BD 于，连接M，如图，先利用勾股定理计算出BD＝25，则利用面积 法可计算出＝36，再证明点在上时，最短，此时M 有最大值，最大值为4❑ √3，然后根 据垂径定理可判断M 的最大值． 1 【解答】解：过点作⊥BD 于，连接M，如图： ∵四边形BD 是矩形， ∴∠BD＝90°， 在Rt△BD 中，BD¿ ❑ √A B 2+ A D 2= ❑ √20 2+15 2=¿25， ∵1 2 ××BD¿ 1 2 ×D×B， ∴¿ 20×15 25 =¿12， ∵⊙的直径为16， ∴⊙的半径为8， ∴点在上时，最短， ∵M¿ ❑ √O M 2−O H 2， ∴此时M 有最大值，＝﹣＝4， 则最大值为❑ √8 2−4 2=¿4❑ √3， ∵⊥M， ∴M＝2M， ∴M 的最大值为2×4❑ √3=¿8❑ √3． 故答为：8❑ √3． 【变式3-3】（2022 秋•延平区校级期末）在Rt△B 中，∠＝90°，B＝3，＝4，D、E 分别是、 B 上的一点，且DE＝3，若以DE 为直径的圆与斜边B 相交于M、，则M 的最大值为（ ） ．9 10 B．6 5 ．8 5 D．12 5 1 【分析】由题意可知，、、G 三点在一条直线上G 最小，M 最大，再由勾股定理求得 B，然后由三角形面积求得F，最后由垂径定理和勾股定理即可求得M 的最大值． 【解答】解：过作G⊥B 于G，连接、M， ∵DE＝3，∠B＝90°，D＝E， ∴¿ 1 2DE¿ 3 2， 只有、、G 三点在一条直线上G 最小， ∵M¿ 3 2， ∴只有G 最小，GM 才能最大，从而M 有最大值， 过作F⊥B 于F， ∴G 和F 重合时，M 有最大值， ∵∠B＝90°，B＝3，＝4， ∴B¿ ❑ √BC 2+ A C 2= ❑ √3 2+4 2=¿5， ∵1 2•B¿ 1 2B•F， ∴F¿ AC ×BC AB = 4×3 5 =12 5 ， ∴G＝F﹣¿ 12 5 −3 2= 9 10， ∴MG¿ ❑ √O M 2−OG 2=❑ √( 3 2 ) 2−( 9 10 ) 2=6 5 ， ∴M＝2MG¿ 12 5 ， 故选：D． 【题型4 利用垂径定理求取值范围】 【例4】（2022•包河区校级二模）如图，在⊙中，直径B＝10，D⊥B 于点E，D＝8．点F 是弧B 上动点，且与点B、不重合，P 是直径B 上的动点，设m＝P+PF，则m 的取值范 围是（ ） 1 ．8＜m≤4❑ √5 B．4❑ √5＜m≤10 ．8＜m≤10 D．6＜m＜10 【分析】连接PD，DF，，BD，利用垂径定理可得B 是D 的垂直平分线，则P＝PD； 利用三角形的任意两边之和大于第三边，可得不等式PD+PF≥DF（当D，P，F 在一条 直线上时取等号），结合图形即可得出结论． 【解答】解：连接PD，DF，，BD，如图， ∵D⊥B，B 为⊙的直径， ∴E＝ED¿ 1 2D＝4， ∵¿ 1 2B＝5， ∴E¿ ❑ √OC 2−C E 2=¿3， ∴BE＝E+B＝8． ∴BD¿ ❑ √B E 2+D E 2=¿4❑ √5． ∵P 是直径B 上的动点，D⊥B， ∴B 是D 的垂直平分线， ∴P＝PD． ∵m＝P+PF， ∴m＝PD+PF， 由图形可知：PD+PF≥DF（当D，P，F 在一条直线上时取等号）， ∵点F 是弧B 上动点，且与点B、不重合， ∴D＜DF≤直径， 8 ∴＜m≤10． 1 故选：． 【变式4-1】（2022•佛山）如图，⊙的直径为10m，弦B＝8m，P 是弦B 上的一个动点， 求P 的长度范围． 【分析】过点作E⊥B 于点E，连接B，由垂径定理可知E＝BE¿ 1 2B，再根据勾股定理 求出E 的长，由此可得出结论． 【解答】解：过点作E⊥B 于点E，连接B， ∵B＝8m， ∴E＝BE¿ 1 2B¿ 1 2 ×8＝4m， ∵⊙的直径为10m， ∴B¿ 1 2 ×10＝5m， ∴E¿ ❑ √OB 2−BE 2= ❑ √5 2−4 2=¿3m， ∵垂线段最短，半径最长， 3 ∴m≤P≤5m． 【变式4-2】（2022 秋•盐都区校级月考）如图，点P 是⊙内一定点． （1）过点P 作弦B，使点P 是B 的中点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若⊙的半径为13，P＝5， ①求过点P 的弦的长度m 范围； ②过点P 的弦中，长度为整数的弦有 4 条． 【分析】（1）连接P 并延长，过点P 作B⊥P 即可； 1 （2）①过点P 的所有弦中，直径最长为26，与P 垂直的弦最短，由垂径定理和勾股定 理求出B＝24，即可得出答； ②过P 点最长的弦为直径26，最短的弦24，长度为25 的弦有2 条，即可得出结论． 【解答】解：（1）如图1，连接P 并延长，过点P 作B⊥P， 则弦B 即为所求； （2）①过点P 的所有弦中，直径最长为26，与P 垂直的弦最短， 连接，如图2 所示： ∵P⊥B， ∴P＝BP¿ ❑ √O A 2−O P 2= ❑ √13 2−5 2=¿12， ∴B＝2P＝24， ∴过点P 的弦的长度m 范围为24≤m≤26； ②∵过P 点最长的弦为直径26，最短的弦24， ∴长度为25 的弦有两条， ∴过点P 的弦中，长度为整数的弦共有4 条， 故答为：4． 【变式4-3】（2022 秋•天河区校级期中）已知⊙的半径为5，点到弦B 的距离＝3，点P 是 圆上一动点，设过点P 且与B 平行的直线为l，记直线B 到直线l 的距离为d． （1）求B 的长； （2）如果点P 只有两个时，求d 的取值范围；