专题33 圆中的重要模型之圆幂定理模型（原卷版）

专题33 圆中的重要模型之圆幂定理模型 圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理 以及它们推论的统一与归纳。可能是在19 世纪由德国数学家施泰纳（Steer）或者法国数学家普朗克雷 （Pelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。 模型1 相交弦模型 条件：在圆中，弦B 与弦D 交于点E，点E 在圆内。 结论： 。 例1．（2023·江苏无锡·校联考三模）如图，点 ， ， ， 在 上， ， ．若 ， ，则 的长是 ． 例2．（2023·山东济宁一模）如图，边长为6 的等边三角形B 内接于⊙，点D 为上的动点（点、除外）， BD 的延长线交⊙于点E，连接E．(1)求证 ；(2)当 时，求E 的长． 例3．（2023·江西宜春·统考模拟预测）阅读与思考：九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里 突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相 等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等． 已知：如图1， 的两弦 相交于点P．求证： ． 证明：如图1，连接 ． ∵ ， ．∴ ，（根据） ∴ @，∴ ， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 任务：(1)请将上述证明过程补充完整．根据：____________；@：____________． (2)小刚又看到一道课后习题，如图2，B 是 的弦，P 是 上一点， ， ， ， 求 的半径． 模型2 双割线模型 条件：如图，割线与弦F 交圆于点E 和点G。 结论： 例1．（2023·辽宁葫芦岛·一模）已知：如图， 、 是⊙ 的割线， ， ， 则 = 例2．（2023·四川成都·九年级校考阶段练习）如图， 为 的割线，且 ， 交 于点， 若 ，则 的半径的长为 ． 例3．（2022·河南洛阳·统考一模）我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．当直线与圆 有两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线．割线也有一些相关的定理．比如，割线 定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等．下面给出了不完整的定 理“证明一”，请补充完整． 已知：如图①，过 外一点 作 的两条割线，一条交 于 、 点，另一条交 于 、 点． 求证： ． 证明一：连接 、 ，∵ 和 为 所对的圆周角，∴______． 又∵ ，∴______，∴______．即 ． 研究后发现，如图②，如果连接 、 ，即可得到学习过的圆内接四边形 ．那么或许割线定理 也可以用圆内接四边形的性质来证明．请根据提示，独立完成证明二． 证明二：连接 、 ， 模型3 切割线模型 条件：如图，B 是圆的切线，是圆的割线。 结论： 例1．（2023·江苏南通·中考模拟）如图，已知 是 的切线， 为切点， 与 相交于 ． 两点， ， ，则 的长等于（ ) ． B．16m ． D． 例2．（2023·河南郑州·一模）复习巩固，切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切，我们 把这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点． 割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交，我们把这条直线叫做圆的割线． 切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长． 阅读材料：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作．它是欧洲数学的基础，总结了平 面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的科书．其中第三卷命题36 2 ﹣圆幂定 理（切割线定理）内容如下： 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充 完整，并写出证明过程． 已知：如图，是⊙外一点， ．求证： ． 例3．（2022·河南驻马店·校考二模）在数学课上，当老师讲到直线与圆的位置关系时，张明同学突发奇想， 特殊线与圆在不同的位置情况下会有怎样的数量关系呢？于是在课下他查阅了老师推荐他的《几何原本》， 这本书是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作．它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设， 被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的科书．其中第三卷命题36-2 圆幂定理（切割线定理）内 容如下：切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长比例中 项．（比例中项的定义：如果 、 、三个量成连比例即 ，则 叫做 和的比例中项） (1)为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补 充完整，并写出证明过程．已知：如图， 是圆 外一点， 是圆 的切线，直线 为圆 的割线． 求证： 证明： ． (2)已知 ， ，则 的长度是 ． 模型4 弦切角模型 条件：如图，B 是圆的切线，B 是圆的直径。 结论：1） ； 2） ；3） 。 例1．（2023·河南三门峡·统考二模）小锐同学是一个数学学习爱好者，他在一本数学课外读物上看到一个 课本上没有的与圆相关的角---弦切角（弦切角的定义：把顶点在圆上，一边与圆相切，另一边和圆相交的 角叫做弦切角），并尝试用所学的知识研究弦切角的有关性质． （1）如图，直线 与⊙相切于 点， ， 为⊙上不同于 的两点，连接 ， ， ．请你写出图 中的两个弦切角______；（不添加新的字母和线段） （2）小锐目测 和 可能相等，并通过测量的方法验证了他的结论，你能帮小锐用几何推理的 方法证明结论的正确性吗？ 已知：如图，直线 与⊙相切于 点， ， 为圆上不同于 的两点，连接 ， ， ． 求证： ．（3）如果我们把上述结论称为弦切角定理，请你用一句话概括弦切角定理_____ _． 例2．（2023·河南洛阳·统考三模）人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000 多年前，由我国的墨子给 出圆的概念：“圆，一中同长也．”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等，这个定义比古希 腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100 多年．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我们 把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹 弧所对的圆周角度数． (1)如图1， 是 的切线．点，D 在 上．求证： ；(2)如图2， 是 的切线．连 接 交 于点D， 为 的直径．若 ， ， 的半径为5，求 的长． 例3．（2023·四川绵阳·九年级统考期中）定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦 切角．如图1， 为 的切线，点 为切点， 为 内一条弦， 即为弦切角． (1)古希腊数学家欧几里得的《几何原本》是一部不朽的数学巨著，全书共13 卷，以第1 卷的23 个定义、5 个公设和5 个公理作为基本出发点，给出了119 个定义和465 个命题及证明．第三卷中命题32 一弦切角定 理的内容是：“弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度 数．” 如下给出了弦切角定理不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知：如图2， 为 的切线，点 为切点， 为 内一条弦，点 在 上，连接 ， ， ， ．求证： ．证明： (2)如图3， 为 的切线， 为切点，点 是 上一动点，过点 作 于点 ， 交 于 ，连接 ， ， ．若 ， ，求弦 的长． 模型5 托勒密定理模型 条件：如图，B、D 是圆的两条弦； 结论： 例1．（2023·山西晋中·九年级统考期末）阅读以下材料，并完成相应任务：托勒密（Ptlemy）（公元90 年～公元168 年），希腊著名的天文学家，他的著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒 密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptlemy）定理． 托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和． 已知：如图1，四边形 内接于 ．求证： 下面是该结论的证明过程：证明：如图2，作 ，交 于点E． ∵ ∴ （依据1） ∴ （依据2） ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 即 ∴ ∴ ∴ ∴ 任务：（1）上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？ 依据1：________________________________．依据2：________________________________． （2）如图3，四边形 内接于 ， 为 的直径， ， ，点D 为 的中点， 求 的长． 例2．（2023·江苏盐城·九年级统考期中）【旧知再现】圆内接四边形的对角 如图①，四边形 是 的内接四边形，若 ，则 【问题创新】圆内接四边形的边会有特殊性质吗？ 如图②，某数学兴趣小组进行深入研究发现： 证明：如图③，作 ，交 于点 ∵ ，∴ ， ∴ 即 （请按他们的思路继续完成证明） 【应用迁移】如图④，已知等边 外接圆 ，点 为 上一点，且 ， ，求 的长 课后专项训练 1．（2023 山东九年级课时练习）如图B 与圆相切于，D 是圆内一点，DB 与圆相交于．已知B＝D＝3，D ＝2，B＝6，则圆的半径为 ． 2．（2022 秋·浙江宁波·九年级校考期中）如图，两个同心圆，过大圆上一点作小圆的割线，交小圆于B、 两点，且图中圆环的面积为 ，则 ． 4．（2023·重庆九年级期末）如图，从圆外一点 引圆的切线 ，点 为切点，割线 交 于点 、 ．已知 ， ，则 ． 4．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，过点 引圆的两条割线 和 ，分别交圆于点 和 ， 连结 ，则在下列各比例式中，① ；② ；③ ，成立的有 （把你 认为成立的比例式的序号都填上）． 5．（2023·浙江绍兴·模拟预测）四边形 内接于圆，对角线交点为E， ，若 、 都是整数，则 的值为 ． 6．（2023·广东珠海·统考一模）如图， 为正 的外接圆， 为劣弧 上任一点， 的延长线和 的延长线交于点 ．(1)求 ；(2)求证： ． 7．（2023·广东汕头·校考一模）如图， 是 的直径，点，D 在 上， 平分 ，过点D 作 的垂线交 的延长线于点E，交 的延长线于点F，连接 ． (1)求证： 是 的切线；(2)求证： (3)若 ，求 的长． 8．（2023·云南昆明·统考一模）如图，P 是以为圆心的两个同心圆外一点，过P 点的两条直线分别与大圆 交于、B、、D 四个点，其中一条直线交小圆于F 点，F 为线段 的中点， ， ，垂 足为E．(1)求证： 为小圆的切线；(2)若 ， ，求大圆 的半径． 9．（2023·广东揭阳·统考一模）欧几里德，古希腊著名数学家．被称为“几何之父”．他最著名的著作 《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的科书．他在 第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”． 如图1，设点 是已知点，圆 是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图： ①连接 ，作线段 的中点 ；②以 为圆心，以 为半径作圆 ，与圆 交于两点 和 ； ③连接 、 ，则 、 是圆 的切线．(1)按照上述作图步骤在图1 中补全图形； (2)为了说明上述作图的正确性，需要对其证明，请写出证明“ 、 是圆 的切线”的过程； (3)如图2，连接 并延长交圆 于点 ，连接 ，已知 ， ，求圆 的半径． 10．（2023·山东聊城·九年级统考期中）顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． 如图①所示：P 切⊙于点，B 是⊙的一条弦，∠PB 就是⊙的一个弦切角．经研究发现：弦切角等于它夹弧 所对的圆周角．根据下面的“已知”和“求证”，写出“证明”过程，并回答后面的问题． （1）如图1，P 是⊙的切线，为切点，为直径，∠PB 夹弧所对的圆周角为∠．求证：∠PB＝∠．（2）如图 2，P 是⊙的切线，为切点，∠PB 夹弧所对的圆周角为∠D．求证：∠PB＝∠D． （3）如图3，B 为半⊙的直径，为圆心，，D 为半⊙上两点，过点作半⊙的切线E 交D 的延长线于点E， 若E⊥D，且B＝1，B＝3，求DE 的长． 11．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图， 为⊙的直径，且 ， 与 为圆内的一组平 行弦，弦 交 于点．点在 上，点B 在 上， ． (1)求证： ．(2)求证： ．(3)在⊙中，沿弦 所在的直线作劣弧 的轴对称 图形，使其交直径 于点G．若 ，求 的长． 12．（2022·湖南长沙·统考中考真题）如图，四边形 内接于 ，对角线 ， 相交于点E，点 F 在边 上，连接 ．(1)求证： ； (2)当 时，则 ___________； ___________； ___________．（直接将结果填写在相应的横线上） (3)①记四边形 ， 的面积依次为 ，若满足 ，试判断， 的形状，并说明理由．②当 ， 时，试用含m，，p 的式子 表示 ． 13．（2023 春·北京通州·九年级统考开学考试）在与圆有关的比例线段探究学习中，某兴趣小组发现有三 种不同情况，并完成了情况一的证明．请你选择情况二或者情况三中的一种情况进行证明． 为 上的点，直线 相交于点 ． 证明 情况一点P 在⊙内时，连接 （如图 1）： ， ∴ ∴ ，即 情况二点P 在⊙外时 （如图2）： 情况三当点和点B 重合时（如 图3） 14．（2023·辽宁大连·模拟预测）如图1， 内接于 ，点D 为圆外 上方一点，连接 ，若 ． (1)求证： 是 的切线；(2)如图2，连接 ．若 ， ， ，求 的半径． （注：本题不允许使用弦切角定理） 15．（2023 秋·山西吕梁·九年级校考期末）阅读与思考：阅读下列材料，并完成相应的任务． 米勒定理 米勒（ ）是德国的数学家，是欧洲最有影响的数学家之一，米勒发表的《三角全书》，是使得三 角学在欧洲取得独立地位的第一部系统性著作．下面是米勒定理（又称切割线定理）的证明过程 已知：如图1， 与 相切于点， 与 相交于点B，． 求证： ． 证明：如图2，连接 ． ∵ 为 的切线，∴ ，∴ ． ∵ ，∴ ． ∵ ，∴ ． ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ，…… 任务：(1)请完成剩余的证明过程(2)应用：如图3， 是 的切线， 经过 的圆心，且 ， 割线 交 于点D，E， ，求 的长． 16．（2023·江苏·九年级专题练习）阅读下列材料，完成相应任务： 弗朗索瓦•韦达，法国杰出数学家．第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂， 带来了代数学理论研究的重大进步，在欧洲被尊称为“代数学之父”．他还发现从圆外一点引圆的切线和 割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项（切割线定理）． 如图1，P 是 外一点， 是 的切线， 是 的一条割线，与 的另一个交点为B，则 ． 证明：如图2，连接 、 ，过点作 的直径 ，连接 ． ∵ 是 的切线，∴ ，∴ ，即 ．…… 任务：(1)请按照上面证明思路写出该证明的剩余部分． (2)如图3， 与 相切于点，连接 并延长与 交于点B、， ， ， ，连 接 ．① 与 的位置关系是 ．②求 的长． 17．（2022·山西·三模）阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 人们在研究圆与直线的位置和数量关系时，发现存在这样一个关系：从圆外一点引圆的切线和割线，切线 长是这点到割线与圆交点构成的两条线段长的比例中项．这个几何关系也叫圆的切割线定理．喜欢探究的 小明尝试给出了该定理的如下证明： 已知：如图1，P 为⊙外一点，切线P 与圆相切于点，割线PB 与圆相交于点B，． 求证： ． 证明：如图2，连接B，，B，． ∵P 切⊙于点，∴ ，即 ． ∵ ，∴ ． ∵ ，∴ ．…… 任务：(1)请帮助小明补充完成以上证明过程．(2)如图，割线PDE 与圆交于点D，E，且 ， ，连接BE，过点向下作 交PE 的延长线于点F，求EF 的长． 18．（2023·河南周口·校考三模）阅读与思考 学习了圆的相关知识后，某数学兴趣小组的同学们进行了如下探究活动，请仔细阅读，并完成相应任务． 割线定理 如图，是 外一点，过点作直线 分别交 于点B，，D，E，则有 ． 证明：如图，连接 ． ∵ （依据：①________________）， ， ∴ ．∴ ②_________________． ∴ ． 任务：(1)上述阅读材料中①处应填的内容是________，②处应填的内容是_______． (2)兴趣小组的同学们继续思考，当直线E 与圆相切时，是否仍有类似的结论．请将下列已知、求证补充完 整，并给出证明． 已知：如图，是 外一点，过点的直线交 于点B，，__________．求证： ___________． 19．（2023·广东九年级期中）探究问题： (1)阅读理解：①如图，在 所在平面上存在一点P，若它到 三个顶点的距离之和最小，则称点P 为 的费马点，此时 的值为 的费马距离． ②如图B，若四边形 的四个顶点在同一个圆上，则有 ，此为托勒密定理． 知识迁移：①请你利用托勒密定理解决如下问题：如图，已知点P 为等边 外接圆的 上任意一点． 求证： ；②根据（2）①的结论，我们有如下探寻 （其中 均小于 ）的费马点和费马距离的方法： 第一步：如图D，在 的外部以 为一边作等边 及其外接圆； 第二步：在 上任取一点 ，连接 ．易知 ___ _____； 第三步：请你根据（1）①中定义，在图D 中找出 的费马点P，则线段______的长度即为 的费 马距离．(2)知识应用：今年以来某市持续干旱，许多村庄出现了人、畜饮水困难的问题，为解决老百姓的 饮水问题，解放军某部来到该市某地打井取水．已知三村庄、B、构成了如图E 所示的 （其中 ，均小于 ），现选取一点P 打水井，使从水井P 到三村庄、B、所铺设的输水管总长度 最小，求输水管总长度的最小值． 20．（2023·山西临汾·九年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应任务 托勒密，古希腊天问学家、地理学家和光学家，而他在数学方面也有重大贡献，下面就是托勒密发现的一 个定理，圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积．下面是该定理的证明过程（部分） 已知：如图①四边形 是 的内接四边形；求证： 证明：以顶点， 为一边作 交 于点E，使得 又∵ ∴ ∴ ∴ ， 又 ， ∴ ∴