专题32 圆中的重要模型之隐圆模型（原卷版）

专题32 圆中的重要模型之隐圆模型 隐圆是各地中考选择题和填空题、甚至解答题中常考题，题目常以动态问题出现，有点、线的运动， 或者图形的折叠、旋转等，大部分学生拿到题基本没有思路，更谈不上如何解答。隐圆常见形式：动点定 长、定弦对直角、定弦对定角、四点共圆等，上述四种动态问题的轨迹是圆。题目具体表现为折叠问题、 旋转问题、角度不变问题等，此类问题综合性强，隐蔽性强,很容易造成同学们的丢分。本专题就隐圆模型 的相关问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1、动点定长模型（圆的定义） 若P 为动点，且B==P，则B、、P 三点共圆，圆心，B 半径 圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合． 寻找隐圆技巧：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧． 例1．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 的一条直角边 在x 轴 上，点的坐标为 ； 中， ，连接 ，点M 是 中点， 连接 ．将 以点为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段 的最小值是（ ） ．3 B． ． D．2 例2．（2023·广东清远·统考三模）如图，在 ， ，E 为 边上的任意一点，把 沿 折叠，得到 ，连接 ．若 ， ，则 的最小值为 ． 例3．（2022·北京市·九年级专题练习）如图，四边形 中， 、 分别是 ， 的中垂线， ， ，则 ___， ___． 例4．（2023 上·江苏无锡·九年级校联考期中）如图，正方形BD 中， ，E 是 的中点．以点为圆 心， 长为半径画圆，点P 是 上一动点，点F 是边 上一动点，连接 ，若点Q 是 的中点，连 接 ， ，则 的最小值为 ． 模型2、定边对直角模型（直角对直径） 固定线段B 所对动角∠恒为90°，则、B、三点共圆，B 为直径 寻找隐圆技巧：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 例1．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形 中， ，点E 在线段 上运动，点F 在线段 上， ，则线段 的最小值为 ． 例2．（2023 上·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，以 为圆心，半径为2 的圆与x 轴交于，B 两 点，与y 轴交于，D 两点，点E 为 上一动点，作 于点F．当点E 从点B 出发，顺时针旋转到 点D 时，点F 所经过的路径长为（ ） ． B． ． D． 例3．（2022·内蒙古·中考真题）如图， 是 的外接圆， 为直径，若 ， ，点 从 点出发，在 内运动且始终保持 ，当 ， 两点距离最小时，动点 的运动路径长 为______． 例4．（2023·广东·九年级课时练习）如图，△B 中，＝B＝4，∠B＝90°，点P 为上的动点，连BP，过点作 M⊥BP 于M．当点P 从点运动到点时，线段BM 的中点运动的路径长为（ ） ． π B． π ． π D．2π 模型3、定边对定角模型（定弦定角模型） 固定线段B 所对同侧动角∠P=∠，则、B、、P 四点共圆 根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相． 寻找隐圆技巧：B 为定值，∠P 为定角，则P 点轨迹是一个圆． 1（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，分别经过原点 和点 的动直线 ， 夹角 ，点 是 中点，连接 ，则 的最大值是（ ） ． B． ． D． 例2．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在边长为6 的等边 中，点E 在边 上自向运动，点 F 在边 上自向B 运动，且运动速度相同，连接 交于点P，连接 ，在运动过程中，点P 的运动 路径长为（ ） ． B． ． D． 例3．（2023·成都市·九年级专题练习）如图所示，在扇形 中， ， ，点 是 上 的动点，以 为边作正方形 ，当点 从点 移动至点 时，求点 经过的路径长． 例4．（2023 上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，⊙的半径为2，弦B 的长为2 ，点是优弧B 上的 一动点，BD⊥B 交直线于点D，当点从△B 面积最大时运动到B 最长时，点D 所经过的路径长为 ． 模型4、四点共圆模型 四点共圆模型我们在上一专题中已经详细讲解了，本专题就不在赘述了。在此就针对几类考查频率高的模 型作相应练习即可。 1）若平面上、B、、D 四个点满足 ，则、B、、D 四点共圆． 条件：1）四边形对角互补；2）四边形外角等于内对角． O D C B A 2）若平面上、B、、D 四个点满足 ，则、B、、D 四点共圆． 条件：线段同侧张角相等． 例1．（2023·安徽阜阳·九年级校考期中）如图，为线段 的中点，点，，D 到点的距离相等，则∠与∠的 数量关系为（ ） ． B． ． D． 例2．（2023·山西临汾·九年级统考期末）如图在四边形 中， ，若 ， 则 的值为（ ） ． B． ． D． 例3．（2023·江苏镇江·校联考一模）如图，菱形 的边长为 ， ，点 为 边的中点．点 从点 出发，以每秒个单位的速度向点 运动，点 同时从点 出发，以每秒 个单位的速度向点 运动，连接 ，过点 作 于点 ．当点 到达点 时，点 也停止运动，则点 的运动路径 长是（ ） ． B．12 ． D． 例4．（2023 江苏九年级期末）如图，在 中， ， ， ，点P 为平面内一 点，且 ，过作 交PB 的延长线于点Q，则Q 的最大值为（ ） ． B． ． D． 例5．（2023·河南周口·校考三模）在 中， ，M 是 外一动点，满足 ，若 ， ， ，则 的长度为 ． 课后专项训练 1．（2023 上·江苏南通·九年级校考阶段练习）如图，等边三角形B 与等边三角形EFB 共端点B，B＝2， BF＝ ，△EFB 绕点B 旋转，∠BF 的最大度数（ ） ．30° B．45° ．60° D．90° 2．（2023 上·安徽六安·九年级校考期末）如图， 是等边三角形， ，点 是 内一点，且 ，连接 ，则 的最小值为（ ） ． B． ． D． 3．（2023·广西·中考模拟）如图所示，四边形BD 中，D B ∥，B=1，B==D=2．则BD 的长为（ ） ． B． ． D． 4．（2023 上·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，点 在线段 上， ，以 为圆心， 为半径作 ，点 在 上运动，连接 ，以 为一边作等边 ，连接 ，则 长度的最小 值为（ ） ． B． ． D． 5．（2023 上·江苏无锡·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为 ， ， ，以点为圆心，3 为半径画 ，点P 在 上运动，连接 ，交 于点Q，点M 为线段 的中点，连接 ，则线段 的最小值为（ ） ．7 B．10 ． D． 6．（2023 上·浙江丽水·九年级统考期中）如图， 是半圆 的直径，点 在半圆 上， 是弧 上的一个动点，连结 ，过点 点作 于点 ，连结 ，在点 移动的过程中．（1） ；（2） 的最小值是 ． 7．（2023 上·山东日照·九年级校考期中）如图， 中， ，过点 作 的平行线 为直线上一动点， 为 的外接圆，直线 交 于 点，则 的最小值为 ． 8．（2023 上·江苏连云港·九年级校考期中）如图，在矩形 中， ，是矩形 内一 点， ，点M 是 边上的动点，则 的最小值为 ． 9．（2023 湖北九年级期中）如图，在 中， ， ， ，点 在以 为直 径的半圆上运动，由点 运动到点 ，连接 ，点 是 的中点，则点 经过的路径长为 ． 10．（2023·广东·九年级课时练习）如图，扇形B，且B=4，∠B=90°，为弧B 上任意一点，过点作D B ⊥ 于点D，设△D 的内心为E，连接E、E，当点从点B 运动到点时，内心E 所经过的路径长为 ________． 11．（2023 上·江苏连云港·九年级统考期中）如图，在矩形 中，已知 ， ，点 是 边 上一动点点 不与点 ， 重合，连接 ，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，则 的最小 值为 ． 12．（2023 上·江苏连云港·九年级统考期中）如图，在等腰直角三角形 中， ， ，点 是 边上一动点，连结 ，以 为直径的圆交 于点 ，则 长度的最小值是 ． 13．（2023·辽宁大连·九年级统考期末）如图，在 中， ，D 为B 上一点， ，E 为 上一点， ，连接BE、D 交于点，则 的最大面积是 ． 14．（2021·广东·统考中考真题）在 中， ．点D 为平面上一个动点， ，则线段 长度的最小值为 ． 15．（2023·浙江·一模）如图，在 中， ， ．分别以 、 为斜边，向三角形 外作等腰直角三角形 和等腰直角三角形 ，则 和 面积之和为 ；连接 ，则 线段 的最大值为 ． 16．（2022·广东·九年级专题练习）如图，在四边形BD 中，∠BD＝∠BD＝90°，∠D＝30°，D＝2，E 是的 中点，连接DE，则线段DE 长度的最小值为______． 17．（2023 陕西中考模拟）如图，在等边 中， ，点P 为B 上一动点， 于点D， 于点E，则DE 的最小值为_____． 18．（2023 上·江苏宿迁·九年级统考期中）如图1，点 是 直径 上一点， ， ，过点 作弦 ，点 在 上运动，连接 ．(1)求 的长．(2)如图 ，连接 ，作 的角平分线 交 于点 ，在点 运动的过程中， 的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不会发 生变化，请求出其值．(3)如图，过点 作 于 ，连接 ，求 的最小值． 19．（2023 下·广东广州·九年级校校考阶段练习）如图， 为等边三角形，点P 是线段 上一动点 （点P 不与，重合），连接 ，过点作直线 的垂线段，垂足为点D，将线段 绕点逆时针旋转 得到线段 ，连接 ， ．(1)求证： ；(2)连接 ，延长 交 于点F，若 的边长 为2；①求 的最小值；②求 的最大值． 20．（2023·陕西延安·九年级统考期末）问题提出 （1）如图①， 内接于半径为4 的 ， 是 的中位线，则 的最大值是_________； 问题探究（2）如图②，在等腰 中， ， ， 边上的中线 ，求等 腰 外接圆的半径； 问题解决（3）如图③，工人师傅现要在一张足够大的板材上剪裁出一个形状为 的部件，已知 的部件要满足 ， 边上的中线 ，且边 与边 之和要最大，是否能剪裁出满足 要求的三角形部件？若能，请求出 的最大值；若不能，请说明理由．