专题40 重要的几何模型之12345模型（原卷版）

专题40 重要的几何模型之12345 模型 初中几何，直角三角形具有举足轻重的地位，贯彻初中数学的始终，无论是一次函数、平行四边形、 特殊平行四边形、反比例函数、二次函数、相似、圆，都离不开直角三角形。今天我们要重点介绍的 “12345”模型就是中考（选填题）解题神器，需要我们反复断钻研、领悟。现在带领大家领略一下， “12345”模型的独特魅力。 【模型解读】 模型1、12345 模型及其衍生模型 【模型来源】2019 年北京市中考 如图所示的格是正方形格，则∠PB+∠PB＝（ ）°（点，B，P 是格交点）． 该类问题解法很多，这里我们就根据现有的方格纸来构造一个等腰直角三角形。 如图，即：∠PB+∠PB=∠BPQ=45°。 上面的∠PB 和∠PB 便是今天要说的特殊角，除了它们的和为45°之外，用三角函数的观点来看： t∠PB= ，t∠PB= ，对于这里的数据，为了便于记忆，总结为“12345”模型。 【常见模型】下面模型中 ， ，2，3， ， 均为对应角的正切值。 ∠α+∠β＝45°； ∠α+45°＝∠GF； ∠DF+45°＝∠E； ∠α+∠β＝135°； ∠α+∠β＝90°； ∠DB+∠DB＝∠B； ∠DB+∠DB＝∠B； 切记：做题不光要知道题目告诉我什么，还要根据已知的信息，思考这里需要什么，而“12345”模型用来 解决相关的选填题非常方便。下面所列举的个别题，利用“12345”解题也许未必是最简，最巧妙的， 但至少可以成为一种通性通法，可以在短时间内快速破题。毕竟在考试的时候时间非常宝贵的。 例1．（2022·四川乐山·中考真题）如图，在 中， ， ，点D 是上一点，连接 BD．若 ， ，则D 的长为（ ） ． B．3 ． D．2 例2（2023 成都市中考模拟）如图，正方形 ， ，点E 为 上一动点，将三角形 沿 折 叠，点落在点F 处，连接 并延长，与边 交于点G，若点G 为 中点，则 ． 例 3（2023 湖北黄冈中考真题）如图，矩形 中， ，以点B 为圆心，适当长为半径画 弧，分别交 ， 于点E，F，再分别以点E，F 为圆心，大于 长为半径画弧交于点P，作射线 ，过点作 的垂线分别交 于点M，，则 的长为（ ） ． B． ． D．4 例4（2023 四川广元 中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，点 在 轴 上，且点 在点 右方，连接 ， ，若 ，则点 的坐标为 ． 例5（2022 四川泸州中考真题）如图，在边长为3 的正方形 中，点 是边 上的点，且 ，过点 作 的垂线交正方形外角 的平分线于点 ，交边 于点 ，连接 交边 于点 ，则 的长为（ ） ． B． ． D．1 例6（2023 内蒙古中考真题）如图，在 中， ，将 绕点逆时针方 向旋转 ，得到 ．连接 ，交 于点D，则 的值为 ． 例7（2023 呼和浩特中考真题）如图，正方形 的边长为 ，点 是 的中点， 与 交于点 ， 是 上一点，连接 分别交 ， 于点 ， ，且 ，连接 ，则 ， ． 课后专项训练 1（2023·深圳市高级中学联考）如图，正方形 中， 是 中点，连接 ， ，作 交 于 ，交 于 ，交 于 ，延长 交 延长线于 ，则 的值为（ ） ． B． ． D． 2（2018 湖北中考真题）如图，正方形BD 中，B=6，G 是B 的中点，将△BG 沿G 对折至△FG，延长GF 交 D 于点E，则DE 长是( ) ．1 B．15 ．2 D．25 3（2021 宜宾中考真题）如图，在矩形纸片BD 中，点E，F 分别在边B，D 上，将矩形纸片沿E，F 折叠， 点B 落在处，点D 落在G 处，点，，G 恰好在同一直线上，若B＝6，D＝4，BE＝2，则DF 的长是（ ）． ．2 B． 7 4 ． 3 2 2 D．3 4（2023 湖北 九年级期中）如图，已知正方形BD 的边长为4，E 是B 边延长线上一点，BE＝2，F 是B 边上 一点，将△EF 沿F 翻折，使点E 的对应点G 落在D 边上，连接EG 交折痕F 于点，则F 的长是（ ） ． B． ．1 D． 5（2023 浙江中考模拟）如图，，B，，D 是边长为1 的小正方形组成的6×5 格中的格点，连接 交 于 点E，连接 ．给出4 个结论：① ；② ；③ ；④ ．其中 正确的是（ ） G F E B D ．①②③ B．①②④ ．①③④ D．②③④ 6（2023 山东九年级期中）如图，将已知矩形纸片BD 的边B 斜着向D 边对折，使点B 落在D 上，记为点 B'，折痕为E，再将D 边斜向下对折，使点D 落在B'上，记为点D'，折痕为F，若B'D'＝2，BE＝ 1 3 BC ，则 矩形纸片BD 的面积为_________． 7（2022 贵州中考真题）如图，折叠边长为4m 的正方形纸片 ，折痕是 ，点 落在点 处，分 别延长 、 交 于点 、 ，若点 是 边的中点，则 m． 8（2023 成都市九年级期中）如图，在正方形BD 中，点E 在B 上，点F 是D 的中点，∠EF＝45°，连接E 与 BF 交于点G，连接F 与DG 交于点，则 DH HG 的值为_________． 9（2022 北部湾中考真题）如图，在正方形BD 中，B＝4 2 ，对角线，BD 相交于点．点E 是对角线上一 点，连接BE，过点E 作EF⊥BE，分别交D，BD 于点F，G，连接BF 交于点，将△EF 沿EF 翻折，点的对应 点′ 恰好落在BD 上，得到△EF′．若点F 为D 的中点，则△EG′ 的周长是_________． B′ D′ F E B D G F E B D 10（2023 成都市九年级期中）如图，在矩形BD 中，B=2，B=4，点E、F 分别在B、D 上，若E=√5 ， ∠EF=45°，则F 的长为 11（2019 盐城中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-1 的图像分别交x、y 轴于点、B，将 直线B 绕点B 顺时针旋转45°，交x 轴于点，则直线B 的函数表达式是_______________． 12（2017 无锡中考真题）在如图的正方形方格纸上，每个小的四边形都是相同的正方形，、B、、D 都在 格点处，B 与D 相交于，则t∠BD 的值等于__________． 13（2023 甘肃天水中考模拟）如图，把矩形纸片B 放入平面直角坐标系中，使、分别落在x 轴、y 轴上， 连接B，将纸片B 沿B 折叠，使点落在点’位置，B= ，t∠B= ，则点’的坐标为____________． B G F ′ E D 14（2023 广东九年级期中）如图，折叠边长为4m 的正方形纸片BD，折痕是DM，点落在点E 处，分别延 长ME，DE 交B 于点F，G，若点M 是B 边的中点，则FG＝_________m． 15（2017 浙江丽水中考真题）如图，在平面直角坐标系xy 中，直线y=-x+m 分别交x 轴、y 轴于、B 两点， 已知点（2，0），点P 为线段B 的中点，连接P、P，若∠P=∠B，则m 的值是__________． 16（2023·龙华区九年级上期末）如图，已知正方形BD 的边长为 6，E 为B 的中点，将△BE 沿直线E 折叠 后，点B 落在点F 处，F 交对角线BD 于点G，则FG 的长是________． G F E B C A D 17（2023·山东·中考模拟）如图，在矩形BD 中，B＝4，D＝6，点E，F 分别在边B，D 上，∠EF＝ 45°，BE＝2，则DF 的长为_________． G E M F B D 18（2023 广东九年级期中）如图，已知点 ， ， 为坐标原点，点 关于直线 的对称点 恰好落在反比例函数 的图象上，则 ． 19．（21·22·深圳·模拟预测）如图，已知点的横坐标与纵坐标相等，点B（0，2），点在反比例函数y 的图象上．作射线B，再将射线B 绕点按逆时针方向旋转 ，交y 轴于点，则△B 面积为 ． 20．（2023 上·绍兴·期中）如图，已知点（3，3 ），点B（0， ），点在二次函数y＝ x2+ x 9 ﹣ 的图象上，作射线B，再将射线B 绕点按逆时针方向旋转30°，交二次函数图象于点，则点的坐标为 ． F E B D 21．（21·22 下·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系 中，直线 的解析式为 分别交 轴， 轴于 ， 两点，已知点 ．（1）当直线 经过点 时， ； （2）设点 为线段 的中点，连接 ， ，若 ，则 的值是 ． 22．（22·23 下·泰安·一模）如图，把一个矩形纸片 放入平面直角坐标系中，使 分别落在x 轴，y 轴上，连接 ，将纸片 沿 翻折，点落在点 位置，若 ， ，直线 与y 轴交于点F，则点F 的坐标为 ． 23．（22·23 上·齐齐哈尔·期末）如图，在 中， ，点 是 边的中点， ，则 的值为 ． 24．（2023·运城·期末）仿照例题完成任务：例：如图1，在格中，小正方形的边长均为，点 , , , 都在格点上， 与 相交于点 ，求 的值 解析：连接 , ，导出 ，再根据勾股定理求得三角形各边长，然后利用三角函数解决问 题具体解法如下：连接 , ，则 ， ，根据勾股定理可得： , , , ， 是直角三角形， ， 即 任务：（1）如图2， , , , 四点均在边长为的正方形格的格点上，线段 , 相交于点 ，求图 中 的正切值；（2）如图3， , , 均在边长为的正方形格的格点上，请直接写出 的值