专题31 圆中的重要模型之四点共圆模型（原卷版）

专题31 圆中的重要模型之四点共圆模型 四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。相对四点共 圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点 共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。本文主要介绍四 点共圆的四种重要模型。 四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。 模型1、定点定长共圆模型（圆的定义） 【模型解读】若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于 定长点的集合。 条件：如图，平面内有五个点、、B、、D，使得=B==D， 结论：、B、、D 四点共圆（其中圆心为）。 例1．（2023 春·广东梅州·九年级校考期中）如图，量角器的直径与直角三角板B 的斜边 重合（ ），其中量角器0 刻度线的端点与点重合，射线 从 处出发沿顺时针方向以每秒3 度的速度旋转， 与量角器的半圆弧交于点E，第20 秒时点E 在量角器上运动路径长是 ． 例2．（2021·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在 中， ，B==5，点 在 上，且 ，点E 是B 上的动点，连结 ，点 ，G 分别是B，DE 的中点，连接 ， ，当G=FG 时， 线段 长为（ ） ． B． ． D．4 例3．（2023·江苏淮安·统考三模）如图，将矩形 的边 绕点逆时针旋转得到 ，连接 ，过点 D 作 的垂线，垂足E 在线段 上，连接 ．若 ， ，则 的度数为 ． 例4．（2021·湖北随州·统考中考真题）如图，在 中， ， 为 的中点， 平分 交 于点 ， ， 分别与 ， 交于点 ， ，连接 ， ，则 的值为 ； 若 ，则 的值为 ． 模型2、定边对双直角共圆模型 A B C D E E D C B A 同侧型 异侧型 1）定边对双直角模型（同侧型） 条件：若平面上、B、、D 四个点满足 ， 结论：、B、、D 四点共圆，其中D 为直径。 2）定边对双直角模型（异侧型） 条件：若平面上、B、、D 四个点满足 ， 结论：、B、、D 四点共圆，其中为直径。 例1．（2021·湖北鄂州·统考中考真题）如图，四边形 中， ， ， 于点 ．若 ， ，则线段 的长为 ． 例2．（2022 春·山东·九年级专题练习）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线 相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角． （1）如图1，∠E 是△B 中∠的遥望角．①若∠＝40°，直接写出∠E 的度数是 ； ②求∠E 与∠的数量关系，并说明理由．（2）如图2，四边形BD 中，∠B＝∠D＝90°，点E 在BD 的延长 线上，连E，若∠BE 是△B 中∠B 的遥望角，求证：D＝DE． 例3．（2022·湖北武汉·校考二模）如图，等腰Rt B △中，∠B＝90°，D 为B 边上一点，连接D． （1）如图1，作BE D ⊥ 延长线于E，连接E，求证：∠E＝45°； （2）如图2，P 为D 上一点，且∠BPD＝45°，连接P．若P＝2，求△P 的面积； 例4．（2022 秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在四边形 中， ， 是 的中点， 是 的中点，若 ， ， ，则 的长为（ ） ． B． ． D． 模型3、定边对定角共圆模型 条件：如图1，平面上、B、、D 四个点满足 ，结论：、B、、D 四点共圆． 条件：如图2，、BD 交于， ，结论： 四点共圆 例1．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在Rt B 中，∠B＝90°，∠B＝40°，将 B 绕点顺时针旋转得到 DE，使D 点落在B 边上． （1）求∠BD 的度数；（2）求证：、D、B、E 四点共圆． 例2．（2023·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图1，在等腰三角形B 中，B==4，B=6．如图2，在底边B 上 取一点D，连结D，使得∠D= D ∠．如图3，将△D 沿着D 所在直线折叠，使得点落在点E 处，连结BE，得到 四边形BED．则BE 的长是（ ） ．1 B． ． D． 例3．（2022·江苏无锡·中考真题）△B 是边长为5 的等边三角形，△DE 是边长为3 的等边三角形，直线 BD 与直线E 交于点F．如图，若点D 在△B 内，∠DB=20°，则∠BF＝________°；现将△DE 绕点旋转1 周， 在这个旋转过程中，线段F 长度的最小值是________． 例4．（2022·贵州遵义·统考中考真题）探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得 出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题：如图1，在线段 同侧有两点 ， ，连接 ， ， ， ，如果 ，那么 ， ， ， 四点在同一个圆上． 探究展示：如图2，作经过点 ， ， 的 ，在劣弧 上取一点 （不与 ， 重合），连接 ， 则 （依据1） 点 ， ， ， 四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点 ， 在点 ， ， 所确定的 上（依据2） 点 ， ， ， 四点在同一个圆上 (1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：__________；依据2：__________． (2)图3，在四边形 中， ， ，则 的度数为__________． (3)拓展探究：如图4，已知 是等腰三角形， ，点 在 上（不与 的中点重合），连接 ．作点 关于 的对称点 ，连接 并延长交 的延长线于 ，连接 ， ．①求证： ， ， ， 四点共圆；②若 ， 的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请 说明理由． 模型4、对角互补共圆模型 O D C B A 条件：如图1，平面上、B、、D 四个点满足 ，结论：、B、、D 四点共圆． 条件：如图2，B、D 的延长线交于P， ， 结论：、B、、D 四点共圆 1．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在四边形 中， ，以 为腰作等腰直角三 角形 ，顶点 恰好落在 边上，若 ，则 的长是（ ） ． B． ．2 D．1 例2．（2023·河南周口·校考三模）在 中， ，M 是 外一动点，满足 ，若 ， ， ，则 的长度为 ． 例3．（2023·江苏·九年级假期作业）如图， ， ，点 、 分别是线段 、射线 上的 动点，以 为斜边向上作等腰 ， ，连接 ，则 的最小值为 ． 例4．（2023·山东日照·统考中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得 出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题： 如图1， 中， （ ）．点D 是 边上的一动点（点D 不与B，重 合），将线段 绕点顺时针旋转 到线段 ，连接 ． (1)求证：，E，B，D 四点共圆；(2)如图2，当 时， 是四边形 的外接圆，求证： 是 的切线；(3)已知 ，点M 是边 的中点，此时 是四边形 的外接圆，直接写 出圆心P 与点M 距离的最小值． 课后专项训练 1．（2023 秋·河北张家口·九年级校考期末）如图①，若B 是Rt△B 和Rt△DB 的公共斜边，则、B、、D 在 以B 为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△B 的三条高D、BE、F 相交于点，则图②中“四 点共圆”的组数为（ ） ．2 B．3 ．4 D．6 2．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，是 的中点，点B，，D 到点的距离相等，连接 ．下列 结论不一定成立的是（ ） ． B． ． D． 平分 3．（2023·江苏宿迁·九年级校考期末）如图，在 中， ， ， ，点P 为平 面内一点，且 ，过作 交PB 的延长线于点Q，则Q 的最大值为（ ） ． B． ． D． 4．（2023·北京海淀·九年级校考期中）如图，点为线段 的中点，点B，，D 到点的距离相等，连接 ， ．请写出图中任意一组互补的角为 和 （不添加辅助线，不添加数字角标和字母） 5．（2023·广东·二模）如图，点 为线段 的中点，点 到点 的距离相等，若 则 的度数是 6．（2023·浙江金华·统考二模）如图，在 中， ， ， ，P 是 上一动 点， 于点E， 于点D，则线段 的最小值为（ ） ． B．1 ． D． 7．（2023·浙江·模拟预测）如图， 中， ， 中， ，直线 与 交于 ，当 绕点 任意旋转的过程中， 到直线 距离的最大值是 ． 8．（2023 春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在 中，点D 为 上一点， ，点E 在线段 上， ，若 ， ，则 的最大值为 ． 9．（2023·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，将 绕点逆时针旋转 ，得到 ，其中点 与 点 对应，点 与点 对应．(1)画出 ．(2)直线 与直线 相交于点 ，证明：， ， ， 四 点共圆． 10（2023·湖北九年级课时练习）如图1， B 中，＝B＝4，∠B＝90°，过点任作一条直线D，将线段B 沿直 线D 翻折得线段E，直线E 交直线D 于点F．直线BE 交直线D 于G 点． (1)小智同学通过思考推得当点E 在B 上方时，∠EB 的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推 理过程： ∵＝B＝E，∴、B、E 三点在以为圆心以为半径的圆上， ∴∠EB＝ ∠B，（填写数量关系） ∴∠EB＝ °． (2)如图2，连接BF，求证、B、F、四点共圆； (3)线段E 最大值为 ，若取B 的中点M，则线段MF 的最小值为 ． 11．（2023 春·重庆南岸·八年级校考期末）已知：菱形 的对角线 交于点 ，以 为斜边 构造等腰 ，连接 ． (1)如图1，若 ， ，求 的面积．(2)如图2，延长 交 于点 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ， 与 交于点 ，且 ．求证： ． 12．（2023 春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）问题提出 如图1，点E 为等腰 内一点， ， ，将 绕着点逆时针旋转 得到 ，求证： ． 尝试应用 如图2，点D 为等腰 外一点， ， ，过点的直线分别交 的延长线 和 的延长线于点，M，求证： ． 问题拓展 如图3， 中， ，点D，E 分别在边 ， 上， ， ， 交于点．若 ， ，直接写出 的长度（用含，b 的式子）． 13．（2023·江苏·九年级假期作业）综合与实践 “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续 利用上述结论进行探究． 提出问题：如图1，在线段同侧有两点B，D，连接D，B，B，D，如果∠B＝∠D，那么，B，，D 四点在同 一个圆上． 探究展示：如图2，作经过点，，D 的⊙，在劣弧上取一点E（不与，重合），连接E，E，则∠E+∠D＝ 180°（依据1） ∵∠B＝∠D ∴∠E+∠B＝180° ∴点，B，，E 四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点B，D 在点，，E 所确定的⊙上（依据2） ∴点，B，，D 四点在同一个圆上 (1)上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1： ；依据2： ． (2)如图3，在四边形BD 中，∠1＝∠2，∠3＝45°，则∠4 的度数为 ． 拓展探究：(3)如图4，已知△B 是等腰三角形，B＝，点D 在B 上（不与B 的中点重合），连接D．作点关 于D 的对称点E，连接EB 并延长交D 的延长线于F，连接E，DE．①求证：，D，B，E 四点共圆；②若 B＝2 ，D•F 的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由 14．（2022·江苏扬州·模拟预测）如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其 中∠DB＝45°，∠B＝30°，点为斜边B 的中点，连接D 交B 于点E．设B＝1． （1）求证：、B、、D 四个点在以点为圆心的同一个圆上； （2）分别求△B 和△BD 的面积；（3）过点D 作DF∥B 交B 于点F，求E︰F 的比值． 15．（2023·重庆九年级课时练习）如图，四边形 内接于 ，对角线 ，垂足为 ， 于点 ，直线 与直线 于点 ． （1）若点 在 内，如图1，求证： 和 关于直线 对称； （2）连接 ，若 ，且 与 相切，如图2，求 的度数． 16．（2023·江苏·九年级假期作业）【问题情境】如图①，在四边形 中， ，求证：、 B、、D 四点共圆． 小吉同学的作法如下：连结 ，取 的中点 ，连结 、 ，请你帮助小吉补全余下的证明过程； 【问题解决】如图②，在正方形 中， ，点 是边 的中点，点 是边 上的一个动点， 连结 ， ，作 于点P． （1）如图②，当点P 恰好落在正方形 对角线 上时，线段 的长度为 ； （2）如图③，过点P 分别作 于点 ， 于点 ，连结 ，则 的最小值为 ． 17．（2023 春·江苏南京·九年级校联考阶段练习）在 和 中， ， ， ，用这两个直角三角形研究图形的变换． 【翻折】(1)如图1，将 沿线段 翻折，连接 ，下列对所得四边形 的说法正确的是___． ① 平分 、 ，② 、 互相平分，③ ，④ 、 、 、 四点共圆． 【平移】(2)如图2，将 沿线段 向右平移，使 点移到 的中点，连接 、 、 ，请猜想 四边形 的形状，并说明理由． 【旋转】(3)如图3，将 绕点 逆时针方向旋转，使 ，连接 、 ，则旋转角为____ __°， ______m． 18．（2023·河南南阳·校考三模）综合实践课上，刘老师介绍了四点共圆的判定定理：若平面上四点连成 四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆．在实际应用中，如果运用这个定理，往往 可以让复杂的问题简单化，以下是小明同学对一道四边形问题的分析，请帮助他补充完整． 特殊情况分析：(1)如图1，正方形 中，点 为对角线 上一个动点，连接 ，将射线 绕点 顺时针旋转 的度数，交直线 于点 ． 小明的思考如下：连接 ， ∵ ， ，∴ ，（依据1） ∵ ，∴ ，∴点 共圆， ∴ ， ，（依据2） ∴ ，∴ ．（依据3） 填空：①依据1 应为___________，②依据2 应为___________，③依据3 应为___________； 一般结论探究：(2)将图1 中的正方形 改为菱形 ，其他条件不变，（1）中的结论是否成立， 若成立，请仅以图2 的形式证明，若不成立，请说明理由； 结论拓展延伸：(3)如图2，若 ， ，当 为直角三角形时，请直接写出线段 的 长．