第四章 几何图形初步压轴题考点训练（解析版）

第四章 几何图形初步压轴题考点训练 评卷人 得分 一、单选题 1．如图，，B 两地相距1200m，小车从地出发，以8m/s 的速度向B 地行驶，中途在地停 靠3 分钟．大货车从B 地出发，以5m/s 的速度向地行驶，途经D 地（在地与地之间）时沿 原路返回B 点取货两次，且往返两次速度都保持不变（取货时间不计），取完两批货后再 出发至点．已知： ，则直至两车都各自到达终点时，两车相遇的次 数为（ ） ．2 B．3 ．4 D．5 【答】 【分析】由题意可求出 ， ， ， ．再根据题意 结合速度=路程÷时间讨论即可． 【详解】解：由题意可知 ． ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ． 当大货车第一次到达D 地时，用时 ， ∴此时小车行驶路程为 ． ∵ ， ∴此过程两车不相遇； 当大货车第一次由D 地返回B 地，且到达地的过程中， ∵ ， ∴大货车到达地用时 ． 假设此过程中两车相遇，且又经过t 秒相遇， 则 ， 解得： ，即说明大货车到达地之前没相遇； 当大货车继续由地返回B 地时， ∵ ， ∴大货车到达B 地用时 ． 此时大货车共行驶 ． ∵小车到达地用时 ， ∴当大货车到达B 地时，小车已经到达地停靠 ． ∵小车中途在地停靠3 分钟，即 ， ∴当大货车到达B 地时，小车在地还需停靠 ． 当大货车又从B 地出发前往D 地时，用时 ， ∴当大货车到达D 地时小车还在停靠，即此时第一次相遇， ∴此时小车剩余停靠时间 ， ∴当小车出发时，大货车第二次从D 地前往B 地行驶了 ． 假设大货车到达B 地前小车能追上大货车，且用时为 ， 则 ， 解得： ，即说明大货车到达B 地前小车没追上大货车， ∴此过程两车没相遇． 当大货车最后由B 地前往地时，小车正在向B 地行驶， ∴两车此过程必相遇． 综上可知，两车相遇的次数为2 次． 故选． 【点睛】本题考查线段的等分点，线段的和与差，一元一次方程的实际应用．读懂题意， 列出算式或方程是解题关键． 2．如果线段B=3m，B=1m，那么、两点的距离d 的长度为（ ） ．4m B．2m ．4m 或2m D．小于或等于4m， 且大于或等于2m 【答】D 【详解】试题分析：①当，B，三点在一条直线上时，分点B 在、之间和点在、B 之间两种 情况讨论； ②当，B，三点不在一条直线上时，根据三角形三边关系讨论 解：当点、B、在同一条直线上时，①点B 在、之间时：=B+B=3+1=4；②点在、B 之间时： =B-B=3-1=2， 当点、B、不在同一条直线上时，、B、三点组成三角形，根据三角形的三边关系B-B ＜＜ B+B，即2＜＜4，综上所述，选D 故选D 点睛：本题主要考查点与线段的位置关系利用分类思想得出所有情况的图形是解题的关键， 3．用折纸的方法，可以直接剪出一个正五边形(如图)．方法是：拿一张长方形纸对折，折 痕为B，以B 的中点为顶点将平角五等分，并沿五等分的线折叠，再沿D 剪开，使展开后 的图形为正五边形，则∠D 等于( ) ．108° B．90° ．72° D．60° 【答】B 【分析】根据折叠可知∠D 为36°，根据正五边形内角为108°可知∠D 为54°，由三角形内角 和为180°即可得 【详解】由折叠可知周角被平分为10 份，所以∠D 为36°， 由正五边形一个内角为108°，所以∠D 为 108°=54°， 所以∠D=180°-54°-36°=90°， 故选B 【点睛】此题考查了折叠的性质和三角形内角和定理，熟练掌握折叠性质是解本题关键 4．如图，点 、 、 在同一直线上， 为 的中点， 为 的中点， 为 的中 点，则下列说法： ，其中正确的 是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】根据线段中点的定义和线段的和差分别计算 即可 【详解】① ∵是 的中点， ∵ 分别是 的中点， ① ∴ 正确 ② 由①知 ② ∴ 错误 ③ ③ ∴ 正确 ④ ④ ∴ 正确 综上，①③④正确 故选：D 【点睛】本题主要考查了线段中点的定义，线段的和差根据线段的和差进行求解是解题的 关键 5．如图1，线段 表示一条拉直的细线， 、 两点在线段 上，且 ， 若先固定 点，将 折向 ，使得 重叠在 上；如图2，再从图2 的 点及与 点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比是 （ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】设B=3x，依次表示出BP、、P、B 的长度，折叠后从点B 处剪开得到B 段为2x， B=3x，BP=5x，即可得到比值 【详解】设B=3x，则BP=7x， P=B+BP=10x ∴ ， ∵ ， =4x ∴ ，P=6x， B=-B=x ∴ ， 将 折向 ，使得 重叠在 上，再从点 重叠处一起剪开， 得到的三段分别为：2x、3x、5x， 故选：D 【点睛】此题考查线段的和差计算，设未知数分别表示各段的长度使分析更加简单，注意 折叠后B 段的长度应是原B 段的2 倍，由此计算即可 6．一个正方体锯掉一个角后，顶点的个数是（ ） ．7 个 或8 个 B．8 个或9 个 ．7 个或8 个或9 个 D．7 个或8 个或9 个或10 个 【答】D 【详解】如下图，一个正方体锯掉一个角，存在以下四种不同的情形，新的几何体的顶点 个数分别为：7 个、8 个、9 个或10 个 故选D 评卷人 得分 二、填空题 7．已知∠B＝80°，射线在∠B 内部，且∠＝20°，∠D＝50°，射线E、F 分别平分∠B、∠D， 则∠EF 的度数是 ． 【答】 或 【分析】先根据题意画出图形，再分D 在 内和D 在 外，根据角的和差关系、 角平分线的定义可求 的度数． 【详解】（1）如图1，D 在 内， ， , ， 射线E 平分 ， ， 射线F 平分 ， ， ， ； （2）如图2，D 在 外， ， , ， 射线E 平分 ， ， 射线F 平分 ， ， ， 则 的度数是 或 故答为： 或 【点睛】本题考查了角的和差关系、角平分线的定义， D 在 外的情形易被忽略，从 而出现漏解是本题的难点． 8．已知一条射线由点引射线B，，∠B=72°，∠B=36°，则∠等于 ． 【答】36°或108° 【详解】根据题意画图，可知：当在∠B 的外部时，∠= B+ B=72+36°=108° ∠ ∠ ；当在∠B 的内 部，∠= B- B=72-36°=36° ∠ ∠ 故答为36°或108° 9．如图，已知∠B＝40°，自点引射线，若∠：∠B＝2：3，与∠B 的平分线所成的角的度数 为 ． 【答】4°或100°． 【分析】由题意∠：∠B=2：3，∠B=40°，可以求得∠的度数，D 是角平分线，可以求得∠D 的度数，∠D= D- ∠ ∠． 【详解】解：若在∠B 内部， ∵∠：∠B＝2：3， ∴设∠＝2x，∠B＝3x， B ∵∠＝40°， 2x+3x ∴ ＝40°， 得x＝8°， ∴∠＝2x＝2×8°＝16°，∠B＝3x＝3×8°＝24°， D ∵ 平分∠B， D ∴∠＝20°， D ∴∠＝∠D∠＝20° 16° ﹣ ＝4°． 若在∠B 外部， ∵∠：∠B＝2：3， ∴设∠＝2x，∠B＝3x， B ∵∠＝40°， 3x 2x ∴ ﹣ ＝40°， 得x＝40°， ∴∠＝2x＝2×40°＝80°，∠B＝3x＝3×40°＝120°， D ∵ 平分∠B， D ∴∠＝20°， D ∴∠＝∠+ D ∠＝80°+20°＝100°． ∴与∠B 的平分线所成的角的度数为4°或100°． 【点睛】本题考查角的计算，结合角平分线的性质分析，当涉及到角的倍分关系时，一般 通过设未知数，建立方程进行解决． 10．如图，直线B⊥于点，∠P＝40°，三角形EF 其中一个顶点与点重合，∠EF＝100°，E 平分∠P，现将三角形EF 以每秒6°的速度绕点逆时针旋转至三角形E′F′，同时直线PQ 也 以每秒9°的速度绕点顺时针旋转至P′Q′，设运动时间为m 秒（0≤m≤20），当直线P′Q′平分 ∠E′F′时，则∠P′＝ ． 【答】 或 【分析】由题意，分两种情况讨论，当 平分 时，当 平分 时作出图 形，分别画出对应图，对比开始时刻的角度，通过角度的加减计算即可． 【详解】 平分 ， ， 以每秒 的速度绕点逆时针旋转， 以每秒 的速度点顺时针旋转， ①如图1 中，当 平分 时， 解得 ， ②如图2，当 平分 时， 解得 故答为： 或 【点睛】本题考查了角度的计算，角平分线的定义，垂直的定义，通过旋转的速度和时间 可得旋转的角度，对比旋转之前的图形是解题的关键． 评卷人 得分 三、解答题 11．如图， 内部有一射线， ， 与 的度数比为 ，射线 从 出发，以10 度/秒的速度绕点顺时针旋转，同时射线 从 出发以20 度/秒的 速度绕点顺时针旋转，当射线 与射线 重合后，立即以原速逆时针旋转，当 与 重合后再次改变方向顺时针向 旋转（即 在 与 之间来回摆动），当 与 重合时， 与 都停止旋转．旋转过程中设旋转的时间为t 秒． (1) 时， ； (2)当t 为何值时， 恰好是 的平分线； (3)在旋转的过程中，作 的角平分线 ，是否存在某个时间段，使得 的度数 保持不变？如果存在，求出 的度数，并写出对应的t 的取值范围；如果不存在，请 说明理由． 【答】(1)100 (2)3 或7 (3)存在， 时， 的度数保持不变， ； 时， 的度数 保持不变， 【分析】（1）当 时， ， ，故 ， 即得 ； （2） ， 与 的度数比为 ，知 ， ，故 从 旋转到 （或从 旋转到 需要 （秒）， 从 旋转到 需要 （秒），当 时， ；当 时， ；当 时， ，解方程可得答； （3）当 时， ；当 时， ；当 时， ，即可得到答． 【详解】（1）解：（1）当 时， ， ， ， ； 故答为：100； （2） ， 与 的度数比为 ， ， ， 从 旋转到 或从 旋转到 需要 （秒）， 从 旋转到 需要 （秒）， 当 时， ， ， 恰好是 的平分线， ， 解得 ； 当 时， ， ， 恰好是 的平分线， ， 解得 （舍去）； 当 时， ， ， 恰好是 的平分线， ， 解得 ； 综上所述，当为3 或7 时， 恰好是 的平分线； （3）存在某个时间段，使得 的度数保持不变，理由如下： 当 时， ， ， 平分 ， ， ， 时， 的度数保持不变， ； 当 时， ， ， 平分 ， ， ， 时， 的度数随的改变而改变； 当 时， ， ， 平分 ， ， ， 时， 的度数保持不变， ； 综上所述， 时， 的度数保持不变， ； 时， 的度 数保持不变， ． 【点睛】本题考查了角的和差，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键是读 懂题意，能应用分类讨论思想解决问题． 12．已知：如图1，点、、B 依次在直线 上，现将射线 绕点按顺时针方向以每秒 的速度旋转，同时射线 绕点按逆时针方向以每秒 的速度旋转，如图2，设旋转 时间为t（0 秒 秒） （1）用含t 的代数式表示 的度数． （2）在运动过程中，当 第二次达到 时，求t 的值． （3）如果让射线 改变方向，绕点逆时针方向旋转，在用时不超过30 秒的情况下，用时 多少秒，能使得 ，请直接写出t 的值． 【答】（1）当0≤t≤9 时，∠M＝20t，当9＜t≤18 时，∠M＝360°-20t，当18＜t≤27 时，∠M＝ 20t-360°，当27＜t≤30 时，∠M＝ ；（2）5；（3）75 或105 或255 或285 【分析】（1）分四种情况，分别求出∠M 的度数，即可； （2）当∠B 第二次达到120°时，射线B 在的左侧，∠M 与∠B 重叠部分为∠B，故有等量关 系∠M＋∠B−∠B＝180°，列方程求解可得t． （3）、B 都是逆时针旋转，可理解为初始路程差为180°的追及问题：当∠B 第一次达到30° 时，即B 差30°追上，路程差为（180−30）°，即40t−20t＝180−30；第二次达到30°时，即 B 追上且超过30°，路程差为（180＋30）°；第三次达到30°时，B 再走一圈差30°追上，路 程差为（180＋360−30）°；第四次达到30°时，B 再次追上且超过30°，路程差为（180＋ 360＋30）°，此时求出的t 已接近30，故不需再求第五次． 【详解】解：（1）当0≤t≤9 时，∠M＝20t， 当9＜t≤18 时，∠M＝360°-20t， 当18＜t≤27 时，∠M＝20t-360°， 当27＜t≤30 时，∠M＝ ， （2）当∠B 第二次达到120°时，如图1，得： ∠M＋∠B−∠B＝180° 20 ∴ t＋40t−120＝180，解得t＝5； （3）如图2，当∠B 第一次达到30°时，B 比多转了（180−30）°，得： 40t−20t＝180−30 解得：t＝75 如图3，当∠B 第二次达到30°时，B 比多转了（180＋30）°，得： 40t−20t＝180＋30 解得：t＝105 当∠B 第三次达到30°时，B 比多转了（180＋360−30）°，得： 40t−20t＝180＋360−30 解得：t＝255 当∠B 第四次达到30°时，B 比多转了（180＋360＋30）°，得： 40t−20t＝180＋360＋30 解得：t＝285 综上所述，t＝75 或105 或255 或285 时，∠B＝30°． 【点睛】本题考查了角度计算，一元一次方程的应用．第（3）题转化为追及问题来思考， 可把每次∠B 达到30°的分类计算方法更统一且好理解． 13．已知线段 ， ( ， 为常数，且 )，线段 在直线 上运动(点 B，M 在点的右侧，点在点M 的右侧)．P 是线段 的中点，Q 是线段 的中点． (1)如图①，当点与点B 重合时，求线段 的长度(用含，b 的代数式表示)； (2)如图②，当线段 运动到点B，M 重合时，求线段 ， 之间的数量关系； (3)当线段 运动至点Q 在点B 的右侧时，请你画图探究线段 ， ， 三者之间的 数量关系． 【答】(1) (2) (3) 或 【分析】（1）根据题意表示出 和 的长度，然后即可求出 ； （2）根据题意表示出 和 的长度，再表示出 和 的长度，即可发现 和 之 间的数量关系； （3）分两种情况讨论：①点M 在点B 的左侧，②点M 在点B 的右侧．表示出 和 ， 即可发现 ， ， 三者之间的数量关系． 【详解】（1）因为P 是线段 的中点，Q 是线段 的中点，所以 ， ， ∴ ． （2）因为P 是线段 的中点，Q 是线段 的中点，所以 ， ， 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ． （3）如图①， 当点M 在点B 的左侧时 ， ， 所以 ； 如图②，当点M 在点B 的右侧时 ， ， 所以 ． 综上所述， 或 ． 【点睛】本题考查了线段的和差问题，动点问题，画好线段图，分类讨论是解题的关键． 14．如图，射线 上有三点 、 、 ，满足 ， ， ，点 从点 出发，沿 方向以 的速度匀速运动，点 从点 出发在线段 上向点 匀 速运动，两点同时出发，当点 运动到点 时，点 、 停止运动 （1）若点 运动速度为 ，经过多长时间 、 两点相遇？ （2）当 时，点 运动到的位置恰好是线段 的中点，求点 的运动速度; （3）设运动时间为 ，当点 运动到线段 上时，分别取 和 的中点 、 ，则 ____________ 【答】（1）经过 ， 、 两点相遇（2）答不唯一，具体见解析（3） 【分析】（1）设经过t 秒时间P、Q 两点相遇，根据P+Q=+B+列出方程即可解决问题； （2）分两种情形求解即可； （3）用t 表示P、EF 的长，代入化简即可解决问题； 【详解】（1）设运动时间为，则 ， ；所以经过 ， 、 两点相遇 （2）当点 在线段 上时，如下图, P+PB=60, P=40,P=50, ∴ P ∴用时50s, Q ∵ 是B 中点, Q=50, ∴ 点 的运动速度为 ； 当点 在线段 的延长线上时，如下图, P=2PB, P=120,P=140, ∴ P ∴用时140s, Q ∵ 是B 中点, Q=50, ∴ 点 的运动速度为 ； （3）如下图, 由题可知,=90, P=x-20, EF=F-E=F- P=50- x, ∴ 90-（x-20）-2(50- x)=10 【点睛】本题考查两点间距离、路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是理解 题意，找到等量关系，注意分类讨论是解题关键． 15．如图，线段 ， ，点 以 的速度从点 沿线段 向点 运动；同时点 以 从点 出发，在线段 上做来回往返运动（即沿 运动），当点 运动到点 时，点 、 都停止运动，设点 运动的 时间为秒． (1)当 时， ______ ； (2)当为何值时，点 为线段 的中点？ (3)若点 是线段 的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使 的长度保 持不变？如果存在，求出 的长度；如果不存在，请说明理由． 【答】(1) (2) 或 (3)存在，当 时， 的长度保持不变，此时 的长度为 ；当 时， 的长度保持不变，此时 的长度为 【分析】（1）先求出 ，再根据速度和时间分别求出 的长，然 后根据线段和差即可得； （2）先分别求出点 运动到点 所需时间为 ，点 第一次运动到点 所需时间为 ， 再分① ，② 和③ 三种情况，分别利用线段中点的定义建立方程， 解方程即可得； （3）参照（2）分① ，② 和③ 三种情况，先求出 的长，从 而可得 的长，再根据 进行分析即可得出答． 【详解】（1）解： ， ， 当 时， ， ， ， 故答为： ． （2）解：点 运动到点 所需时间为 ，点 第一次运动到点 所需时间为 ， 则分以下三种情况： ①当 时，则 ， 点 为线段 的中点， ，即 ， 解得 ，符合题设； ②当 时，则 ， 点 为线段 的中点， ，即 ， 解得 ，不符题设，舍去； ③当 时，则 ， 点 为线段 的中点， ，即 ， 解得 ，符合题设， 综上，当 或 时，点 为线段 的中点． （3）解：①当 时，则 ， 点 是线段 的中点， ， ， 即当 时， 的长度保持不变，此时 的长度为 ； ②当 时，则 ， 点 是线段 的中点， ， ， 此时 的长度随着的变化而变化； ③当 时，则 ， 点 是线段 的中点， ， ， 即当 时， 的长度保持不变，此时 的长度为 ； 综上，存在这样的时间段，当 时， 的长度保持不变，此时 的长度为 ； 当 时， 的长度保持不变，此时 的长度为 ． 【点睛】本题考查了与线段中点有关的计算、一元一次方程的应用，较难的是题（2）和 （3），正确分三种情况讨论是解题关键．