第二章 实数压轴题考点训练（解析版）

第二章 实数压轴题考点训练 评卷人 得分 一、单选题 1．在实数 ， ，0， ，210010001， 中，是无理数的有（） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】 【分析】根据无理数的定义解答即可． 【详解】 ，0，210010001 是有理数； ， ， 是无理数． 故选． 【点睛】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数 有：①π 类，如2π， 等；②开方开不尽的数，如 ， 等；③具有特殊结构的数，如 01010010001…（两个1 之间依次增加1 个0），02121121112…（两个2 之间依次增加1 个 1） 2．若二次根式 有意义，则m 的取值范围是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，列不等式求解． 【详解】解： 二次根式 有意义， ，解得 ． 故选． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式中，被开方数大 于等于0． 3．估算 值（ ） ．在1 到2 之间 B．在2 到3 之间 ．在3 到4 之间 D．在4 到5 之间 【答】 【分析】先估计 的整数部分，然后即可判断 的近似值． 【详解】解： ， 故选 【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，掌握无理数的估算是解题的关键． 4．一个自然数的算术平方根是x，则它后面一个自然数的算术平方根是( )． ．x＋1 B．x2＋1 ． D． 【答】D 【详解】一个自然数的算术平方根是x，则这个自然数是 则它后面一个数的算术平方根 是 故选D 5．下列运算正确的是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【详解】 ，故选项错误； ，故B 选项错误； ，故 选项错误； ，故D 选项正确， 故选D 6．下列计算错误的是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据二次根式的乘法运算法则、合并同类二次根式、二次根式的除法运算法则逐 项判定即可． 【详解】解：、根据二次根式的乘法运算法则 得 ，该 项不符合题意； B、根据合并同类二次根式运算法则，知 不能合并，该项符合题意； 、根据二次根式的除法运算法则 得 ，该项不符合题意； D、根据合并同类二次根式运算法则，知 ，该项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式的相关运算，涉及到二次根式的乘法运算法则、合并同类二次 根式、二次根式的除法运算法则，熟练掌握二次根式相关公式是解决问题的关键． 7．对于两个不相等的实数、b，定义一种新的运算如下： （+b＞0），如 ，那么3*（6*3）＝（ ） ．1 B．﹣3 ． D．2 【答】 【分析】根据定义，先求出6*3 的值，然后求出3*（6*3）的值即可． 【详解】解：∵ （+b＞0），∴3*（6*3）＝3* ＝3*1＝ ＝1 故选： 【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实 数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算 加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数 的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键． 8．一个正数的平方根是2x 3 ﹣与5 x ﹣，则这个正数的值是（ ） ．25 B．49 ．64 D．81 【答】B 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数可得（2x 3 ﹣）+（5 x ﹣）＝0，可求得x， 再由平方根的定义即可解答． 【详解】解：由正数的两个平方根互为相反数可得：（2x 3 ﹣）+（5 x ﹣）＝0，解得x＝﹣ 2， 所以5 x ﹣＝5﹣（﹣2）＝7，所以＝72＝49．故答为B． 【点睛】本题考查了平方根的性质,理解平方根与算术平方根的区别及联系是解答本题的关 键． 9．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法： ①当输出值y 为 时，输入值x 为3 或9； ②当输入值x 为16 时，输出值y 为 ； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x 后能够输出y； ④存在这样的正整数x，输入x 之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y 值． 其中错误的是（ ） ．①② B．②④ ．①④ D．①③ 【答】D 【分析】根据运算规则即可求解． 【详解】解：①x 的值不唯一．x=3 或x=9 或81 等，故①说法错误； ②输入值x 为16 时， ，故②说法正确； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x 后能够输出y，如输入π2，故③说 法错误； ④当x=1 时，始终输不出y 值．因为1 的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正 确． 其中错误的是①③． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π 等；开 方开不尽的数；以及像01010010001…，等有这样规律的数． 10．化简： 的结果是（ ） ．6 B． ． D． 【答】D 【分析】利用完全平方公式化简 即可 【详解】 故选D 【点睛】本题考查多重二次根式的化简，熟练掌握完全平方公式是解题关键 评卷人 得分 二、填空题 11．设面积为5 的正方形的边长为x ，那么x= 【答】 【详解】解：根据题意得x2=5， x= ∴ ． 故答为 ． 12．化简： ＝ ； ＝ ． 【答】 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解： = = ． 故答为 ， ． 【点睛】本题主要考查了运用二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解答本题 的关键． 13． 的算术平方根是 ． 【答】3 【分析】根据算术平方根的定义解答． 【详解】 ＝|−9|＝9， 则 的算术平方根是 ＝3， 故答为：3． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 14．计算（﹣1）2005 | ﹣ 2|+ ﹣ （﹣ ）﹣1 2s60° ﹣ 的值为 ． 【答】﹣6 【详解】试题分析：分别根据数的开方法则、负整数指数幂的计算法则、绝对值的性质及 特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可． 原式= 1 ﹣﹣（2﹣ ）﹣3 2× ﹣ = 1 2+ ﹣﹣ 3 ﹣﹣ = 6 ﹣． 考点：(1)、实数的运算；(2)、负整数指数幂；(3)、特殊角的三角函数值． 15．对于任意非零实数，b，定义运算“※”如下：“ ” ，则 的值为 ． 【答】 【分析】根据已知将原式变形进而计算得出答． 【详解】解：根据题意， “ ∵ ” ， ∴ ， ，……， ∴ = = = = = ． 故答为： ． 【点睛】此题主要考查了实数运算，正确将原式变形是解题关键． 16．将1、 、 、 按右侧方式排列若规定(m，)表示第m 排从左向右第个数，则(5， 4)与(9，4)表示的两数之积是 【答】 【详解】试题解析：（5，4）表示第5 排从左向右第4 个数是： ， （9，4）表示第9 排从左向右第4 个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1， 第9 排是奇数排，最中间的也就是这排的第5 个数是1，那么第4 个就是： ， (5 ∴ ，4)与(9，4)表示的两数之积是： × =2 ． 故答为2 ． 17．已知 ，则 的值为 ． 【答】 【分析】先对已知条件进行化简，再依次代入所求的式子进行运算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ 故答为： 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是逐步把 代入所求 式子进行化简求值． 18．一个四位数 ，若千位上的数字与百位上的数字之和与十位上的数字与个位上 的数字之和的积等于60，则称这个四位数为“六秩数”，例如，对于四位数1537，∵ ，∴1537 为“六秩数”．若 ， ，记 ， 则 ；若是一个“六秩数”，且 是一个完全平方数，记 ， 则 的最大值与最小值的差为 ． 【答】 6，8，4，3， 【分析】根据题意用 表示这个四位数，根据定义推出可能的值，计算 比较出最大值和最小值，计算即可． 【详解】设 ∵ 即 整理得 故 根据题意是一个“六秩数”，且 是一个完全平方数 则满足 ，且 是一个完全平方数 ∵ 是一个完全平方数 故 或 当 时， ，根据 进行推算： ① ， ，此时 ，故 若 ， ，则 若 ， ，则 若 ， ，则 若 ， ，则 的最大值与最小值的差为 ② ， ，此时 ，故 若 ， ，则 若 ， ，舍去 若 ， ，则 若 ， ，舍去 若 ， ，舍去 若 ， ，舍去 若 ， ，则 若 ， ，舍去 若 ， ，则 的最大值与最小值的差为 ③ ， ，此时 ，故 ，舍去 ④ ， ，此时 ，故 若 ， ，则 若 ， ，舍去 若 ， ，舍去 若 ， ，舍去 若 ， ，则 的最大值与最小值的差为 ⑤ ， ，此时 ，故 若 ， ，则 若 ， ，则 若 ， ，则 若 ， ，则 的最大值与最小值的差为 ⑥ ， ，此时 ，故 ，舍去 ⑦ ， ，此时 ，故 ，舍去 当 时， ，根据 进行推算： ① ， ，此时 ，故 若 ， ，舍去 若 ， ，则 若 ， ，舍去 若 ， ，则 若 ， ，舍去 的最大值与最小值的差为 综上， 的最大值与最小值的差为6，8，4，3， 故答为： ；6，8，4，3， 【点睛】本题考查新定义下的实数运算，解题的关键是通过 且是一 个完全平方数，结合 进行推算，得到可能性的数值，计算 ． 评卷人 得分 三、解答题 19．计算： 【答】 【分析】根据二次根式的乘方性质可得 ,一个数平方的算术平方根意义可得 ，立方根的定义可得 ,根据绝对值的性质化简绝对值可得: , 然后再根据实数加减计算法则即可求解 【详解】解：原式= = 【点睛】本题主要考查二次根式的性质,算术平方根,立方根的定义,绝对值的性质,解决本题 的关键是要熟练掌握二次根式的性质,算术平方根,立方根的定义,绝对值的性质 20．阅读材料：像（ + ）（ ）＝3， • ＝（≥0），（ +1）（ ﹣ 1）＝b 1 ﹣（b≥0），……，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称 这两个代数式互为有理化因式例如： 与 ， +1 与 ﹣1，2 +3 与2 3 ﹣ 等都是互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根 号． 例如： ； ； 解答下列问题： （1）3﹣ 与 互为有理化因式，将 分母有理化得 ． （2）计算：2﹣ ； （3）观察下面的变形规律并解决问题． ① ＝ ﹣1， ＝ ， ＝ ，…，若为正整数，请你猜 想： ＝ ． ②计算：（ + + +…+ ）×（ +1）． 【答】（1）3+ ， ；（2）2﹣ ；（3）① ﹣ ；②2019． 【分析】（1）根据互为有理化因式的式子特征即可写出3﹣ 的有理化因式，将 分 子、分母同时乘 即可； （2）将该式分母有理化，然后化简即可； （3）①根据规律即可求出； ②根据以上规律化简并求值即可 【详解】解：（1）3﹣ 与3+ 互为有理化因式，将 分母有理化得 ； （2）原式＝2﹣ 2 ﹣ ＝2﹣ ； （3）① ＝ ﹣ ； ②原式＝（ ﹣1+ +…+ ）（ +1） ＝（ ﹣1）（ +1） ＝2020 1 ﹣ ＝2019． 【点睛】此题考查的是二次根式的混合运算，掌握分母有理化因式的定义和将分母有理化 是解决此题的关键 21．计算 （1） （2） （3） （4） （运用乘法公式简便计算） 【答】（1） ；（2） ；（3） ；（4）1 【分析】（1）利用单项式除以单项式，幂的乘方与积的乘方计算，再合并同类项； （2）利用多项式乘以多项式，平方差公式计算，再合并同类项； （3）分别计算各数，再作加减法； （4）先变形为 ，再利用平方差公式计算即可． 【详解】解：（1） = = = ； （2） = = ； （3） = = ； （4） = = =1 【点睛】此题考查了整式的混合运算，实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关 键． 22．已知，b 为正实数，试比较 + 与 + 的大小 【答】 + ≥ + 【分析】化简（b+b ）-（+b）为(+b)(−b)2b，再由、b 为正实数可得(+b)(−b)2b≥0，从而得出 结论． 【详解】解：作差，得： （ + ）﹣（ + ） =（ ﹣ ）+（ ﹣ ） = + = = ∵、b 为正实数 ∴ ≥0 ∴ + ≥ + 【点睛】本题考查的知识点是不等式比大小，解题关键是利用作差法求解 23．（1）比较大小：① ______ ；② ______ ；③ ______ ． （填“＞”、“＜”或“=”） （2）观察上面的式子，请猜想 与 的大小关系，并说明理由．（其中 ， ） 【答】（1）① ；② ；③ ；（2） ，理由见解析 【分析】（1）根据二次根式的乘法法则、算术平方根解决此题． （2）根据完全平方公式、算术平方根、偶次方的非负性解决此题． 【详解】解：（1）① ， ， ． 故答为： ． ② ， ， ． 故答为： ． ③ ， ， ． 故答为： ． （2） ，理由如下： ， ． 【点睛】本题主要考查二次根式的乘法、算术平方根、完全平方公式、偶次方的非负性， 熟练掌握二次根式的乘法法则、算术平方根、完全平方公式、偶次方的非负性是解决本题 的关键． 24．在数学课外学习活动中，嘉琪遇到一道题：已知 ，求22 8+1 ﹣ 的值．他是这 样解答的： ∵ ， ∴ ． ∴（﹣2）2＝3，即2 4+4 ﹣ ＝3． ∴2 4 ﹣＝﹣1． 2 ∴ 2 8+1 ﹣ ＝2（2 4 ﹣）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据嘉琪的解题过程，解决如下问题： （1）试化简 和 ； （2）化简 ； （3）若 ，求42 8+1 ﹣ 的值． 【答】（1） ， ；（2） ；（3）5 【分析】（1）利用分母有理化计算； （2）先分母有理化，然后合并即可； （3）先将的值化简为 ，进而可得到 ，两边平方得到 ，然后 利用整体代入的方法计算． 【详解】解：（1） 故答为： ， ； （2）原式 ； （3） ， ， ， 即 ． ． ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求 值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减 运算区分，避免互相干扰． 25．阅读材料：求值： ， 解答：设 ， 将等式两边同时乘2 得： ， 将 得： ，即 ． 请你类比此方法计算： ． 其中为正整数 【答】（1） ；（2） ． 【分析】 设 ，两边乘以2 后得到关系式，与已知等式相减， 变形即可求出所求式子的值； 同理即可得到所求式子的值． 【详解】解： 设 ， 将等式两边同时乘2 得： ， 将下式减去上式得： ，即 ， 则 ； 设 ， 两边同时乘3 得： ， 得： ，即 ， 则 ． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解题的关键是明确题意， 运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题． 26．材料一：对于一个四位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同，它的千位数字与 个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，那么称这个数为“和好数”．若和好数 （ ， ， ， 且、b、、d 均为整数），规定将p 的 十位数字与百位数字之差的3 倍记为 ，即 ． 材料二：若一个数等于另一个整数Z 的平方，则称这个数为完全平方数． (1)请判断3264，5342 是否是“和好数”，并说明理由；如果是，请计算 的值； (2)若正整数s，t 都是“和好数”，其中 ， ，（ ， ， ， ，且m、、x、y 都是整数），当 的 值是一个完全平方数时，求满足条件的所有正整数s 的值． 【答】(1)5342 是“和好数”，理由见详解；3 (2)4567 【分析】（1）依据“和好数”的定义和G(p)的定义即可判断求解； （2）首先确定s、t 的千位数、被位数、十位数和个位数，再依据“和好数”的定义找到 和 ，再根据相应的取值范围，确定符合条件的数组(m,)和(x,y)，依据G(p)的 定义得到 ，再确定其取值范围，最后根据 是完全平方数即可求出符合条件的数组(m,x)，即可求出满足条 件的s． 【详解】（1）∵3+4≠6+2，∴3264 不是“和好数”， 5+2=3+4 ∵ ，∴5342 是“和好数”，∴G(5342)=3(4-3)=3； （2）∵ ，且 ， ， ∴s 的千位数是，百位数是5，十位数是m+1，个位数是7， 又∵s 是“和好数”，∴ ，即 ， 根据整数m、的取值范围可知满足条件的数组(m,)有：(2,1)、(3,2)、(4,3)、(5,4)、(6,5)、 (7,6)、(8,7)，则m 可以取的数为：2、3、4、5、6、7、8， ∴ ， ∵ ，且 ， ，∴t 的千位数是3，个位数是2y， ∵ ， ∴t 的百位数是4，十位数是x-1， 又∵t 是“和好数”，∴ ，即 ， 根据整数x、y 的取值范围可知满足条件的数组(x,y)有：(2,1)、(4,2)、(6,3)、(8,4)， 则x 可以取的数为：2、4、6、8， ∴ ∵ ， 由m、x 的取值，可知 最大可以为30， ∵ 是一个完全平方数， 则 可以为30 以内能被3 整除的完全平方数， 即有： 为只能为9，即： ，得：m+2x=17， ∴根据整数m、x 的取值范围可知满足条件的数组(m,x)只有：(5,6)， ∴m=5，x=6，∴=4，y=3， ∴ ． 【点睛】本题主要是考查了二元方程的正整数解，理解“和好数”的定义和G(p)的定义是 解题的基础，利用题中正整数、完全平方数的限制条件最终确定m、、x、y 的值是解题的 关键．