第四章 一次函数压轴题考点训练（解析版）

第四章一次函数压轴题考点训练 评卷人 得分 一、单选题 1．如图，一次函数 与 的图象相交于点 ，则函数 的图象可 能是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据y1,y2的图象判断出k、b 的符号以及k+b 的值，然后根据k-1、b 的符号判断出 所求函数图象经过的象限即可． 【详解】解：根据y1,y2的图象可知，k＜0，b＞0，且当x=1 时，y2=0，即k+b=0 ∴对于函数 ，有b＞0， 当x=1 时，y=k-1+b=0-1=-1＜0∴符合条件的是选项 故选： 【点睛】本题主要考查的是一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的 关键． 2．在Rt B △中，D 为斜边B 的中点，∠B=60°，B=2m，动点E 从点出发沿B 向点B 运动，动 点F 从点D 出发，沿折线D B ﹣﹣运动，两点的速度均为1m/s，到达终点均停止运动，设E 的长为x，△EF 的面积为y，则y 与x 的图象大致为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据题意找到临界点，E、F 分别同时到达D、，画出一般图形利用锐角三角函数 表示y 即可． 【详解】在Rt△B 中，D 为斜边B 的中点，∠B＝60°，B＝2m， D ∴＝D＝DB＝2，∠DB＝60°， EF ∵ 两点的速度均为1m/s， ∴当0≤x≤2 时，y＝ •DE•DF•s DB ∠ ＝ x2， 当2≤x≤4 时，y＝ •E•BF•s B ∠＝− x2＋ x， 由图象可知正确， 故选． 【点睛】本题为动点问题可函数图象探究题，考查了二次函数图象和锐角三角函数函数的 应用，解答关键是分析动点到达临界点前后图形的变化． 3．已知动点以每秒x 厘米的速度沿图1 的边框（边框拐角处都互相垂直）按从﹣B﹣﹣D ﹣E﹣F 的路径匀速运动，相应的 的面积S（m2）关于时间t（s）的关系图象如图 2，已知 ，则下列说法正确的有几个（ ） ①动点的速度是2m/s； ②B 的长度为3m； ③当点到达D 点时 的面积是8m2； ④b 的值为14； ⑤在运动过程中，当 的面积是30m2时， 点的运动时间是375s 和925s． ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．5 个 【答】B 【分析】先根据点的运动，得出当点在不同边上时△F 的面积变化，并对应图2 得出相关边 的边长，最后经过计算判断各个说法． 【详解】解：当点在B 上时，如图所示， =xt （m）， S△F= ×F×=4xt（m2）， 此时三角形面积随着时间增大而逐渐增大， 当点在B 上时，如图所示，P 是△F 的高，且P=B， ∴S△F= ×F×B，此时三角形面积不变， 当点在D 上时，如图所示，P 是△F 的高，，D，P 三点共线， S△F= ×F×P，点从点点D 运动，P 逐渐减小，故三角形面积不断减小， 当点在DE 上时，如图所示，P 是△F 的高，且P=EF， S△F= ×F×EF，此时三角形面积不变， 当点在EF 时，如图所示， S△F= ×F×F，点从点E 向点F 运动，F 逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零， 对照图2 可得0≤t≤5 时，点在B 上， S△F=4xt=4•5x=40（m2）， ∴x=2，B=2×5=10（m）， ∴动点的速度是2m/s， 故①正确， 5≤t≤8 时，点在B 上，此时三角形面积不变， ∴动点由点B 运动到点共用时8-5=3（s）， ∴B=2×3=6（m）， 故②错误， 8≤t≤12 时，当点在D 上，三角形面积逐渐减小， ∴动点由点运动到点D 共用时12-8=4（s）， ∴D=2×4=8（m）， ∴EF=B-D=10-8=2（m）， 在D 点时，△F 的高与EF 相等，即P=EF， ∴S△F= ×F×EF= ×8×2=8（m2）， 故③正确， 12≤t≤b，点在DE 上，DE=F-B=8-6=2（m）， ∴动点由点D 运动到点E 共用时2÷2=1（s）， ∴b=12+1=13， 故④错误． 当△F 的面积是30m2时，点在B 上或D 上， 点在B 上时，S△F=4xt=8t=30（m2）， 解得t=375（s）， 点在D 上时， S△F= ×F×P= ×8×P=30（m2）， 解得P=75（m）， = ∴B-P=10-75=25（m）， ∴从点运动到点共用时25÷2=125（s）， 由点到点共用时8s， ∴此时共用时8+125=925（s）， 故⑤正确． 故正确的有①③⑤，共计③个， 故选：B． 【点睛】本题是动点函数的图象问题．考查了三角形的面积公式，函数图象的性质，理解 函数图象上的点表示的意义，是解决本题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知（5，0）点P 为线段上任意一点．在直线y＝ x 上 取点E，使P＝PE，延长PE 到点F，使P＝PF，分别取E、F 中点M、，连结M，则M 的 最小值是（ ） ．25 B．24 ．28 D．3 【答】B 【分析】如图，连接PM，P，设F 交EM 于，连接P．证明四边形PM 是矩形，推出M=P， 求出P 的最小值即可解决问题． 【详解】解：如图，连接PM，P，设F 交EM 于，连接P． P=PE ∵ ，M=ME， PM E ∴ ⊥，∠PM= EPM ∠ ， PF=P ∵ ，F=， P F ∴⊥，∠P= FP ∠ ， MP= EPM+ FP= ∴∠ ∠ ∠ （∠PF+ FP ∠ ）=90°，∠PM= P=90° ∠ ， ∴四边形PM 是矩形， M=P ∴ ， ∴当P⊥时，P 的值最小此时M 的值最小， F M ∵⊥ ，（5，0），直线M 的解析式为y= x ∴设直线F 的解析式为y= x+b ∵直线F 过（5，0）， ∴ =0， b= ∴ ， y= ∴ ， 由 ，解得 ∴ P ∴的最小值为 =24 即M 的最小值为24 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的应用，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键 是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题． 5．如图，已知直线 ，过点 作 轴的垂线交直线于点 过点 作直线的 垂线交 轴于点 ；过点 作 轴的垂线交直线于点 ，过点 作直线的垂线交 轴于 点 ；······，按此作法继续下去，则点 的坐标为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】先根据所给一次函数判断出直线与 轴夹角是30°，在含有30°角的直角三角形中 依次得到线段长度，表示出、1、2…及B、B1、B2…的坐标，找到规律后求出2020的坐标，再 根据2020的坐标与B2020的纵坐标相同即可得出结论． 【详解】解：∵直线l 的解析式为： ， ∴直线l 与x 轴的夹角为30°， ∵B∥x 轴， ∴∠B＝30°， ∵＝1， ∴B＝ ， ∵1B⊥l， ∴∠B1＝60°， ∴1＝3， ∴1（0，4），B1（ ，4）， 同理可得B2（ ，16）， … ∴2020纵坐标为： ， ∴2020（0， ）， ∴B2020（ ， ）， 故选． 【点睛】本题考查了一次函数的综合题应用，从可求得的坐标中寻找规律，得出结论，解 决本题的关键是判断出直线与 轴的夹角． 6．如图，已知点（1，-1），B（2，3），点P 为x 轴上一点，当|P-PB|的值最大时，点P 的坐标为（ ） ．（-1，0） B．（ ，0） ．（ ，0） D．（1，0） 【答】B 【分析】由题意作关于x 轴对称点，连接B 并延长，B 的延长线与x 轴的交点即为所求的P 点；首先利用待定系数法即可求得直线B 的解析式，继而求得点P 的坐标． 【详解】解：作关于x 轴对称点，连接B 并延长交x 轴于点P， ∵（1，-1）， ∴的坐标为（1， 1）， 连接B，设直线B 的解析式为：y=kx+b， ∴ ,解得 ， ∴直线B 的解析式为：y=2x-1， 当y=0 时，x= ， ∴点P 的坐标为：（ ，0）， ∵当B，，P 不共线时，根据三角形三边的关系可得：|P-PB|=|P-PB|＜B， ∴此时|P-PB|=|P-PB|=B 取得最大值． 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称、待定系数法求一次函数的解析式以及点与一次函数的关系．此 题难度较大，解题的关键是找到P 点，注意数形结合思想与方程思想的应用． 7．如图，已知点 是第一象限内横坐标为2 的一个定点， 轴于点 ，交直线 于点 ，若点 是线段 上的一个动点， ， ，点 在线段 上运动时， 点不变， 点随之运动，当点 从点 运动到点 时，则点 运动的路径 长是（ ） ． B． ．2 D． 【答】D 【分析】根据题意利用相似三角形可以证明线段 就是点 运动的路径（或轨迹），又 利用 ∽ 求出线段 的长度，即点B 运动的路径长． 【详解】解：由题意可知， ，点 在直线 上， 轴于点 ， 则 为顶角30 度直角三角形， 如下图所示，设动点 在 点（起点）时，点 的位置为 ，动点 在 点（终点）时， 点 的位置为 ，连接 ， ∵ ， ∴ 又∵ ， ∴ （此处也可用30°角的 ） ∴ ∽ ，且相似比为 ， ∴ 现在来证明线段 就是点 运动的路径（或轨迹） 如图所示，当点 运动至 上的任一点时，设其对应的点 为 ，连接 ， ， ∵ ， ∴ 又∵ ， ∴ ∴ ∽ ∴ 又∵ ∽ ∴ ∴ ∴点 在线段 上，即线段 就是点 运动的路径（或轨迹） 综上所述，点 运动的路径（或轨迹）是线段 ，其长度为 故选： 【点睛】本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大．本题的要点有 两个：首先，确定点B 的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分 析问题的能力；其次，由相似关系求出点B 运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷 入坐标关系的复杂运算之中 评卷人 得分 二、填空题 8．如图，矩形 中，点 、 、 坐标分别为 ， ， ，直线 与 矩形 的边相交，则 的取值范围是 ． 【答】 【分析】根据矩形的性质求得点 的坐标，根据图像得到直线 与矩形 的边 相交，则交点在线段 之间，代入求解即可． 【详解】解：矩形 中，点 、 、 坐标分别为 ， ， 根据矩形的性质可得： 根据图像得到直线 与矩形 的边相交，则交点在线段 之间 将点 代入得： ，解得 将点 代入得： ，解得 由此可得 故答为 【点睛】此题考查了一次函数与几何图形的应用，涉及了矩形的性质，解题的关键是结合 函数图像确定直线与矩形 的边相交时所满足的条件． 9．如图，（1，0），B（0，1），若 是一个三角形台球桌，从点击出的球经过、D 两处反弹正好落在洞，则的坐标是 ． 【答】（ ， ） 【分析】根据、B 两点求得 所在直线的解析式为 ，作点 关于直线 的对称 点 ，求出 、、D 所在直线的解析式为： ，得到（ ， ），作点 关于 轴的对称点 ，求出 、D、所在直线的解析式为： ，得到 ，即 可求出点坐标． 【详解】解：设 所在直线的解析式为 , ∵（1，0），B（0，1）， ∴ ，解得： ， ∴ 所在直线的解析式为 ， 作点 关于直线 的对称点 （ ， ）交直线B 于点E，过 轴， 由勾股定理得： ∵ ， ∴ ∴ ∵ ,即 ① ∵ 中点坐标为（ ， ）在直线 上， ∴ ②， 联立①②解得： ，即 坐标为（1，1）， 设点D（0， ），点 、、D 在同一条线上，设该直线解析式 ∵点 （1，1）、D（0， ）在直线 上， ∴ ，解得： ， ∴ 、、D 所在直线的解析式为： ， 联立方程： ，解得 ， 即点（ ， ）， 作点 关于 轴的对称点 ，则 （ ， ）， 点 、D、在同一条线上，设该直线解析式 ， ∵点（1，0）、D（0， ）在直线 上， ∴ ，解得： ， ∴ 、D、所在直线的解析式为： ， 把 坐标代入 ，解得： ， 此时点（ ， ）， 故答为（ ， ）． 【点睛】本题考查了一次函数解析式、对称点坐标，根据交点坐标求解析式，巧妙利用对 称点是解题关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，点 ，B 的坐标分别为 ， ，直线的函数表达 式为 ．若线段 与直线没有交点，则 的取值范围是 ． 【答】 或 或 【分析】分别利用当直线 过点 时，k 值最小，当直线 过点 时，k 值最大，即可求出线段 与直线有交点时，k 的 取值范围，据此即可求解． 【详解】解：当直线 过点 时，k 值最小， 则 ，解得 ， 当直线 过点 时，k 值最大， 则 ，解得 ， 故线段 与直线有交点时，k 的取值范围为 ， 故线段 与直线没有交点时，k 的取值范围为 或 或 ， 故答为： 或 或 ． 【点睛】本题考查了直线相交或平行问题，熟练掌握直线相交或平行问题的特点是解题的 关键． 11．已知平面直角坐标系中、 B 两点坐标如图，若PQ 是一条在x 轴上活动的线段，且 PQ=1，求当BP+PQ+Q 最小时，点Q 的坐标 ． 【答】（ ，0） 【分析】如图把点 向右平移1 个单位得到 ，作点 关于 轴的对称点 ，连 接 ， 与 轴的交点即为点 ，此时 的值最小，求出直线 的解析式， 即可解决问题． 【详解】如图把点 向右平移1 个单位得到 ，作点 关于 轴的对称点 ，连 接 ， 与 轴的交点即为点 ，此时 的值最小． 设最小 的解析式为 ，则有 ，解得 ， 直线 的解析式为 ， 令 ，得到 ， ． 故答为 ． 【点睛】本题考查轴对称最短问题、坐标与图形的性质、一次函数的应用等知识，解题的 关键是学会利用对称解决最短问题，学会构建一次函数解决交点问题，属于中考常考题型． 12．在平面直角坐标系中，已知 、 ， 为一次函数 的图像上一点， 且 ，则点 的坐标为 【答】 【分析】根据 ，把线段B 绕点B 逆时针旋转90°，构造等腰直角三角形，再通过 构造全等三角形，求出点的坐标，进而求出线段B 的中点坐标，即可得到直线BP 的解析式， 根据点P 是直线BP 和直线 的交点，即可得到答． 【详解】如图所示：把线段B 绕点B 逆时针旋转90°得到线段B，过点作D y 轴，过点作E y 轴，过点B 作DE x 轴，分别交D，E 于点D，E， BD+ BD= BD+ BE=90° ∵∠ ∠ ∠ ∠ ， BD= BE ∴∠ ∠ ， 又∵∠D= E=90° ∠ ，B=B， ∴∆BD≅∆BE（S）， BD=E ∴ ，D=BE， ∵ ， ， BD=E=4 ∴ ，D=BE=8， ∴点的坐标是：(-5，-4)． 由旋转的性质，可知：∆B 是等腰直角三角形，令线段和线段BP 交于点M， BP= BP=45° ∵∠ ∠ ， ∴点M 是选段的中点， ∴点M 的坐标是：(1，-2)， 设直线BP 的解析式为：y=kx+b， ∴ ，解得： ， ∴直线BP 的解析式为：y=-3x+1， 联立 ，解得： ， ∴点P 的坐标是： ． 故答是： ． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质和两直线交点坐标的求法，通过旋转变换， 添加辅助线，构造等腰直角三角形和全等三角形，是解题的关键． 评卷人 得分 三、解答题 13．城有某种农机30 台，B 城有该农机40 台．现要将这些农机全部运往、D 两乡，调运 任务承包给某运输公司．已知乡需要农机34 台，D 乡需要农机36 台，从城往、D 两乡运 送农机的费用分别为250 元/台和200 元/台，从B 城往、D 两乡运送农机的费用分别为150 元/台和240 元/台 （1）设城运往乡该农机x 台，运送全部农机的总费用为元，求关于x 的函数关系式，并直 接写出自变量x 的取值范围； （2）现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于16460 元，则有多少种不同的调运方？ 将这些方设计出来； （3）现该运输公司决定对城运往乡的农机，从运输费中每台减免元（100＜＜250）作为优 惠，其他费用不变．在（2）的条件下，若总费用最小值为10740 元，直接写出的值． 【答】（1）关于x 的函数关系式为＝140x+12540，自变量x 的取值范围为0≤x≤30；（2） 有三种调运方：①城运往乡28 台，运往D 乡2 台；B 城运往乡6 台，运往D 乡34 台；② 城运往乡29 台，运往D 乡1 台；B 城运往乡5 台，运往D 乡35 台；③城运往乡30 台，运 往D 乡0 台；B 城运往乡4 台，运往D 乡36 台；（3）的值为200 元． 【分析】（1）设城运往乡x 台农机，可以表示出运往其它地方的台数，根据调运单价和调 运数量可以表示总费用； （2）列出不等式组确定自变量x 的取值范围，在x 的正整数解的个数确定调运方，并分别 设计出来； （3）根据城运往乡的农机降价元其它不变，可以得出另一个总费用与x 的关系式，根据函 数的增减性，确定当x 为何值时费用最小，从而求出此时的的值． 【详解】解：（1）设城运往乡x 台农机，则城运往D 乡（30﹣x）台农机，B 城运往乡 （34﹣x）台农机，B 城运往D 乡（6+x）台农机，由题意得： ＝250x+200（30﹣x）+150（34﹣x）+240（6+x）＝140x+12540， ∵x≥0 且30﹣x≥0 且34﹣x≥0， 0≤ ∴ x≤30， 答：关于x 的函数关系式为＝140x+12540，自变量x 的取值范围为0≤x≤30． （2）由题意得： ，解得：28≤x≤30， ∵x 为整数， ∴x＝28 或x＝29 或x＝30， 因此有三种调运方， 即：①城运往乡28 台，运往D 乡2 台；B 城运往乡6 台，运往D 乡34 台； ②城运往乡29 台，运往D 乡1 台；B 城运往乡5 台，运往D 乡35 台； ③城运往乡30 台，运往D 乡0 台；B 城运往乡4 台，运往D 乡36 台； （3）由题意得： ＝（250﹣）x+200（30﹣x）+150（34﹣x）+240（6+x）＝（140﹣）x+12540， ∵总费用最小值为10740 元， 140 ∴ ﹣＜0 ∴随x 的增大而减小， 又∵28≤x≤30， ∴当x＝30 时，最小，即：（140﹣）×30+12540＝10740， 解得：＝200 答：的值为200 元． 【点睛】考查一次函数的性质、一元一次不等式组等知识，准确理解题意，熟练掌握一次 函数的增减性、弄清调运的台数是解决问题的关键． 14．有 、 、 三家工厂依次坐落在一条笔直的公路边，甲、乙两辆运货卡车分别从 、 工厂同时出发，沿公路匀速驶向 工厂，最终到达 工厂，设甲、乙两辆卡车行驶 后，与 工厂的距离分别为 、 （ ）． 、 与 函数关系如图所示，根据图象解 答下列问题．（提示：图中较粗的折线表示的是 与 的函数关系．） （1） 、 两家工厂之间的距离为__________ ， __________， 点坐标是_______ ___． （2）求甲、乙两车之间的距离不超过 时， 的取值范围． 【答】（1）见解析；（2） 或 ． 【分析】（1）