第四章 基本平面图形压轴题考点训练（解析版）

第四章 基本平面图形压轴题考点训练 评卷人 得分 一、单选题 1．如图， ， 是线段 上两点， ， 分别是线段 ， 的中点，下列结论：① 若 ，则 ②若 ，则 ③ ④ 其中正确的结论是（ ） ．① ② ③ B． ③ ④ ．① ② ④ D． ① ② ③ ④ 【答】D 【分析】根据线段中点的定义与线段的和差结合图形进行分析． 【详解】解：∵ ， 分别是线段 ， 的中点， ∴ ， ， 如图 ①若 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，故①正确； ②若 ， ∴ ， ∵M、分别是线段 ， 的中点， ∴ ， ， ∴ ，故②正确； ∵ ， ∴ ，故③正确； ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 故④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了两点间的距离，线段的和差，能够利用中点的性质求解一些线段之间 的关系是解题的关键． 2．已知点在线段 上， ，点D，E 在线段 上，点D 在点E 的左侧．若 ，线段 在线段 上移动，且满足关系式 ，则 的值为 （ ） ．5 B． ． 或 D． 【答】B 【分析】设 ，则 ，求得 ，设 ，当点E 在线段 之间 时，得到 ，求得 ，进而即可求出 ；当点E 在线段 之 间时，同理可求出与条件不符，故舍去； 【详解】设 ，则 ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 设 ， 当点E 在线段 之间时，如图， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 当点E 在线段 之间时，如图， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， 解得： ，不符合题意，舍； 综上可得 ． 故选B． 【点睛】本题主要考查两点间的距离及线段的和与差．解答的关系是分类讨论点E 的位置． 3．观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字，如图所示∶两条直线相交，三条直线相交， 四条直线相交，最多有一个交点，最多有三个交点；最多有6 个交点，像这样，10 条直线 相交，最多交点的个数是( ) ．40 个 B．45 个 ．50 个 D．55 个 【答】B 【详解】解∶第四条直线最多和前三条直线都相交而增加3 个交点， 第五条直线最多和前四条直线都相交而增加4 个交点…… 第十条直线最多和前9 条直线都相交而增加9 个交点， 所以10 条直线相交、最多交点的个数为∶1+2+3+……+9=45． 故选∶B 【点睛】本题考查了直线、射线、线段． 结合图形，找规律解答． 4．已知，点在直线 B 上，  ， Bb ，且 ≠b ，点 M 是线段 B 的中点，则线段 M 的长为 （ ） ． B． ． 或 D． 或 【答】D 【分析】由于点B 的位置以及、b 的大小没有确定，故应分四种情况进行讨论，即可得到 答． 【详解】由于点B 的位置不能确定，故应分四种情况讨论： ①当＞b 且点在线段B 上时，如图1． = ∵，B=b，∴B=+B=+b． ∵点M 是B 的中点，∴M B= ， ∴M=﹣M= = ． ②当＞b 且点在线段B 的延长线上时，如图2． = ∵，B=b，∴B=-B=-b． ∵点M 是B 的中点，∴M B= ， ∴M=﹣M= = ． ③当＜b 且点在线段B 上时，如图3． = ∵，B=b，∴B=+B=+b． ∵点M 是B 的中点，∴M B= ， ∴M=M = ﹣ = ． ④当＜b 且点在线段B 的方向延长线上时，如图4． = ∵，B=b，∴B=B-=b-． ∵点M 是B 的中点，∴M B= ， ∴M=+M= = ． 综上所述：M 的长为 或 （＞b）或 （＜b），即M 的长为 或 ． 故选D． 【点睛】本题考查了中点的定义，线段之间的和差关系，两点间的距离，掌握线段间的和 差关系与分类讨论的数学思想是解题的关键． 5．钟表上8 点30 分时，时针与分针的夹角为（ ） ．15° B．30° ．75° D．60° 【答】 【分析】钟表上共有12 个大格，每一个大格的度数是 ，再根据8 点30 分时 时针从8 开始走了一大格的 大格，分针指向6，时针与分针夹角为 大格， 计算出角度即可 【详解】钟表上共有12 个大格，每一个大格的度数是 ，8 点30 分时时针与 分针的夹角是 大格，则夹角度数为 ， 故选： 【点睛】此题考查钟面上角度计算，掌握钟面上每个大格的度数及时针与分针在某个时间 的位置是解题的关键 评卷人 得分 二、填空题 6．若∠B＝100°，∠BD＝60°，∠＝70°时，则∠D＝ °（自己画图并计算） 【答】30°或90°或 110°或 130． 【分析】分四种情况讨论图形的位置，然后根据∠B=100°，∠=70°，∠BD=60°，即可求解． 【详解】解：如图①∵∠B=100°，∠BD=60°，∠=70°， D= B+ BD= B + BD=100° 70°+60°=90° ∴∠ ∠ ∠ ∠ ∠∠ ﹣ ﹣ ； 如图②∠D=360° B BD =360° 100° 60° 70°=130° ﹣∠﹣∠ ﹣∠ ﹣ ﹣ ﹣ ； 如图③∠D= D+ = B BD+ =100° 60°+70°=110° ∠ ∠∠﹣∠ ∠ ﹣ ； 如图④，∠D= + BD B=70°+60° 100°=30° ∠∠ ﹣∠ ﹣ ； 故答为30°或90°或 110°或 130． 【点睛】本题考查角的计算，关键是分类讨论 7．已知∠B＝80°，射线在∠B 内部，且∠＝20°，∠D＝50°，射线E、F 分别平分∠B、∠D， 则∠EF 的度数是 ． 【答】 或 【分析】先根据题意画出图形，再分D 在 内和D 在 外，根据角的和差关系、 角平分线的定义可求 的度数． 【详解】（1）如图1，D 在 内， ， , ， 射线E 平分 ， ， 射线F 平分 ， ， ， ； （2）如图2，D 在 外， ， , ， 射线E 平分 ， ， 射线F 平分 ， ， ， 则 的度数是 或 故答为： 或 【点睛】本题考查了角的和差关系、角平分线的定义， D 在 外的情形易被忽略，从 而出现漏解是本题的难点． 8．如图，一条数轴上有点 ，其中点 表示的数分别是 、，现在以点 为折 点将数轴向右对折，若点 落在射线 上，且 ，则 点表示的数是 ． 【答】 或 【分析】根据题意，点 分两种情况：①在 右侧；②在 左侧，作图求解即可得到答． 【详解】解：分两种情况： ①如图所示： 点 表示的数分别是 、， ， 以点 为折点将数轴向右对折，若点 落在射线 上，且 ， ， ， 点表示的数是 ； ②如图所示： 点 表示的数分别是 、， ， 以点 为折点将数轴向右对折，若点 落在射线 上，且 ， ， ， 点表示的数是 ； 综上所述， 点表示的数是 或 ． 【点睛】本题考查数轴上点表示的数，涉及两点间距离，读懂题意，分类讨论，准确边上 线段和差倍分关系是解决问题的关键． 9．如图，线段 表示一条已对折的绳子，现从 点处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中 最长的一段为 ，若 ，则原来绳长 ． 【答】 或 【详解】解：∵ ，∴ ， ． ∵ 是已对折的一条绳子，对折点不确定， ∴分两种情况： ①当折点为 时，最长的一段长为 ，∴BP=15， ∴ ，∴绳长为 ． ②当折点为 时，最长的一段长为 ， ∴ ，∴ ， ∴绳长为 ． 故答为50 或75 10．如果两个角的两条边分别垂直，而其中一个角比另一个角的4 倍少60°，则这两个角的 度数分别为 ． 【答】48°、132°或20°、20° 【分析】根据题意画出符合题意的图形，分两种情况得到两个角的数量关系求出角度 【详解】如图，α+β=180°，β=4α-60°， 解得α=48°，β=132°； 如图，α=β，β=4α-60°， 解得α=β=20°； 综上所述，这两个角的度数分别为48°、132°或20°、20°． 故答为：48°、132°或20°、20°． 【点睛】此题考查角度的计算，正确理解两条边分别垂直的两个角的数量关系是解题的关 键 11．已知线段 和线段 在同一直线上，线段 （在左，B 在右）的长为，长度小于 的线段 （D 在左，在右）在直线 上移动，M 为 的中点，为 的中点，线段 的长为b，则线段 的长为 （用，b 的式子表示）． 【答】 / 【分析】根据题意画出图形，分情况讨论，再利用线段和差分别表示线段 的长度即可． 【详解】解：∵M 为 的中点，为 的中点， ∴ ， ． ∵线段 和线段 在同一直线上， 线段 （在左，B 在右）的长为， 长度小于 的线段 （D 在左，在右）在直线 上移动， ∴分以下5 种情况说明： ①当 在 左侧时，如图1， 即 ， ， ， ； ②当点D 与点重合时，如图2， 即 ， ； ③当 在 内部时，如图3， 即 ， ； ④当点在点B 右侧时， 同理可得： ； ⑤当 在 右侧时， 同理可得： ； 综上所述：线段 的长为 ． 故答为： ． 【点睛】本题考查线段的和差，根据题意画出对应情况的图形是解题的关键，注意分类讨 论思想的运用． 评卷人 得分 三、解答题 12．如图，线段B＝20 厘米，点以每秒钟2 厘米的速度从点匀速运动到点B，当点与点B 重合时运动停止．点M 为线段中点，点为线段B 中点．设运动时间为t（t≠0）秒． （1）当点与点B 重合时，t＝ 秒； （2）在运动过程中，M 的长度是否与t 的取值有关？若有关，请用含有t 的代数式表示线 段M 的长；若无关，请利用代数式的相关知识说明理由． （3）在点开始运动的同时，点P 以每秒钟4 厘米的速度从点B 出发，在点B 和点M 之间 做往返运动，当点停止运动时，点P 也停止运动． ①当点P 与点M 重合时，求线段的长． ②在运动时间t 从第4 秒开始到停止运动的过程中，请直接写出当PM＝3P 时的t 值． 【答】（1）10；（2）与t 的取值无关，理由见解析；（3）①6 厘米；② 秒或8 秒 【分析】（1）当点与点B 重合时，此时点运动了20 厘米，根据时间=路程÷速度，即可求 得运动的时间； （2）M 的长度与t 的取值无关，根据中点的意义及线段的和差关系即可求得M 的长； （3）①考虑首次重合时，由M+BP=20，建立方程即可求得t 的值，从而可求得的长；再考 虑有无再次重合的可能，当点P 首次回到起点时，点M 与点离点B 的距离，即可判断能否 再次重合； ②分两种情况：点P 位于点的左侧和点P 位于点的右侧；当点P 位于点左侧时，则有 ，由此关系式建立方程即可，当点P 位于点右侧时，则有 ，由此 关系式建立方程即可． 【详解】（1）当点与点B 重合时，此时点运动了20 厘米，则运动时间为20÷2=10（秒） 故答为：10 （2）M 的长度与t 的取值无关；理由如下： ∵M、分别是、B 的中点 ∴ ， + ∵B=20 ∴ 即M 的长度与t 的取值无关 （3）①当点P 与点M 首次重合时，如图 则M+BP=20 由题意：=2t 厘米，则M=t 厘米，BP=4t 厘米 ∴t+4t=20 解得：t=4 此时=2×4=8(厘米)，B=20−8=12(厘米) ∴ 点P 与点M 没有第二次重合的可能 点P 与点M 首次重合时，BP=16 厘米，点P 要再运动16÷4=4 秒才能回到B 点，也就是说 点P 回到起点共花费8 秒，此时点M 从起点运动了8 厘米，则点运动了16 厘米，点距离终 点B 只有4 厘米，只要2 秒即可到达终点，而点P 从点B 这时只能运动8 厘米，点M 只能 运动2 厘米；当点P 与点M 运动了8 秒时，M 点与B 点相距20−8=12（厘米），但 8+2<12，即点P 与点M 不可能有第二次重合； 故当点P 与点M 重合时，=6 厘米； ②由题意，运动4 秒后，点M 运动了(t−4)厘米，点P 运动了4(t−4)厘米 则PM=4(t−4)−(t-4)=(3t−12)厘米 当点P 位于点左侧时，如图所示 ∵PM=3P 则 ∵ 故得方程： 解得： 当点P 位于点右侧时，如图所示 ∵PM=3P 则 则 解得：t=8 综上所述，当t 为 秒或8 秒时，PM=3P 【点睛】本题是线段上动点问题，考查了中点的含义，线段的和差关系，解一元一次方程， 分类讨论思想，有一定难度，要善于抓住问题的本质，如（2）问中重合本质是行程问题中 的相遇问题；另外注意(2)小题中要考虑是否有第二次重合的可能． 13．已知点在线段B 上，＝2B，点D，E 在直线B 上，点D 在点E 的左侧． （1）若B＝15，DE＝6，线段DE 在线段B 上移动． ①如图1，当E 为B 中点时，求D 的长； ②点F（异于，B，点）在线段B 上，F＝3D，F＝3，求D 的长； （2）若B＝2DE，线段DE 在直线B 上移动，且满足关系式 ＝ ，求 的值． 【答】（1）①D 的长为65；②D 的长为 或 ；（2） 的值为 或 【分析】（1）根据已知条件得到B＝5，＝10， ①由线段中点的定义得到E＝25，求得D＝35，由线段的和差得到D＝﹣D； ②如图2，当点F 在点的右侧时，如图3，当点F 在点的左侧时，由线段的和差即可得到 结论； （2）当点E 在线段B 之间时，①如图4，设B＝x，则＝2B＝2x，求得B＝3x，设E＝y，得 到E＝2x+y，BE＝x y ﹣，求得y＝ x，表示出D、BD，即可求解；②当点E 在点的左侧，如 图5，与①类似的步骤可求解；③当点D、E 都在点的右侧，如图6，与①类似的步骤可求 解，于是得到结论． 【详解】解：（1）∵＝2B，B＝15， B ∴＝5，＝10， ① E ∵为B 中点， E ∴＝25， DE ∵ ＝6， D ∴＝35， D ∴＝﹣D＝10 35 ﹣ ＝65； ②如图2，当点F 在点的右侧时， F ∵＝3，＝10， F ∴＝+F＝13， F ∵＝3D， D ∴＝ ； 如图3，当点F 在点的左侧时， ∵＝10，F＝3， F ∴＝﹣F＝7， F ∴＝3D， D ∴＝ ＝ ； 综上所述，D 的长为 或 ； （2）①当点E 在线段B 之间时，如图4， 设B＝x， 则＝2B＝2x， B ∴＝3x， B ∵＝2DE， DE ∴ ＝15x， 设E＝y， E ∴＝2x+y，BE＝x y ﹣， D ∴＝E DE ﹣ ＝2x+y 15x ﹣ ＝05x+y， ∵ ， ∴ ， y ∴＝ x， D ∴＝15x﹣ x＝ x，BD＝3x (05x+y) ﹣ ＝ x， ∴ ＝ ＝ ； ②当点E 在点的左侧，如图5， 设B＝x，则DE＝15x， 设E＝y， D ∴＝E+DE＝y+15x， D ∴＝D﹣＝y+15x 2x ﹣ ＝y 05x ﹣ ， ∵ ＝ ，BE＝E+B＝x+y， ∴ ， y ∴＝4x， D ∴＝y+15x＝4x+15x＝55x，BD＝D+B＝y+15x+x＝65x， ∴ ， ③点D、E 都在点的右侧时，如图6， 设B＝x，则DE＝15x， 设E＝y， D ∴＝E-DE＝y-15x， D ∴＝D+＝y-15x+2x＝y+05x， ∵ ＝ ，BE＝E-B＝y-x， ∴ ， y ∴＝-4x（舍去） 综上所述 的值为 或 ． 【点睛】本题考查了两点间的距离，线段的和差，线段的中点，以及分类讨论的数学思想， 比较难，分类讨论是解答本题的关键． 14．已知∠D＝130°，∠B＝50°，M 平分∠，平分∠BD． (1)如图1，若 ，求∠的度数； (2)将∠B 顺时针旋转至如图2 的位置，求∠M 的度数． 【答】(1)4°(2)40° 【分析】（1）设 利用角平分线的定义可求得∠M= ，∠D ，再 根据 列式求出 ，求出 ，再减去 的度 数，结论可得； （2）根据角平分线的定义可求得∠M，∠B，再利用角的和差得出结论． 【详解】（1）设 ∵ ∴ ∵ 是 的平分线 ∴ ； ∵ ∴ ∵ 是 的平分线， ∴ ∵ ∴ 解得， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ （2）由图可得， ∵ 是 的平分线 ∴ 又 ∵ 是 的平分线， ∴ ∴ ∵∠D＝130°，∠B＝50°， ∴ 【点睛】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义．本题是探究型题目，利用类比的方 法解答是解题的关键． 15．【阅读理解】 如图①，射线在∠B 内部，图中共有三个角∠、∠B、∠B，若其中有两个角的度数之比为1： 2，则称射线为∠B 的“幸运线”． (1)∠B 的角平分线 这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”） (2)若∠B＝120°，射线为∠B 的“幸运线”，则∠＝ ． 【问题解决】 (3)如图②，已知∠B=150°，射线P 从出发，以20°/s 的速度顺时针方向旋转，射线Q 从B 出 发，以10°/s 的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当其中一条射线旋转到与∠B 的 边重合时，运动停止，设旋转的时间为t（s），当t 为何值时，射线P 是以射线、Q 为边构 成角的幸运线？试说明理由． 【答】(1)是； (2)40°或60°或80°； (3) 或 或3． 【分析】（1）由角平分线的定义可得； （2）分三种情况讨论，即∠=2∠B，2 = ∠∠B，∠B=2∠或∠B=2∠B 三种情况，结合∠+∠B=∠B =120°可以求出∠． （3）分三种情况讨论，由“幸运线”的定义，列出方程可求t 的值． 【详解】（1）解：∵一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的两倍， ∴一个角的角平分线是 这个角的“幸运线”， 故答为：是． （2）解：∵射线在∠B 内部， + ∴∠∠B=∠B =120°． ①当∠=2∠B 时，∠+∠B=3∠B =120°， ∴∠B=40°， =80° ∴∠ ． ②当2 = ∠∠B，且∠+∠B=3 =120° ∠ ， =40° ∴∠ ． ③当∠B=2∠或∠B=2∠B 时，平分∠B， = ∴∠ ∠B =60°． 综上所述：∠=40°或60°或80°． 故答为： 40°或60°或80°． （3）解：∵射线P 是以射线、Q 为边构成角的“幸运线”， ∴射线P 在以射线、Q 为边构成角的内部．如下图所示： ∴∠P=20t°，∠BQ =10t°， ∴∠PQ=∠B-∠P-∠BQ= (150-20t-10t)°=(150-30t)°, ∠Q=∠B -∠BQ==(150-10t)°． ①当∠P=2∠PQ 时，则20t =2×(150-30t)， ∴t= ． ②若∠PQ=2∠P，则150-30t =2×20t， ∴t= ． ③若2∠P=∠Q 或2∠PQ=∠Q，则2×20t=150-10t， ∴t=3． 综上所述：t= 或 或3． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，角平分线的性质，找等量关系列出方程是解决问 题的关键，属于中考常考题型．