第4章 几何图形初步考点训练（教师版）

第四章 几何图形初步考点训练 1．如图，、D 是线段B 上两点，M、分别是线段D、B 的中点，下列结论：①若D=BM， 则B=3BD；②若=BD，则M=B；③-BD=2(M-D)；④2M=B-D．其中正确的结论是( ) ．①②③ B．③④ ．①②④ D．①②③④ 【答】D 【详解】解：∵M，分别是线段D，B 的中点，∴M=MD，=B ①∵D=BM，∴M+MD=MD+BD，∴M=BD ∵M=MD，B=M+MD+DB，∴B=3BD ②∵=BD，∴M+M=B+D ∵M=MD，=B，∴MD+M=+D，∴M+D+M=D+D+D， ∴M=D，∴M=B ③-BD=M+M-B-D=(M-D)+(M-B)=(M-D)+(MD-)=2(M-D)； ④B-D=+BD=M+M+D+B=MD+M+D+=MD+D+M+=2M 综上可知，①②③④均正确 故答为：D 2．已知，点在直线 B 上，  ， Bb ，且 ≠b ，点 M 是线段 B 的中点，则线段 M 的长为 ( ) ． B． ． 或 D． 或 【答】D 【详解】由于点B 的位置不能确定，故应分四种情况讨论： ①当＞b 且点在线段B 上时，如图1． ∵=，B=b，∴B=+B=+b． ∵点M 是B 的中点，∴M B= ，∴M=﹣M= = ． ②当＞b 且点在线段B 的延长线上时，如图2． ∵=，B=b，∴B=-B=-b． ∵点M 是B 的中点，∴M B= ，∴M=﹣M= = ． ③当＜b 且点在线段B 上时，如图3． ∵=，B=b，∴B=+B=+b． ∵点M 是B 的中点，∴M B= ，∴M=M = ﹣ = ． ④当＜b 且点在线段B 的方向延长线上时，如图4． ∵=，B=b，∴B=B-=b-． ∵点M 是B 的中点，∴M B= ，∴M=+M= = ． 综上所述：M 的长为 或 (＞b)或 (＜b)，即M 的长为 或 ． 故选D． 3．如图， 为直线 上一点， ， 平分 ， 平分 ， 平分 ，下列结论： ① ； ② ； ③ ； ④ 其中正确的个数有( ) ．个 B． 个 ．个 D． 个 【答】 【详解】解：∵ 平分 ， 平分 ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，故①正确； ∵ ， ∵ 平分 ， 平分 ， ∴ , ∴ ，故②正确； ∵ ， ∴ ， ∴ ，故③正确； ∵不能证明 ，故④错误； ∴正确的选项有3 个； 故选： 4．如图，直线 与 相交于点 ，一直角三角尺 的直角顶点与点 重合， 平分 ，现将三角尺 以每秒 的速度绕点 顺时针旋转，同时直线 也以每秒 的速度绕点 顺时针旋转，设运动时间为秒( )，当 平分 时，的值为( ) ． B． ． 或 D． 或 【答】D 【详解】解：分两种情况： ①如图 平分 时， ， 即 ， 解得 ； ②如图 平分 时， ， 即 ， 解得 ． 综上所述，当 平分 时，的值为25 或325． 故选： ． 5．在锐角 内部由点引出3 种射线，第1 种是将 分成10 等份；第2 种是将 分成12 等份；第3 种是将 分成15 等份，所有这些射线连同 ､ 可组成的 角的个数是( ) ．595 B．406 ．35 D．666 【答】B 【详解】设锐角 ，第1 种是将 分成10 等份；中间由9 条射线，每个小角为 ， 第2 种是将 分成12 等份；中间由11 条射线，每个小角为 ， 第3 种是将 分成15 等份，中间由14 条射线，每个小角为 ， 设第1 种, 第2 种，第3 种中相等的角的射线重合为1 条， 第一种第m 倍小角为 ，第二种倍小角 ，与第三种p 倍小角 相同 则 ， 先看三种分法中同时重合情况 除，B 外没有重合的， 再看每两种分法重合情况 第1 种, 第2 种, ，第一种第5 条与第二种第6 条重合，共重合1 条， 第1 种,第3 种， ，m=2，4，6，8,与P=3，6，9，12 重合，共重合4 条， 第2 种,第3 种, ,=4，8 与p=5，10 重合，共重合2 条， 在 中一共有射线数=2+9+11+14-1-2-4=29 条射线， 29 条射线分成的所有角=1+2+3+…+28= 个角． 故选择：B． 6．如图，直线 相交于点 ， 平分 ， 射线 将 分成了角度数之比为 的两个角，则 的大小为( ) ． B． ． 或 D． 或 【答】 【详解】解：设∠DE=x°，射线 将 分成了角度数之比为 的两个角， 当∠DE:∠BD=2:1 时，∠BD= x°， = x°， ∵ 平分 ，∴ = x°， ∵ ∠D=180°， ∴ x+ x+90+ x=180，解得，x=45；∠F=2∠=45°； 当∠BD: ∠DE =2:1 时，∠BD=2x°， =2x°， 同理， =2x°， 2x+2x+90+ x=180，解得：x=18，∠F=2∠=72°； 故选：． 7．如图，点是钟面的中心，射线 正好落在3：00 时针的位置．当时钟从2：00 走到 3：00，则经过___________分钟，时针，分针，与 所在的三条射线中，其中一条射线 是另外两条射线所夹角的角平分线． 【答】6 或 【详解】设时针为B，分针为． 当时针为B 为角平分线时，如图1 所示： 设经过x 分钟，B 为角平分线，则∠B=60゜-6x゜+ ，∠B=30゜－ ，依题意 得： 60-6x+ ＝30－ 解得x=6； 当时针为为角平分线时，如图2 所示： 设经过x 分钟，为角平分线，则∠=6x゜-90゜，∠B=30゜－ ，依题意得： 6x-90＝30－ 解得x= ； 综合上述可得：经过6 分钟或 分钟时，时针，分针，与 所在的三条射线中，其中 一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线． 故答为：6 或 ． 8．如图，直线B⊥于点，∠P＝40°，三角形EF 其中一个顶点与点重合，∠EF＝100°，E 平 分∠P，现将三角形EF 以每秒6°的速度绕点逆时针旋转至三角形E′F′，同时直线PQ 也以 每秒9°的速度绕点顺时针旋转至P′Q′，设运动时间为m 秒(0≤m≤20)，当直线P′Q′平分∠E′F′ 时，则∠P′＝___． 【答】 或 【详解】 平分 ， ， 以每秒 的速度绕点逆时针旋转， 以每秒 的速度点顺时针旋转， ①如图1 中，当 平分 时， 解得 ， ②如图2，当 平分 时， 解得 故答为： 或 9．我们知道在9 点整时，时钟的分针与时针恰好互相垂直，那么从9 点开始，到10 点之 前，经过__________分钟后，时钟的时针与分针的夹角为105°． 【答】 或30 【详解】解：分针的旋转速度是度/分钟，时针的旋转速度是05 度/分钟，设经过x 分钟 后，时钟的时针与分针的夹角为105°， 分两种情况： 如图： 此时，∠=05x，∠BD=6x， 则∠D=∠B+∠BD-∠= 90°+6x-05x=105°， 解得x= ； 如图： 此时，∠=05x，∠BD=360°-6x， 则∠D=∠BD-∠B+∠=360°-6x -90°+05x=105°，解得x=30； 综上，经过 或30 分钟后，时钟的时针与分针的夹角为105°，故答为： 或30 10．如图，M、M 平分∠BD 和∠BD，若∠B＝34°，∠D＝42°，则∠M＝_____． 【答】38° 【详解】如下图，设∠MD=x°，∠MD=y° ∵M、M 平分∠BD 和∠BD ∠ ∴ BF=y°，∠MF=x° ∠ ∵ B=34°，∠D=42° ∴在△BF 中，∠BF=180°－34°－y°=146°－y° 在△ED 中，∠ED=180°－42°－x°=138°－x° ∠ ∴ FM=∠FB=146°－y°，∠EM=∠ED=138°－x° ∴在△ME 中，y°+∠M+138°－x°=180° 在△FM 中，x°+146°－y°+∠M=180° 约掉x、y 得，∠M=38° 故答为：38° 11．如图所示：已知 ， ，现有 点和 点分别从 ， 两点出发相向 运动， 点速度为 ， 点速度为 ，当 到达 点后掉头向 点运动， 点在向 的运动过程中经过 点时，速度变为 ， ， 两点中有一点到达 点时，全部停止 运动，那么经过____ 后 的距离为 ． 【答】09 或11 或 或 ． 【详解】解：设经过t 秒后PQ 距离为05m， ①当P、Q 在B 上且P 在Q 左侧时，如图1 所示： 由题意得：5-2t-3t=05，解得：t=09s， ②当P、Q 在B 上且P 在Q 右侧时，如图2 所示： 由题意得：2t+3t-05=5，解得：t=11s， ③Q 到达所用时间为5÷3= s， 当Q 从返回还未到B 时，如图3 所示： 由题意得： ，解得：t=45s，但此时Q= m>5m，不符合题 意； ④当Q 从返回运动并超过B 点时，如图4 所示： 此时Q 从B--B 用时为： s， 由题意得： ，解得： s； ⑤当Q 超过P 时，如图5 所示： 由题意得： ， 解得： s， 综上所述，当P、Q 相距05m 时，经过的时间为09s 或11s 或 或 ， 故答为：09 或11 或 或 ． 12．如图，数轴上有两点 ，点从原点出发，以每秒 的速度在线段 上运动，点D 从点B 出发，以每秒 的速度在线段 上运动．在运动过程中满足 ，若点M 为直线 上一点，且 ，则 的值为_______． 【答】1 或 【详解】设运动的时间为t 秒，点M 表示的数为m 则=t，BD=4t，即点在数轴上表示的数为-t，点D 在数轴上表示的数为b-4t， ∴=-t-，D=b-4t， 由D=4 得，b-4t=4(-t-)， 即：b=-4， ①若点M 在点B 的右侧时，如图1 所示： 由M-BM=M 得，m--(m-b)=m，即：m=b-； ∴ ②若点M 在线段B 上时，如图2 所示： 由M-BM=M 得，m--(b-m)=m，即：m=+b； ∴ ③若点M 在线段上时，如图3 所示： 由M-BM=M 得，m--(b-m)=-m，即： ∵此时m＜0，＜0， ∴此种情况不符合题意舍去； ④若点M 在点的左侧时，如图4 所示： 由M-BM=M 得，-m-(b-m)=-m，即：m=b-=-5； 而m＜0，b-＞0， 因此，不符合题意舍去， 综上所述， 的值为1 或 ． 13．已知：如图1， ， ． (1)求 的度数； (2)如图2，若射线 从 开始绕点 以每秒旋转 的速度逆时针旋转，同时射线 从 开始绕点 以每秒旋转 的速度逆时针旋转；其中射线 到达 后立即改变运动方 向，以相同速度绕 点顺时针旋转，当射线 到达 时，射线 ， 同时停止运动． 设旋转的时间为秒，当 时，试求的值； (3)如图3，若射线 从 开始绕 点逆时针旋转一周，作 平分 ， 平分 ，试求在运动过程中， 的度数是多少？(请直接写出结果) 【答】(1)120°；(2)5 或10 或125 或1375；(3)60°或120° 【解析】解：∠B= ∠，∠B+∠B=∠，∴∠B= ∠， ∠ ∵ B=30°，∴∠=120°； (2)由(1)知，∠=120°，∠B=90°， ①P 逆时针运动时，即0≤t≤12 时， 由P，Q 的运动可知，∠P=10°t，∠BQ=6°t， P，Q 相遇前，如图2(1)，∠Q=∠P+∠PQ=∠B+∠BQ，即10°t+10°=30°+6°t，解得t=5， P，Q 相遇后，如图2(2)，∠P=∠B+∠BQ+∠PQ，即10°t=30°+6°t+10°，解得t=10； ②P 顺时针旋转时，∠P=10°t-120°，∠BQ=6°t， P，Q 相遇前，如图(3)，∠B=∠P+∠BQ+∠PQ，即90°=10°t-120°+6°t+10°，解得t=125， P，Q 相遇后，如图(4)，∠B=∠P+∠BQ-∠PQ，即90°=10°t-120°+6°t-10°，解得t=1375， 综上，当t 的值为5，10，125 或1375 时，∠PQ=10°． (3)由(1)知∠=120°，根据射线P 的运动，需要分四种情况， ①当射线P 与重合前，如图3(1)， ∵M 平分∠P，平分∠P， ∠ ∴ PM= ∠P，∠P= ∠P，∴∠M=∠PM+∠P= ∠P+ ∠P= ∠=60°； ②当射线P 与重合后，∠P=180°前，如图3(2)， ∵M 平分∠P，平分∠P，∴∠PM= ∠P，∠P= ∠P， ∠ ∴ M=∠PM-∠P= ∠P- ∠P= ∠=60°； ∠ ③ =180°前，如图3(3)， ∵M 平分∠P，平分∠P，∴∠PM= ∠P，∠P= ∠P， ∠ ∴ M=∠PM+∠P= ∠P+ ∠P= (360°-∠)=120°； ④P 与Q 重合前，如图3(4)， ∵M 平分∠P，平分∠P， ∠ ∴ PM= ∠P，∠P= ∠P， ∠ ∴ M=∠P-∠PM= ∠P+ ∠P= ∠=60°； 综上，∠M 的度数为60°或120°． 14．已知∠B=120°，∠D=60°． (1)如图1，当∠D 在∠B 的内部时，若∠D=95°，求∠B 的度数； (2)如图2，当射线在∠B 的内部，D 在∠B 的外部时，试探索∠D 与∠B 的数量关系，并说明 理由； (3)如图3，当∠D 在∠B 的外部时，分别在∠内部和∠BD 内部画射线E，F，使∠E = ∠， ∠DF= ∠BD，求∠EF 的度数． 【答】(1)85° (2) 与 互补，理由见解析 (3)当 或 时， ；当 时， ；当 或 时， 或 【解析】(1)解：∵ ， ，∴ ， ∵ ，∴ ； (2) 与 互补；理由如下： ∵ ， ， ∴ ，∴ 与 互补． (3)解：设 ， ①当 时，如图3， ， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ， ∴ ； ②当 时，如图 ，点 在 的延长线上， 则 ， ， ， ∴ ， ， 此时 与 或 重合， 当 与 重合时， ， 当 与 重合时， ， ③当 时，如图 ， ， ， ∵ ， ， ， ∴ ； ④当 时，如图 ，点 在 的延长线上， 则 ， ， ∴ ，此时 与 或 重合， 当 与 重合时， ， 当 与 重合时， ； ⑤当 时，如图 ， ， ， ∵ ， ， ，∴ ， 综上：当 或 时， ； 当 时， ； 当 或 时， 或 ． 15．如图1，点在直线 上，过点引一条射线 ，使 ，将一个直角三角尺 的直角顶点放在点处，直角边 在射线 上，另一边 在直线 的下方． 【操作一】：将图1 中的三角尺绕着点以每秒 的速度按顺时针方向旋转．当它完成旋转 一周时停止，设旋转的时间为t 秒． (1) 的度数是___________，图1 中与它互补的角是___________． (2)三角尺旋转的度数可表示为___________(用含t 的代数式表示)：当 ___________时， ． 【操作二】：如图2 将一把直尺的一端点也放在点处，另一端点E 在射线 上．如图3， 在三角尺绕着点以每秒 的速度按顺时针方向旋转的同时，直尺也绕着点以每秒 的速 度按顺时针方向旋转，当一方完成旋转一周时停止，另一方也停止旋转，设旋转的时间为t 秒． (3)当t 为何值时， ，并说明理由？ (4)试探索：在三角尺与直尺旋转的过程中，当 ，是否存在某个时刻，使得 与 中其中一个角是另一个角的两倍？若存在，请求出所有满足题意的t 的值； 若不存在，请说明理由． 【答】(1) ， ；(2) ， 秒或 秒；(3)4 秒或22 秒，理由见解析；(4)存在， 秒、 秒、 秒 【详解】(1)∵ ， ， ∴ ， 与 互补的角是 ， 故答是： ， ； (2)旋转的速度是每秒 ， ∴旋转的度数表示为 ， 当 时， ① ， ∴ ， ，解得 ， ②旋转角为 ， ，解得 ， 故答是： ， 或 ； (3)①如图①当 在 左侧时， 度， 度， ∵ ， ∴ ， 由题意得 ，解得 ， ②如图②当 在 右侧时，三角尺旋转的角度为 度，直尺旋转的角度为 度， ∵ ， ∴ ， 由题意得 ，解得 ， 综上所述，当 秒或22 秒时， ； (4)①当 在 左侧时， ( ) ⅰ ，如图③， ，解得 ； ( ) ⅱ ，如图④， ，解得 ； ②当 在 右侧时， ( ) ⅰ ，如图⑤， ，解得 ； ( ) ⅱ ，因为 ，所以不存在； ∴综上所述，当 秒、 秒、 秒时两个角其中一个是另一个的两倍．