专题2.5 整式加减中的规律问题【六大题型】（解析版）

专题25 整式加减中的规律问题【六大题型】 【人版】 【题型1 数式的规律】............................................................................................................................................. 1 【题型2 图表的规律】............................................................................................................................................. 3 【题型3 图形的规律】............................................................................................................................................. 6 【题型4 算式的规律】............................................................................................................................................. 7 【题型5 程序运算】............................................................................................................................................... 10 【题型6 定义新运算】...........................................................................................................................................13 【题型1 数式的规律】 【例1】（2022 秋•娄底期中）观察下面的三行单项式， x，2x2，4x3，8x4，16x5，32x6……① 2 ﹣x，4x2，﹣8x3，16x4，﹣32x5，64x6……② 2x2，﹣3x3，5x4，﹣9x5，17x6，﹣33x7……③ （1）根据你发现的规律，第①行第8 个单项式为 128 x 8 （2）第②行第8 个单项式为 256 x 8 ， ，第③行第8 个单项式为 ﹣ 129 x 9 （3）取每行的第9 个单项式，令这三个单项式的和为．计算当x¿ 1 2时，512( A+ 1 4 )的 值． 【分析】根据题三行单项式给出的规律即可求出答． 【解答】解：（1）128x8． （2）256x8，﹣129x9 （3）＝28x9 2 ﹣ 9x9+（28+1）x10 ＝﹣28x9+28x10+x10， 512 ∴ （+1 4 ）＝29×+27， 当x=1 2时， 原式＝﹣28× 1 2 9 ×29+28× 1 2 10 ×29+1 2 10 ×29+27 ＝﹣28+27×2+1 2 1 ¿ 1 2， 故答为：（1）256x9； （2）256x8，﹣129x9； （3）1 2． 【变式1-1】（2022 秋•交城县期中）一组按规律排列的多项式：+b，2﹣b3，3+b5，4﹣ b7，…，其中第（为正整数）个式子的次数是（ ） ． B．2 1 ﹣ ．3 1 ﹣ D．2 【分析】先根据已知算式得出规律，再根据多项式次数的定义得出答即可． 【解答】解：∵+b，2﹣b3，3+b5，4﹣b7，…， ∴的指数依次为1，2，3，4，5，6，•••， b 的指数依次为1，3，5，7，•••，（2×1 1 ﹣＝1，2×2 1 ﹣＝3，2×3 1 ﹣＝7，•••）， ∴第（为正整数）个式子的次数是2 1 ﹣， 故选：B． 【变式1-2】（2022 秋•霍山县校级月考）一块面积为1㎡的长方形纸片，第一次裁去它的 一半，第二次裁去剩下纸片的一半，如此裁下去，第八次裁完后剩下的纸片的面积是（ ） ．1 32㎡ B．1 64 ㎡ ．1 128㎡ D．1 256 ㎡ 【分析】根据题意知，易求出前几次裁剪后剩下的纸片的面积，第一次剩下的面积为1 2 m2，第二次剩下的面积为1 4 m2，第三次剩下的面积为1 8m2，根据规律，总结出一般式， 由此可以求出第八次剩下的纸片的面积． 【解答】解：根据题意，第一次剩下的面积为1 2m2，第二次剩下的面积为1 4 m2，第三次 剩下的面积为1 8m2，则第次剩下的面积为1 2 nm2． 则第八次剩下的面积为1 2 8m2，即1 256m2． 故选：D． 【变式1-3】（2022 秋•如东县期末）一只小球落在数轴上的某点P0处，第一次从P0处向 右跳1 个单位到P1处，第二次从P1向左跳2 个单位到P2处，第三次从P2向右跳3 个单 位到P3处，第四次从P3向左跳4 个单位到P4处…，若小球按以上规律跳了（2+3）次时， 它落在数轴上的点P2+3处所表示的数恰好是﹣3，则这只小球的初始位置点P0所表示的 1 数是（ ） ．﹣4 B．﹣5 ．+6 D．+3 【分析】根据题意可以用代数式表示出前几个点表示的数，从而可以发现它们的变化规 律，进而求得这只小球的初始位置点P0所表示的数． 【解答】解：设点P0所表示的数是， 则点P1所表示的数是+1， 点P，2所表示的数是+1 2 ﹣＝﹣1， 点P3所表示的数是﹣1+3＝+2， 点P4所表示的数是+2 4 ﹣＝﹣2， ∵点P（2+3）所表示的数是﹣3， ∴+2n+3+1 2 =¿ 3 ﹣， 解得，＝﹣5， 故选：B． 【题型2 图表的规律】 【例2】（2022 秋•咸丰县期末）九格幻方有如下规律：处于同一横行、同一竖列、同一斜 对角线上的三个数的和都相等（如图1）．则图2 的九格幻方中的9 个数的和为 9 −45 4 （用含的式子表示） 【分析】根据同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和相等作出图形，根据 题意列出关于与x 的方程，可得x＝+5 4 ，进一步求出这9 个数的和即可． 【解答】解：如图所示： + 5+ ﹣ x＝3+5 2 ﹣x+2﹣x+ 5 ﹣ 1 解得x＝+5 4 ， 所以3（2+x 5 ﹣）＝9−45 4 ． 故答为：9−45 4 ． 【变式2-1】（2022 秋•任城区校级期末）如表格是一张日历表，省去了号码数，设①位置 的数为x，则②位置的数可表示为（ ） 日 一 二 三 四 五 六 ㅤㅤ ㅤㅤ ① ㅤㅤ ② ㅤㅤ ㅤㅤ ．2x+7 B．3x 7 ﹣ ．x+12 D．x+10 【分析】根据日历上同一列数的特点：下一个日期比上一个日期大7，日历上同一行数 的特点：左边日期比右边相邻日期小1，即可得出答． 【解答】解：设①位置的数为x，则②位置的数为x+7×2 2 ﹣＝x+12． 故选：． 【变式2-2】（2022 秋•东西湖区期中）将9 个数填入幻方的九个方格中，使处于同一横行、 同一竖列、同一斜对角上的三个数的和相等，如表一．按此规律将满足条件的另外6 个 数填入表二，则表二中这9 个数的和为 9+9 （用含的整式表示）． 表一 4 9 2 3 5 7 8 1 6 表二 +5 +1 5 ﹣ 【分析】根据同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和相等作出图形，根据 题意列出关于与x 的方程，可得x＝+3，进一步求出这9 个数的和即可． 【解答】解：如图所示： 1 x 1 ﹣ 10+x +5 +1 x +2 5 ﹣ +6 ++1++2＝+x++6， 解得x＝﹣3， 3（3+3）＝9+9． 故答为：9+9． 【变式2-3】（2022 秋•西城区校级期中）如下表，从左向右依次在每个小格子中都填入一 个有理数，使得其中任意四个相邻小格子中所填数之和都等于15．已知第3 个数为7， 第5 个数为m 1 ﹣，第16 个数为2，第78 个数为3 2 ﹣m，则m 的值为 ﹣ 4 ，第2021 个数为 ﹣ 5 ． 7 m 1 ﹣ 【分析】根据题意，任意四个相邻格子中的和等于15，列出等式，找出规律，计算出m 的值；再求出第2021 个数是几即可． 【解答】解：∵任意四个相邻小格子中所填数之和都等于15， ∴第5 个数（5 4 ﹣＝1）与第1 个数相同，都为m 1 ﹣；第16 个数（16÷4＝4）与第4 个 数相同，都为2；第78 个数（78÷4＝19…2）与第2 个数相同，都为3 2 ﹣m； ∴m 1+3 2 ﹣ ﹣m+7+2＝15， 解得m＝﹣4， 则m 1 ﹣＝﹣4 1 ﹣＝﹣5，3 2 ﹣m＝11， 2021÷4 ∵ ＝505…1， ∴第2021 个数是﹣5． 故答为：﹣4；﹣5． 【题型3 图形的规律】 【例3】（2022 秋•思明区校级期中）为了庆祝六一童节，某一举行用火柴摆“金鱼”比赛， 如图所示：按照上面的规律，摆个金鱼需要用火柴棒的根数为（ ） ．2+6 B．6+8 ．8 D．4+4 【分析】观察给出的3 个例图，注意火柴棒根数的变化是图②的火柴棒比图①的多6 根， 图③的火柴棒比图②的多6 根，而图①的火柴棒的根数为2+6． 【解答】解：第条小鱼需要（2+6）根， 1 故选：． 【变式3-1】（2022 秋•晋安区期末）搭一个正方形需要4 根火柴棒，按照图中的方式搭个 正方形需要（ ）根火柴棒． ．4 B．4+3（﹣1） ．3 D．4﹣（+1） 【分析】根据图形发现规律：多一个正方形，则多用3 根火柴． 【解答】解：观察图形发现：第一个图形需要4 根火柴，多一个正方形，多用3 根火柴， 则第个图形中，需要火柴4+3（﹣1）． 故选：B． 【变式3-2】（2022 秋•莱阳市期中）将长为40m，宽为15m 的长方形白纸，按如图所示的 方法粘合起来，粘合部分的宽为5m，则张白纸粘合后的总长度为（ ）m． ．35+5 B．35 ．40 D．40+5 【分析】张白纸黏合，需黏合（﹣1）次，重叠5（﹣1）m，所以总长可以表示出来． 【解答】解：根据题意和所给图形可得出： 总长度为40 5 ﹣（﹣1）＝35+5（m）， 故选：． 【变式3-3】（2022 秋•上虞市校级期中）如图，学校准备新建一个长度为L 的读书长廊， 并准备用若干块带有花纹和没有花纹的两种规格大小相同的正方形地面砖搭配在一起， 按图中所示的规律拼成图铺满长廊，已知每个小正方形地面砖的边长均为05m． （1）按图示规律，第一图的长度L1＝ 15 m；第二个图的长度L2＝ 25 m； （2）用代数式表示带有花纹的地面砖块数与走廊的长度L（m）之间的关系 L ＝ 05 （ 2+1 ） ． 【分析】（1）观察题目中的已知图形，可得前两个图中有花纹的地面砖分别有：1，2 个，第二个图比第一个图多1 个有花纹的地面砖，所以可得第个图有花纹的地面砖有块； 第一个图边长3×05＝L，第二个图边长5×05＝L， （2）由（1）得出则第个图边长为L＝（2+1）×05． 1 【解答】解：（1）第一图的长度L1＝05×3＝15，第二个图的长度L2＝05×5＝25； （2）观察可得：第1 个图中有花纹的地面砖有1 块，第2 个图中有花纹的地面砖有2 块， … 故第个图中有花纹的地面砖有块； 第一个图边长L＝3×05，第二个图边长L＝5×05，则第个图边长为L＝05（2+1）． 故答为：09，15；05（2+1）． 【题型4 算式的规律】 【例4】（2022 春•杏花岭区校级期中）计算两个两位数的积，这两个两位数的十位上的数 字相同，个位上的数字之和等于10． 例如：43×47＝2021，68×62＝4216，74×76＝5624，81×89＝7209 设其中一个数的十位数字为m，个位数字为，请用含m，的算式表示这个规律 （ 10 m + ）（ 10 m +10﹣ ）＝ 100 m （ m +1 ） + （ 10﹣ ） ． 【分析】由题意得出：两个两位数的十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10 的 两个数的积的规律是：十位数字乘以十位数字加一的积作为结果的千位和百位，两个个 位数字相乘的积作为结果的十位和个位，据此可得规律． 【解答】解：由题意可得，两个两位数，其中一个数的十位数字为m，个位数字为时， 另外一个数的十位数字为m，个位数字为10﹣， 那么这两个数的积的规律是：十位数字乘以十位数字加一的积作为结果的千位和百位， 两个个位数字相乘的积作为结果的十位和个位， 即：（10m+）（10m+10﹣）＝100m（m+1）+（10﹣）． 故答为：（10m+）（10m+10﹣）＝100m（m+1）+（10﹣）． 【变式4-1】（2022 春•青岛期中）若规定运算符号“▲”，满足下列各式： 1▲3＝3×1 2×3 ﹣ ； 2▲（﹣4）＝3×2 2× ﹣ （﹣4）； 0▲（﹣7）＝3×0 2× ﹣ （﹣7）； （−1 2 ）▲5＝3×（−1 2 ）﹣2×5； （−2 5 ）▲（−3 4 ）＝3×（−2 5 ）﹣2×（−3 4 ）； … 根据以上规律，求解下列各题： （1）▲b＝ 3 2 ﹣ b ； （2）若2m﹣＝3，求（2m+）▲（﹣4m+5）的值． 【分析】（1）根据定义新运算即可得出结果；（2）先根据定义新运算化简，再整体代 1 入求值． 【解答】解：（1）由题意可知：▲b＝3 2 ﹣b； （2）（2m+）▲（﹣4m+5） ＝3（2m+）﹣2（﹣4m+5） ＝3×2m+3 2× ﹣ （﹣4m）﹣2×5 ＝14m 7 ﹣， 2 ∵m﹣＝3， ∴原式＝14m 7 ﹣＝7（2m﹣）＝7×3＝21． 【变式4-2】（2022 秋•通川区校级期中）阅读下面的文字，完成后面的问题： 我们知道：1 1×2=¿1−1 2 ，1 2×3=1 2−1 3， 1 3×4 =1 3−1 4 那么（1） 1 4×5=¿ 1 4 −1 5 ； 1 2012×2013=¿ 1 2012− 1 2013 ； （2）用含有的式子表示你发现的规律 1 n(n+1)=1 n−1 n+1 ； （ 3 ） 如 果 | 1|+ ﹣ （ b 2 ﹣ ） 2 ＝ 0 ， 求 1 ab + 1 (a+1)(b+1)+ 1 (a+2)(b+2)+⋯⋯+ 1 (a+2013)(b+2013)的值． 【分析】（1）根据题目中的式子，可以将所求式子分解； （2）根据题目中式子的特点，可以写出第个等式； （3）根据题目中的式子，先裂项，然后计算即可解答本题． 【解答】解：（1） 1 4×5= 1 4 −1 5， 1 2012×2013= 1 2012− 1 2013， 故答为1 4 −1 5， 1 2012− 1 2013； （2）第 个式子为 1 n×(n+1)=1 n−1 n+1， 故答为： 1 n(n+1)=1 n−1 n+1； （3）∵| 1|+ ﹣ （b 2 ﹣）2＝0， 1 ∴﹣＝0，b 2 ﹣＝0， 解得：＝1，b＝2， ∴原式¿ 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 +⋯+ 1 2014×2015 1 ¿1−1 2 + 1 2−1 3 + 1 3−1 4 +⋯+ 1 2014 − 1 2015 ¿1− 1 2015 ¿ 2014 2015 ． 【变式4-3】（2022 秋•浦东新区校级期中）观察以下5 个乘法算式：6×10；8×18； 11×29；12×26；25×37． （1）请仿照式子“6×34＝202 14 ﹣ 2”，将以上各乘法算式分别写成两数平方差的形式； 6×10＝ 8 2 2 ﹣ 2 ； 8×18＝ 13 2 5 ﹣ 2 ； 11×29＝ 20 2 9 ﹣ 2 ； 12×26＝ 19 2 7 ﹣ 2 ； ； 25×37＝ 31 2 6 ﹣ 2 ． （2）如果将上面五个乘法算式的两个因数分别用字母，b 表示（，b 为正数且＜b）， 请用含、b 的等式表示（1）的规律．（只要求写出结果） 【分析】（1）观察式子6×34＝202 14 ﹣ 2，发现202＝（6+34 2 ）2，142＝（34 20 ﹣ ）2， 由此可得结果； （2）利用（1）中发现的规律可得结果． 【解答】解：（1）∵6×34＝202 14 ﹣ 2，202＝（6+34 2 ）2，142＝（34 20 ﹣ ）2， 6×10 ∴ ＝（6+10 2 ）2﹣（10−6+10 2 ）2＝82 2 ﹣ 2； 同理可得：8×18＝132 5 ﹣ 2；11×29＝202 9 ﹣ 2；12×26＝192 7 ﹣ 2；25×37＝312 6 ﹣ 2； 故答为：82 2 ﹣ 2；132 5 ﹣ 2；202 9 ﹣ 2；192 7 ﹣ 2；312 6 ﹣ 2； （2）∵6×34＝202 14 ﹣ 2，202＝（6+34 2 ）2，142＝（34 20 ﹣ ）2， ∴b＝（a+b 2 ）2﹣（b−a+b 2 ）2＝（a+b 2 ）2﹣（2b−a−b 2 ）2＝（a+b 2 ）2﹣（b−a 2 ）2． ∴b＝（a+b 2 ）2﹣（b−a 2 ）2． 1 【题型5 程序运算】 【例5】（2022•武汉模拟）如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第 一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，以此类推，则第2019 次输出的结果是 多少？ 【分析】根据程序图进行计算发现数字的变化规律，从而分析求解． 【解答】解：当输入x＝48 时， 第一次输出的结果为48× 1 2=¿24， 第二次输出结果为24× 1 2=¿12， 第三次输出结果为12× 1 2=¿6， 第四次输出结果为6× 1 2=¿3， 第五次输出结果为3+3＝6， 第六次输出结果为6× 1 2=¿3， ． 自第三次开始，奇数次的输出结果为6，偶数次的输出结果为3， ∴第2019 次输出的结果是6． 【变式5-1】（2022 秋•封丘县期末）如图所示的是一个计算程序，程序规定从左至右逐步 计算，若输入的值为1，则输出的结果