专题2.5 整式加减中的规律问题【六大题型】（原卷版）

专题25 整式加减中的规律问题【六大题型】 【人版】 【题型1 数式的规律】............................................................................................................................................. 1 【题型2 图表的规律】............................................................................................................................................. 2 【题型3 图形的规律】............................................................................................................................................. 3 【题型4 算式的规律】............................................................................................................................................. 4 【题型5 程序运算】................................................................................................................................................. 5 【题型6 定义新运算】............................................................................................................................................. 6 【题型1 数式的规律】 【例1】（2022 秋•娄底期中）观察下面的三行单项式， x，2x2，4x3，8x4，16x5，32x6……① 2 ﹣x，4x2，﹣8x3，16x4，﹣32x5，64x6……② 2x2，﹣3x3，5x4，﹣9x5，17x6，﹣33x7……③ （1）根据你发现的规律，第①行第8 个单项式为 （2）第②行第8 个单项式为 ，第③行第8 个单项式为 （3）取每行的第9 个单项式，令这三个单项式的和为．计算当x¿ 1 2时，512( A+ 1 4 )的 值． 【变式1-1】（2022 秋•交城县期中）一组按规律排列的多项式：+b，2﹣b3，3+b5，4﹣ b7，…，其中第（为正整数）个式子的次数是（ ） ． B．2 1 ﹣ ．3 1 ﹣ D．2 【变式1-2】（2022 秋•霍山县校级月考）一块面积为1㎡的长方形纸片，第一次裁去它的 一半，第二次裁去剩下纸片的一半，如此裁下去，第八次裁完后剩下的纸片的面积是（ ） ．1 32㎡ B．1 64 ㎡ ．1 128㎡ D．1 256 ㎡ 【变式1-3】（2022 秋•如东县期末）一只小球落在数轴上的某点P0处，第一次从P0处向 右跳1 个单位到P1处，第二次从P1向左跳2 个单位到P2处，第三次从P2向右跳3 个单 位到P3处，第四次从P3向左跳4 个单位到P4处…，若小球按以上规律跳了（2+3）次时， 它落在数轴上的点P2+3处所表示的数恰好是﹣3，则这只小球的初始位置点P0所表示的 1 数是（ ） ．﹣4 B．﹣5 ．+6 D．+3 【题型2 图表的规律】 【例2】（2022 秋•咸丰县期末）九格幻方有如下规律：处于同一横行、同一竖列、同一斜 对角线上的三个数的和都相等（如图1）．则图2 的九格幻方中的9 个数的和为 （用含的式子表示） 【变式2-1】（2022 秋•任城区校级期末）如表格是一张日历表，省去了号码数，设①位置 的数为x，则②位置的数可表示为（ ） 日 一 二 三 四 五 六 ㅤㅤ ㅤㅤ ① ㅤㅤ ② ㅤㅤ ㅤㅤ ．2x+7 B．3x 7 ﹣ ．x+12 D．x+10 【变式2-2】（2022 秋•东西湖区期中）将9 个数填入幻方的九个方格中，使处于同一横行、 同一竖列、同一斜对角上的三个数的和相等，如表一．按此规律将满足条件的另外6 个 数填入表二，则表二中这9 个数的和为 （用含的整式表示）． 表一 4 9 2 3 5 7 8 1 6 表二 +5 +1 5 ﹣ 【变式2-3】（2022 秋•西城区校级期中）如下表，从左向右依次在每个小格子中都填入一 个有理数，使得其中任意四个相邻小格子中所填数之和都等于15．已知第3 个数为7， 1 第5 个数为m 1 ﹣，第16 个数为2，第78 个数为3 2 ﹣m，则m 的值为 ，第2021 个 数为 ． 7 m 1 ﹣ 【题型3 图形的规律】 【例3】（2022 秋•思明区校级期中）为了庆祝六一童节，某一举行用火柴摆“金鱼”比赛， 如图所示：按照上面的规律，摆个金鱼需要用火柴棒的根数为（ ） ．2+6 B．6+8 ．8 D．4+4 【变式3-1】（2022 秋•晋安区期末）搭一个正方形需要4 根火柴棒，按照图中的方式搭个 正方形需要（ ）根火柴棒． ．4 B．4+3（﹣1） ．3 D．4﹣（+1） 【变式3-2】（2022 秋•莱阳市期中）将长为40m，宽为15m 的长方形白纸，按如图所示的 方法粘合起来，粘合部分的宽为5m，则张白纸粘合后的总长度为（ ）m． ．35+5 B．35 ．40 D．40+5 【变式3-3】（2022 秋•上虞市校级期中）如图，学校准备新建一个长度为L 的读书长廊， 并准备用若干块带有花纹和没有花纹的两种规格大小相同的正方形地面砖搭配在一起， 按图中所示的规律拼成图铺满长廊，已知每个小正方形地面砖的边长均为05m． （1）按图示规律，第一图的长度L1＝ m；第二个图的长度L2＝ m； （2）用代数式表示带有花纹的地面砖块数与走廊的长度L（m）之间的关系 ． 【题型4 算式的规律】 【例4】（2022 春•杏花岭区校级期中）计算两个两位数的积，这两个两位数的十位上的数 字相同，个位上的数字之和等于10． 1 例如：43×47＝2021，68×62＝4216，74×76＝5624，81×89＝7209 设其中一个数的十位数字为m，个位数字为，请用含m，的算式表示这个规律 ． 【变式4-1】（2022 春•青岛期中）若规定运算符号“▲”，满足下列各式： 1▲3＝3×1 2×3 ﹣ ； 2▲（﹣4）＝3×2 2× ﹣ （﹣4）； 0▲（﹣7）＝3×0 2× ﹣ （﹣7）； （−1 2 ）▲5＝3×（−1 2 ）﹣2×5； （−2 5 ）▲（−3 4 ）＝3×（−2 5 ）﹣2×（−3 4 ）； … 根据以上规律，求解下列各题： （1）▲b＝ ； （2）若2m﹣＝3，求（2m+）▲（﹣4m+5）的值． 【变式4-2】（2022 秋•通川区校级期中）阅读下面的文字，完成后面的问题： 我们知道：1 1×2=¿1−1 2 ，1 2×3=1 2−1 3， 1 3×4 =1 3−1 4 那么（1） 1 4×5=¿ 1 4 −1 5 ； 1 2012×2013=¿ 1 2012− 1 2013 ； （2）用含有的式子表示你发现的规律 1 n(n+1)=1 n−1 n+1 ； （ 3 ） 如 果 | 1|+ ﹣ （ b 2 ﹣ ） 2 ＝ 0 ， 求 1 ab + 1 (a+1)(b+1)+ 1 (a+2)(b+2)+⋯⋯+ 1 (a+2013)(b+2013)的值． 【变式4-3】（2022 秋•浦东新区校级期中）观察以下5 个乘法算式：6×10；8×18； 11×29；12×26；25×37． （1）请仿照式子“6×34＝202 14 ﹣ 2”，将以上各乘法算式分别写成两数平方差的形式； 6×10＝ ； 8×18＝ ； 11×29＝ ； 12×26＝ ； 25×37＝ ． （2）如果将上面五个乘法算式的两个因数分别用字母，b 表示（，b 为正数且＜b）， 请用含、b 的等式表示（1）的规律．（只要求写出结果） 1 【题型5 程序运算】 【例5】（2022•武汉模拟）如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第 一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，以此类推，则第2019 次输出的结果是 多少？ 【变式5-1】（2022 秋•封丘县期末）如图所示的是一个计算程序，程序规定从左至右逐步 计算，若输入的值为1，则输出的结果b 的值应为（ ） ．﹣5 B．5 ．7 D．﹣3 【变式5-2】（2022 秋•天河区校级期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为x＝ 3 ，则最后输出的结果是多少？试写出你的计算过程． 【变式5-3】（2022 秋•上虞区期末）如图是一个运算程序的示意图．输入一个整数便能按 图中程序进行计算． （1）设输入数x 为18，那么根据程序，第1 次计算的结果是9，第2 次计算的结果是 4，……，按这样的程序计算下去，第5 次计算的结果为 ﹣ 4 ；程序最终输出结果为 ﹣ 4 ． （2）若输入某数x 后，程序依次交替进行两种运算，且最后输出结果为1．请尝试通过 分析，判断输入数x 是奇数还是偶数？进一步借助计算，直接写出该输入数x． 1 【题型6 定义新运算】 【例6】（2022 秋•安新县期末）定义| a b c d|为二阶行列式，规定它的运算法则为 | a b c d|=ad−bc，那么当x＝1 时，二阶行列式| x+1 x−2 3 −5 |的值为（ ） ．7 B．﹣7 ．1 D．﹣1 【变式6-1】（2022 秋•桥西区校级期末）定义一种新运算：⊗b＝2﹣b．例如2 3 ⊗＝2×2﹣ 3＝1，则（x+y） （ ⊗ 2x﹣y）化简后的结果是（ ） ．﹣3x+3y B．y ．﹣3x﹣y D．3y 【变式6-2】定义：若+b＝0，则称与b 是关于原点的归零数． （1）﹣2 与 2 是关于原点的归零数，7﹣x 与 是关于原点的归零数； （2）若＝﹣3x2+4x 6 ﹣，b＝﹣4x+2x2+x2 5 ﹣，则与b 否 （填“是”或“否”）是关 于原点的归零数． 【变式6-3】（2022 秋•金牛区校级期中）定义：若+b＝3，则称与b 是关于3 的实验数． （1）4 与 是关于3 的实验数， 与5 2 ﹣x 是关于3 的实验数．（用含x 的代数 式表示） （2）若＝2x2 3 ﹣（x2+x）+5，b＝2x [3 ﹣ x﹣（4x+x2）+2]，判断与b 是否是关于3 的实验 数，并说明理由． （3）若＝|x 3| 1 ﹣﹣，d＝|x+2| 3 ﹣，且与d 是关于3 的实验数，求x 的值． 1