专题14.2 整式的乘法【十大题型】（解析版）

专题142 整式的乘法【十大题型】 【人版】 【题型1 整式乘法中的求值问题】.........................................................................................................................1 【题型2 整式乘法中的不含某项问题】................................................................................................................. 3 【题型3 整式乘法中的错看问题】.........................................................................................................................4 【题型4 整式乘法中的遮挡问题】.........................................................................................................................6 【题型5 整式乘法的计算】.....................................................................................................................................7 【题型6 整式乘法的应用】.....................................................................................................................................8 【题型7 整式除法的运算与求值】.......................................................................................................................11 【题型8 整式除法的应用】...................................................................................................................................13 【题型9 整式乘法中的新定义】...........................................................................................................................16 【题型10 整式乘法中的规律探究】......................................................................................................................20 【知识点1 整式的乘法】 单项式×单项式：系数相乘，字母相乘． 单项式×多项式：乘法分配律． 多项式×多项式：乘法分配律． 【题型1 整式乘法中的求值问题】 【例1】（x+m）（x﹣）＝x2+x+7（m，为整数），则的值可能是（ ） ．7 B．﹣7 ．8 D．﹣9 【分析】根据多项式乘多项式的乘法法则（+b）（+d）＝+d+b+bd 解决此题． 【解答】解：（x+m）（x﹣）＝x2﹣x+mx﹣m＝x2+（m﹣）x﹣m． ∵（x+m）（x﹣）＝x2+x+7（m，为整数）， ∴m﹣＝，﹣m＝7． ∴m＝1，＝﹣7 或m＝﹣1，＝7 或m＝7，＝﹣1 或m＝﹣7，＝1． ∴＝m﹣＝8 或﹣8． 故选：． 【变式1-1】（2022 春•汝州市校级月考）若（5x+2）（3﹣x）＝﹣5x2+kx+p，则代数式（k ﹣p）2的值为（ ） ．98 B．49 ．14 D．7 【分析】根据多项式乘多项式的法则把等式的左边进行计算后，与等式的右边对比，即 1 可求出k 和p 的值，进而即可得出答． 【解答】解：∵（5x+2）（3﹣x）＝﹣5x2+kx+p， 15 ∴ x 5 ﹣x2+6 2 ﹣x＝﹣5x2+kx+p， 5 ∴﹣x2+13x+6＝﹣5x2+kx+p， ∴k＝13，p＝6， ∴（k﹣p）2＝（13 6 ﹣）2＝72＝49， 故选：B． 【变式1-2】（2022 春•诸暨市期末）若、B、均为整式，如果•B＝，则称能整除，例如由 （x+3）（x 2 ﹣）＝x2+x 6 ﹣，可知x 2 ﹣能整除x2+x 6 ﹣．若已知x 3 ﹣能整除x2+kx 7 ﹣， 则k 的值为（ ） ．−7 3 B．−2 3 ．4 3 D．2 3 【分析】利用给出的定义进行整式的相关运算，求出k 的值． 【解答】解：由题意可令（x 3 ﹣）（x+）＝x2+kx 7 ﹣， ∴x2+（﹣3）x 3 ﹣＝x2+kx 7 ﹣， 3 ∴﹣＝﹣7，¿ 7 3 ， 3 ﹣＝k，k¿ 7 3−¿3¿−2 3． 故选：B． 【变式1-3】（2022 春•江都区期中）如果（x+）（x+b）＝x2+mx 12 ﹣ （其中，b 都是整 数），那么m 可取的值共有（ ） ．2 个 B．4 个 ．6 个 D．8 个 【分析】直接利用多项式乘以多项式分析得出答． 【解答】解：∵（x+）（x+b）＝x2+mx 12 ﹣ ， ∴当＝1，b＝﹣12 时，m＝﹣11； 当＝﹣1，b＝12 时，m＝11； 当＝2，b＝﹣6 时，m＝﹣4； 当＝﹣2，b＝6 时，m＝4； 当＝3，b＝﹣4 时，m＝﹣1； 当＝﹣3，b＝4 时，m＝1； 故m 的值共6 个． 故选：． 1 【题型2 整式乘法中的不含某项问题】 【例2】（2022 秋•黔江区期末）要使（x2﹣x+5）（2x2﹣x 4 ﹣）展开式中不含x2项，则的 值等于（ ） ．﹣6 B．6 ．14 D．﹣14 【分析】根据多项式乘以多项式的法则进行展开，然后按照x 的降序排列，使x 的二次 项的系数为0 即可． 【解答】解：（x2﹣x+5）（2x2﹣x 4 ﹣） ＝2x4﹣x3 4 ﹣x2 2 ﹣x3+x2+4x+10x2 5 ﹣x 20 ﹣ ＝2x4﹣（+2）x3+（+6）x2+（4 5 ﹣）x 20 ﹣ ， ∵展开式中不含x2项， +6 ∴ ＝0， ∴＝﹣6， 故选：． 【变式2-1】（2022 春•双流区校级期中）关于x 的代数式（x 3 ﹣）（2x+1）﹣4x2+m 化简 后不含有x2项和常数项，且+m＝﹣5，求﹣42+3m 的值． 【分析】先利用多项式乘多项式法则化简整式，再根据化简后不含有x2项和常数项求出、 m，代入方程+m＝﹣5 求出，最后求出﹣42+3m 的值． 【解答】解：（x 3 ﹣）（2x+1）﹣4x2+m ＝2x2 6 ﹣x+x 3 4 ﹣﹣x2+m ＝（2 4 ﹣）x2+（﹣6）x+m 3 ﹣． ∵化简后不含有x2项和常数项， 2 4 ∴﹣＝0，m 3 ﹣＝0． ∴＝2，m＝3． + ∵m＝﹣5， 2+3 ∴ ＝﹣5． ∴＝﹣1． 4 ∴﹣ 2+3m ＝﹣4×（﹣1）2+3×3 ＝﹣4×1+9 ＝﹣4+9 ＝5． 【变式2-2】（2022 秋•耒阳市校级月考）已知多项式M＝x2+5x﹣，＝﹣x+2，P＝ x3+3x2+5，且M•+P 的值与x 的取值无关，求字母的值． 【分析】根据多项式与多项式相乘的法则计算，根据题意列出方程，解方程即可． 1 【解答】解：M•+P＝（x2+5x﹣）（﹣x+2）+（x3+3x2+5） ＝﹣x3+2x2 5 ﹣x2+10x+x 2+ ﹣ x3+3x2+5 ＝（10+）x 2+5 ﹣ ， 由题意得，10+＝0， 解得，＝﹣10． 【变式2-3】（2022 春•上城区期末）若多项式x2﹣（x﹣）（x+2b）+4 的值与x 的取值大 小无关，那么，b 一定满足（ ） ．＝0 且b＝0 B．＝2b ．b＝0 D．a=b 2 【分析】根据多项式与多项式相乘的法则进行计算，根据题意列出算式，计算即可． 【解答】解：x2﹣（x﹣）（x+2b）+4 ＝x2﹣x2 2 ﹣bx+x+2b+4 ＝（﹣2b）x+2b+4， ∵多项式x2﹣（x﹣）（x+2b）+4 的值与x 的取值大小无关， 2 ∴﹣b＝0，即＝2b， 故选：B． 【题型3 整式乘法中的错看问题】 【例3】（2022 春•潍坊期末）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以（x﹣ 2y）错抄成除以（x 2 ﹣y），结果得到（3x﹣y），则正确的结果是（ ） ．3x2 7 ﹣xy+2y2 B．3x2+7xy+2y2 ．3x3 13 ﹣ x2y+16xy2 4 ﹣y3 D．3x3 13 ﹣ x2y+16xy2+4y3 【分析】直接利用多项式乘多项式运算法则计算得出答． 【解答】解：∵小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以（x 2 ﹣y）错抄成除 以（x 2 ﹣y），结果得到（3x﹣y）， ∴原式＝（3x﹣y）（x 2 ﹣y） ＝3x2 6 ﹣xy﹣xy+2y2 ＝3x2 7 ﹣xy+2y2， 则正确计算结果为：（3x2 7 ﹣xy+2y2）（x 2 ﹣y） ＝3x3 7 ﹣x2y+2xy2 6 ﹣x2y+14xy2 4 ﹣y3 ＝3x3 13 ﹣ x2y+16xy2 4 ﹣y3． 故选：． 【变式3-1】（2022 春•芦溪县期中）某同学在计算一个多项式乘以﹣2 时，因抄错运算符 号，算成了加上﹣2，得到的结果是2+2 1 ﹣，那么正确的计算结果是多少？ 【分析】根据题意首先求出多项式，进而利用单项式乘以多项式运算法则求出即可． 1 【解答】解：∵计算一个多项式乘以﹣2 时，因抄错运算符号，算成了加上﹣2，得到的 结果是2+2 1 ﹣， ∴这个多项式为：2+2 1+2 ﹣ ＝2+4 1 ﹣， ∴正确的计算结果是：﹣2（2+4 1 ﹣）＝﹣23 8 ﹣ 2+2． 【变式3-2】（2022 秋•云县期末）在计算（x+）（x+b）时，甲错把b 看成了6，得到结果 x2+8x+12；乙错把看成了﹣，得到结果x2+x 6 ﹣．你能正确计算（x+）（x+b）吗？（、b 都是常数） 【分析】根据甲的做法求出的值，根据乙的做法求出b 的值，代入原式中计算即可． 【解答】解：∵（x+）（+6）＝x2+（6+）x+6＝x2+8x+12， 6+ ∴ ＝8， ∴＝2； ∵（x﹣）（x+b）＝x2+（b﹣）x﹣b＝x2+x 6 ﹣， ∴b﹣＝1， ∴b＝3， ∴（x+）（+b） ＝（x+2）（x+3） ＝x2+5x+6． 【变式3-3】（2022 春•河源期末）甲、乙两人共同计算一道整式：（x+）（2x+b），由于 甲抄错了的符号，得到的结果是2x2 7 ﹣x+3，乙漏抄了第二个多项式中x 的系数，得到 的结果是x2+2x 3 ﹣． （1）求（﹣2+b）（+b）的值； （2）若整式中的的符号不抄错，且＝3，请计算这道题的正确结果． 【分析】（1）按甲乙错误的说法计算得出的系数的数值求出，b 的值； （2）将，b 的值代入原式求出整式乘法的正确结果． 【解答】解：（1）甲抄错了的符号的计算结果为：（x﹣）（2x+b）＝2x2+（﹣2+b）x ﹣b＝2x2 7 ﹣x+3， 故：对应的系数相等，﹣2+b＝﹣7，b＝﹣3； 乙漏抄了第二个多项式中x 的系数，计算结果为：（x+）（x+b）＝x2+（+b）x+b＝ x2+2x 3 ﹣． 故：对应的系数相等，+b＝2，b＝﹣3， ∴{ −2a+b=−7 a+b=2 ， 解得：{ a=3 b=−1， 1 ∴（﹣2+b）（+b）＝[（﹣2）×3 1] ﹣ （3 1 ﹣）＝﹣7×2＝﹣14； （2）由（1）可知，b＝﹣1 正确的计算结果：（x+3）（2x 1 ﹣）＝2x2+5x 3 ﹣． 【题型4 整式乘法中的遮挡问题】 【例4】（2022 秋•天津期末）在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿 出课堂笔记本复习，发现这样一道题：﹣3x（﹣2x2+3x 1 ﹣）＝6x3+□+3x，“□”的地方 被墨水污染了，你认为“□”内应填写（ ） ．9x2 B．﹣9x2 ．9x D．﹣9x 【分析】根据单项式与多项式相乘的运算法则计算可得出答． 【解答】解：﹣3x（﹣2x2+3x 1 ﹣）＝6x3 9 ﹣x2+3x， 故选：B． 【变式4-1】（2022 秋•河南月考）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家， 小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣7xy（2y﹣x 3 ﹣）＝﹣14xy2+7x2y□，□的地方被 钢笔水弄污了，你认为□内应填写（ ） ．+21xy B．﹣21xy ．﹣3 D．﹣10xy 【分析】先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项， 再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论． 【解答】解：﹣7xy（2y﹣x 3 ﹣）＝﹣14xy2+7x2y+21xy． 故选：． 【变式4-2】（2022 春•江都区期中）今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学后， 小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题3x2y（2xy2 ﹣xy 1 ﹣）＝6x3y3 ﹣ 3 x 3 y 2 ﹣3x2y，空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写 ﹣ 3 x 3 y 3 ． 【分析】直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答． 【解答】解：∵3x2y（2xy2﹣xy 1 ﹣）＝6x3y3 3 ﹣x3y2 3 ﹣x2y， ∴横线上应填写﹣3x3y2， 故答为：﹣3x3y2，﹣3x3y2． 【变式4-3】（2022 秋•岳麓区校级期中）已知x3 6 ﹣x2+11x 6 ﹣＝（x 1 ﹣）（x2+mx+），其 中m、是被墨水弄脏了看不清楚的两处，请求出m2+6m+92的值． 【分析】将（x 1 ﹣）（x2+mx+）展开求得m 和的值后代入代数式即可求得其值． 【解答】解：∵x3 6 ﹣x2+11x 6 ﹣＝（x 1 ﹣）（x2+mx+）＝x3+（m 1 ﹣）x2+（﹣m）x﹣， ∴m 1 ﹣＝﹣6，＝6， ∴m＝﹣5， ∴m2+6m+92＝（﹣5）2+6×（﹣5）×6+9×62＝25 180+324 ﹣ ＝169． 1 【题型5 整式乘法的计算】 【例5】（2022 春•冠县期中）计算： （1）（x 2 ﹣y）（x+2y 1 ﹣）+4y2 （2）（2b）[（b2）2+（2b）3+32]． 【分析】（1）原式利用多项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果； （2）原式先利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘以多项式法则计 算即可得到结果． 【解答】解：（1）原式＝（x 2 ﹣y）（x+2y）﹣x+2y+4y2＝x2 4 ﹣y2﹣x+2y+4y2＝x2﹣ x+2y； （2）原式＝2b（2b4+83b3+32）＝4b5+85b4+34b． 【变式5-1】（2022 春•西城区校级期中）求（x 1 ﹣）（2x+1）﹣2（x 5 ﹣）（x+2）的值， 其中x＝﹣2． 【分析】根据多项式乘多项式的运算法则把要求的式子进行整理，然后代值计算即可． 【解答】解：（x 1 ﹣）（2x+1）﹣2（x 5 ﹣）（x+2） ＝2x2﹣x 1 2 ﹣﹣（x2 3 ﹣x 10 ﹣ ） ＝2x2﹣x 1 2 ﹣﹣x2+6x+20 ＝5x+19， 把x＝﹣2 代入原式得： 原式＝5×（﹣2）+19＝﹣10+19＝9． 【变式5-2】（2022 秋•长宁区校级期中）1 2 x(4−2 x)−¿2（3 2 ﹣x）（4x+1）． 【分析】利用单项式乘多项式、多项式乘多项式法则，先算乘方，再加减． 【解答】解：原式¿ 1 2x•4−1 2 x•2x 2 ﹣（3•4x+3•1 2 ﹣x•4x 2 ﹣x•1） ＝2x﹣x2 2 ﹣（12x+3 8 ﹣x2 2 ﹣x） ＝2x﹣x2 24 ﹣ x 6+16 ﹣ x2+4x ＝15x2 18 ﹣ x 6 ﹣． 【变式5-3】（2022 春•海陵区校级月考）计算： （1）﹣3x2（2x 4 ﹣y）+2x（x2﹣xy）． （2）（3x+2y）（2x 3 ﹣y）﹣3x（3x 2 ﹣y）． 【分析】（1）根据多项式乘多项式，多项式乘单项式进行计算即可； （2）根据多项式乘多项式，多项式乘单项式进行计算即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣6x3+12x2y+2x3 2 ﹣x2y ＝﹣4x3+10x2y； 1 （2）原式＝6x2 9 ﹣xy+4xy 6 ﹣y2 9 ﹣x2+6xy ＝﹣3x2+xy 6 ﹣y2． 【题型6 整式乘法的应用】 【例6】（2022 春•杭州期中）如图，正方形卡片类、B 类和长方形卡片类各若干张，如果 要拼一个长为（2+3b），宽为（+2b）的大长方形，则需要类、B 类和类卡片的张数分 别为（ ） ．2，8，5 B．3，8，6 ．3，7，5 D．2，6，7 【分析】由（2+3b）×（+2b）＝22+7b+6b2，得类卡片的面积为2，B 类卡片的面积为 b2，类卡片的面积为b，因此需要类卡片2 张，B 类卡片6 张，类卡片7 张． 【解答】解：长为（2+3b），宽为（+2b）的大长方形的面积为：（2+3b）×（+2b）＝ 22+7b+6b2， ∵类卡片的面积为2，B 类卡片的面积为b2，类卡片的面积为b， ∴需要类卡片2 张，B 类卡片6 张，类卡片7 张． 故选：D． 【变式6-1】（2022 春•吴江区期末）从前，古希腊一位庄主把一块长为米，宽为b 米（＞ b＞100）的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增 加10 米，宽减少10 米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这 样，你觉得张老汉的租地面积会（ ） ．变小了 B．变大了 ．没有变化 D．无法确定 【分析】原面积可列式为b，第二年按照庄主的想法则面积变为（+10）（b 10 ﹣ ），又 ＞b，通过计算可知租地面积变小了． 【解答】解：由题意可知：原面积为b（平方米）， 第二年按照庄主的想法则面积变为（+10）（b 10 ﹣ ）＝b 10+10 ﹣ b 100 ﹣ ＝[b 10 ﹣ （﹣ b）﹣100]平方米， ∵＞b， ∴b 10 ﹣ （﹣b）﹣100＜b， ∴面积变小了， 故选：． 【变式6-2】（2022 秋•安溪县期中）如图1，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜 居环境，小区准备在一个长为（4+3b）米，宽为（2+3b）米的