专题17.3 最短路径问题专项训练（30道）（原卷版）

专题173 最短路径问题专项训练（30 道） 【人版】 考卷信息： 本套训练卷共30 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了平面直角坐标系中 的规律问题所有类型！ 一．选择题（共12 小题） 1．（2022 春•五华区期末）如图，正方体的棱长为2m，点B 为一条棱的中点．蚂蚁在正 方体表面爬行，从点爬到点B 的最短路程是（ ） ．❑ √10m B．4m ．❑ √17m D．5m 2．（2022 春•碑林区校级期末）如图，圆柱的底面周长为12m，B 是底面圆的直径，在圆 柱表面的高B 上有一点D，且B＝10m，D＝2m．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表 面爬行到点D 的最短路程是（ ）m． ．14 B．12 ．10 D．8 3．（2022 春•洛阳期中）如图，圆柱形玻璃杯，高为12m，底面周长为18m．在杯内离杯 底4m 的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4m 与蜂蜜相对的点处， 则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（ ）m． ．15 B．❑ √97 ．12 D．18 1 4．（2022 秋•高州市期末）国庆节期间，茂名市一广场用彩灯带装饰了所有圆柱形柱子． 为了美观，每根柱子的彩灯带需要从点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B 点，如图所 示，若每根柱子的底面周长均为2 米，高均为3 米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度 为（ ） ．❑ √7米 B．❑ √11米 ．❑ √13米 D．5 米 5．（2022 秋•沈阳期末）如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，点B 离点的距离为1， 一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点B，需要爬行的最短路程是（ ） ．❑ √21 B．5 ．❑ √29 D．❑ √37 6．（2022 春•郾城区期末）如图，台阶阶梯每一层高20m，宽30m，长50m，一只蚂蚁从 点爬到B 点，最短路程是（ ）m． ．10❑ √89 B．50❑ √5 ．120 D．130 7．（2022 秋•揭阳校级月考）如图，一个棱长为3 的正方体，把它分成3×3×3 个小正方体， 小正方体的棱长都是1．如果一只蚂蚁从点爬到点B，那么估计，B 间的最短路程d 的值 为（ ） ．4 B．5 ．6 D．7 8．（2022 秋•牡丹区月考）如图是一个供滑板爱好者使用的U 型池，该U 型池可以看作是 1 一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为25m 的半圆， 其边缘B＝D＝20m．小明要在B 上选取一点E，能够使他从点D 滑到点E 再滑到点的滑 行距离最短，则他滑行的最短距离约为（ ）（π 取3）m． ．30 B．28 ．25 D．22 9．（2022 春•靖西市期中）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中B＝7m，B＝4m， BF＝6m，点M 在棱B 上，且M＝1m，点是FG 的中点，一只蚂蚁要沿着长方形盒子的 外表面从点M 爬行到点，它需要爬行的最短路程为（ ） ．10m B．4 ❑ √5cm ．6 ❑ √2cm D．2❑ √13cm 10．（2022 秋•芝罘区期中）某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜 （如图）．在三棱镜的侧面上，从顶点到顶点′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为 9m，底面边长为4m，则这圈金属丝的长度至少为（ ） ．8m B．10m ．12m D．15m 11．（2022 秋•青岛期末）棱长分别为8m，6m 的两个正方体如图放置，点，B，E 在同一 直线上，顶点G 在棱B 上，点P 是棱E1F1的中点．一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点 爬到点P，它爬行的最短距离是（ ） 1 ．(3 ❑ √5+10)cm B．5 ❑ √13cm ．❑ √277cm D．(2❑ √58+3)cm 12．（2022•广饶县一模）如图，长方体的底面边长分别为2 厘米和4 厘米，高为5 厘米． 若一只蚂蚁从P 点开始经过4 个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）厘米． ．8 B．10 ．12 D．13 二．填空题（共8 小题） 13．（2022 春•德城区期末）如图，长方体的长为15m，宽为10m，高为20m，点B 离点的 距离是5m，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点B，需要爬行的最短路程是 m． 14．（2022•潍城区一模）云顶滑雪公是北京2022 年冬奥会7 个雪上竞赛场馆中唯一利用 现有雪场改造而成的，如图左右两幅图分别是公内云顶滑雪场U 型池的实景图和示意图， 该场地可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成，它的横截面图中半圆的半径为 12 π m，其边缘B＝D＝24m，点E 在D 上，E＝4m，一名滑雪爱好者从点滑到点E，他滑 行的最短路线长为 m． 1 15．（2022 春•仁怀市月考）如图，要在河边l 上修建一个水泵站，分别向村和B 村送水， 已知村、B 村到河边的距离分别为2km 和7km，且B 两村庄相距13km，则铺设水管的最 短长度是 km． 16．（2022 秋•锦江区校级期末）在一个长6+2❑ √2米，宽为4 米的长方形草地上，如图堆 放着一根三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽D，木块的主视图的高是❑ √2米 的等腰直角三角形，一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是 米． 17．（2022 秋•高新区校级期末）如图，室的墙面DEF 与地面BD 垂直，点P 在墙面上． 若P＝B＝5 米，点P 到D 的距离是3 米，有一只蚂蚁要从点P 爬到点B，它的最短行程 是 米． 18．（2022 春•德州期中）如图，点是正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点， 正方体的棱长为2，一蚂蚁从点沿其表面爬到点B 的最短路程是 ． 19．（2022 秋•中原区校级期末）如图，一个三棱柱盒子底面三边长分别为3m，4m，5m， 1 盒子高为9m，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒子的表面爬行一周到盒顶的点B，蚂蚁要爬行 的最短路程是 m． 20．（2022 秋•凤城市期中）如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长D＝80m，高B＝ 60m，水深E＝40m．在水面上紧贴内壁G 处有一块面包屑，G 在水面线EF 上，且EG ＝60m，一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G 处吃面包屑．则蚂蚁爬行的 最短路线为 m． 三．解答题（共10 小题） 21．（2022 春•宜城市期末）如图，某小区有两个喷泉，B，两个喷泉的距离长为125m． 现要为喷泉铺设供水管道M，BM，供水点M 在小路上，供水点M 到B 的距离M 的长为 60m，BM 的长为75m． （1）求供水点M 到喷泉，B 需要铺设的管道总长； （2）求喷泉B 到小路的最短距离． 1 22．（2022 秋•原阳县期末）如图，一个正方体木箱子右边连接一个正方形木板，甲蚂蚁 从点出发，沿，b，d 三个面走最短路径到点B；同时，乙蚂蚁以相同的速度从点B 出发， 沿d，两个面走最短路径到点．请你通过计算判断哪只蚂蚁先到达目的地？ 23．（2022 秋•江北区期末）在立方体纸盒的顶点处有一只蚂蚁，在另一顶点E 处有一粒 糖，你能为这只蚂蚁设计一条最短路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行，最 快捷吃到糖吗？以下提供三个方： → ① B→→E；②→→E；③→D→E． （1）三种方①、②、③中爬行路线最短的方是 ；最长的方是 ． （2）请根据数学知识说明理由． 1 24．（2022 秋•二道区期末）如图，已知线段B 是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为 10，圆柱的高B＝12，在圆柱的侧面上，过点、两点嵌有一圈长度最短的金属丝． （1）现将圆柱侧面沿B 剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ； （2）求该金属丝的长． 1 25．（2022 秋•随县期末）如图1 所示，长方形是由两个正方形拼成的，正方形的边长为， 对角线为b，长方形对角线为．一只蚂蚁从点爬行到点． （1）求蚂蚁爬行的最短路线长（只能按箭头所示的三条路线走），并说明理由； （2）如果把右边的正方形EFB 沿EF 翻转90°得到如图2 所示的正方体相邻的两个面 （实线表示），则蚂蚁从点到点的最短路线长是多少？请在图2 中画出路线图，若与图 中的线段有交点，则要标明并说明交点的准确位置．（可测量猜想判断） 1 26．（2022 秋•罗湖区期中）（1）如图1，长方体的长为4m，宽为3m，高为12m．求该 长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图2，长方体的长为4m，宽为3m，高为12m．现有一只蚂蚁从点处沿长方体的 表面爬到点G 处，求它爬行的最短路程． （3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12m，底面 周长为10m，在容器内壁离底部3m 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁 且离容器上沿3m 的点处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？ 27．（2022 秋•元宝区校级期中）一根长90m 的灯管上，缠满了彩色丝带，已知可近似 地将灯管看作圆柱体，且底面周长为4m，彩色丝带均匀地缠绕了30 圈，问：丝带共有 多长？ 28．（2022 秋•东明县期中）东明县是鲁西南的化工基地，有东明石化集团，洪业化工集 团，玉皇化工集团等企业，化学工业越来越成为东明县经济的命脉，化工厂里我们会经 常看到如图储存罐，根据需要，在圆柱形罐的外围要安装小梯子，如果油罐的底面半径 为6 米，高24 米，梯子绕罐体半圆到达罐顶，则梯子至少要多长？ 1 29．（2022 秋•福田区期末）如图，是一个圆柱形的饼干盒，在盒子外侧下底面的点处有 甲、乙两只蚂蚁，它们都想要吃到上底面外侧B′处的食物：甲蚂蚁沿→′→B′的折线爬行， 乙蚂蚁沿圆柱的侧面爬行：若∠B＝∠′′B′＝90°（′、BB′都与圆柱的中轴线′平行），圆柱 的底面半径是12m，高为1m，则： （1）′B′＝ m，甲蚂蚁要吃到食物需爬行的路程长l1＝ m； （2）乙蚂蚁要吃到食物需爬行的最短路程长l2＝ m（π 取3）； （3）若两只蚂蚁同时出发，且爬行速度相同，在乙蚂蚁采取最佳策略的前提下，哪只 蚂蚁先到达食物处？请你通过计算或合理的估算说明理由．（参考数据：π 取3，❑ √2≈ 14） 30．（2022 秋•安岳县期末）勾股定理是解决直角三角形很重要的数学定理．这个定理的 证明的方法很多，也能解决许多数学问题．请按要求作答： （1）选择图1 或图2 中任一个图形来验证勾股定理； （2）利用勾股定理来解决下列问题： 如图3，圆柱形玻璃杯高为12m，底面周长为16m，在杯外离杯底3m 的点处有一滴蜂蜜， 此时一只蚂蚁正好在杯外壁且与蜂蜜相对的点处，点离杯口3m．则蚂蚁到达蜂蜜的最 短距离为多少？ 1 1