专题26.3 反比例函数中的存在性问题专项训练（30道）（解析版）

专题263 反比例函数中的存在性问题专项训练（30 道） 【人版】 考卷信息： 本套训练卷共30 题，针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对反比例函数中的存在 性问题的理解！ 一．解答题（共30 小题） 1．（2022 春•张家川县期末）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y¿ 4 x （x＞0） 的图象交于（m，4），B（2，）两点，与x 轴相交于点． （1）求一次函数的表达式； （2）求△B 的面积； （3）在直线B 上是否存在点P，使得S△P＝3S△B，若存在，求出P 点的坐标，若不存在， 请说明理由． 【分析】（1）将点、点B 的坐标分别代入解析式即可求出m、的值，从而求出两点坐 标； （2）将△B 的面积转化为S△﹣S△B的面积即可； （3）设P（m，﹣2m+6），根据S△P＝3S△B，列出m 方程进行解答便可． 【解答】解：（1）∵点 在反比例函数y¿ 4 x 上， ∴4 m=¿4，解得m＝1， ∴点的坐标为（1，4）， 又∵点B 也在反比例函数y¿ 4 x 上， ∴4 2 =¿，解得＝2， ∴点B 的坐标为（2，2）， 1 又∵点、B 在y＝kx+b 的图象上， ∴{ k+b=4 2k+b=2， 解得{ k=−2 b=6 ， ∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+6． （2）直线y＝﹣2x+6 与x 轴的交点为， ∴点的坐标为（3，0）， ∴S△B＝S△﹣S△B¿ 1 2 ×3×4−1 2 ×3×2＝3； （3）令y＝0，得y＝﹣2x+6＝0， 解得x＝3， ∴（3，0）， ∴＝3， 设P（m，﹣2m+6）， ∵S△P＝3S△B， ∴1 2 ×3∨−2m+6∨¿3×3， 解得m＝0 或6， ∴P（0，6）或（6，﹣6）． 2．（2022•山西模拟）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象分别与x 轴、y 轴交于点， D，与反比例函数y2¿ m x （m≠0）的图象交于（﹣1，），B（2，﹣2）两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）若x 轴上存在一点P，使△BP 的面积为6，求点P 的坐标． 【分析】（1）根据点B 坐标求出m，得到反比例函数解析式，据此求出点坐标，再将， B 代入一次函数解析式； （2）设点P 的坐标为（，0），求出直线B 与x 轴交点，再结合△BP 的面积为6 得到关 1 于的方程，解之即可． 【解答】解：（1）由题意可得： 点B（2，﹣2）在反比例函数y2¿ m x （m≠0）的图象上， ∴m＝2×（﹣2）＝﹣4， ∴反比例函数的解析式为y2¿−4 x ， 将（﹣1，）代入y2¿−4 x ，得：¿−4 −1=¿4， ∴（﹣1，4）， 将，B 代入一次函数解析式中，得{ 2k+b=−2 −k+b=4 ， 解得：{ k=−2 b=2 ， ∴一次函数解析式为y1＝﹣2x+2； （2）∵点P 在x 轴上， 设点P 的坐标为（，0）， ∵一次函数解析式为y1＝﹣2x+2，令y＝0，则x＝1， ∴直线B 与x 轴交于点（1，0）， 由△BP 的面积为6，可得：1 2（y﹣yB）•| 1| ﹣＝6，即1 2 ×6⋅| 1| ﹣＝6， 解得：＝﹣1 或＝3， ∴点P 的坐标为（﹣1，0）或（3，0）． 3．（2022 春•侯马市期末）如图，直线y¿−3 2x 2 ﹣分别交x 轴、y 轴于、B 两点，与双曲线 y¿ m x （m≠0）在第二象限内的交点为，D⊥y 轴于点D，且D＝4． （1）求双曲线的解析式； （2）设点Q 是双曲线上的一点，且△QB 的面积是△B 的面积的2 倍，求点Q 的坐标； （3）在y 轴上存在点P，使P+P 最短，请直接写出点P 的坐标． 1 【分析】（1）把x＝﹣4 代入可求出点的坐标，再代入反比例函数关系式可确定k 的值， 进而确定反比例函数关系式； （2）根据直线的关系式可求出与x 轴、y 轴的交点坐标，进而求出三角形B 的面积，得 到三角形BQ 的面积后设点Q 的坐标，由三角形的面积公式列方程求解即可； （3）求出点关于y 轴对称的点′的坐标，求出直线′与y 轴的交点坐标即可． 【解答】解：（1）D＝4，即点的横坐标为﹣4， 当x＝﹣4 时，y¿−3 2 ×（﹣4）﹣2＝4， ∴点（﹣4，4）， 又∵点（﹣4，4）在反比例函数y¿ k x 的图象上， ∴k＝﹣4×4＝﹣16， ∴反比例函数的关系式为y¿−16 x ； （2）∵直线y¿−3 2x 2 ﹣分别交x 轴、y 轴于、B 两点， ∴点（−4 3 ，0），点B（0，﹣2）， 即¿ 4 3 ，B＝2， ∴S△B¿ 1 2 × 4 3 ×2¿ 4 3 ， 设Q（x，−16 x ）， 由于△QB 的面积是△B 的面积的2 倍， ∴△QB 的面积为4 3 ×2¿ 8 3 ， 即1 2B×|x|¿ 8 3， 解得x¿± 8 3， 当x¿ 8 3时，y＝﹣16× 3 8=−¿6， 当x¿−8 3时，y＝﹣16×（−3 8 ）＝6， ∴点Q（8 3，﹣6）或（−8 3 ，6）； 1 （3）点（−4 3 ，0）关于y 轴的对称点′（4 3 ，0）， 设直线′的关系式为y＝kx+b，则 { −4 k+b=4 4 3 k+b=0 ， 解得{ k=−3 4 b=1 ， ∴直线′的关系式为y¿−3 4 x+1， 当x＝0 时，y＝1， 即直线y¿−3 4 x+1 与y 的交点坐标为P（0，1）， 此时，点P（0，1）使P+P 最小． 4．（2022 春•惠山区期末）如图，一次函数y1＝x+b 与反比例函数y2¿ k x 的图象相交于 （1，6），B（6，1）两点． （1）求一次函数y1的表达式与反比例函数y2的表达式； （2）当y1＞y2，时，直接写出自变量x 的取值范围为 1 ＜ x ＜ 6 或 x ＜ 0 ； （3）在平面内存在点P，使得点、点B 关于点P 成中心对称的点恰好落在坐标轴上， 请直接写出点P 的坐标为 （1 2，1 2）或（ 3 ， 3 ） ． 【分析】（1）将（1，6），B（6，1）两点代入y＝x+b，解方程组即可； （2）观察图象即可得出答； （3）根据题意，B ′ ∥B′，B＝′B′，据此求得B′（0，5）或（0，﹣5），然后利用中点公 式即可求得． 【解答】解：（1）将（1，6），B（6，1）两点代入y＝x+b，得：{ a+b=6 6a+b=1， 1 解得：{ a=−1 b=7 ， ∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+7， 将（1，6）代入反比例函数y¿ k x 得：k＝6， ∴反比例函数的解析式为：y¿ 6 x ； （2）由图象可知，当y1＞y2时，自变量x 的取值范围为：1＜x＜6 或x＜0； 故答为：1＜x＜6 或x＜0； （3）设、B 关于点P 成中心对称的点为′、B′，则直线′B′∥B，、B、′、B′四点构成平行 四边形， ∴直线′B′的解析式为y＝﹣x±5， ∴B′（0，5）或（0，﹣5）， ∵（1，6），B（6，1）， ∴P（1 2，1 2）或（3，3）， 故答为（1 2，1 2）或（3，3）． 5．（2022•柳南区二模）如图，在平面直角坐标系中，直线B 与反比例函数y= k x ( x＞0) 的图象交于点（1，）和点B（3，1），与x 轴交于点，与y 轴交于点D． （1）求反比例函数的表达式及一次函数解析式； （2）双曲线上是否存在一点P，使点P 到原点的距离最小，如果存在，求出P 点坐标， 并求出最小距离．如果不存在，请说明理由． 1 【分析】（1）把点B（3，1）代入y= k x ( x＞0)即可求得k，把（1，）代入反比例函 数的解析式即可求得，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）解方程组{ y=x y=3 x 即可求得． 【解答】解：（1）∵直线B 与反比例函数y= k x ( x＞0)的图象交于点（1，）和点B （3，1）， ∴把点B（3，1）代入y= k x ( x＞0)得，1¿ k 3 ， ∴k＝3， ∴反比例函数的表达式为y¿ 3 x ， 把（1，）代入y¿ 3 x 得，¿ 3 1=¿3， 设直线B 的解析式为：y＝kx+b， ∴{ k+b=3 3k+b=1， 解得：{ k=−1 b=4 ， ∴一次函数解析式为：y＝﹣x+4； （2）存在， 当P 点中心直线y＝x 上时，点P 到原点的距离最小， 解{ y=x y=3 x 得{ x=❑ √3 y=❑ √3或{ x=−❑ √3 y=−❑ √3， ∴P 的坐标为（❑ √3，❑ √3）． 6．（2022•呼和浩特一模）如图，一次函数y＝k1x+b 的图象与反比例函数y¿ k❑2 x （x＜0） 的图象相交于点（﹣1，2）点B（﹣4，）． 1 （1）求此一次函数和反比例函数的表达式； （2）如图所示，请直接写出不等式k1x+b≥k❑2 x 的解集； （3）在x 轴上存在一点P，使△PB 的周长最小，直接写出点P 的坐标． 【分析】（1）把点的坐标代入反比例函数解析式求出m 的值，然后再把点B 的坐标代 入反比例函数求出的值，从而求出点B 的坐标，再把点、B 的坐标代入一次函数表达式， 利用待定系数法即可求出一次函数的解析式； （2）根据两函数的交点坐标可得答； （3）作点B 关于x 轴的对称点，连接，交x 轴于点P，此时△PB 的周长最小，设直线的 表达式为y＝x+，根据待定系数法求得解析式，令y＝0，即可求得P 的坐标． 【解答】解：（1）∵点（﹣1，2）在反比例函数图象上， ∴k2 −1=¿2， 解得k2＝﹣2， ∴反比例函数的解析式是y¿−2 x ， ∵点B（﹣4，）在反比例函数图象上， ∴¿−2 −4 =1 2， ∴点B 的坐标是（﹣4，1 2）， ∵一次函数y＝k1x+b 的图象经过点（﹣1，2）、点B（﹣4，1 2）． ∴{ −k1+b=2 −4 k1+b=1 2 解得{ k1=1 2 b=5 2 ． ∴一次函数解析式是y¿ 1 2x+5 2 ； 1 （2）不等式k1x+b≥k❑2 x 的解集为：﹣4≤x≤ 1 ﹣； （3）作B 点关于x 轴的对称点，连接交x 轴于P，则P+PB＝，此时P+PB 最小，即△PB 的周长最小， ∵点（﹣4，−1 2 ）和B 关于x 轴对称， ∴点的坐标为（﹣4，−1 2 ）， 设直线的表达式为y＝x+， ∴{ −a+c=2 −4 a+c=−1 2 ， 解得：{ a=5 6 c=17 6 ， ∴直线的表达式为：y¿ 5 6x+17 6 ， 当y＝0 时，则x¿−17 5 ， ∴P 点坐标为（−17 5 ，0）． 7．（2022•海淀区校级模拟）一次函数y＝x 1 ﹣的图象与x 轴交于点（2，0），与反比例函 数y¿ k x （k≠0）的图象的交点为和B，且点B 的横坐标是﹣2， （1）求反比例函数解析式； （2）若x 轴上存在点D，使得B＝D，直接写出点D 的坐标． 【分析】（1）把的坐标代入y＝x 1 ﹣求得的值，进而求得B 的坐标，然后利用待定系 数法即可求得反比例函数的解析式； （2）根据等腰三角形的性质即可求得． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝x 1 ﹣的图象与x 轴交于点（2，0）， 1 2 1 ∴﹣＝0，解得¿ 1 2， ∴一次函数为y¿ 1 2x 1 ﹣， 把x＝﹣2 代入得，y¿ 1 2 ×(−2)−¿1＝﹣2， ∴B（﹣2，﹣2）， ∵点B 在反比例函数y¿ k x （k≠0）的图象上， ∴k＝﹣2×（﹣2）＝4， ∴反比例函数解析式为y¿ 4 x ； （2）∵B（﹣2，﹣2），（2，0）， ∴B¿ ❑ √4 2+2 2=¿2❑ √5， ∴D（﹣2❑ √5+¿2，0）或（2❑ √5+¿2，0）． 8．（2022•香洲区校级一模）如图，（﹣3，0），B（0，﹣4），将线段B 绕点逆时针旋转 90°，点B 的对应点B′恰好在反比例函数y¿ k x （k≠0）的图象上． （1）求k 值； （2）反比例函数的图象与线段B 是否存在交点？若存在，请求出交点坐标；若不存在， 请说明理由． 1 【分析】（1）如图，过点B′作B′D⊥x 轴于点D，利用旋转的性质证明△B′D≌△B（S）， 即可求得点B′的坐标，再运用待定系数法即可求得答； （2）运用待定系数法求出直线B 的解析式，联立方程即可求得交点坐标． 【解答】解：（1）如图，过点B′作B′D⊥x 轴于点D， 则∠DB′＝90°， ∵∠B＝90°， ∴∠DB′＝∠B，∠B+∠B＝90°， ∵将线段B 绕点逆时针旋转90°得线段B′， ∴∠B+∠B′D＝90°，B′＝B， ∴∠B′D＝∠B， ∴△B′D≌△B（S）， ∴B′D＝＝3，D＝B＝4， ∴D＝D﹣＝4 3 ﹣＝1， ∴B′（1，3）， 3 ∴¿ k 1， ∴k＝3； （2）设直线B 的解析式为y＝mx+， ∵（﹣3，0），B（0，﹣4）， ∴{ −3m+n=0 n=−4 ， 解得：{ m=−4 3 n=−4 ， 1 ∴直线B 的解析式为y¿−4 3 x 4 ﹣， 将y¿ 3 x 代入y¿−4 3 x 4 ﹣，得：3 x =−4 3 x 4 ﹣， 4 ∴x2+12x+9＝0， 解得：x1＝x2¿−3 2， ∴y＝﹣2， ∴反比例函数的图象与线段B 有且只有一个交点，该交点坐标为（−3 2 ，﹣2）． 9．（2022 秋•绵阳期末）如图，在正方形B 中，点为坐标原点，点（﹣3，0），点在y 轴 正半轴上，点E，F 分别在B，上，E＝F＝2，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点E 和 F，交y 轴于点G，过点E 的反比例函数y¿ m x （m≠0）的图象交B 于点D． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）在线段EF 上是否存在点P，使S△DP＝S△PG，若存在，求出点P 的坐标；若不存在， 请说明理由． 【分析】（1）由点（﹣3，0），E＝F＝2，可得E（﹣3，2），F（﹣1，0），用待定 1 系数法即得一次函数的解析式为y＝﹣x 1 ﹣，反比例函数解析式为y¿−6 x ； （2）在y＝﹣x 1 ﹣中，得G（0，﹣1），在y¿−6 x 中，得D（﹣2，3），设P（t，﹣t 1 ﹣），根据S△DP＝S△PG有1 2 ×2•[3﹣（﹣t 1 ﹣）]¿ 1 2 ×4×（﹣t），即可解得P（−4 3 ，1 3 ）． 【解答】解：（1）∵点（﹣3，0）， ∴正方形B 边长为3，即＝B＝B＝＝3， ∵E＝F＝2， ∴F＝1， ∴E（﹣3，2），F（﹣1，0）， 把E（﹣3，2），F（﹣1，0）代入y＝kx+b 得{ −3k+b=2 −k+b=0 ， 解得{ k=−1 b=−1， ∴一次函数的解析式为y＝﹣x 1 ﹣， 把E（﹣3，2）代入y¿ m x 得2¿ m −3， 解得m＝﹣6， ∴反比例函数解析式为y¿−6 x ， 答：反比例函数解析式为y¿−6 x ，一次函数的解析式为y＝﹣x 1 ﹣； （2）存在点P，使S△DP＝S△PG， 在y＝﹣x 1 ﹣中，令x＝0 得y＝﹣1， ∴G（0，﹣1）， ∴G＝4， 在y¿−6 x 中，令y＝3 得x＝﹣2， ∴D（﹣2，3）， ∴D＝2， 设P（t，﹣t 1 ﹣）， ∵S△DP＝S△PG， ∴1 2 ×2•[3﹣（﹣t 1 ﹣）]¿ 1 2 ×4×（﹣t）， 1 解得t¿−4 3 ， ∴P（−4 3 ，1 3）． 10．（2022 秋•会宁县期末）如图，一次函数y＝﹣x 1 ﹣的图象与反比例函数y¿ k x 的图象 交于点、B，与x 轴交于点，S△＝1． （1）求点的坐标与反比例函数的表达式． （2）设直线B 与y 轴相交于点D，经过计算可知点B 的坐标为（2，﹣3）．若点Q 是y 轴上一点，是否存在点Q，使得S△QD＝S△B？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请 说明理由． （3）求﹣x 1 ﹣≥k x 的x 的取值范围． 【分析】（1）根据一次函数的解析式求得点的坐标，根据三角形的面积求得的纵坐标， 代入直线解析式即可求得坐标，然后根据待定系数法求得即可； （2）设点Q（0，y），由一次函数y＝﹣x 1 ﹣可知D（0，﹣1），则DQ＝|y+1|，根据 题意s△ADQ=1 2 ×3×∨y+1∨¿ 5 2，解方程求得y 的值，即可求得Q 的坐标； （3）观察图象即可求得． 【解答】解：（1）直线B 与x 轴的交点（﹣1，0）．设（x，y）， ∵S△＝1， ∴1 2 × y ×1=1， ∴y＝2， ∴（x，2）将点代入y＝﹣x 1 ﹣得，x＝﹣3， ∴（﹣3，2）， ∴k＝﹣3×2＝﹣6， ∴反比例函数的表达式为y=−6 x ； 1 （2）存在， ∵s△AOB=1 2 ×2×1+ 1 2 ×1×3=5 2， 设点Q（0，y）， 由一次函数y＝﹣x 1 ﹣可知D（0，﹣1）， ∴s△ADQ=1 2 ×3×∨y+1∨¿ 5 2， ∴y=2 3 或y=−8 3 ， ∴Q(0，2 3 ) 或(0，−8 3 )； （3）由图象可知，﹣x 1 ﹣≥k x 的x 的取值范围是x≤ 3 ﹣或0＜x≤2． 11．（2022•永昌县一模）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y¿ m x （m≠0）的图象相交于点（1，2），B（，﹣1）． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若直线y＝kx+b（k≠0）与x 轴交于点，x 轴上是否存在一点P，使S△P＝4？若存在， 请求出点P 坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）把点（1，2）代入y¿ m x 得到反比例函数的解析式为y¿ 2 x ；把点（1， 2），B（﹣2，﹣1）代入y＝kx+b 得到一次函数的解析式为：y＝x+1； （2）当y＝0 时，得到（﹣1，0），设P（x，0），根据三角形的面积公式即可得到结 论． 【解答】解：（1）把点（1，2）代入y¿ m x 得，2¿ m 1 ， ∴m＝2， 1 ∴反比例函数的解析式为y¿ 2 x ； 把B（，﹣1）代入y¿ 2 x 得，＝﹣2， ∴B（﹣2，﹣1）， 把点（1，2），B（﹣2，﹣1）代入y＝kx+b 得{ k+b=2 −2k+b=−1， 解得：{ k=1 b=1， ∴一次函数的解析式为：y＝x+1； （2）当y＝0 时，0＝x+1， 解得：x＝﹣1， ∴（﹣1，0）， 设P（x，0）， ∴S△P¿ 1 2 ×∨x+1∨×2=4， ∴x＝3 或x＝﹣5， ∴P（3，0）或（﹣5，0）． 12．（2022•