专题24.9 弧长与扇形的面积【八大题型】（解析版）

专题249 弧长与扇形的面积【八大题型】 【人版】 【题型1 弧长的计算】............................................................................................................................................. 1 【题型2 利用弧长公式求周长】.............................................................................................................................5 【题型3 利用弧长公式求最值】.............................................................................................................................9 【题型4 计算扇形面积】.......................................................................................................................................13 【题型5 计算不规则图形的阴影部分面积】.......................................................................................................15 【题型6 旋转过程中扫过的路径或面积】........................................................................................................... 19 【题型7 圆锥的计算】........................................................................................................................................... 25 【题型8 圆柱的计算】........................................................................................................................................... 26 【知识点1 弧长与扇形的面积】 设⊙O的半径为R，n°圆心角所对弧长为l， 弧长公式：l=nπR 180 （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关） 扇形面积公式：S 扇形= n 360 π R 2=1 2 lR 母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。 圆锥体表面积公式：S=π R 2+πRl（l为母线） 【题型1 弧长的计算】 【例1】（2022 秋•黔西南州期末）如图，四边形BD 是半径为2 的⊙的内接四边形，连 接，．若∠：∠B＝4：3，则^ ABC的长为（ ） ．8 5π B．6 5π ．4 5 π D．3 5π 【分析】设∠＝4x°，∠B＝3x°，由圆周角定理得出∠＝2∠D，求出∠D＝2x°，根据圆内接 四边形得出∠B+∠D＝180°，求出x，求出∠＝144°，再根据弧长公式求出即可． 【解答】解：设∠＝4x°，∠B＝3x°， 1 由圆周角定理得：∠＝2∠D， ∴∠D＝2x°， ∵四边形BD 是⊙的内接四边形， ∴∠B+∠D＝180°， 3 ∴x+2x＝180， 解得：x＝36， 即∠＝144°， ∴^ ABC的长为144 π ×2 180 =8 5π， 故选：． 【变式1-1】（2022•龙岩模拟）如图，在⊙中，点在优弧^ AB上，将^ BC沿B 折叠后刚好经 过B 的中点D．若⊙的半径为5，B＝4❑ √5，则^ AC的长是（ ） ．5 π 2 B．25 π 4 ．10 π 3 D．4π 【分析】连接，B，D，D，作F⊥B 于点F，作E⊥F 于点E，由垂定理可知D⊥B 于点 D，由勾股定理可得D¿ ❑ √5，再利用折叠性质判断＝D，利用等腰三角形性质得到F＝ DF¿ ❑ √5，再证明四边形DEF 为正方形，得到△FB 为等腰直角三角形，计算出弧所对圆 周角度数，进而得弧所对圆心角度数，再代入弧长公式可得弧长． 【解答】解：连接，B，D，D，作F⊥B 于点F，作E⊥F 于点E， 由垂定理可知D⊥B 于点D，D＝BD¿ 1 2 AB=2❑ √5． 又B＝5， ∴D¿ ❑ √O B 2−B D 2=❑ √25−20=❑ √5， ∵、D 所对的圆周角为∠B、∠BD，且∠B＝∠BD， ∴＝D，△D 为等腰三角形． ∵F⊥B， ∴F＝DF¿ 1 2 AD=❑ √5， 又四边形DFE 为矩形且D＝DF¿ ❑ √5， ∴四边形DFE 为正方形． 1 ∴OE=❑ √5， ∴E¿ ❑ √C O 2−O E 2=❑ √25−5=¿2❑ √5， ∴F＝E+EF＝3❑ √5=¿BF， 故△FB 为等腰直角三角形，∠B＝45°， ∴^ AC所对的圆心角为90°， ∴^ AC=90 π ⋅5 180 =5 π 2 ． 故选：． 【变式1-2】（2022•梁区校级一模）如图1 所示是一张圆形纸片，直径B＝8，现将点折叠 至圆心形成折痕D，再把、D 折叠至圆心处，最后将圆形打开铺平（如图2 所示），则 ^ EF的长是（ ） ．8 3 π B．5 3 π ．4 3 π D．2 3 π 【分析】如图2，连接、D、、D、E、F、E 和DF，由折叠及圆的半径相等可得出△、 △E、△D 和△DF 都是等边三角形，从而可求得∠EF 的度数，再由直径求得半径，则可利 用弧长公式求得答． 【解答】解：如图2，连接、D、、D、E、F、E 和DF， 由折叠及圆的半径相等可知，＝＝，D＝D＝，E＝E＝，DF＝F＝D， 1 ∴△、△E、△D 和△DF 都是等边三角形， ∴∠EF＝360° 60°×4 ﹣ ＝120°， ∵直径B＝8， ∴半径为4， ∴^ EF的长是120 π ×4 180 =8 3π． 故选：． 【变式1-3】（2022•濮阳二模）如图所示的格中，每个小正方形的边长均为1，点、、D 均 在小正方形的顶点上，点、、D、B 均在所画的弧上，若∠B＝75°，则^ AB的长为 2π ． 【分析】取D 的中点，连接B、、D，根据勾股定理求出和D，根据勾股定理的逆定理 求出∠D＝90°，得出等腰直角三角形D，求出∠D＝45°，根据圆周角定理求出∠B＝ ∠D，求出∠B，再根据圆周角定理求出∠B＝2∠B，再根据弧长公式求出答即可． 【解答】解：取D 的中点，连接B、、D， ∵小正方形的边长为1， 1 ∴D＝6， 即＝D＝3， 由勾股定理得：＝D¿ ❑ √3 2+3 2=¿3❑ √2， ∴2+D2＝（3❑ √2）2+（3❑ √2）2＝18+18＝36， ∴2+D2＝D2， ∴△D 是等腰直角三角形， ∴∠D＝45°，∠D＝90°， ∴D 是⊙的直径，半径＝3， ∴∠B＝∠D＝45°， ∵∠B＝75°， ∴∠B＝180°﹣∠B﹣∠B＝180° 45° 75° ﹣ ﹣ ＝60°， ∴∠B＝2∠B＝120°， ∴^ AB的长是120 π ×3 180 =¿2π． 【题型2 利用弧长公式求周长】 【例2】（2022•巧家县二模）如图，在扇形B 中，∠B＝90°，＝6，分别以点，B 为圆心，， B 的长为半径画弧，与^ AB相交，则图中阴影部分的周长为 6π+12 ． 【分析】根据对称性以及正三角形的性质可以得到阴影部分的周长等于圆心角为180°半 径为6 的半圆弧长加直径长，然后根据弧长公式进行计算即可． 【解答】解：如图，连接、，则＝＝， 所以△是正三角形， 由题意可知，弧B，弧D 所对应的圆心角度数为30°且半径为6，弧D、弧所对应的圆心 角度数为60°且半径为6， 所以阴影部分的周长为：圆心角为180°半径为6 的半圆弧长加直径长， 即：6π+12， 故答为：6π+12． 1 【变式2-1】（2022•焦作模拟）如图，在5×4 的格图中，每个小正方形的边长均为1 点， B，，D 均在格点上，点D 在^ AB上线段B 与^ AB交于点E，则图中阴影部分的周长为 ❑ √26 2 + ❑ √13 π 4 ．（结果保留π） 【分析】根据格构造直角三角形，利用格可得出△BM≌△，进而得出B＝，利用平角的定 义可得出△B 是等腰直角三角形，得出圆心角∠BE 的度数，利用勾股定理求出B，进而 得出半径，由弧长公式求出弧BE，再利用勾股定理求出B，进而得出BE 即可． 【解答】解：设B 的中点为，即弧BE 所在的圆心为， 如图，连接E，， 由格可知，BM＝＝3，M＝＝2，∠M＝∠＝90°， ∴△BM≌△（SS）， ∴B＝，∠BM＝∠， + ∵∠∠＝90°， ∴∠B＝180° 90° ﹣ ＝90°， ∴∠B＝∠B＝45°， ∴∠BE＝180° 45° 45° ﹣ ﹣ ＝90°， ∴BE=1 2B¿ 1 2 × ❑ √A B 2+ A C 2 ¿ 1 2 × ❑ √3 2+2 2+3 2+2 2 ¿ ❑ √26 2 ， 由弧长公式可得，弧BE 的长为90 π × ❑ √13 2 180 = ❑ √13 π 4 ， 1 ∴阴影部分的周长为 ❑ √26 2 + ❑ √13 π 4 ， 故答为： ❑ √26 2 + ❑ √13 π 4 ． 【变式2-2】（2022 秋•市中区期末）如图，正方形的空地内部要做一个绿化带（阴影部 分），已知正方形BD 外切于⊙，且边长为10 米，则绿化带的周长为 5π+10 ❑ √2 ． （结果保留π） 【分析】连接E，F，，G，根据切线的性质得到E⊥B，⊥D，求得∠＝∠＝∠E＝90°， 推出∠EF＝∠G＝∠GF＝90°，D＝＝，得到△D 与△FG 是等腰直角三角形，根据弧长公式 即可得到结论． 【解答】解：连接E，F，，G， ∵正方形BD 外切于⊙， ∴E⊥B，⊥D， ∴∠＝∠＝∠E＝90°， ∵＝E， ∴四边形E 是正方形， ∴∠E＝90°，＝， 同理，∠EF＝∠G＝∠GF＝90°，D＝＝， ∴△DG 与△FG 是等腰直角三角形， ∴绿化带的周长为2× 90⋅π ×5 180 +¿2×5❑ √2=¿5π+10❑ √2． 故答为：5π+10❑ √2． 1 【变式2-3】（2022•西山区二模）如图，等边△B 的边长为1，以为圆心，为半径画弧，交 B 的延长线于D，再以B 为圆心，BD 为半径画弧，交B 的延长线于E，再以为圆心，E 为半径画弧，交的延长线于F，则由弧D，弧DE，优弧EF 及线段F 围成的图形 （DEF）的周长为 6π+3 ． 【分析】利用弧长公式分别计算的长劣弧D，劣弧DE，优弧EF，F 的长，再相加即可 得出结论． 【解答】解：∵△B 是等边三角形， ∴＝B＝B＝1，∠B＝∠B＝∠B＝60°． ∴D＝1，∠D＝120°，∠DBE＝120°，∠FE＝120°． ∴BD＝B+D＝2，E＝F＝B+BE＝1+2＝3， ∴^ CD的长¿ 120⋅π ⋅1 180 =2 3π， ^ DE的长¿ 120⋅π ⋅2 180 = 4 3 π， 优弧EF 的长¿ 240⋅π ⋅3 180 =¿4π， ∴弧D，弧DE，优弧EF 及线段F 围成的图形（DEF）的周长为2 3π+4 3 π+4π+3＝6π+3． 故答为：6π+3． 【题型3 利用弧长公式求最值】 【例3】（2022•安宁市二模）如图，在扇形B 中，∠B＝60°，D 平分∠B 交B 于点D，点E 为半径B 上一动点．若B＝2，则阴影部分周长的最小值为（ ） 1 ．6 ❑ √2+π 2 B．2❑ √2+π 3 ．6 ❑ √2+π 3 D． ❑ √2+2π 3 【分析】利用轴对称的性质，得出当点E 移动到点E′时，阴影部分的周长最小，此时的 最小值为弧D 的长与D′的长度和，分别进行计算即可． 【解答】解：如图，作点D 关于B 的对称点D′，连接D′交B 于点E′，连接E′D、D′， 此时E′+E′D 最小，即：E′+E′D＝D′， 由题意得，∠D＝∠DB＝∠BD′＝30°， ∴∠D′＝90°， ∴D′¿ ❑ √OC 2+OD' 2= ❑ √2 2+2 2=¿2❑ √2， ^ CD的长¿ 30 π ×2 180 = π 3 ， ∴阴影部分周长的最小值为2❑ √2+ π 3 =6 ❑ √2+π 3 ． 故选：． 【变式3-1】（2022•西华县一模）如图，在菱形BD 中，∠D＝60°，B＝2，以B 为圆心，B 的长为半径画弧^ AC，点P 为菱形内一动点，连接P，P．则阴影部分周长的最小值为 2+2π 3 ． 1 【分析】由于阴影部分的周长＝P+P+^ AC的长，而^ AC的长为定值，所以当P+P 取最小 值时阴影部分周长最小，根据两点之间线段最短可知、P、三点共线时P+P 有最小值． 【解答】解：如图，连接．由题意可知，、P、三点共线时阴影部分周长最小，此时周 长为+^ AC的长． ∵在菱形BD 中，∠D＝60°，B＝2， ∴∠B＝∠D＝60°，B＝B＝2， ∴△B 是等边三角形， ∴＝2， ∴^ AC的长¿ 60 π ×2 180 =2π 3 ， ∴阴影部分周长的最小值为2+2π 3 ． 故答为：2+2π 3 ． 【变式3-2】（2022•夏邑县模拟）如图，以B 为直径作圆，、D 为圆周上的点，D∥B，B＝ D＝D＝1，∠B＝60°．若点P 为B 垂直平分线M 上的一动点，则阴影部分周长的最小值 为 ❑ √3+ π 3 ． 【分析】根据对称的性质可知阴影部分的周长的最小值为BD+弧D 长，求出BD 的长， 1 弧D 的长即可． 【解答】解：根据对称的意义可知，PD+P 的最小值为BD， 连接BD，D，由题意可知，∠D＝∠B＝60°＝∠BD， ∵＝D，∠D＝60°， ∴＝D＝D＝1， ∴B＝2＝2， ∵B 是⊙的直径， ∴∠BD＝90°， ∴BD¿ ❑ √3 2 •B¿ ❑ √3， 又弧D 的长为60×π ×1 180 = π 3 ， 所以阴影部分周长的最小值为BD+弧D 长，即 ❑ √3+ π 3 ， 故答为： ❑ √3+ π 3 ． 【变式3-3】（2022•南召县模拟）如图，在⊙中B 为其直径，EF 为B 上一线段（点F 在点 E 的左侧），点D 在B 上方的半圆上，且2^ AD=^ BD，^ AD=2^ BC，连接DF 和E，则 图中阴影部分周长的最小值为 2π+4 ❑ √2+¿4 ． 【分析】取^ BD的中点M，连接D，DM，BM，，D，M，作点关于B 的对称点'，连 接'，′M，′M 交B 于点E．根据弧、圆心角、弦的关系定理，平行四边形的判定和性质 定理，轴对称的性质，勾股定理，弧长公式解答即可． 【解答】解：如图，取^ BD的中点M，连接D，DM，BM，，D，M，作点关于B 的对称 点'，连接'，′M，′M 交B 于点E 1 ∵2^ AD=^ BD，^ AD=2^ BC， ∴^ AD，^ DM，^ MB的度数都是60°，^ CB的度数是30°， ∴MD＝D＝MB＝4，DM∥B． 又EF¿ 1 2B， ∴MD＝EF， ∴四边形DMEF 为平行四边形， ∴DF＝ME． ∵阴影部分的周长为DF+EF+E+^ DC，且和EF 为定长， ∴阴影部分的周长最小即DF+E 最小． 又DF＝ME， ∴周长最小即ME+E 最小． 由对称性可知，E＝E'， ∴ME+E＝ME+E'≥M'， 即ME+E 的最小值为M'的长． ∵∠M'＝∠BM+∠B'＝60°+30°＝90°，M＝'， ∴△M'为等腰直角三角形， ∴M'＝M＝4． ∵∠D＝∠BD﹣∠B＝120° 30° ﹣ ＝90°， ∴^ DC的长¿ 90 π ×4 180 =2π， ∴阴影部分周长的最小值为2π+4❑ √2+¿4． 故答为：2π+4❑ √2+¿4． 【题型4 计算扇形面积】 【例4】（2022•抚顺县一模）如图，矩形BD 的边长B＝1，B＝2．把B 绕B 逆时针旋转， 使恰好落在D 上的点E 处，线段B 扫过部分为扇形BE．则扇形BE 的面积是（ ） 1 ．π 3 B．1 ．2π−3 3 D．1+ π 12 【分析】根据矩形的性质得出D∥B，∠＝90°，求出∠EB＝∠EB＝30°，再根据扇形的面 积公式求出答即可． 【解答】解：∵B＝2，把B 绕B 逆时针旋转，使恰好落在D 上的点E 处， ∴BE＝B＝2， ∵四边形BD 是矩形， ∴D∥B，∠＝90°， ∵B＝1，BE＝2， ∴B¿ 1 2BE， ∴∠EB＝30°， ∵D∥B， ∴∠EB＝∠EB＝30°， ∴扇形EB 的面积是30 π ×2 2 360 = π 3 ， 故选：． 【变式4-1】（2022•湖北）一个扇形的弧长是10πm，其圆心角是150°，此扇形的面积为（ ） ．30πm2 B．60πm2 ．120πm2 D．180πm2 【分析】先根据题意可算出扇形的半径，再根据扇形面积公式即可得出答． 【解答】解：根据题意可得， 设扇形的半径为rm， 则l¿ nπr 180， 即10π¿ 150×π ×r 180 ， 解得：r＝12， ∴S¿ 1 2 rl=1 2 ×12×10 π=¿60π（m2）． 故选：B． 【变式4-2】（2022•八步区模拟）如图，在△B 中，B＝，∠＝30°，＝4，以B 为直径的⊙交 B 于点D，则图中阴影部分的面积为（ ） 1 ．π 3 B．2π 3 ．4 π 3 D．2π 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠＝30°，根据圆周角定理得到∠D＝60°，根据 扇形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：∵B＝＝4，B 为直径， ∴∠B＝∠＝30°，＝B＝2， ∴∠D＝2∠B＝60°， ∴图中阴影部分的面积¿ 60 π ×2 2 360 =2 3π， 故选：B． 【变式4-3】（2022•锦州二模）如图，在Rt△B 中，∠＝90°，∠＝30°，B¿ ❑ √3，作∠B 的平 分线BD 交于点D，以点为圆心，D 长为半径作弧，交B 于点E，则阴影部分的面积为 （ ） ．π 3 B．2π 3 ．❑ √3 D．3 ❑ √3 2 【分析】根据直角三角形