专题24.9 弧长与扇形的面积【八大题型】（原卷版）

专题249 弧长与扇形的面积【八大题型】 【人版】 【题型1 弧长的计算】............................................................................................................................................. 1 【题型2 利用弧长公式求周长】.............................................................................................................................2 【题型3 利用弧长公式求最值】.............................................................................................................................3 【题型4 计算扇形面积】.........................................................................................................................................5 【题型5 计算不规则图形的阴影部分面积】.........................................................................................................5 【题型6 旋转过程中扫过的路径或面积】............................................................................................................. 7 【题型7 圆锥的计算】............................................................................................................................................. 9 【题型8 圆柱的计算】............................................................................................................................................. 9 【知识点1 弧长与扇形的面积】 设⊙O的半径为R，n°圆心角所对弧长为l， 弧长公式：l=nπR 180 （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关） 扇形面积公式：S 扇形= n 360 π R 2=1 2 lR 母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。 圆锥体表面积公式：S=π R 2+πRl（l为母线） 【题型1 弧长的计算】 【例1】（2022 秋•黔西南州期末）如图，四边形BD 是半径为2 的⊙的内接四边形，连 接，．若∠：∠B＝4：3，则^ ABC的长为（ ） ．8 5π B．6 5π ．4 5 π D．3 5π 【变式1-1】（2022•龙岩模拟）如图，在⊙中，点在优弧^ AB上，将^ BC沿B 折叠后刚好经 过B 的中点D．若⊙的半径为5，B＝4❑ √5，则^ AC的长是（ ） 1 ．5 π 2 B．25 π 4 ．10 π 3 D．4π 【变式1-2】（2022•梁区校级一模）如图1 所示是一张圆形纸片，直径B＝8，现将点折叠 至圆心形成折痕D，再把、D 折叠至圆心处，最后将圆形打开铺平（如图2 所示），则 ^ EF的长是（ ） ．8 3 π B．5 3 π ．4 3 π D．2 3 π 【变式1-3】（2022•濮阳二模）如图所示的格中，每个小正方形的边长均为1，点、、D 均 在小正方形的顶点上，点、、D、B 均在所画的弧上，若∠B＝75°，则^ AB的长为 2π ． 【题型2 利用弧长公式求周长】 【例2】（2022•巧家县二模）如图，在扇形B 中，∠B＝90°，＝6，分别以点，B 为圆心，， B 的长为半径画弧，与^ AB相交，则图中阴影部分的周长为 ． 1 【变式2-1】（2022•焦作模拟）如图，在5×4 的格图中，每个小正方形的边长均为1 点， B，，D 均在格点上，点D 在^ AB上线段B 与^ AB交于点E，则图中阴影部分的周长为 ．（结果保留π） 【变式2-2】（2022 秋•市中区期末）如图，正方形的空地内部要做一个绿化带（阴影部 分），已知正方形BD 外切于⊙，且边长为10 米，则绿化带的周长为 ．（结果保 留π） 【变式2-3】（2022•西山区二模）如图，等边△B 的边长为1，以为圆心，为半径画弧，交 B 的延长线于D，再以B 为圆心，BD 为半径画弧，交B 的延长线于E，再以为圆心，E 为半径画弧，交的延长线于F，则由弧D，弧DE，优弧EF 及线段F 围成的图形 （DEF）的周长为 ． 1 【题型3 利用弧长公式求最值】 【例3】（2022•安宁市二模）如图，在扇形B 中，∠B＝60°，D 平分∠B 交B 于点D，点E 为半径B 上一动点．若B＝2，则阴影部分周长的最小值为（ ） ．6 ❑ √2+π 2 B．2❑ √2+π 3 ．6 ❑ √2+π 3 D． ❑ √2+2π 3 【变式3-1】（2022•西华县一模）如图，在菱形BD 中，∠D＝60°，B＝2，以B 为圆心，B 的长为半径画弧^ AC，点P 为菱形内一动点，连接P，P．则阴影部分周长的最小值为 ． 【变式3-2】（2022•夏邑县模拟）如图，以B 为直径作圆，、D 为圆周上的点，D∥B，B＝ D＝D＝1，∠B＝60°．若点P 为B 垂直平分线M 上的一动点，则阴影部分周长的最小值 为 ． 【变式3-3】（2022•南召县模拟）如图，在⊙中B 为其直径，EF 为B 上一线段（点F 在点 E 的左侧），点D 在B 上方的半圆上，且2^ AD=^ BD，^ AD=2^ BC，连接DF 和E，则 图中阴影部分周长的最小值为 ． 1 【题型4 计算扇形面积】 【例4】（2022•抚顺县一模）如图，矩形BD 的边长B＝1，B＝2．把B 绕B 逆时针旋转， 使恰好落在D 上的点E 处，线段B 扫过部分为扇形BE．则扇形BE 的面积是（ ） ．π 3 B．1 ．2π−3 3 D．1+ π 12 【变式4-1】（2022•湖北）一个扇形的弧长是10πm，其圆心角是150°，此扇形的面积为（ ） ．30πm2 B．60πm2 ．120πm2 D．180πm2 【变式4-2】（2022•八步区模拟）如图，在△B 中，B＝，∠＝30°，＝4，以B 为直径的⊙交 B 于点D，则图中阴影部分的面积为（ ） ．π 3 B．2π 3 ．4 π 3 D．2π 【变式4-3】（2022•锦州二模）如图，在Rt△B 中，∠＝90°，∠＝30°，B¿ ❑ √3，作∠B 的平 分线BD 交于点D，以点为圆心，D 长为半径作弧，交B 于点E，则阴影部分的面积为 （ ） 1 ．π 3 B．2π 3 ．❑ √3 D．3 ❑ √3 2 【题型5 计算不规则图形的阴影部分面积】 【例5】（2022•虞城县一模）如图，扇形B 中，∠B＝120°，＝2，点为B 的中点，将扇形 B 绕点顺时针旋转，点的对应点为'，连接'B，当'∥时，阴影部分的面积为（ ） ．π 2 − ❑ √3 2 B．2π 3 −2❑ √3 3 ．π 2 − ❑ √3 3 D．2π 3 − ❑ √3 2 【变式5-1】（2022•安徽模拟）如图，边长为2❑ √2的正方形BD 的中心与半径为2❑ √2的⊙ 的圆心重合，E，F 分别是D，B 的延长线与⊙的交点，则图中阴影部分的面积为（ ） ．2π 2 ﹣❑ √3 B．2π 2 ﹣ ．2π+2 D．2π+2❑ √3 【变式5-2】（2022•武汉模拟）如图，矩形BD 中．B＝3❑ √3，B＝6，以点B 为圆心、B 为 半径画弧，交B 于点E，以点D 为圆心、D 为半径画弧，交B 于点F，则阴影部分的面 积为（ ） ．51 4 π−27 ❑ √3 2 B．6π−27 ❑ √3 2 ．51 4 π−18 ❑ √3 D．27 ❑ √3 2 −3 4 π 【变式5-3】（2022•高唐县二模）如图，在菱形BD 中，对角线，BD 交于点，∠B＝30°， ＝8．过点作⊥B 于点，以点为圆心，为半径的半圆交于点M． （1）求图中阴影部分的面积； 1 （2）点P 是BD 上的一个动点（点P 不与点B，D 重合），当P+PM 的值最小时，求 PD 的长度． 【题型6 旋转过程中扫过的路径或面积】 【例6】（2022 秋•凉山州期末）如图，△B 中，B＝3，＝1．将△B 绕点逆时针方向旋转45° 后得到△D．下列结论：①∠BD＝45°；②D＝；③BD，的垂直平分线相交于点；④△有 一个角为67°；⑤B 在旋转过程中扫过的图形的面积是π；其中错误的结论有（ ） 个． ．1 B．2 ．3 D．4 【变式6-1】（2022•泰兴市二模）如图线段B 的端点在边长为1 的正方形格的格点上，现 将线段B 绕点按逆时针方向旋转90°得到线段． （1）请你用尺规在所给的格中画出线段及点B 经过的路径； （2）若将此格放在一平面直角坐标系中，已知点的坐标为（1，3），点B 的坐标为 （﹣2，﹣1），则点的坐标为 ； （3）线段B 在旋转到线段的过程中，线段B 扫过的区域的面积为 ； （4）若有一张与（3）中所说的区域形状相同的纸片，将它围成一个几何体的侧面，则 该几何体底面圆的半径长为 ． 1 【变式6-2】（2022 秋•凉州区校级月考）归纳猜想：同学们，让我们一起进行一次研究性 学习： （1）如图1 已知正三角形B 的中心为，半径为R，将其沿直线l 向右翻滚，当正三角形 翻滚一周时，其中心经过的路程是多少？ （2）如图2 将半径为R 的正方形沿直线l 向右翻滚，当正方形翻滚一周时，其中心经过 的路程是多少？ （3）猜想：把正多边形翻滚一周，其中心所经过的路程是多少（R 为正多边形的半径， 可参看图2）？请说明理由． （4）进一步猜想：任何多边形都有一个外接圆，若将任意圆内接多边形翻滚一周时， 其外心所经过的路程是否是一个定值（R 为多边形外接圆的半径）？为什么？请以任意 三角形为例说明（如图12）． 通过以上猜想你可得到什么样的结论？请写出来． 【变式6-3】（2022•扬中市一模）已知如图，在直角坐标系xy 中，点，点B 坐标分别为 （﹣1，0），（0，❑ √3），连接B，D 由△B 绕点顺时针旋转60°而得． （1）求点的坐标； （2）△B 绕点顺时针旋转60°所扫过的面积； （3）线段B 绕点顺时针旋转60°所扫过的面积． 1 【题型7 圆锥的计算】 【例7】（2022•赤峰）如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为12m，侧面展开图为半圆形， 则它的母线长为（ ） ．10m B．20m ．5m D．24m 【变式7-1】（2022•无锡）在Rt△B 中，∠＝90°，＝3，B＝4，以所在直线为轴，把△B 旋 转1 周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ） ．12π B．15π ．20π D．24π 【变式7-2】（2022 秋•北安市校级期末）用半径为3m，圆心角是120°的扇形围成一个圆 锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ） ．2πm B．15m ．πm D．1m 【变式7-3】（2022•常州一模）若用半径为9，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面 （接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是 ，侧面积为 ． 【题型8 圆柱的计算】 【例8】（2022 秋•和平区期末）如图，已知矩形BD 的周长为36m，矩形绕它的一条边D 旋转形成一个圆柱．设矩形的一边B 的长为xm（x＞0），旋转形成的圆柱的侧面积为 Sm2． （1）用含x 的式子表示： 1 矩形的另一边B 的长为 m，旋转形成的圆柱的底面圆的周长为 m； （2）求S 关于x 的函数解析式及自变量x 的取值范围； （3）求当x 取何值时，矩形旋转形成的圆柱的侧面积最大； （4）若矩形旋转形成的圆柱的侧面积等于18πm2，则矩形的长是 m，宽是 m． 【变式8-1】（2022 秋•龙凤区期末）一个底面直径8 厘米，高12 厘米的圆柱形杯子，里面 装有6 厘米深的水，把一个圆锥形铁块完全浸没在水中，水面上升到离杯口2 厘米的地 方，这个圆锥形铁块的体积是（ ）立方厘米． ．32π B．48π ．64π D．72π 【变式8-2】（2022 秋•定州市期末）有一位工人师傅将底面直径是10m，高为80m 的“瘦 长”形圆柱，锻造成底面直径为40m 的“矮胖”形圆柱，则“矮胖”形圆柱的高是（ ） ．25m B．20m ．10m D．5m 【变式8-3】（2022•黄冈）将半径为4m 的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如图 示），当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是 m． 1