专题24.2 圆心角、弧、弦的关系【九大题型】（解析版）

专题242 圆心角、弧、弦的关系【九大题型】 【人版】 【题型1 圆心角、弧、弦的概念】.........................................................................................................................1 【题型2 利用圆心角、弧、弦的关系求角度】.....................................................................................................4 【题型3 利用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】..............................................................................................6 【题型4 利用圆心角、弧、弦的关系求周长】.....................................................................................................9 【题型5 利用圆心角、弧、弦的关系求面积】...................................................................................................12 【题型6 利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】............................................................................................16 【题型7 利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】...............................................................................................19 【题型8 圆心角、弧、弦中的证明问题】........................................................................................................... 22 【题型9 圆心角、弧、弦中的的倍数关系】.......................................................................................................25 【知识点1 弧、弦、角、距的概念】 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它 们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的 “弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等 三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆 心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． 【题型1 圆心角、弧、弦的概念】 【例1】（2022 秋•余姚市期中）下列语句中，正确的有（ ） ①相等的圆心角所对的弧相等； ②等弦对等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴． ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系，等弧，轴对称等知识一一判断即可． 【解答】解：①相等的圆心角所对的弧相等，错误，条件是同圆或等圆中． 1 ②等弦对等弧，错误，弦所对的弧有两条，不一定相等． ③长度相等的两条弧是等弧，错误，等弧是完全重合的两条弧． ④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．正确． 故选：． 【变式1-1】（2022 秋•长沙县期末）如图，四边形BD 内接于⊙，∠B＝∠D，则下列正确 的是（ ） ．B＝D B．B＝D ．^ AB=^ AD D．∠B＝∠D 【分析】根据∠B＝∠D，得到^ BC=^ CD，根据圆心角、弧、弦的关系得到B＝D． 【解答】解：∵∠B＝∠D， ∴^ BC=^ CD， ∴B＝D， 故选：B． 【变式1-2】（2022 秋•凯里市校级期中）如图，在⊙中，^ AB=^ CD，则下列结论中：①B ＝D；②＝BD；③∠＝∠BD；④^ AC=^ BD，正确的是 ①②③④ （填序号）． 【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可． 【解答】解：在⊙中，^ AB=^ CD， ∴B＝D，故①正确； ∵B 为公共弧， ∴^ AC=^ BD故④正确； ∴＝BD，故②正确； ∴∠＝∠BD，故③正确． 故答为：①②③④． 【变式1-3】（2022 秋•武汉期末）如图，⊙中，弦B⊥D，垂足为E，F 为^ CBD的中点， 连接F、BF、，F 交D 于M，过F 作F⊥，垂足为G，以下结论：①^ CF=^ DF；②＝ 1 BF：③MF＝F：④^ DF+^ AH=^ BF+^ AF，其中成立的个数是（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【分析】根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断 即可． 【解答】解：∵F 为^ CBD的中点， ∴^ CF=^ DF，故①正确， ∴∠FM＝∠F， ∵∠F＝∠M+∠MF，∠ME＝∠FM＝∠M+∠F， ∴∠ME＝∠FM＝∠FG＞∠FM， ∴F＞FM，故③错误， ∵B⊥D，F⊥， ∴∠EM＝∠GF＝90°， ∴∠F+∠FG＝90°，∠BF+∠ME＝90°， ∴∠F＝∠BF， ∴^ CH=^ BF， ∴＝BF，故②正确， ∵∠GF＝90°， ∴∠F+∠F＝90°， ∴^ AH的度数+^ CF的度数＝180°， ∴^ CH的度数+^ AF的度数＝180°， ∴^ AH +^ CF=^ AH +^ DF=^ CH +^ AF=^ AF+^ BF，故④正确， 故选：． 1 【题型2 利用圆心角、弧、弦的关系求角度】 【例2】（2022•资中县一模）如图，B，D 是⊙的直径，^ AE=^ BD，若∠E＝32°，则∠E 的 度数是（ ） ．32° B．60° ．68° D．64° 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由^ AE=^ BD得到∠BD＝∠E＝32°，然后利用对顶 角相等得∠BD＝∠＝32°，易得∠E＝64°． 【解答】解：∵^ AE=^ BD， ∴∠BD＝∠E＝32°， ∵∠BD＝∠， ∴∠＝32° ∴∠E＝32°+32°＝64°． 故选：D． 【变式2-1】（2022•灌阳县一模）如图，在⊙中，^ AB=^ CD，∠1＝45°，则∠2＝（ ） ．60° B．30° ．45° D．40° 【分析】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等即可得到结论． 【解答】解：∵^ AB=^ CD， 2 ∴∠＝∠1＝45°， 故选：． 【变式2-2】（2022 秋•天河区期末）如图，在⊙中，＝BD，若∠＝120°，则∠BD＝ 120° ． 1 【分析】证明^ AC=^ BD可得结论． 【解答】解：∵＝BD， ∴^ AC=^ BD， ∴∠BD＝∠＝120°， 故答为：120°． 【变式2-3】（2022 秋•亭湖区期末）如图，B 是⊙的直径，^ BC=^ CD=^ DE，∠D＝34°， 则∠E 的度数是 51° ． 【分析】由^ BC=^ CD=^ DE，可求得∠B＝∠ED＝∠D＝34°，继而可求得∠E 的度数；然 后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠E 的度数． 【解答】解：如图，∵^ BC=^ CD=^ DE，∠D＝34°， ∴∠B＝∠ED＝∠D＝34°， ∴∠E＝180°﹣∠ED﹣∠D﹣∠B＝78°． 又∵＝E， ∴∠E＝∠E， ∴∠E¿ 1 2 ×（180° 78° ﹣ ）＝51°． 故答为：51°． 【题型3 利用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】 【例3】（2022 春•永嘉县校级期末）如图，半径为R 的⊙的弦＝BD．且⊥BD 于E，连接 B，D，若D＝2❑ √2，则半径R 的长为（ ） 1 ．1 B．❑ √2 ．2 D．2❑ √2 【分析】连接，D，由弦＝BD，可得^ AC=^ BD，继而可得^ BC=^ AD，然后由圆周角定 理，证得∠BD＝∠B，即可判定E＝BE，由E＝BE，⊥BD，可求得∠BD＝45°，继而可得 △D 是等腰直角三角形，则可求得D¿ ❑ √2R，由此即可解决问题． 【解答】解：连接，D， ∵弦＝BD， ∴^ AC=^ BD， ∴^ BC=^ AD， ∴∠BD＝∠B， ∴E＝BE， ∵⊥BD，E＝BE， ∴∠BE＝∠BE＝45°， ∴∠D＝2∠BE＝90°， ∵＝D， ∴D¿ ❑ √2R， ∵D＝2❑ √2， ∴R＝2， 故选：． 【变式3-1】（2022•桂平市二模）如图，在Rt△B 中∠B＝60°，以直角边B 为直径的⊙交线 段于点E，点M 是弧E 的中点，M 交于点D，⊙的半径是6，则MD 的长度为（ ） 1 ． ❑ √3 2 B．3 2 ．3 D．2❑ √3 【分析】根据三角形内角和定理求出∠＝30°，根据垂径定理求出D⊥E，根据含30°角的 直角三角形的性质求出D，再求出MD 即可． 【解答】解：∵∠B＝90°，∠B＝60°， ∴∠＝30°， ∵M 为弧E 的中点，M 过圆心， ∴M⊥D， ∴∠D＝90°， ∴D¿ 1 2¿ 1 2 ×6=¿3， ∴MD＝M﹣D＝6 3 ﹣＝3， 故选：． 【变式3-2】（2022•渝中区校级模拟）如图，B 是⊙的直径，点D 是弧的中点，过点D 作 DE⊥B 于点E，延长DE 交⊙于点F，若E＝2，⊙的直径为10，则长为（ ） ．5 B．6 ．7 D．8 【分析】根据垂径定理求出DE＝EF，^ AD=^ AF，求出^ ADC=^ DAF，求出＝DF，求出 EF 的长，再求出DF 长，即可求出答． 【解答】解：连接F，如图： ∵DE⊥B，B 过圆心， ∴DE＝EF，^ AD=^ AF， ∵D 为弧的中点， ∴^ AD=^ DC， 1 ∴^ ADC=^ DAF， ∴＝DF， ∵⊙的直径为10， ∴F＝＝5， ∵E＝2， ∴E＝﹣E＝5 2 ﹣＝3， 在Rt△EF 中，由勾股定理得：EF¿ ❑ √O F 2−O E 2= ❑ √5 2−3 3=¿4， ∴DE＝EF＝4， ∴＝DF＝DE+EF＝4+4＝8， 故选：D． 【变式3-3】（2022 秋•曾都区期中）如图，在⊙中，¿ 1 2B，直径B＝2❑ √5，^ BD=^ CD，则 D＝ 3 ❑ √2 ． 【分析】如图，连接DB，D，过点D 作DE⊥B 于点E，DF⊥交的延长线于点F．证明 四边形DEF 是正方形，可得D¿ ❑ √2F，想办法求出F，可得结论． 【解答】解：如图，连接DB，D，过点D 作DE⊥B 于点E，DF⊥交的延长线于点F． ∵B 是直径， ∴∠B＝90°， ∵B＝2❑ √5，B＝2， ∴＝2，B＝4， ∵∠DE＝∠EF＝∠DF＝90°， ∴四边形DEF 是矩形， ∵D 平分∠B， ∴DE＝DF， 1 ∴四边形DEF 是正方形， ∴D¿ ❑ √2F， ∵∠DB＝∠D， ∴^ BD=^ CD， ∴BD＝D， ∵∠DEB＝∠F＝90°，DB＝D，DE＝DF， Rt ∴ △DEB Rt ≌ △DF（L）， ∴BE＝F， ∴B+＝E+BE＝F﹣F＝2F＝6， ∴F＝3， ∴D¿ ❑ √2F＝3❑ √2， 故答为：3❑ √2． 【题型4 利用圆心角、弧、弦的关系求周长】 【例4】（2022 秋•龙口市期末）如图，已知⊙的半径等于1m，B 是直径，，D 是⊙上的两 点，且^ AD=^ DC=^ CB，则四边形BD 的周长等于（ ） ．4m B．5m ．6m D．7m 【分析】如图，连接D、．根据圆心角、弧、弦间的关系证得△D、△D、△B 是等边三角 形，然后由等边三角形的性质求得线段D、D、B 与已知线段间的数量关系． 【解答】解：如图，连接D、． ∵^ AD=^ DC=^ CB（已知）， ∴∠D＝∠D＝∠B（在同圆中，等弧所对的圆心角相等）； ∵B 是直径， ∴∠D+∠D+∠B＝180°， ∴∠D＝∠D＝∠B＝60°； ∵＝D（⊙的半径）， ∴△D 是等边三角形， ∴D＝D＝； 同理，得 ＝D＝D，＝B＝B， 1 ∴D＝D＝B＝， ∴四边形BD 的周长为：D+D+B+B＝5＝5×1m＝5m； 故选：B． 【变式4-1】（2022 秋•海口期末）如图，、B 是半径为3 的⊙上的两点，若∠B＝120°，是 ^ AB的中点，则四边形B 的周长等于 12 ． 【分析】通过等弧所对的圆心角相等和∠B＝120°，得到△和△B 都是等边三角形，再求出 四边形B 的周长． 【解答】解：∵是^ AB的中点 ∴∠＝∠B，而∠B＝120° ∴∠＝∠B＝60° ∴△和△B 都是等边三角形 ∴＝B＝＝B＝3 所以四边形B 的周长等于12． 故填12． 【变式4-2】（2022 秋•西林县期末）如图，在⊙中，∠B＝60°，弦B＝3m，那么△B 的周长 为 9 m ． 【分析】由＝B，得△B 为等边三角形进行解答． 【解答】解：∵＝B，∠B＝60°， ∴△B 为等边三角形， ∴＝B＝B 1 ∵B＝3m， ∴△B 的周长为3+3+3＝9（m）． 故答为：9m． 【变式4-3】（2022•江北区校级开学）如图，⊙的弦＝BD，且⊥BD 于E，连接D，若D＝ 3❑ √6，则⊙的周长为 6 ❑ √3π ． 【分析】接B，，D，根据⊙的弦＝BD 求出^ BC=^ AD，根据圆周角定理求出∠B＝ ∠BD，求出∠BD＝∠B¿ 1 2（180°﹣∠EB）＝45°，根据圆周角定理求出∠D＝2∠BD＝ 90°，解直角三角形求出，再求出答即可． 【解答】解：连接B，，D， ∵⊙的弦＝BD， ∴^ ABC=^ BAD， ∴^ BC=^ AD， ∴∠B＝∠BD， ∵⊥BD， ∴∠EB＝90°， ∴∠BD＝∠B¿ 1 2（180°﹣∠EB）＝45°， ∴∠D＝2∠BD＝90°， 即△D 是等腰直角三角形， ∵D＝3❑ √6，2+D2＝D2， ∴＝3❑ √3， ∴⊙的周长是2×π×3❑ √3=¿6❑ √3π， 故答为6❑ √3π． 1 【题型5 利用圆心角、弧、弦的关系求面积】 【例5】（2022•海丰县模拟）如图，，B 是⊙上的点，∠B＝120°，是^ AB的中点，若⊙的 半径为5，则四边形B 的面积为（ ） ．25 B．25❑ √3 ．25 ❑ √3 4 D．25 ❑ √3 2 【分析】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到∠＝∠B＝60°，易得△和 △B 都是等边三角形，即可解决问题． 【解答】解：连，如图， ∵是^ AB的中点，∠B＝120°， ∴∠＝∠B＝60°， 又∵＝＝B， ∴△和△B 都是等边三角形， ∴S 四边形B＝2× 1 2 ×5 2× ❑ √3 2 =25 2 ❑ √3． 故选：D． 【变式5-1】（2022•嘉兴二模）如图所示，在10×10 的正方形格中有一半径为5 的圆，一 条折线将它分成甲、乙两部分．S 甲表示甲的面积，则S 甲＝ 25 π 2 ． 1 【分析】由题意得到B＝D＝6，D＝B＝8，求得S 弓形D＝S 弓形B，S 弓形B＝S 弓形D，根据三 角形的面积公式得到S△BE+S△DEF＝S△BEF+S△DF，于是得到结论． 【解答】解：如图，B＝D＝6，D＝B＝8， ∴S 弓形D＝S 弓形B，S 弓形B＝S 弓形D， ∵S△BE+S△DEF＝S△BEF+S△DF， ∴S 甲＝S 乙¿ 1 2S 圆¿ 25 π 2 ， 故答为：25 π 2 ． 【变式5-2】（2022 秋•朝阳区校级期末）如图，在⊙中，^ AC=^ CB，D⊥于点D，E⊥B 于 点E． （1）求证：D＝E； （2）若∠B＝120°，＝2，求四边形DE 的面积． 【分析】（1）连接，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠＝∠B，根据角平分线的性 1 质定理证明结论； （2）根据直角三角形的性质求出D，根据勾股定理求出D，根据三角形的面积公式计 算，得到答． 【解答】（1）证明：连接， ∵^ AC=^ BC， ∴∠＝∠B，又D⊥，E⊥B， ∴D＝E； （2）解：∵∠B＝120°， ∴∠＝∠B＝60°， ∵∠D＝90°， ∴∠D＝30°， ∴D¿ 1 2＝1， ∴D¿ ❑ √OC 2−O D 2= ❑ √2 2−1 2=❑ √3， ∴△D 的面积¿ 1 2 ×D×D¿ ❑ √3 2 ， 同理可得，△E 的面积¿ 1 2 ×E×E¿ ❑ √3 2 ， ∴四边形DE 的面积¿ ❑ √3 2 + ❑ √3 2 =❑ √3． 【变式5-3】（2022•浙江自主招生）如图，在半径为1 的⊙上任取一点，连续以1 为半径 在⊙上截取B＝B＝D，分别以、D 为圆心到的距离为半径画弧，两弧交于E，以为圆心 到E 的距离为半径画弧，交⊙于F．则△F 面积是（ ） ．❑ √2 B．❑ √3 ． ❑ √3+2❑ √2 4 D． ❑ √3+3 4 1 【分析】连，B，D，DF，过作G⊥F 于G 点，由B＝＝B＝1，得到∠B＝60°，弧B 的度 数＝60°，而B＝B＝D，得弧BD 的度数＝3×60°＝180°，所以D 为⊙的直径，∠F＝ 60°；再由＝F＝E，则D 平分F，EF 过点，弧FD＝弧F，得到△FD 为等腰直角三角形， 可得F¿ ❑ √2 2 D¿ ❑ √2，在Rt△GF 中，GF¿ 1 2F¿ ❑ √2 2 ，G¿ ❑ √3GF¿ ❑ √6 2 ，在Rt△G 中，G＝G ¿ ❑ √6 2 ，最后利用三角形的面积公式即可求出△F 面积． 【解答】解：连，B，D，DF，过作G⊥F 于G 点，连E 交⊙于，连，如图， ∵B＝＝B＝1， ∴△B 为等边三角形， ∴∠B＝60°， ∴弧B 的度数＝60°， 又∵B＝B＝D， ∴弧B＝弧B＝弧D， ∴弧BD 的度数＝3×60°＝180°， ∴D 为⊙的直径，∠F＝60°， ∵＝F＝E¿ ❑ √2，∴D 平分F，∴EF 过点， ∴弧FD＝弧F， ∴△FD 为等腰直角三角形， ∴∠F＝∠FD＝45°，F¿ ❑ √2 2 D¿ ❑ √2， 在Rt△GF 中，GF¿ 1 2F¿ ❑ √2 2 ，