专题11.1 与三角形有关的线段【八大题型】（解析版）

专题111 与三角形有关的线段【八大题型】 【人版】 【题型1 三角形的分类】.........................................................................................................................................1 【题型2 判断三角形的个数】.................................................................................................................................3 【题型3 三角形三边关系的应用】.........................................................................................................................5 【题型4 三角形的稳定性】.....................................................................................................................................7 【题型5 三角形的角平分线、中线和高线概念辨析】..........................................................................................9 【题型6 三角形的中线与面积问题】................................................................................................................... 11 【题型7 三角形的中线与周长问题】................................................................................................................... 14 【题型8 证明三角形中线段不等关系】............................................................................................................... 17 【知识点1 三角形的概念】 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形 【知识点2 三角形的分类】 按边分类：三角形{ 三边都不相等的三角形 等腰三角形{ 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 按角分类：三角形{ 直角三角形 斜三角形{ 锐角三角形 钝角三角形 【题型1 三角形的分类】 【例1】（2021 秋•漳平市期中）下列说法正确的有（ ） ①等腰三角形是等边三角形； ②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形； ③等腰三角形至少有两边相等； ④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． ．①② B．①③④ ．③④ D．①②④ 【分析】①根据等腰三角形及等边三角形的定义进行解答即可； ②由三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分为底和腰 不相等的三角形和等边三角形，可得结论； ③根据等腰三角形的定义进行解答； 1 ④根据三角形按角分类情况可得答． 【解答】解：①∵有两个边相等的三角形叫等腰三角形，三条边都相等的三角形叫等边 三角形， ∴等腰三角形不一定是等边三角形， ∴①错误； ②∵三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分为底和腰 不相等的三角形和等边三角形， ∴②错误； ③∵两边相等的三角形称为等腰三角形， ∴③正确； ④∵三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形， ∴④正确． 故选：． 【变式1-1】（2021 秋•威县期末）下列关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法， 则（ ） ．甲、乙两种分法均正确 B．甲分法正确，乙分法错误 ．甲分法错误，乙分法正确 D．甲、乙两种分法均错误 【分析】给出知识树，分析其中的错误，这就要求平时学习扎实认真，概念掌握的准确． 【解答】解：甲正确的分类应该为 ，乙分法正确； 故选：． 【变式1-2】（2021 秋•阳新县期末）如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（ ） 1 ．M 表示三边均不相等的三角形，表示等腰三角形，P 表示等边三角形 B．M 表示三边均不相等的三角形，表示等边三角形，P 表示等腰三角形 ．M 表示等腰三角形，表示等边三角形，P 表示三边均不相等的三角形 D．M 表示等边三角形，表示等腰三角形，P 表示三边均不相等的三角形 【分析】根据三角形按边的分类可直接选出答． 【解答】解：三角形根据边分类如下： 三角形{ 不等边三角形 等腰三角形{ 底和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 ； 故选：B． 【变式1-3】（2021 秋•静安区期末）下列说法错误的是（ ） ．任意一个直角三角形都可以被分割成两个等腰三角形 B．任意一个等腰三角形都可以被分割成两个等腰三角形 ．任意一个直角三角形都可以被分割成两个直角三角形 D．任意一个等腰三角形都可以被分割成两个直角三角形 【分析】根据等腰三角形的判定和直角三角形的性质判断即可． 【解答】解：、任意一个直角三角形被斜边的中线分割成两个等腰三角形，说法正确； B、有的等腰三角形不能分割成两个等腰三角形，说法错误； 、任意一个直角三角形可以被斜边的高分割成两个直角三角形，说法正确； D、任意一个等腰三角形可以被底边上的高分割成两个直角三角形，说法正确； 故选：B． 【题型2 判断三角形的个数】 【例2】（2021•蒙阴县校级开学）如图中三角形的个数是（ ） ．3 B．4 ．5 D．6 【分析】结合图形写出所有的三角形，得到答． 【解答】解：图中有△BE、△B、△BE、△BD、△ED 共5 个， 故选：． 1 【变式2-1】（2022 春•建邺区校级期中）如图，以B 为边的三角形的个数是（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【分析】根据三角形的概念、结合图形写出以B 为边的三角形． 【解答】解：△B、△BE、△BF、△BD 四个三角形是以B 为边的三角形， 故选：D． 【变式2-2】（2021 秋•安徽期中）现有若干个三角形，在所有的内角中，有5 个直角，3 个钝角，25 个锐角，则在这些三角形中锐角三角形的个数是（ ） ．3 B．4 或5 ．6 或7 D．8 【分析】根据三角形的定义，先得出三角形的个数．再根据三角形的分类，得出锐角三 角形的个数． 【解答】解：由题意得：若干个三角形，在所有的内角中，有5 个直角，3 个钝角，25 个锐角时， ∴共有33÷3＝11 个三角形； 又三角形中，最多有一个直角或最多有一个钝角，显然11 个三角形中，有5 个直角三 角形和3 个钝角三角形； 故还有11 5 3 ﹣﹣＝3 个锐角三角形． 故选：． 【变式2-3】（2022 秋•饶平县校级期末）观察图形规律： （1）图①中一共有 个三角形，图②中共有 个三角形，图③中共有 个 三角形． （2）由以上规律进行猜想，第个图形共有 个三角形． 【分析】（1）根据图形直接数出三角形个数即可； （2）根据（1）中所求得出数字变化规律，进而求出即可． 【解答】解：（1）如图所示：图①中一共有3 个三角形，图②中共有6 个三角形，图 ③中共有10 个三角形． 故答为：3，6，10； 1 （2）∵1+2＝3，1+2+3＝6，1+2+3+4＝10， ∴第个图形共有：1+2+3+…+（+1）¿ (n+1)(n+2) 2 ． 故答为：(n+1)(n+2) 2 ． 【知识点3 三角形的三边关系】 三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要 两条较短的线段 长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 【题型3 三角形三边关系的应用】 【例3】（2022•平桂区二模）老师布置了一份家庭作业：用老师给的三根小木棍做出一个 三角形木架，三根小木棍的长度分别为：5m、9m、10m，要求只能对10m 的小木棍进 行裁剪（裁剪后长度为整数）．你认为同学们最多能做出（ ）个不同的三角形木架． ．1 B．2 ．6 D．10 【分析】根据三角形的三边关系列出不等式组，判断即可． 【解答】解：设从10m 的小木棍上裁剪的线段长度为xm， 则9 5 ﹣＜x＜9+5，即4＜x＜14， ∴整数x 的值为5m、6m、7m、8m、9m、10m， ∴同学们最多能做出6 个不同的三角形木架， 故选：． 【变式3-1】（2022 春•秦淮区期中）如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框， 不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均 可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（ ） ．7 B．10 ．11 D．14 【分析】分四种情况、根据三角形的三边关系解答即可． 【解答】解：①选3+4、6、8 作为三角形，则三边长为7、6、8；7 6 ﹣＜8＜7+6，能构 成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为8； 1 ②选6+4、3、8 作为三角形，则三边长为10、3、8；8 3 ﹣＜10＜8+3，能构成三角形， 此时两个螺丝间的最大距离为10； ③选3+8、4、6 作为三角形，则三边长为111、4、6；4+6＜11，不能构成三角形，此 种情况不成立； ④选6+8、3、4 作为三角形，则三边长为14、3、4；而3+4＜14，不能构成三角形，此 种情况不成立； 综上所述，任两螺丝的距离之最大值为10， 故选：B． 【变式3-2】（2022•襄州区模拟）一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别为5 和9， 则满足上述条件的三角形个数为（ ） ．2 个 B．4 个 ．6 个 D．8 个 【分析】首先设三角形第三边长为x，根据三角形的三边关系可得9 5 ﹣＜x＜5+9，解不 等式可得x 的取值范围，再根据周长是偶数确定x 的值，进而可得答． 【解答】解：设三角形第三边长为x，由题意得： 9 5 ﹣＜x＜5+9， 解得：4＜x＜14， ∵周长是偶数， ∴x＝6，8，10，12，共4 个． 故选：B． 【变式3-3】（2021 秋•祁阳县期末）已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是 4，但它不是最短边，这样的三角形的个数为（ ） ．6 个 B．8 个 ．10 个 D．12 个 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，用穷举法即 可得出答． 【解答】解：∵三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是4，但它不是最短边， 列举法：当4 是最大边时，有（1，4，4），（2，3，4），（2，4，4），（3，3， 4），（3，4，4）． 当4 是中间的边时，有（2，4，5），（3，4，5），（3，4，6）．共8 个， 故选：B． 【知识点4 三角形的稳定性】 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定 性．这一特性主 要应用在实际生活中 1 【题型4 三角形的稳定性】 【例4】（2021 春•左权县月考）我国建造的港珠澳大桥全长55 公里，集桥、岛、隧于一 体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜 拉索大桥中运用的数学原理是 ． 【分析】根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性． 【解答】解：可以推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是三角形的稳定性． 故答为：三角形的稳定性． 【变式4-1】（2021 秋•云梦县月考）下列生活中的一些事实运用了“三角形稳定性”的是 （ ） ． B． ． D． 【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边 形的形状就不会改变． 【解答】解：童座架利用三角形的稳定性，座架形成三角形不变形，结实，故符合题意； 、B、D 不是三角形，故选项不符合题意． 故选：． 【变式4-2】（2021 秋•龙岩期末）下列图形中，不具有稳定性的是（ ） ． B． 1 ． D． 【分析】根据三角形具有稳定性进行解答即可． 【解答】解：、不具有稳定性，故此选项符合题意； B、具有稳定性，故此选项不符合题意； 、具有稳定性，故此选项不合题意； D、具有稳定性，故此选项不符合题意； 故选：． 【变式4-3】（2021 秋•岚皋县校级月考）要使如图所示的六边形木架不变形，则至少需要 钉上木条的根数为（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【分析】三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形需把它分成三角形，即过六边 形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条． 【解答】解：过六边形的一个顶点作对角线，有6 3 ﹣＝3 条对角线， 所以至少要钉上3 根木条． 故选：． 【知识点5 三角形的角平分线、中线和高】 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点 间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直 角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角 形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 【题型5 三角形的角平分线、中线和高线概念辨析】 【例5】（2022 春•泗县期中）如图，在△B 中，∠1＝∠2，G 为D 的中点，延长BG 交于 1 E．F 为B 上的一点，F⊥D 于．下列判断正确的有（ ） ．D 是△BE 的角平分线 B．BE 是△BD 边D 上的中线 ．为△D 边D 上的高 D．为△B 的角平分线 【分析】根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断． 连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线； 三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线； 从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高． 【解答】解：、根据三角形的角平分线的概念，知G 是△BE 的角平分线，故本选项错误； B、根据三角形的中线的概念，知BG 是△BD 的边D 上的中线，故本选项错误； 、根据三角形的高的概念，知为△D 的边D 上的高，故本选项正确； D、根据三角形的角平分线的概念，知D 是△B 的角平分线，故本选项错误． 故选：． 【变式5-1】（2021 春•镇江期中）如图，△B 的角平分线D 与中线BE 相交于点，有下列两 个结论：①是△BE 的角平分线：②DE 是△D 的中线，其中（ ） ．只有①正确 B．只有②正确 ．①和②都正确 D．①和②都不正确 【分析】易得∠BD＝∠D，E＝E，根据这两个条件判断所给选项是否正确即可． 【解答】解：∵△B 的角平分线D 与中线BE 相交于点， ∴∠BD＝∠D，E＝E， ①在△BE 中，∠BD＝∠D，∴是△BE 的角平分线，故①正确； ②在△D 中，E＝E，∴DE 是△D 的中线，故②正确； 故选：． 【变式5-2】（2022 春•静安区期中）下列判断错误的是（ ） ．三角形的三条高的交点在三角形内 B．三角形的三条中线交于三角形内一点 1 ．直角三角形的三条高的交点在直角顶点 D．三角形的三条角平分线交于三角形内一点 【分析】根据三角形的角平分线，中线，高的定义一一判断即可． 【解答】解：、锐角三角形的三条高的交点在三角形内，故本选项说法错误，符合题意； B、三角形的三条中线交于三角形内一点，故本选项说法正确，不符合题意； 、直角三角形的三条高的交点在直角顶点，故本选项说法正确，不符合题意； D、三角形的三条角平分线交于三角形内一点，故本选项说法正确，不符合题意． 故选：． 【变式5-3】（2021 秋•茶陵县期末）下列说法中，正确的个数是（ ） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三 条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中 线、三条高分别交于一点． ．1 B．2 ．3 D．4 【分析】根据三角形的三条中线都在三角形内部； 三角形的三条角平分线都在三角形内部； 三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上． 【解答】解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确； ②钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误； ③直角三角形有两条直角边和直角到对边的垂线段共三条高，故错误； ④三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定 交于一点，高线指的是线段，故错误． 所以正确的有1 个． 故选：． 【题型6 三角形的中线与面积问题】 【例6】（2022 春•广州期中）如图，△B 的面积是24，点D、E、F、G 分别是B、D、 BE、E 的中点，则△FG 的面积是（ ） ．9 B．95 ．105 D．10 1 【分析】根据中线的性质，可得：△EF 的面积¿ 1 2 ×△BE 的面积¿ 1 4 ×△BD 的面积¿ 1 8 × △B 的面积＝3，△EG 的面积＝3，根据三角形中位线的性质可得△EFG 的面积¿ 1 4 ×△BE 的面积＝3，进而得到△FG 的面积． 【解答】解：∵点D 是B 的中点， ∴D 是△B 的中线， ∴△BD 的面积＝△D 的面积¿ 1 2 ×△B 的面积， 同理得：△EF 的面积¿ 1 2 ×△BE 的面积¿ 1 4 ×△BD 的面积¿ 1 8 ×△B 的面积¿ 1 8 ×24＝3， △EG 的面积＝3， △BE 的面积¿ 1 2 ×△B 的面积＝12， 又∵FG 是△BE 的中位线， ∴△EFG 的面积¿ 1 4 ×△BE 的面积¿ 1 4 ×12＝3， ∴△FG 的面积是3×3＝9， 故选：． 【变式6-1】（2022 春•邗江区校级期中）如图，在△B 中，D，E 分别是B，D 的中点，点 F 在BE 上，且EF＝2BF，若S△BF＝2m2，则S△B＝（ ） ．3 B．6 ．8 D．12 【分析】根据EF＝2BF，S△BF＝2m2，求得S△BE＝3S△BF＝6m2，根据三角形中线把三角 形分成两个面积相等的三角