题型9 2次函数综合题（复习讲义）（学生版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 题型九二次函数综合题（复习讲义） 【考点总结|典例分析】 二次函数的综合 1、函数存在性问题 解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式 设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后 结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符 合题意，则该点存在，否则该点不存在． 2、函数动点问题 （1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似 等有关的二次函数综合题． （2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运 动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到 大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答． （3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是 多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后 结合题干中与动点有关的条件进行计算． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 1．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）已知二次函数 ． (1)当 时， ①求该函数图象的顶点坐标． ②当 时，求 的取值范围． (2)当 时， 的最大值为2；当 时， 的最大值为3，求二次函数的表达式． 2 已知抛物线 的对称轴为直线 ． （1）求的值； （2）若点M（x1，y1），（x2，y2）都在此抛物线上，且 ， ．比较 y1与y2的大小，并说明理由； （3）设直线 与抛物线 交于点、B，与抛物线 交于点，D，求线段B 与线段D 的长度之比． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 3 已知抛物线 ． (1)如图①，若抛物线图象与 轴交于点 ，与 轴交点 ．连接 ． ①求该抛物线所表示的二次函数表达式； ②若点 是抛物线上一动点（与点 不重合），过点 作 轴于点 ，与线段 交 于点 ．是否存在点 使得点 是线段 的三等分点？若存在，请求出点 的坐标；若 不存在，请说明理由． (2)如图②，直线 与 轴交于点 ，同时与抛物线 交于点 ， 以线段 为边作菱形 ，使点 落在 轴的正半轴上，若该抛物线与线段 没有交 点，求 的取值范围． 4 在平面直角坐标系xy 中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋经过点（－1，0）和点B（0， 3），顶点为，点D 在其对称轴上，且位于点下方，将线段D 绕点D 按顺时针方向旋转 90°，点落在抛物线上的点P 处． (1)求抛物线的解析式； (2)求点P 的坐标； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (3)将抛物线平移，使其顶点落在原点，这时点P 落在点E 的位置，在y 轴上是否存在点 M，使得MP＋ME 的值最小，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2023·湖南·统考中考真题）如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两 点，与 轴交于 点，其中 ， ． (1)求这个二次函数的表达式； (2)在二次函数图象上是否存在点 ，使得 ？若存在，请求出 点坐标；若不 存在，请说明理由； (3)点 是对称轴上一点，且点 的纵坐标为 ，当 是锐角三角形时，求 的取值 范围． 6 抛物线 与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点，且 ． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P 是抛物线上位于直线 上方的一点， 与 相交于点E，当 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 时，求点P 的坐标； （3）如图2，点D 是抛物线的顶点，将抛物线沿 方向平移，使点D 落在点 处，且 ，点M 是平移后所得抛物线上位于 左侧的一点， 轴交直线 于点，连结 ．当 的值最小时，求 的长． 7 已知二次函数 ，其中 ． (1)当该函数的图像经过原点 ，求此时函数图像的顶点 的坐标； (2)求证：二次函数 的顶点在第三象限； (3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线 上运 动，平移后所得函数的图像与 轴的负半轴的交点为 ，求 面积的最大值． 8 二次函数 的图象经过点 ， ，与y 轴交于点，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接 、 ，交于点Q，过点P 作 轴于点D． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （1）求二次函数的表达式； （2）连接 ，当 时，求直线 的表达式； （3）请判断： 是否有最大值，如有请求出有最大值时点P 的坐标，如没有请说明理 由． 9 如图，抛物线 （其中 ）与x 轴交于、B 两点，交y 轴于点． （1）直接写出 的度数和线段B 的长（用表示）； （2）若点D 为 的外心，且 与 的周长之比为 ，求此抛物线 的解析式； （3）在（2）的前提下，试探究抛物线 上是否存在一点P，使得 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 10 如图1，已知二次函数 的图象与x 轴交于点 、 ， 与y 轴交于点，且 ． (1)求二次函数的解析式； (2)如图2，过点作 轴交二次函数图象于点D，P 是二次函数图象上异于点D 的一 个动点，连接PB、P，若 ，求点P 的坐标； (3)如图3，若点P 是二次函数图象上位于B 下方的一个动点，连接P 交B 于点Q．设点P 的横坐标为t，试用含t 的代数式表示 的值，并求 的最大值． 11 如图，已知抛物线 交 轴于 、 两点，将该抛物线位于 轴下方的部分沿 轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象 ”，图象 交 轴于点 ． (1)写出图象 位于线段 上方部分对应的函数关系式； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (2)若直线 与图象 有三个交点，请结合图象，直接写出 的值； (3) 为 轴正半轴上一动点，过点 作 轴交直线 于点 ，交图象 于点 ， 是否存在这样的点 ，使 与 相似？若存在，求出所有符合条件的点 的坐标； 若不存在，请说明理由． 12．（2023·安徽·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点 是坐标原点，抛物线 经过点 ，对称轴为直线 ． (1)求 的值； (2)已知点 在抛物线上，点 的横坐标为，点 的横坐标为 ．过点 作 轴的垂线 交直线 于点 ，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ． （ⅰ）当 时，求 与 的面积之和； （ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点 ，使得以 为顶点的四边形的面积为 ？ 若存在，请求出点 的横坐标的值；若不存在，请说明理由． 13 如图，已知抛物线 与x 轴交于点（1，0）和B，与y 轴交于点， 对称轴为 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点P 是线段B 上的一个动点（不与点B，重合），过点P 作y 轴的平行 线交抛物线于点Q，连接Q．当线段PQ 长度最大时，判断四边形PQ 的形状并说明理由． （3）如图2，在（2）的条件下，D 是的中点，过点Q 的直线与抛物线交于点E，且 ．在y 轴上是否存在点F，使得 为等腰三角形？若存在，求点 F 的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，已知抛物线与 轴交于 和 两点， 与 轴交于点 ．直线 过抛物线的顶点 ． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若直线 与抛物线交于点 ，与直线 交于点 ． ①当 取得最大值时，求 的值和 的最大值； ②当 是等腰三角形时，求点 的坐标． 15 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x 轴相交于点、B（点在点B 的左 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 侧），与y 轴相交于点，连接 ． (1)求线段的长；(2)若点Р 为该抛物线对称轴上的一个动点，当 时，求点P 的坐 标； (3)若点M 为该抛物线上的一个动点，当 为直角三角形时，求点M 的坐标． 16．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ，其中 ， ． (1)求该抛物线的表达式； (2)点 是直线 下方抛物线上一动点，过点 作 于点 ，求 的最大值及此 时点 的坐标； (3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点 为点 的对应点，平移后的抛物 线与 轴交于点 ， 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以 为腰 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 的 是等腰三角形的点 的坐标，并把求其中一个点 的坐标的过程写出来． 17 在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ， （点 在点 的左 侧），与 轴交于点 ，且点 的坐标为 ． (1)求点 的坐标；(2)如图1，若点 是第二象限内抛物线上一动点，求点 到直线 距 离的最大值；(3)如图2，若点 是抛物线上一点，点 是抛物线对称轴上一点，是否存 在点 使以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 的 坐标；若不存在，请说明理由． 18．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与坐标轴分别相交于点，B， 三点，其对称轴为 ． (1)求该抛物线的解析式； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (2)点 是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线 分别与 轴，直线 交于点 ， ． ①当 时，求 的长； ②若 ， ， 的面积分别为 ， ， ，且满足 ，求点 的 坐标． 19 如图，在平面直角坐标系中，四边形 为正方形，点 ， 在 轴上，抛物线 经过点 ， 两点，且与直线 交于另一点 ． （1）求抛物线的解析式； （2） 为抛物线对称轴上一点， 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点 ， ， ， 为顶点的四边形是以 为边的菱形．若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请 说明理由； （3） 为 轴上一点，过点 作抛物线对称轴的垂线，垂足为 ，连接 ， ．探 究 是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点 的坐标；若不存 在，请说明理由． 20．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，抛物线 过点 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ． (1)求抛物线的解析式； (2)设点 是直线 上方抛物线上一点，求出 的最大面积及此时点 的坐标； (3)若点 是抛物线对称轴上一动点，点 为坐标平面内一点，是否存在以 为边，点 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说 明理由． 21 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于点 和 ，交 轴于 点 ，抛物线的对称轴交 轴于点 ，交抛物线于点 ． （1）求抛物线的解析式； （2）将线段 绕着点 沿顺时针方向旋转得到线段 ，旋转角为 ，连 接 ， ，求 的最小值． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （3） 为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点 的横坐标；若不存在，请说明理由； 22．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图，二次函数的图象与x 轴交于 ， 两点，与y 轴交于点，顶点为D．为坐标原点， ． (1)求二次函数的表达式； (2)求四边形 的面积； (3)P 是抛物线上的一点，且在第一象限内，若 ，求P 点的坐标． 23 若二次函数 的图象经过点 ， ，其对称轴为直线 ， 与x 轴的另一交点为． (1)求二次函数的表达式；(2)若点M 在直线 上，且在第四象限，过点M 作 轴 于点． ①若点在线段 上，且 ，求点M 的坐标； ②以 为对角线作正方形 （点P 在 右侧），当点P 在抛物线上时，求点M 的坐标． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 24 如图1，已知在平面直角坐标系xy 中，四边形B 是边长为3 的正方形，其中顶点，分 别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上，抛物线 经过，两点，与x 轴交于另一 个点D． (1)①求点，B，的坐标； ②求b，的值． (2)若点P 是边B 上的一个动点，连结P，过点P 作PM⊥P，交y 轴于点M（如图2 所 示）．当点P 在B 上运动时，点M 也随之运动．设BP＝m，M＝，试用含m 的代数式 表示，并求出的最大值． 25（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x 轴交于点 和点B，与y 轴交于点 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (1)求这条抛物线的函数解析式； (2)P 是抛物线上一动点（不与点，B，重合），作 轴，垂足为D，连接 ． ①如图，若点P 在第三象限，且 ，求点P 的坐标； ②直线 交直线 于点E，当点E 关于直线 的对称点 落在y 轴上时，请直接写出 四边形 的周长． 26 如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘 在 轴上，且 dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为 轴，高度 dm．现计划将此余 料进行切割： (1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘 上且面积最大，求此正方形的面积； (2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘 上且周长最大，求此矩形的周长； (3)若切割成圆，判断能否切得半径为dm 的圆，请说明理由． 27．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线 与 轴交于 两点， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 与 轴交于点 ．抛物线的对称轴 与经过点 的直线 交于点 ，与 轴交于点 ． (1)求直线 及抛物线的表达式； (2)在抛物线上是否存在点 ，使得 是以 为直角边的直角三角形?若存在，求出 所有点 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)以点 为圆心，画半径为2 的圆，点 为 上一个动点，请求出 的最小值． 28 如图1，在平面直角坐标系 中，抛物线 与x 轴分别相交于、B 两 点，与y 轴相交于点，下表给出了这条抛物线上部分点 的坐标值： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … （1）求出这条抛物线的解析式及顶点M 的坐标； （2） 是抛物线对称轴上长为1 的一条动线段（点P 在点Q 上方），求 的最小值； （3）如图2，点D 是第四象限内抛物线上一动点，过点D 作 轴，垂足为F， 的外接圆与 相交于点E．试问：线段 的长是否为定值？如果是，请求出这 个定值；如果不是，请说明理由． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 1