专题24.8 正多边形与圆【十大题型】（解析版）

专题248 正多边形与圆【十大题型】 【人版】 【题型1 正多边形与圆中求角度】.........................................................................................................................1 【题型2 正多边形与圆中求线段长度】................................................................................................................. 5 【题型3 正多边形与圆中求半径】.........................................................................................................................8 【题型4 正多边形与圆中求面积】.......................................................................................................................11 【题型5 正多边形与圆中求周长】.......................................................................................................................14 【题型6 确定正多边形的边数】...........................................................................................................................16 【题型7 正多边形与圆中的实际应用】............................................................................................................... 19 【题型8 正多边形与圆中的规律问题】............................................................................................................... 23 【题型9 正多边形与圆中求最值】.......................................................................................................................27 【题型10 正多边形与圆中的证明】......................................................................................................................32 【知识点1 正多边形与圆】 （1）正多边形的有关计算 （2）正多边形每个内角度数为 ，每个外角度数为 【题型1 正多边形与圆中求角度】 【例1】（2022 春•株洲期末）如图，正五边形BDE 和正三角形M 都是⊙的内接多边形， 则∠BM 的度数是（ ） ．36° B．45° ．48° D．60° 【分析】如图，连接．利用正多边形的性质求出∠M，∠B，可得结论． 中心角 边心距 周长 面积 为边数； 为边心距； 为半径； 为边长 B A O 1 【解答】解：如图，连接． ∵△M 是等边三角形， ∴∠M＝60°， ∴∠M＝2∠M＝120°， ∵BDE 是正五边形， ∴∠B¿ 360° 5 =¿72°， ∴∠BM＝120° 72° ﹣ ＝48°． 故选：． 【变式1-1】（2022•长春一模）如图，正六边形BDEF 内接于⊙，点M 在^ AF上，则∠MD 的大小为（ ） ．60° B．45° ．30° D．15° 【分析】由正六边形的性质得出∠D＝60°，由圆周角定理求出∠MD＝30°． 【解答】解：连接，D， ∵多边形BDEF 是正六边形， ∴∠D＝60°， ∴∠MD¿ 1 2 ∠D＝30°， 故选：． 1 【变式1-2】（2022 春•福州期中）如图，在正五边形BDE 中，连结，以点为圆心，B 为半 径画圆弧交于点F，连接DF．则∠FD 的度数是 36° ． 【分析】根据正五边形的性质可求出每个内角的度数为108°，根据等腰三角形的性质可 求出∠E＝∠D＝72°，进而可得四边形EDF 是平行四边形，求出∠DF 的度数，再根据三 角形的内角和定理求出答即可． 【解答】解：∵正五边形BDE， ∴∠B＝∠EB¿ (5−2)×180° 5 =¿108°，B＝B＝D＝DE＝E， ∴∠B＝∠B¿ 180°−108° 2 =¿36°， ∴∠E＝∠D＝108° 36° ﹣ ＝72°， ∴∠DE+∠E＝108°+72°＝180°， ∴DE∥， 又∵DE＝E＝F， ∴四边形EDF 是平行四边形， ∴E∥DF， ∴∠DF＝∠E＝72°＝∠D， ∴∠FD＝180° 72° 72° ﹣ ﹣ ＝36°， 故答为：36°． 【变式1-3】（2022•绥化）如图，正六边形BDEF 和正五边形K 内接于⊙，且有公共顶点， 则∠B 的度数为 12 度． 1 【分析】求出正六边形的中心角∠B 和正五边形的中心角∠，即可得出∠B 的度数． 【解答】解：如图，连接， 正六边形的中心角为∠B＝360°÷6＝60°， 正五边形的中心角为∠＝360°÷5＝72°， ∴∠B＝∠﹣∠B＝72° 60° ﹣ ＝12°． 故答为：12． 【题型2 正多边形与圆中求线段长度】 【例2】（2022•雅安）如图，已知⊙的周长等于6π，则该圆内接正六边形BDEF 的边心距 G 为（ ） 1 ．3❑ √3 B．3 2 ．3 ❑ √3 2 D．3 【分析】连接，D，由正六边形BDEF 可求出∠D＝60°，进而可求出∠G＝30°，根据30° 角的锐角三角函数值即可求出边心距G 的长． 【解答】解：连接，D， ∵正六边形BDEF 是圆的内接多边形， ∴∠D＝60°， ∵＝D，G⊥D， ∴∠G＝30°， ∵⊙的周长等于6π， ∴＝3， ∴G¿ 3 2 ❑ √3， 故选：． 【变式2-1】（2022 秋•西城区期末）如图，⊙是正方形BD 的外接圆，若⊙的半径为4， 则正方形BD 的边长为（ ） ．4 B．8 ．2❑ √2 D．4 ❑ √2 【分析】连接BD．由题意，△BD 是等腰直角三角形，故可得出结论． 1 【解答】解：如图，连接BD． 由题意，△BD 是等腰直角三角形， ∵BD＝8，∠BD＝45°，∠BD＝90°， ∴B¿ ❑ √2 2 BD＝4❑ √2． 故选：D． 【变式2-2】（2022•德城区模拟）已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点，B，，D， E，F 在圆上．若两个大正六边形的边长均为4，则小正六边形的边长是（ ） ．3−❑ √13 B．❑ √13−1 ．❑ √13+1 D．2❑ √3−1 【分析】在边长为4 的大正六边形中，根据正六边形和圆的性质可求出和半径D，进而 得出小正六边形对应点的距离MF，再根据正六边形的性质求出半径GF，即边长F 即可． 【解答】解：连接D 交PM 于，则点是圆心，过点作⊥DE 于，连接MF，取MF 的中点 G，连接G，GQ， 由对称性可知，M＝P＝E＝D＝2， 由正六边形的性质可得＝4❑ √3， ∴D¿ ❑ √D N 2+O N 2=¿2❑ √13=¿F， ∴MF＝2❑ √13−¿2， 由正六边形的性质可知，△GF、△GQ、△GQM 都是正三角形， ∴F¿ 1 2MF¿ ❑ √13−¿1， 故选：B． 1 【变式2-3】（2022•凉山州）如图，等边三角形B 和正方形DEF 都内接于⊙，则D：B＝ （ ） ．2❑ √2：❑ √3 B．❑ √2：❑ √3 ．❑ √3：❑ √2 D．❑ √3：2❑ √2 【分析】连接、B、D，过作⊥B 于，由垂径定理得出＝B¿ 1 2B，证出△D 是等腰直角三 角形，∠＝∠B＝60°，＝B¿ 1 2B，得出D¿ ❑ √2，¿ ❑ √3 2 ，则B＝2¿ ❑ √3，进而得出答． 【解答】解：连接、B、D，过作⊥B 于，如图所示： 则＝B¿ 1 2B， ∵等边三角形B 和正方形DEF，都内接于⊙， ∴∠B＝120°，∠D＝90°， ∵＝D＝B， ∴△D 是等腰直角三角形，∠＝∠B¿ 1 2 ×120°＝60°， ∴D¿ ❑ √2，＝•s60°¿ ❑ √3 2 ， ∴B＝2＝2× ❑ √3 2 ¿ ❑ √3， ∴AD AB = ❑ √2OA ❑ √3OA = ❑ √2 ❑ √3 ， 故选：B． 1 【题型3 正多边形与圆中求半径】 【例3】（2022 春•临海市期末）如图，以点为圆心的两个同心圆把以为半径的大圆的面积 三等分，这两个圆的半径分别为B，．则：B：的值是（ ） ．3：2：1 B．9：4：1 ．❑ √3：❑ √2：1 D．3：❑ √6：❑ √2 【分析】根据圆的面积公式得出方程，根据算术平方根求出、B、的值，再代入即可得 出答 【解答】解：以半径的圆的面积是πr2，则以B 半径的圆的面积是2 3πr2，则以半径的圆 的面积是1 3πr2 π ∴r❑B 2=2 3πr2，πr❑C 2=1 3πr2， ∴rB¿ ❑ √6 3 r，r¿ ❑ √3 3 r． ∴：B：＝r： ❑ √6 3 r： ❑ √3 3 r¿ ❑ √3：❑ √2：1， 故选：． 【变式3-1】（2022•虹口区二模）如果正三角形的边心距是2，那么它的半径是 4 ． 【分析】根据正三角形的性质得出：∠＝∠B＝30°，进而得出即可． 【解答】解：（1）过点作D⊥B 于点D， 1 ∵⊙的内接正三角形的边心距为2， ∴D＝2， 由正三角形的性质可得出：∠＝∠B＝30°， ∴＝2D＝4， 故答为：4． 【变式3-2】（2022•钦州模拟）如图，正六边形BDEF 内接于⊙，连接，已知＝6，则圆的 半径是（ ） ．3 B．6 ．2❑ √3 D．4❑ √3 【分析】连接B、，B 与交于，根据正六边形BDEF 的性质得到B＝B，∠B¿ 360° 6 =¿ 60°，根据垂径定理得到周角定理得到∠B¿ 1 2∠B＝30°，^ AB=^ BC，根据直角三角形的 性质即可得到结论． 【解答】解：连接B、，B 与交于， 在正六边形BDEF 中，B＝B，∠B¿ 360° 6 =¿60°， ∴∠B¿ 1 2∠B＝30°，^ AB=^ BC， ∴B⊥，＝¿ 1 2＝3， ∴B＝B＝B＝2❑ √3， ∴圆的半径是2❑ √3， 故选：． 【变式3-3】（2022•碑林区校级模拟）如图：⊙与正六边形BDEF 的两边B 和EF 相切于点 B 和点E 两点，若正六边形的边长是❑ √3，则⊙的半径长是（ ） 1 ．1 B．❑ √3 ．2 D．3 【分析】连接B，E，BE，根据切线的性质得到∠B＝∠FE＝90°，求得∠BE＝120°，根据 等腰三角形的性质得到∠BE＝∠EB＝30°，推出F∥BE，过作M⊥BE 于M，F⊥BE 于，得 到四边形MF 是矩形，过作⊥BE 于，根据勾股定理的定义即可得到结论． 【解答】解：连接B，E，BE， ∵：⊙与正六边形BDEF 的两边B 和EF 相切于点B 和点E 两点， ∴∠B＝∠FE＝90°， ∵∠BF＝∠EF＝120°， ∴∠BE＝540° 120° 120° 90° 90° ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ＝120°， ∴∠BE＝∠EB＝30°， ∴∠BE＝∠FEB＝60°， ∴∠BE+∠BF＝180°， ∴F∥BE， 过作M⊥BE 于M，F⊥BE 于， ∴四边形MF 是矩形， ∴M＝F¿ ❑ √3，BM＝E¿ 1 2B¿ ❑ √3 2 ， ∴BE＝2❑ √3， 过作⊥BE 于， ∴∠B＝90°，B¿ ❑ √3， ∴B¿2， 故选：． 【题型4 正多边形与圆中求面积】 【例4】（2022•泗水县三模）如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，若 圆的半径为4，则图中阴影部分的面积为（ ） 1 ．8❑ √3 B．12❑ √3 ．16 D．16 ❑ √3 【分析】如图，连接B 交与点．解直角三角形求出，可得结论． 【解答】解：如图，连接B 交与点． 由题意△B 是等边三角形，B＝4，＝B＝2， ∵B⊥， ∴＝¿ BH ❑ √3 =2❑ √3 3 ， ∴＝2¿ 4 ❑ √3 3 ， ∴阴影部分的面积＝6× ❑ √3 4 ×（4 ❑ √3 3 ）2＝8❑ √3． 故选：． 【变式4-1】（2022 秋•宣化区期末）如图，已知⊙的周长等于6π，则它的内接正六边形 BDEF 的面积是（ ） ．27 ❑ √3 2 B．27 ❑ √3 4 ．9 ❑ √3 4 D．27 ❑ √3 【分析】首先过点作⊥B 于点，连接，B，由⊙的周长等于6πm，可得⊙的半径，又由 圆的内接多边形的性质，即可求得答． 【解答】解：过点作⊥B 于点，连接，B， ∴¿ 1 2B， 1 ∵⊙的周长等于6π， ∴⊙的半径为：3， ∵∠B¿ 1 6 ×360°＝60°，＝B， ∴△B 是等边三角形， ∴B＝＝3， ∴¿ 3 2， ∴¿ ❑ √O A 2−A H 2=3 ❑ √3 2 ， ∴S 正六边形BDEF＝6S△B＝6× 1 2 ×3× 3 ❑ √3 2 =27 ❑ √3 2 ． 故选：． 【变式4-2】（2022•庐阳区校级一模）如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接 而成，若圆的半径为1，则图中阴影部分的面积为（ ） ．3 ❑ √3 4 B．❑ √3 ．5 ❑ √3 4 D．2❑ √3 【分析】根据题意得到图中阴影部分的面积＝S△B+3S△DE，代入数据即可得到结论． 【解答】解：如图，∵“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成， ∴△B 与△DE 是等边三角形， ∵圆的半径为1， ∴¿ 3 2，B＝B¿ ❑ √3， ∴E¿ ❑ √3 3 ，F¿ 1 2， ∴图中阴影部分的面积＝S△B+3S△DE¿ 1 2 ×❑ √3× 3 2 + 1 2 × ❑ √3 3 × 1 2 ×3¿ ❑ √3， 故选：B． 1 【变式4-3】（2022 秋•庐江县期末）⊙半径为4，以⊙的内接正三角形、正方形、正六边 形的边心距为边作一个三角形，则所得三角形的面积是（ ） ．❑ √2 B．❑ √3 ．2❑ √2 D．2❑ √3 【分析】分别画出对应的图形计算出三条边心距，利用勾股定理的逆定理可证明它们构 建的三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式计算此三角形的面积． 【解答】解：如图1，△B 为⊙的内接正三角形，作M⊥B 于M，连接B， ∵∠B¿ 1 2∠B＝30°， ∴M¿ 1 2B＝2； 如图2，四边形BD 为⊙的内接正方形，作⊥D 于，连接D， ∵∠D¿ 1 2∠D＝45°， ∴＝D¿ ❑ √2 2 D＝2❑ √2； 如图3，六边形BDEF 为⊙的内接正六边形，作⊥DE 于，连接E， ∵∠ED¿ 1 2∠FED＝60°， ∴E¿ 1 2E＝2，¿ ❑ √3E＝2❑ √3， ∴半径为4 的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为2，2❑ √2，2❑ √3， 2 ∵ 2+（2❑ √2）2＝（2❑ √3）2， ∴以三条边心距所作的三角形为直角三角形， ∴该三角形的面积¿ 1 2 ×2×2❑ √2=¿2❑ √2． 故选：． 1 【题型5 正多边形与圆中求周长】 【例5】（2022•和平区一模）如图，若⊙是正方形BD 与正六边形EFG 的外接圆，则正方 形BD 与正六边形EFG 的周长之比为（ ） ．2❑ √2：3 B．❑ √2：1 ．❑ √2：❑ √3 D．1：❑ √3 【分析】求出⊙的内接正方形和内接正六边形的边长之比，即可得出结论． 【解答】解：连接、B．E，如图所示： 设此圆的半径为R， 则它的内接正方形的边长为❑ √2R，它的内接正六边形的边长为R， ∴内接正方形和内接正六边形的边长之比为❑ √2R：R¿ ❑ √2：1， ∴正方形BD 与正六边形EFG 的周长之比＝内接正方形和内接正六边形的边长之比＝4 ❑ √2：6＝2❑ √2：3， 故选：． 【变式5-1】（2022•鼓楼区校级模拟）正六边形的周长为12，则它的外接圆的内接正三角 形的周长为（ ） ．2❑ √3 B．3❑ √3 ．6❑ √3 D．6 【分析】根据题意画出图形，求出正六边形的边长，再由正多边形及直角三角形的性质 求解即可． 【解答】解：∵圆内接正六边形的周长为12， ∴圆内接正六边形的边长为2， 1 ∴圆的半径为2， 如图， 连接B，过作D⊥B 于D， 则∠B＝30°，BD＝2× ❑ √3 2 =❑ √3， ∴B＝2BD＝2❑ √3； ∴该圆的内接正三角形的周长为6❑ √3， 故选：． 【变式5-2】（2022 秋•梅河口市期末）如图，正六边形BDEF 内接于⊙，连接、D，若长 为2m，则正六形BDEF 的周长为 12 m． 【分析】根据正六边形的定义确定其中心角的度数，得到△D 是等边三角形，求得D＝ 2m，于是得到结论． 【解答】解：∵多边形BDEF 为正六边形， ∴∠D＝360°× 1 6=¿60°， ∵＝D， ∴△D 是等边三角形， ∵长为2m， ∴D＝2m， ∴正六形BDEF 的周长为2×6＝12（m）， 故答为：12． 【变式5-3】（2022•旌阳区模拟）如图，正六边形BDEF 内接于⊙，若⊙的半径为6，则 △DE 的周长是（ ） 1 ．9+3❑ √3 B．12+6❑ √3 ．18+3❑ √3 D．18+6❑ √3 【分析】首先确定三角形的三个角的度数，从而判断该三角形是特殊的直角三角形，然 后根据半径求得斜边的长，从而求得另外两条直角边的长，进而求得周长． 【解答】解：连接E， ∵多边形BDEF 是正多边形， ∴∠DE¿ 360° 6 =¿60°， ∴∠DE¿ 1 2∠DE¿ 1 2 ×60°＝30°，∠ED＝90°， ∵⊙的半径为6， ∴D＝2D＝12， ∴DE¿ 1 2D¿ 1 2 ×12＝6，E¿ ❑ √3DE＝6❑ √3， ∴△DE 的周长为6+12+6❑ √3=¿18+6❑ √3， 故选：D． 【题型6