专题6.2 实数与估算【十大题型】（解析版）

专题62 实数与估算【十大题型】 【人版】 【题型1 实数的分类】............................................................................................................................................. 1 【题型2 实数的性质】............................................................................................................................................. 3 【题型3 实数与数轴的关系】.................................................................................................................................6 【题型4 利用数轴化简】.........................................................................................................................................8 【题型5 实数的运算】........................................................................................................................................... 10 【题型6 实数的应用】........................................................................................................................................... 11 【题型7 估算无理数的范围】...............................................................................................................................17 【题型8 已知无理数的范围求值】.......................................................................................................................18 【题型9 估算无理数最接近的值】.......................................................................................................................19 【题型10 无理数整数、小数部分问题】.............................................................................................................. 20 【知识点1 实数的分类】 【知识点2 无理数的概念】 无限不循环小数叫做无理数 常见类型：①特定结构的无限不循环小数，如0303 003 000 300 003…（两个3 之间依次多 一个0）．②含有π 的绝大部分数，如2π． 【题型1 实数的分类】 【例1】（2022 秋•连云港月考）把下列各数分别填入相应的集合里． 100，﹣082，﹣301 2，314，﹣2，0，﹣2011，﹣31 ．，3 7 ，−π 4 ，2010010001…． 正分数集合：{ 314 ， 3 7 …}； 整数集合：{ 100 ，﹣ 2 ， 0 ，﹣ 2011 …}； 1 负有理数集合：{ ﹣ 082 ，﹣ 30 1 2，﹣ 2 ，﹣ 2011 ，﹣ 3 1 ⋅ …}； 非正整数集合：{ ﹣ 2 ， 0 ，﹣ 2011 …}； 无理数集合：{ −π 4 ， 2010010001 ……}． 【分析】根据分数，有理数，整数以及无理数的概念进行判断即可． 【解答】解：正分数集合：{314，3 7 ，…} 整数集合：{ 100，﹣2，0，﹣2011，…} 负有理数集合：{ 082 ﹣ ，﹣301 2，﹣2，﹣2011，﹣31 ⋅，…} 非正整数集合；{ 2 ﹣，0，﹣2011，…} 无理数集合：{−π 4 ，2010010001…，…}． 故答为：314，3 7 ；100，﹣2，0，﹣2011；﹣082，﹣301 2，﹣2，﹣2011，﹣31 ⋅；﹣2， 0，﹣2011；−π 4 ，2010010001…． 【变式1-1】（2022 春•长葛市期中）下列各数：①3141、②033333…、③❑ √5−❑ √7、 ④π、⑤±❑ √2.25、⑥−2 3 、⑦03030030003…（相邻两个3 之间0 的各数逐次增加1）， 其中是无理数的有 ③④⑦ ．（填序号） 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概 念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环 小数是无理数． 【解答】解：③❑ √5−❑ √7、④π、⑦03030030003…（相邻两个3 之间0 的各数逐次增加 1）是无理数， 故答为：③④⑦． 【变式1-2】（2022 春•古丈县期末）我们规定：相等的实数看作同一个实数．有下列六种 说法： ①数轴上有无数多个表示无理数的点； ②带根号的数不一定是无理数； ③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示； ④数轴上每一个点都表示唯一一个实数； ⑤没有最大的负实数，但有最小的正实数； ⑥没有最大的正整数，但有最小的正整数． 1 其中说法错误的有 ⑤ （注：填写出所有错误说法的编号） 【分析】根据实数的定义，实数与数轴上的点一一对应，可得答． 【解答】解：①数轴上有无数多个表示无理数的点是正确的； ②带根号的数不一定是无理数是正确的，如❑ √4=¿2； ③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示是正确的； ④数轴上每一个点都表示唯一一个实数是正确的； ⑤没有最大的负实数，也没有最小的正实数，原来的说法错误； ⑥没有最大的正整数，有最小的正整数，原来的说法正确． 故答为：⑤． 【变式1-3】（2022 春•赣州期末）把下列各数填在表示它所在的数集的圈内： 3π ，﹣12 ，+6 ，38 ，﹣6 ，2 5，87 ，2002 ，−1 3 ，0 ，﹣42 ，31415 ，﹣1000 ， 121121112… 【分析】根据有理数、无理数、非正数、非负整数的意义选出即可． 【解答】解： ． 【题型2 实数的性质】 【例2】（2022 秋•洛宁县期中）已知、b 互为相反数，、d 互为倒数，m 的倒数等于它本 1 身，求cd m 2 +¿（+b）m﹣m 的立方根． 【分析】根据题意得+b＝0，d＝1，m＝±1，以整体的形式代入所求的代数式即可． 【解答】解：∵、b 互为相反数， + ∴b＝0， ∵、d 互为倒数， ∴d＝1， ∵m 的倒数等于它本身， ∴m＝±1， ①当+b＝0；d＝1；m＝1 时， cd m 2 +¿（+b）m﹣m＝1+0 1 ﹣＝0， ∴cd m 2 +¿（+b）m﹣m 的立方根为3 √0=¿0； ②当+b＝0；d＝1；m＝﹣1 时， cd m 2 +¿（+b）m﹣m＝1+0+1＝2， ∴cd m 2 +¿（+b）m﹣m 的立方根为3 √2． 综上所述，cd m 2 +¿（+b）m﹣m 的立方根是0 或3 √2． 【变式2-1】（2022 秋•射阳县校级期末）已知实数、b 互为相反数，、d 互为倒数，x 的绝 对值为❑ √49， 求代数式（+b+d）x+❑ √a+b− 3 √cd的值． 【分析】根据题意可得+b＝0，d＝1，x＝±7，然后代入代数式求值即可． 【解答】解：❑ √49=¿7， ∵、b 互为相反数， + ∴b＝0， ∵、d 互为倒数， ∴d＝1， ∵x 的绝对值为❑ √49． ∴x＝±7， 当x＝7 时， 原式＝（0+1）×7+❑ √0− 3 √1 ＝7 1 ﹣ 1 ＝6， 当x＝﹣7 时， 原式＝（0+1）×（﹣7）+❑ √0− 3 √1 ＝﹣7 1 ﹣ ＝﹣8， ∴所求代数式的值为6 或﹣8． 【变式2-2】（2022 春•洛阳期中）已知实数，b，，d，e，f，且，b 互为倒数，，d 互为相 反数，e 的绝对值为❑ √2，f 的算术平方根是8，求1 2b+c+d 5 +¿e2+ 3 √f 的值． 【分析】根据相反数，倒数，以及绝对值的意义求出+d，b 及e 的值，代入计算即可． 【解答】解：由题意可知：b＝1，+d＝0，e＝±❑ √2，f＝64， ∴e2＝（±❑ √2）2＝2，3 √f = 3 √64=4， ∴1 2b+c+d 5 +¿e2+ 3 √f =1 2 +¿0+2+4＝61 2． 【变式2-3】（2022 秋•西湖区校级期中）已知，b 为实数，下列说法：①若b＜0，且，b 互为相反数，则a b=−¿1；②若+b＜0，b＞0，则|2+3b|＝﹣2 3 ﹣b；③若|﹣b|+﹣b＝0， 则b＞；④若||＞|b|，则（+b）×（﹣b）是正数；⑤若＜b，b＜0 且| 3| ﹣＜|b 3| ﹣，则+b＞ 6，其中正确的是 ①②④⑤ ． 【分析】①除0 外，互为相反数的商为﹣1，可作判断； ②由两数之和小于0，两数之积大于0，得到与b 都为负数，即2+3b 小于0，利用负数 的绝对值等于它的相反数化简得到结果，即可作出判断； ③由﹣b 的绝对值等于它的相反数，得到﹣b 为非正数，得到与b 的大小，即可作出判 断； ④由绝对值大于b 绝对值，分情况讨论，即可作出判断； ⑤先根据＜b，得﹣3＜b 3 ﹣，由b＜0 和有理数乘法法则可得＜0，b＞0，分情况可作判 断． 【解答】解：①若b＜0，且，b 互为相反数，则a b=−¿1，本选项正确； ②若b＞0，则与b 同号，由+b＜0，则＜0，b＜0，则|2+3b|＝﹣2 3 ﹣b，本选项正确； | ③∵﹣b|+﹣b＝0，即|﹣b|＝﹣（﹣b）， ∴﹣b≤0，即≤b，本选项错误； ④若||＞|b|， 当＞0，b＞0 时，可得＞b，即﹣b＞0，+b＞0，所以（+b）•（﹣b）为正数； 1 当＞0，b＜0 时，﹣b＞0，+b＞0，所以（+b）•（﹣b）为正数； 当＜0，b＞0 时，﹣b＜0，+b＜0，所以（+b）•（﹣b）为正数； 当＜0，b＜0 时，﹣b＜0，+b＜0，所以（+b）•（﹣b）为正数， 本选项正确； ⑤∵＜b， 3 ∴﹣＜b 3 ﹣， ∵b＜0， ∴＜0，b＞0， 当0＜b＜3 时，| 3| ﹣＜|b 3| ﹣， 3 ∴﹣＜3﹣b，不符合题意； 所以b≥3，| 3| ﹣＜|b 3| ﹣， 3 ∴﹣＜b 3 ﹣， 则+b＞6， 本选项正确； 则其中正确的有4 个． 故答为：①②④⑤． 【题型3 实数与数轴的关系】 【例3】（2022 秋•松滋市期末）如图，，，B，四点在数轴上，其中为原点，且＝2，＝ 2B，若点所表示的数为m，则B 点所表示的数正确的是（ ） ．﹣2（m+2） B．m−2 2 ．m+2 2 D．2−m 2 【分析】表示出点所表示的数，进而求出，再求出B，进而确定点B 表示的数． 【解答】解：由点、B、在数轴上的位置，＝2，若点所表示的数为m， ∴点表示的数为m 2 ﹣， ∴＝|m 2| ﹣＝2﹣m ∵＝2B， ∴B¿ 1 2¿ 2−m 2 ， 故选：D． 【变式3-1】（2022 春•右玉县期末）如图，数轴上表示1，❑ √3的对应点分别为，B，以点 为圆心，B 长为半径画圆，与数轴的交点为，则点所表示的数为 2 −❑ √3 ． 1 【分析】计算出B 的长度，进而求出的长，再根据点所表示的数为1，点在点的左侧， 即可求出点所表示的数． 【解答】解：∵，B 在数轴上表示的数为1 和❑ √3， ∴B¿ ❑ √3−¿1， 又∵＝B， ∴点所表示的数为：1﹣（❑ √3−¿1）＝2−❑ √3， 故答为：2−❑ √3． 【变式3-2】（2022•锡山区期中）如图所示的数轴上，点与点B 关于点对称，、B 两点对 应的实数分别是1 和❑ √5，则点对应的实数是（ ） ．1−❑ √5 B．❑ √5−¿2 ．−❑ √5 D．2−❑ √5 【分析】根据数轴上两点之间距离的计算方法，以及中心对称的意义，列方程求解即可． 【解答】解：∵、B 两点对应的实数分别是1 和❑ √5， ∴B¿ ❑ √5−¿1， 又∵点与点B 关于点对称， ∴＝B， 设点所表示的数为，则＝1﹣， 1 ∴﹣¿ ❑ √5−¿1， ∴＝2−❑ √5， 故选：D． 【变式3-3】（2022 秋•宣化区期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2 个单位长度到 达点B，点表示−❑ √2，设点B 所表示的数为m． （1）实数m 的值是 2 −❑ √2 ； （2）求|m+1|+|m 1| ﹣的值； （3）在数轴上还有、D 两点分别表示实数和d，且有|2+d|与❑ √d 2−16互为相反数，求2 3 ﹣d 的平方根． 【分析】（1）点表示−❑ √2，沿着x 轴向右移动2 个单位到达点B，B 所表示的数为， −❑ √2+¿2，即：2−❑ √2， 1 故答为：2−❑ √2． （2）m＝2−❑ √2，则m+1＞0，m 1 ﹣＜0，进而化简|m+1|+|m 1| ﹣，并求出代数式的值； （3）根据非负数的意义，列方程求出、d 的值，进而求出2 3 ﹣d 的值，再求出2 3 ﹣d 的 平方根． 【解答】解：（1）m¿−❑ √2+¿2＝2−❑ √2； （2）∵m＝2−❑ √2，则m+1＞0，m 1 ﹣＜0， | ∴m+1|+|m 1| ﹣＝m+1+1﹣m＝2； 答：|m+1|+|m 1| ﹣的值为2． （3）∵|2+d|与❑ √d 2−16互为相反数， |2+ ∴ d|+ ❑ √d 2−16=¿0， |2+ ∴ d|＝0，且❑ √d 2−16=¿0， 解得：＝﹣2，d＝4，或＝2，d＝﹣4， ①当＝﹣2，d＝4 时， 所以2 3 ﹣d＝﹣16，无平方根． ②当＝2，d＝﹣4 时， 2 3 ∴﹣d＝16， 2 3 ∴﹣d 的平方根为±4， 答：2 3 ﹣d 的平方根为±4． 【题型4 利用数轴化简】 【例4】（2022 春•荔湾区校级期中）如图，化简❑ √a 2−¿|+b|+ ❑ √(c−a) 2+¿|b+|． 【分析】先根据数轴上点的位置确定出、b、的符号，再利用绝对值性质和二次根式的 性质❑ √a 2=¿a∨¿求解可得； 【解答】解：（1）由数轴得：b＜＜0＜，||＞|b|＞||， + ∴b＜0，﹣＞0，b+＞0． ∴原式＝|| |+ ﹣b|+| |+| ﹣ b+|＝﹣﹣（﹣﹣b）+（﹣）+（b+）＝﹣++b+ + ﹣b+＝﹣+2b+2． 【变式4-1】（2022 秋•镇江期末）如图，、b、分别是数轴上、B、所对应的实数，试化简： ❑ √b 2−¿| | ﹣+ 3 √(a+b) 3． 【分析】根据数轴判断出、b、的正负情况以及大小，再根据算术平方根、立方根的定 义，绝对值的性质进行化简，然后进行整式的加减计算即可得解． 【解答】解：∵＜0，b＜0，＞0， 1 ∴＜ ∴原式＝|b| | |+ ﹣﹣（+b） ＝﹣b+（﹣）+（+b） ＝﹣b+ ++ ﹣ b ＝2﹣． 【变式4-2 】（2022 春• 芜湖期末）实数、b 在数轴上的位置如图，则化简 ❑ √a❑ 2− ❑ √b❑ 2− ❑ √(a−b)❑ 2的结果是（ ） ．0 B．﹣2 ．2（b﹣） D．﹣2b 【分析】先根据数轴确定，b 的范围，再根据二次根式的性质进行化简，即可解答． 【解答】解：由数轴可得：＜0＜b，﹣b＜0， ∴原式＝|| | ﹣b| | ﹣﹣b| ＝﹣﹣b+﹣b ＝﹣2b． 故选：D． 【变式4-3】（2022 秋•攀枝花校级期中）已知实数x、y、z 在数轴上的对应点如图所示， 化简：❑ √( x−y) 2−¿（❑ √¿ y−z∨¿¿）2+ 3 √( x−z) 3的值． 【分析】先根据数轴判断x，y，z 的正负，进而判断x﹣y，y﹣z，x﹣z 的正负，再根据 二次根式的性质，进行化简，即可解答． 【解答】解：∵由数轴可得：x＜y＜0＜z， ∴x﹣y＜0，y﹣z＜0，x﹣z＜0， 原式＝|x﹣y| | ﹣y﹣z|+x﹣z ＝y﹣x﹣z+y+x﹣z ＝2y 2 ﹣z． 【题型5 实数的运算】 【例5】（2022 春•呼和浩特期中）计算 （1）❑ √(−5) 2−¿| 3 √(−3) 3+¿2|+（−❑ √0.64）×❑ √400 （2）3 √27−¿|❑ √2−¿3|+（﹣1）2016． 【分析】（1）先根据平方根、立方根性质化简根式，再去绝对值符号和计算乘法、最 后计算加减即可； 1 （2）先计算立方根、去绝对值符号、乘方，再去括号，最后计算加减即可． 【解答】解：（1）原式＝5 | 3+2|+ ﹣﹣ （﹣08）×20 ＝5 1 16 ﹣﹣ ＝﹣12； （2）原式＝3﹣（3−❑ √2）+1 ＝3 3 ﹣+❑ √2+¿1 ＝1+❑ √2． 【变式5-1】（2022 春•环江县期末）计算：❑ √2−❑ √9+¿3−❑ √2∨− 3 √8． 【分析】根据二次根式的性质及立方根的概念先化简，再合并同类二次根式即可得到答． 【解答】解：原式¿ ❑ √2−3+3−❑ √2−2 ＝﹣2． 【变式5-2】（2022 秋•盘龙区校级期中）−❑ √100+❑ √16−❑ √4+❑ √ 4 9 −❑ √ 16 9 +❑ √81+¿（﹣ 6）− 3 √27． 【分析】分别根据立方根、算术平方根的计算法则分别进行计算，然后根据实数的运算 法则求得计算结果即可． 【解答】解：原式＝﹣10+4 2 ﹣+2 3 −4 3 +¿9 6 3 ﹣﹣ ＝﹣6 2 ﹣−2 3 ＝﹣82 3． 【变式5-3】（2022•太平区期末）下计算下列各题： （1）❑ √16+ 3 √−27−❑ √ 1 4 + 3 √0.125+❑ √1−63 64 ． （2）¿7−❑ √2∨−¿ ❑ √2−