专题2.1 单项式与多项式【十大题型】（解析版）

专题21 单项式与多项式【十大题型】 【人版】 【题型1 用字母表示数】.........................................................................................................................................1 【题型2 单项式与多项式的概念】.........................................................................................................................3 【题型3 直接确定单项式的系数与次数】.............................................................................................................4 【题型4 根据单项式的次数求参】.........................................................................................................................5 【题型5 直接确定多项式的项与次数】................................................................................................................. 6 【题型6 根据多项式的项与次数求参】................................................................................................................. 7 【题型7 单项式与多项式综合运用】.....................................................................................................................8 【题型8 单项式与多项式中的结论开放性问题】................................................................................................10 【题型9 单项式中的规律探究】...........................................................................................................................10 【题型10 多项式中的规律探究】..........................................................................................................................12 【题型1 用字母表示数】 【例1】（2022 秋•洛阳期末）如图，，B 两地之间有一条东西走向的道路．在地的东边 5km 处设置第一个广告牌，之后每往东12km 就设置一个广告牌．一辆汽车从地出发， 沿此道路向东行驶．当经过第个广告牌时，此车所行驶的路程为（ ） ．（12+7）km B．（12+5）km ．（12 7 ﹣）km D．（12 5 ﹣）km 【分析】根据题意和图形，可以用代数式表示出这辆汽车行驶的路程，本题得以解决． 【解答】解：由题意可得， 一汽车在地出发，沿此道路向东行驶．当经过第个广告牌时，此车所行驶的路程为： 5+12（﹣1）＝（12 7 ﹣）km， 故选：． 【变式1-1】（2022 秋•朝阳区期末）用代数式表示“m 的3 倍与的差的平方”，正确的是 （ ） ．3m﹣2 B．（m 3 ﹣）2 ．（3m﹣）2 D．3（m﹣）2 【分析】要明确给出文字语言中的运算关系，先表示出m 的3 倍，再表示出与的差，最 后表示出平方即可． 【解答】解：m 的3 倍与的差的平方表示为：（3m﹣）2， 1 故选：． 【变式1-2】（2022 秋•侯马市期末）一个两位数，个位数字和十位数字之和为10，个位数 字为x，用代数式表示这个两位数是 ． 【分析】根据题意，先求出十位数字，然后写出这个两位数，注意化简． 【解答】解：个位数字是x，则十位数字是10﹣x， 所以这个两位数是（10﹣x）×10+x＝100 9 ﹣x． 故答为：100 9 ﹣x 【变式1-3】（2022 秋•正定县期末）如图，阴影部分是一个长方形截去两个四分之一的圆 后剩余的部分，则它的面积是（其中＞2b）（ ） ．b−π a 2 4 B．b−π b 2 2 ．b−π a 2 2 D．b−π b 2 4 【分析】根据图形可得阴影部分的面积＝矩形的面积﹣两个扇形面积． 【解答】解：S 矩形＝长×宽＝b， S 扇形¿ 1 4 •πb2•2¿ 1 2πb2， S 阴影＝S 矩形﹣S 扇形＝b−π b 2 2 ． 故选：B． 【知识点1 单项式的概念】 单项式的概念：如 2 2xy  ， 1 3 mn ，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式， 单独的一个数或一个字母也是单项式．注意：（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相 乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．（2）单项式中不 能含有加减运算，但可以含有除法运算． 【知识点2 多项式的概念】 多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式． 【题型2 单项式与多项式的概念】 【例2】（2022 秋•莱阳市期中）下列整式中：m 4n 2 7 、−1 2 x2y、x2+y2 1 ﹣、x、3x2y+3xy2+x4 1 ﹣、32t3、2x﹣y，单项式的个数为，多项式的个数为b，则b＝ 12 ． 1 【分析】先选出多项式和单项式，即可得出答． 【解答】解：单项式有m 4n 2 7 、−1 2 x2y、x、32t3，即＝4， 多项式有x2+y2 1 ﹣、3x2y+3xy2+x4 1 ﹣、2x﹣y，即b＝3， b＝12， 故答为：12． 【变式2-1】（2022 秋•东莞市校级期中）整式﹣03x2y，0，x+1 2 ，﹣22b2，1 3 x 2，−1 4 y， −1 3 b2−1 2 2b 中单项式的个数有（ ） ．6 个 B．5 个 ．4 个 D．3 个 【分析】根据单项式的定义判断即可． 【解答】解：整式﹣03x2y，0，x+1 2 ，﹣22b2，1 3 x 2，−1 4 y，−1 3 b2−1 2 2b 中单项式有﹣ 03x2y，0，﹣22b2，1 3 x 2，−1 4 y共5 个， 故选：B． 【变式2-2】（2022 秋•太湖县期末）下列式子：22b，3xy，﹣2y2，a+b 2 ，4，﹣m，x+ yz 2 ，ab−c n 其中是多项式的有（ ） ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．5 个 【分析】几个单项式的和叫做多项式，结合所给式子进行判断即可． 【解答】解：式子：22b，3xy，﹣2y2，a+b 2 ，4，﹣m，x+ yz 2 ，ab−c n 中，是多项式的 有a+b 2 ，x+ yz 2 ，共2 个． 故选：． 【变式2-3】（2022 秋•新洲区期末）（2022 秋•端州区月考）把下列各式分别填在相应的 大括号内． 2 ﹣，x2y，−a 3 ，2x2+3x 1 ﹣，π x 2 y 3 2 ，﹣y，1 x ，2 x−y 5 单项式：{ …} 多项式：{ …}． 【分析】根据单项式是数与字母的积，单独一个数或一个字母也是单项式；几个单项式 的和是多项式，可得答． 1 【解答】解：单项式：{ 2 ﹣，x2y，−a 3 ，π x 2 y 3 2 ，﹣y}； 多项式：{2x2+3x 1 ﹣，2 x−y 5 }． 故答为：﹣2，x2y，−a 3 ，π x 2 y 3 2 ，﹣y； 2x2+3x 1 ﹣，2 x−y 5 ． 【知识点3 单项式的系数】 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π 是常数．单项式中出现π 时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1 或-1 时，“1”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数 【知识点4 单项式的次数】 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算． 【题型3 直接确定单项式的系数与次数】 【例3】（2022 秋•滨江区期末）单项式π x 2 y 3 的系数为 π 3 ，次数为 3 ． 【分析】根据单项式的次数和系数进行解答． 【解答】解：单项式π x 2 y 3 的系数为π 3 ；次数为3； 故答为π 3 ，3． 【变式3-1】（2022 秋•长垣市月考）指出下列各单项式的系数和次数． （1）﹣12πxy2 （2）﹣222b （3）−3 2 x2y3z． 【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数， 所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【解答】解：（1））﹣12πxy2 的系数是﹣12π，次数是3； （2）﹣222b 的系数是﹣4，次数是4； （3）−3 2 x2y3z 的系数是−3 2 ，次数是6． 1 【变式3-2】（2022 秋•商水县期末）已知|+1|+（b 2 ﹣）2＝0，则单项式﹣x+2byb﹣的次数是 4 ． 【分析】先求出与b 的值，然后代入单项式中即可求出答． 【解答】解：由题意可知：+1＝0，b 2 ﹣＝0， ∴＝﹣1，b＝2， ∴将与b 代入单项式中可得：﹣2xy3 单项式的次数为：4 故答为：4 【变式3-3】（2022 秋•惠城区期末）已知单项式−3 4 x2y2的系数为m，次数为，则m 的值为 ﹣ 3 ． 【分析】直接利用单项式的次数与系数的定义分别得出m，的值，即可得出答． 【解答】解：∵单项式−3 4 x2y2的系数为m¿−3 4 ，次数为＝4， ∴m 的值为：−3 4 ×4＝﹣3． 故答为：﹣3． 【题型4 根据单项式的次数求参】 【例4】（2022 秋•高密市期末）若（﹣2）x2y||+1是x，y 的五次单项式，则＝ ﹣ 2 ． 【分析】根据单项式系数和次数的概念求解． 【解答】解：∵（﹣2）x2y||+1是x，y 的五次单项式， 2≠0 ∴﹣ ，2+||+1＝5， 解得：≠2，＝±2， 则＝﹣2． 故答为：﹣2． 【变式4-1】（2022 秋•孟津县期末）已知单项式6x2y4与﹣32bm+2的次数相同，则m2 2 ﹣m 的 值为 0 ． 【分析】根据两个单项式的次数相同可得2+4＝2+m+2，再解即可得到m 的值，进而可 得答． 【解答】解：由题意得：2+4＝2+m+2， 解得：m＝2， 则m2 2 ﹣m＝0． 故答为：0． 【变式4-2】（2022 秋•德惠市期中）已知x2y||+（b+2）是关于x、y 的五次单项式，求2﹣ 1 3b 的值． 【分析】根据单项式及单项式次数的定义，可得出、b 的值，代入代数式即可得出答． 【解答】解：∵x2y||+（b+2）是关于x，y 的五次单项式， ∴{ 2+¿a∨¿5 b+2=0 ， 解得：{ a=±3 b=−2， 则当＝﹣3，b＝﹣2 时，2 3 ﹣b＝9 18 ﹣ ＝﹣9； 当＝3，b＝﹣2 时，2 3 ﹣b＝9+18＝27． 【变式4-3】（2022 秋•驻马店校级期中）若﹣mx2y| 3| ﹣是关于x、y 的10 次单项式，且系数 是8，求m+的值． 【分析】利用单项式的定义得出m 的值，进而利用单项式次数的定义得出的值，进而得 出答． 【解答】解：∵﹣mx2y| 3| ﹣是关于x、y 的10 次单项式，且系数是8， ∴m＝﹣8，且2+| 3| ﹣＝10， 解得：＝11 或﹣5， 则m+＝3 或m+＝﹣13． 【知识点5 多项式的项与次数】 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． （1）多项式的每一项包括它前面的符号． （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如： 2 6 2 7 x x   是一个三项式． 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数． （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出． 【题型5 直接确定多项式的项与次数】 【例5】（2022 秋•端州区校级期中）多项式xy2 9 ﹣xy+5x2y 36 ﹣ 是 三 次 四 项式． 【分析】要确定多项式是几次几项式，就要确定多项式的次数和项数，根据多项式次数 和项数的概念可知，该多项式是三次四项式． 【解答】解：多项式xy2 9 ﹣xy+5x2y 36 ﹣ 是三次四项式． 故答为：三，四． 【变式5-1】（2022 秋•平原县校级期中）多项式2x2y﹣x2+1 2 x2y2 3 ﹣的最高次项是 1 2x 2 y 2 ，三次项的系数是 2 ，常数项是 ﹣ 3 ． 【分析】直接利用多项式的各项确定方法分别求出答． 1 【解答】解：多项式2x2y﹣x2+1 2 x2y2 3 ﹣的最高次项是：1 2x2y2，三次项的系数是：2，常 数项是﹣3． 故答为：1 2x2y2，2，﹣3． 【变式5-2】（2022 春•杨浦区校级期末）多项式﹣3x2y+4xy+x 2 ﹣的次数与项数之和为 7 ． 【分析】根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．多项式的组成元素的单 项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数可得答． 【解答】解：多项式x2y﹣xy2+3xy 1 ﹣的次数与项数分别是3 和4， 3+4＝7， 故答为：7． 【变式5-3】（2022 秋•苍溪县期中）已知多项式﹣2m32 5 ﹣中，含字母的项的系数为，多 项式的次数为b，常数为，则+b+＝ ﹣ 2 ． 【分析】首先利用多项式的系数、次数及常数项确定、b、的值，然后求和即可． 【解答】解：∵多项式﹣2m32 5 ﹣中，含字母的项的系数为，多项式的次数为b，常数项 为， ∴＝﹣2，b＝5，＝﹣5， + ∴b+＝﹣2+5 5 ﹣＝﹣2， 故答为：﹣2． 【题型6 根据多项式的项与次数求参】 【例6】（2022 秋•呈贡区月考）若多项式1 2x|m|﹣（m 4 ﹣）x+7 是关于x 的四次二项式，则 m 的值是 4 ． 【分析】根据四次二项式的定义可知，该多项式的最高次数为4，项数是2，所以可确 定m、的值，即可求解． 【解答】解：由多项式是关于x 的四次二项式知： |m|＝4 且m 4 ﹣＝0， 解得m＝4． 故答为：4． 【变式6-1】（2022 秋•泰兴市校级期中）已知多项式x 3 ﹣xym+1+x3y 3 ﹣x4 1 ﹣是五次多项式， 则m＝ 3 ． 【分析】先观察多项式的各项，再确定每项的次数，最高次项的次数就是多项式的次数． 【解答】解：∵多项式x 3 ﹣xym+1+x3y 3 ﹣x4 1 ﹣是五次多项式， 1 1+ ∴ m+1＝5， 解得：m＝3． 故答为：3． 【变式6-2】（2022 秋•陇县期末）多项式1 2 x ¿m∨¿−(m+2)¿x+7 是关于x 的二次三项式，则m ＝ 2 ． 【分析】由于多项式是关于x 的二次三项式，所以|m|＝2，但﹣（m+2）≠0，根据以上 两点可以确定m 的值． 【解答】解：∵多项式是关于x 的二次三项式， | ∴m|＝2， ∴m＝±2， 但﹣（m+2）≠0， 即m≠ 2 ﹣， 综上所述，m＝2，故填空答：2． 【变式6-3】（2022 秋•莒县期末）如果（|k| 3 ﹣）x3﹣（k 3 ﹣）x2 2 ﹣是关于x 的二次多项式， 则k 的值是 ﹣ 3 ． 【分析】直接利用多项式的定义得出|k| 3 ﹣＝0，k 3≠0 ﹣ ，进而得出答． 【解答】解：∵（|k| 3 ﹣）x3﹣（k 3 ﹣）x2 2 ﹣是关于x 的二次多项式， | ∴k| 3 ﹣＝0，k 3≠0 ﹣ ， 解得：k＝﹣3． 故答为：﹣3． 【题型7 单项式与多项式综合运用】 【例7】（2022 秋•麻城市期末）已知多项式−1 3 x 2 y m+1+x y 2−3 x 3−¿6 是五次四项式， 单项式04x2y5﹣m的次数与这个多项式的次数相同，则m＝ 2 ，＝ 1 ． 【分析】根据多项式−1 3 x 2 y m+1+x y 2−3 x 3−¿6 是五次四项式，得到m+1＝3，根据单 项式04x2y5﹣m的次数与这个多项式的次数相同，得到2+5﹣m＝5，即可解答． 【解答】解：∵多项式−1 3 x 2 y m+1+x y 2−3 x 3−¿6 是五次四项式， ∴m+1＝3， ∴m＝2， ∵单项式04x2y5﹣m的次数与这个多项式的次数相同， 2+5 ∴ ﹣m＝5， ∴＝1， 1 故答为：2，1． 【变式7-1】（2022 秋•赤壁市期中）已知单项式3x2y 的次数为5，多项式6+x2y−1 2 x2−1 6 x2ym+3的次数为6，求单项式（m+）xmy 的次数与系数的和． 【分析】根据已知求出m、的值，把m、的值代入单项式，求出单项式的系数和次数， 即可得出答． 【解答】解：∵单项式3x2y 的次数为5，多项式6+x2y−1 2 x2−1 6 x2ym+3的次数为6， 2+ ∴ ＝5，2+m+3＝6， 解得：m＝1，＝3， ∴（m+）xmy＝4xy3， 系数是4，次数是1+3＝4， 4+4＝8， 即单项式（m+）xmy 的次数与系数的和是8． 【变式7-2】（2022 秋•建华区校级期中）已知多项式（m+4）x|m|y2+xy 4 ﹣x+1 六次四项式， 单项式5x2y6﹣